第一篇：等差數(shù)列教案

等差數(shù)列教案(精選多篇)

等差數(shù)列

教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生理解等差數(shù)列的定義，掌握通項(xiàng)公式及其簡單應(yīng)用，初步領(lǐng)會―迭加‖的方法；

2．通過通項(xiàng)公式的探求，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)歸納、猜測、證明等合情推理與邏輯推理方法，提高學(xué)生分析、綜合、抽象、概括等邏輯思維能力；

3．通過證明的教學(xué)過程，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和勇于探索的精神．

設(shè)計思想

1．根據(jù)本節(jié)內(nèi)容，我們選用―探究發(fā)現(xiàn)式‖教學(xué)法，并按如下順序逐步展

開：

給等差數(shù)列下定義；

等差數(shù)列通項(xiàng)公式的探求；

通項(xiàng)公式的初步應(yīng)用．

2．在講等差數(shù)列概念之前，學(xué)生對數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式已有所理解．在此基礎(chǔ)上，通過引導(dǎo)學(xué)生對幾個具體數(shù)列共性的觀察研究，讓學(xué)生自己給等差數(shù)列下定義────把命名權(quán)交給學(xué)生，旨在充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用．

3．―觀察───歸納───猜想───證明‖是獲得發(fā)現(xiàn)的重要途徑．因此，在探求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式時，我們選擇了上述途徑，一方面可提高學(xué)生的合情推理與邏輯推理能力，另一方面，為落實(shí)教學(xué)目標(biāo)打下了堅實(shí)的基礎(chǔ)．

課題引入

通過請學(xué)生觀察幾個具體的數(shù)列的特點(diǎn)．例如：

1，4，7，10，?；

3，－1，－5，－9，?；

5，5，5，5，?，并由學(xué)生自行分析得出―從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)‖這一共性，隨即請學(xué)生給這類數(shù)列命名‖，師肯定學(xué)生的回答，或稍作提煉，并順?biāo)浦?，指出這是我們今天將要研究的內(nèi)容───等差數(shù)列，以此引出課題．

知識講解

1．關(guān)于等差數(shù)列的定義

教學(xué)模式：由學(xué)生觀察分析幾個具體數(shù)列的共性───給這類數(shù)列命名───給等差數(shù)列下定義───分析兩個要點(diǎn)的作用───用符號語言描述定義───指出定義的功能．

采用這一教學(xué)模式，主要目的是充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，教師的主導(dǎo)作用主要體現(xiàn)在必要的點(diǎn)撥上．

等差數(shù)列的定義有兩個要點(diǎn)．一是―從第2項(xiàng)起‖．這是為了確保每一項(xiàng)與前一項(xiàng)差的存在性；二是―差等于同一個常數(shù)‖，這是等差數(shù)列的基本特點(diǎn)―差相等‖的具體體現(xiàn)．

2．+關(guān)于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

教學(xué)模式：試驗(yàn)───歸納───猜想───證明───鑒賞．即試著求出a1，a2，a3，a4，并對此進(jìn)行分析歸納，猜想出通項(xiàng)公式，再加以證明，最后從數(shù)形結(jié)合的角度揭示公式的內(nèi)涵．

采用這一教學(xué)模式，可幫助學(xué)生學(xué)習(xí)合情推理與邏輯推理的方法，提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力和邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的科學(xué)性和嚴(yán)密性以及勇于探索的精神．

通項(xiàng)公式的證明：

方法1：

在an－an－1=d中，取下標(biāo)n為2，3，?，n，得a2－a1=d，a3－a2=d，a4－a3=d，?，an－an－1=d．

把這n－1個式子相加并整理，得an= a1＋d．

又當(dāng)n=1時，左邊= a1，右邊= a1＋d= a1．

公式也適用．故通項(xiàng)公式為an= a1＋d．

方法2

an= an－1＋d

= an－2＋2d

= an－3＋3d

=?

= a1＋d．

．

公式鑒賞：

① 通項(xiàng)公式可表示為an=dn＋c的形式，n的系數(shù)即為公差．當(dāng)d≠0時，an是定義在自然數(shù)集上的一次函數(shù)，其圖象是一次函數(shù)y=dx＋c的圖象上的一群孤立的點(diǎn)．

② 通項(xiàng)公式中含有a1，d，n，an四個量，其中a1和d是基本量，當(dāng)a1和d確定后，通項(xiàng)公式便隨之確定．從已知和未知的角度看，若已知其中任意三個量的值，即可利用方程的思想求出第四個量的值．

例題分析

考慮到本節(jié)課是等差數(shù)列的起始課，因此例題應(yīng)圍繞等差數(shù)列的定義及

通項(xiàng)公式這兩個知識點(diǎn)選配．

例1．求等差數(shù)列8，5，2，?的第20項(xiàng)．

通過本題的求解，使學(xué)生初步掌握通項(xiàng)公式的應(yīng)用，運(yùn)用方程的思想―知三求

一‖ ．

本例在探求出通項(xiàng)公式以后給出．

分析與略解：欲求第20項(xiàng)a20，需知首項(xiàng)a1與公差d．現(xiàn)a1為已知，因此只需*求出d，便可由通項(xiàng)公式求出a20．事實(shí)上，∵ a1=8，d=5－8=－3，n=20，∴ a20=8＋×= －49．

例2．已知數(shù)列－2，1，4，?，3n－5，?，求證這個數(shù)列是等差數(shù)列，并求其公差；

求第100項(xiàng)及第2n－1項(xiàng)；

判斷100和110是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，若是，是第幾項(xiàng)？若不是，請說明理由．

通過本例的求解，加深學(xué)生對定義及其功能的理解和認(rèn)識，并能利用方程的思想解決問題．

本例可在講完定義后給出，也可在獲得通項(xiàng)公式以后給出．

分析：對，只需利用定義證明an＋1－an等于常數(shù)即可，并且這個常數(shù)即為公差；對，從函數(shù)的角度看，只需將an=3n－5中的n分別換成100及2 n－1即得a100和a2n－1；對，只需利用方程的思想，由an=100或an=110分別求出n，若求出的n為正整數(shù)，則可判定該數(shù)是這個數(shù)列中的項(xiàng)，并且這個正整數(shù)是幾，該數(shù)就是這個數(shù)列中的第幾項(xiàng)；若n不是正整數(shù)，則該數(shù)不是這個數(shù)列中的項(xiàng)．

略解：由于an＋1－an=3－5－=3，故這個數(shù)列是等差數(shù)列，且公差d=3．

∵ an=3 n－5，∴ a100 =3×100－5=295，a2n－1=3－5=6n－8．

設(shè)3 n－5=100，解得n=35，∴ 100是這個數(shù)列中的項(xiàng)，并且是第35項(xiàng)；

設(shè)3 n－5=110，解得n=115

3?n*，∴ 110不是這個數(shù)列中的項(xiàng)．

小結(jié)或總結(jié)

本節(jié)課我們主要研究了等差數(shù)列的定義和它的通項(xiàng)公式．等差數(shù)列的定義是判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的依據(jù)之一，通項(xiàng)公式是通項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系的一種解析表示，它從函數(shù)和方程兩個角度為我們求解問題提供了有力的工具．通過給等差數(shù)列下定義及自行探求通項(xiàng)公式，使我們領(lǐng)略了合情推理與邏輯推理在探索、發(fā)現(xiàn)知識方面的重要作用．

習(xí)題

1．已知等差數(shù)列｛an｝中，a1=5．6，a6=20．36，則a4=．

2．已知數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是an=－2 n＋3，證明｛an｝是等差數(shù)列，并求出公差、首項(xiàng)及第2 n＋5項(xiàng)．

3．在數(shù)列｛an｝中，a1=－2，2 an＋1－1=2an，則，a51等于，．

21 22

參考答案

１．14．6

2．∵ an＋1－an= －2，∴｛an｝是等差數(shù)列，且d= －2，a1=1，a2n＋5= －4 n－7．

3．d．

引申與提高

除了等差數(shù)列的定義以外，通項(xiàng)公式也是判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的依據(jù)之一．我們把通項(xiàng)公式改寫成a1= an＋·，并把它與原通項(xiàng)公式比較，易知兩者形式是完全一樣的．這里可視an為首項(xiàng)，a1為第n項(xiàng)，這個數(shù)列由原數(shù)列中前n項(xiàng)反序書寫而得，即an，an－1，an－2，?，a2，a1．由式知它仍成等差數(shù)列，并且公差為－d．由此知，從正、反兩個不同的順序看待―同一個‖等差數(shù)列時，各自―等差‖的特點(diǎn)保持不變，但公差互為相反數(shù)．

思 考 題

１．已知數(shù)列－5，－3，－1，1，?是等差數(shù)列，判斷2n＋7是否是該數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？

略解：∵ d= －3－=2，∴ an= －5＋×2=2 n－7．

而2n＋7=2－7，∴ 2n＋7是該數(shù)列中的第n＋7項(xiàng)．

２．已知數(shù)列－5，－3，－1，1，?是等差數(shù)列，判斷2n＋7是否是該數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？

略解：∵ d= －3－=2，∴ an= －5＋×2=2 n－7．

而2n＋7=2－7，∴ 2n＋7是該數(shù)列中的第n＋7項(xiàng)．

測 試 題

22．且｛an｝是等差數(shù)列，則1．已知數(shù)列an?的前4項(xiàng)分別為25，238是數(shù)列an?中的．

第49項(xiàng)

an?1 第48項(xiàng)

第50項(xiàng) ?3?1an 第51項(xiàng) 2．已知數(shù)列｛an｝中，a1=1，則a98=．

3．一個首項(xiàng)為－24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開始為正數(shù)，求公差d的取值范圍．

參考答案

１．d．

2．1

292．提示：｛1an｝是公差為3的等差數(shù)列，求出1an后再求an，進(jìn)而求出

a98．

?a10?0??24?9d?083．由?，即?，解得＜d≤3.3??24?8d9?0?a9?0

∴d的取值范圍是?，3?．

?3??8?

等差數(shù)列

本節(jié)課講述的是人教版高一數(shù)學(xué)§3.2等差數(shù)列的內(nèi)容。

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進(jìn)一步深入和拓廣。

2、教學(xué)目標(biāo)

理解并掌握等差數(shù)列的概念；了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及思想；

3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

①等差數(shù)列的概念。

②等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。

由于學(xué)生第一次接觸不完全歸納法,對此并不熟悉因此用不完全歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列的同項(xiàng)公式是這節(jié)課的一個難點(diǎn)。

二、學(xué)情分析對于高一學(xué)生，知識

經(jīng)驗(yàn)已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運(yùn)演階段，具備了教強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力，所以我在授課時注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。

二、教法分析

本節(jié)課我采用啟發(fā)式、討論式以及講練結(jié)合的教學(xué)方法，通過問題激發(fā)學(xué)生求知欲，使學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，以獨(dú)立思考和相互交流的形式，在教師的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。

三、教學(xué)程序

本節(jié)課的教學(xué)過程由復(fù)習(xí)引入新課探究應(yīng)用舉例歸納小結(jié)布置作業(yè)，五個教學(xué)環(huán)節(jié)構(gòu)成。

復(fù)習(xí)引入：

上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義以及給出數(shù)列和表示數(shù)列的幾種方法——列舉法、通項(xiàng)公式、遞推公式、圖象法.這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點(diǎn).下面我們看這樣一些數(shù)列的例子：



0，5，10，15，20，25，…;

48，53，58，63，…;

18，15.5，13，10.5，8，5.5…; 072，10 144，10 216，10 288，10 366

新課探究

1、由引入自然的給出等差數(shù)列的概念：

如果一個數(shù)列,從第二項(xiàng)開始它的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差都等于同一常數(shù)，這個數(shù)列就叫等差數(shù)列, 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d來表示。

強(qiáng)調(diào)：

① ―從第二項(xiàng)起‖滿足條件；

②公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得；

③每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差必須是同一個常數(shù)；

在理解概念的基礎(chǔ)上，由學(xué)生將等差數(shù)列的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，歸納出數(shù)學(xué)表達(dá)式： an+1-an=d

同時為了配合概念的理解，我找了5組數(shù)列，由學(xué)生判斷是否為等差數(shù)列，是等差數(shù)列的找出公差。

1.9，8，7，6，5，4，……；√ d=-1

2.0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01

3.0，0，0，0，0，0，…….;√ d=0

4.1，2，3，2，3，4，……；×

5.1，0，1，0，1，……×

其中第一個數(shù)列公差0,第三個數(shù)列公差=0

由此強(qiáng)調(diào)：公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是0，當(dāng)d=0，an 為常數(shù)列。

2、第二個重點(diǎn)部分為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

若一等差數(shù)列{an }的首項(xiàng)是a1,公差是d，則據(jù)其定義可得：

a2-a1 =d 即： a2 =a1 +d

a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d

a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1

+3d

……

猜想: a40 = a1 +39d

進(jìn)而歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

an=a1+d

此時指出：這種求通項(xiàng)公式的辦法叫不完全歸納法，這種導(dǎo)出公式的方法不夠嚴(yán)密，為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，在這里向?qū)W生介紹另外一種求數(shù)列通項(xiàng)公式的辦法------迭加法：a2 – a1 =d

a3 – a2 =d

a4 – a3 =d

……

an – an-1=d

將這個等式左右兩邊分別相加,就可以得到an– a1= d即 an= a1+ d

當(dāng)n=1時，也成立，所以對一切n∈n＊，上面的公式都成立

因此它就是等差數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。

在這里通過該知識點(diǎn)引入迭加法

這一數(shù)學(xué)思想，逐步達(dá)到―注重方法，凸現(xiàn)思想‖ 的教學(xué)要求

am 與an有什么關(guān)系呢？

am=a1+d①

an=a1+d②

a1=am-d代入②得an=am-d+d 即：an=am+d

應(yīng)用舉例

求等差數(shù)列8，5，2,…的第20項(xiàng);

-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

分析

這個等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別是什么?你能求出它的第20項(xiàng)嗎?

首項(xiàng)和公差分別是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因?yàn)閚=20，所以由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得a20=8+×=-49.

分析

由a1=-5,d=-9-=-4得數(shù)列通項(xiàng)公式為an=-5-4.

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-5-4成立,解之,得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項(xiàng).

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=pn+q，其中p、q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？

例題分析：

由等差數(shù)列的定義，要判定{an}是不是等差數(shù)列，只要根據(jù)什么?

只要看差an-an-1是不是一個與n無關(guān)的常數(shù).

說得對，請你來求解.

當(dāng)n≥2時，〔取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an-1與an〕

an-an-1=-［p+q］=pn+q-=p為常數(shù),

所以我們說{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=p+q，公差為p.

這里要重點(diǎn)說明的是：

若p=0，則{an}是公差為0的等差

數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，….

若p≠0，則an是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示數(shù)列的各點(diǎn)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上，一次項(xiàng)的系數(shù)是公差p，直線在y軸上的截距為q.

數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)an=pn+q，稱其為第三通項(xiàng)公式.歸納小結(jié)1.等差數(shù)列的概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式．

強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵字：從第二項(xiàng)開始它的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差都等于同一常數(shù)

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an= a1+ d會知三求一

布置作業(yè)

必做題：課本p114習(xí)題3.2第2，6 題

五、板書設(shè)計

等差數(shù)列教案

一、教材分析

從教材的編寫順序上來看，等差數(shù)列是必修五第二章的第二節(jié)的內(nèi)容，一

方面它是數(shù)列中最基礎(chǔ)的一種類型、與前面學(xué)習(xí)的函數(shù)等知識也有著密切的聯(lián)系，另一方面它又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)等比數(shù)列及數(shù)列的極限等內(nèi)容作準(zhǔn)備.就知識的應(yīng)用價值上來看，它是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)問題中抽象出來的一個模型，對其在性質(zhì)的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神,是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)能力的良好載體．

依據(jù)課標(biāo) ―等差數(shù)列‖這部分內(nèi)容授課時間3課時，本節(jié)課為第2課時，重在研究等差數(shù)列的性質(zhì)及簡單應(yīng)用，教學(xué)中注重性質(zhì)的形成、推導(dǎo)過程并讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

二． 教學(xué)目標(biāo)

依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和年齡特點(diǎn)，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

知識與技能目標(biāo)：理解等差數(shù)列的定義基礎(chǔ)上初步掌握等差數(shù)列幾個特征

性質(zhì)并能運(yùn)用性質(zhì)解決一些簡單問題．

過程與方法目標(biāo)：通過性質(zhì)的推導(dǎo)過程，提高學(xué)生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)．

情感與態(tài)度目標(biāo)：通過其性質(zhì)的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗(yàn)，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美．

三．教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的性質(zhì)推導(dǎo)及其簡單應(yīng)用．從教材體系來看，它為后繼學(xué)習(xí)提供了知識基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用；從知識特點(diǎn)而言，蘊(yùn)涵豐富的思想方法；就能力培養(yǎng)來看，通過發(fā)現(xiàn)性質(zhì)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用數(shù)學(xué)語言交流表達(dá)的能力.突出重點(diǎn)方法：―抓三線、突重點(diǎn)‖，即知識技能線：問題情境→性質(zhì)發(fā)現(xiàn)→簡單應(yīng)用；過程與方法線:特殊到一般、猜想歸納→轉(zhuǎn)化、方程思想；能力線：觀察能力→數(shù)學(xué)思想解決問題能力→靈活運(yùn)用能力及嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度.難點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)的探究，從學(xué)生認(rèn)知水平來看，學(xué)生的探究能力和用數(shù)學(xué)語言交流的能力還有待提高.它需要對等差數(shù)列的概念充分理解并融會貫通，而知識的整合對學(xué)生來說恰又是比較困難的。

突破難點(diǎn)手段：―抓兩點(diǎn)，破難點(diǎn)‖,即一抓學(xué)生情感和思維的興奮點(diǎn)，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學(xué)生大膽猜想、積極探索，及時地給以鼓勵，使他們知難而進(jìn)；二抓知識選擇的切入點(diǎn)，給予恰大的引導(dǎo)，讓學(xué)生能在原有的認(rèn)知水平和所需的知識特點(diǎn)入手。四．教學(xué)方法

利用多媒體輔助教學(xué)，采用啟發(fā)和探究-建構(gòu)教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)模式

五．教學(xué)過程.1.復(fù)習(xí)引入

回顧等差數(shù)列的定義：一般的，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，即an?an?1?d 2.根據(jù)給出的數(shù)列引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的性質(zhì)：

①有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于其首末兩項(xiàng)之和

a1?an?a2?an?1?a3?an?2???

②已知aman 為等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)，公差為d，則d=

③等差數(shù)列中，若m?n?p?q，則am?an?ap?aq

④若?an??bn?是等差數(shù)列，則?an?k??kan??an?bn?也是等差數(shù)列，公差分別為d、kd、d1+d2

3.知識鞏固

例1.等差數(shù)列?an?中，已知a2?a7?9,a3?4，則a6解析一：由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得：a2?a7=a1?d?a1?6d?9

a3?a1?2d?4

解得：

am?an

m?n

101則a6?a1?5d?5 a? d?

解析二：由性質(zhì)③得a2?a7?a3?a6易得a6?5

變式：等差數(shù)列?an?中，a5?8,a2?2.則a8?例2.已知等差數(shù)列?an?滿足a1?a2?a3a101?0，則有

a、a1?a101?0 b、a2?a101?0c、a3?a99?0d、a51?51 解析：根據(jù)性質(zhì)1得：a1?a101?a2?a100???a49?a50?2a51，由于

a1?a2?a3???a101?0，所以a51?0，又因?yàn)?，a3?a99?2a51?0，故正確

答案為c。

課堂練習(xí)：等差數(shù)列?an?中，a第六項(xiàng)是多少？ 4.小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列定義，從通項(xiàng)公式中發(fā)現(xiàn)性質(zhì)。5.作業(yè)布置：

.書面作業(yè)：教材p681.3

請同學(xué)們課后思考：除了上述特征性質(zhì)外，還能不能

發(fā)現(xiàn)其他的性質(zhì)？

六．教學(xué)設(shè)計說明

1．復(fù)習(xí)引入.本著遵循掌握知識，熟能生巧的方針，溫故而知新。讓學(xué)生自己例舉等差數(shù)列，進(jìn)一步讓學(xué)生真正知道什么是等差數(shù)列，然后采用圖片形式創(chuàng)設(shè)問題情景，意在營造和諧、積極的學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)學(xué)生的探究欲.2．性質(zhì)發(fā)現(xiàn)

教學(xué)中本著以學(xué)生發(fā)展為本的理念，充分給學(xué)生想的時間、說的機(jī)會以及展示思維過程的舞臺，通過他們自主學(xué)習(xí)、合作探究,展示學(xué)生解決問題的思想方法，共享學(xué)習(xí)成果，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的喜悅.通過師生之間不斷合作和交流，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力和語言表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和嚴(yán)謹(jǐn)性.3．知識鞏固

通過例題說明靈活的應(yīng)用這些性質(zhì)和變形公式，可以避繁就簡，有思路的功效。對數(shù)列性質(zhì)的靈活應(yīng)用反應(yīng)學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)特征掌握程度，有助于學(xué)

生形成知識模塊，優(yōu)化知識體系.?2,a?5.則數(shù)列?a?4?的

n

4．作業(yè)布置彈性化．

通過布置彈性作業(yè)，為學(xué)有余力的學(xué)生提供進(jìn)一步發(fā)展的空間．

等差數(shù)列

教學(xué)目的：

1．明確等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

2．會解決知道an,a1,d,n中的三個，求另外一個的問題

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

教學(xué)過程：

引入：① 5，15，25，35，?和② 3000，2995，2990，2985，?

請同學(xué)們仔細(xì)觀察一下，看看以上兩個數(shù)列有什么共同特征？？

共同特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)；，我們

~ 26 ~

給具有這種特征的數(shù)列一個名字——等差數(shù)列

二、講解新課：

1．等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的

差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差

數(shù)列②10，8，6，4，2，?； an?10???12?2n 數(shù)列③1234;,;,1,?;an?1??1?n 5555555

由上述關(guān)系還可得：am?a1?d

即：a1?am?d

則：an?a1?d=am?d?d?am?d

即的第二通項(xiàng)公式an?am?d∴ d=am?an

m?n

如：a5?a4?d?a3?2d?a2?3d?a1?4d

三、例題講解

例1 ⑴求等差數(shù)列8，5，2?的第20項(xiàng)

⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，~ 27 ~

-13?的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

解：⑴由a1?8,d?5?8?2?5??3n=20，得a20?849 ⑵由a1??5,d??9???4得數(shù)列通項(xiàng)公式為：an??5?4

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得?401??5?4成立解之得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100例2 在等差數(shù)列?an?中，已知a5?10，a12?31，求a1,d,a20,an

解法一：∵a5?10，a12?31，則 ?a1?4d?10??a1??2∴an?a1?d?3n?5

??

?d?3?a1?11d?31

a20?a1?19d?55

解法二：∵a12?a5?7d?31?10?7d?d?3

∴a20?a12?8d?55an?a12?d?3n?小結(jié)：第二通項(xiàng)公式an?am?d

例3將一個等差數(shù)列的通項(xiàng)公式輸入計算器數(shù)列un中，設(shè)數(shù)列的第s項(xiàng)和第t項(xiàng)分別為us和ut，計算us?ut

s?t

~ 28 ~

解：通過計算發(fā)現(xiàn)us?ut的值恒等于公差

s?t

證明：設(shè)等差數(shù)列{un}的首項(xiàng)為u1，末項(xiàng)為un，公差為d，?us?u1?d

?

?ut?u1?d⑴-⑵得us?ut?d?

us?ut

?d s?t

小結(jié)：①這就是第二通項(xiàng)公式的變形，②幾何特征，直線的斜率

例4 梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各解：設(shè)?an?表示梯子自上而上各級寬度所成的等差數(shù)列，由已知條件，可知：a1=33,a12=110，n=12

∴a12?a1?d,即10=33+11d解得：d?7因此，a2?33?7?40,a3?40?7?47,a4?54,a5?61，~ 29 ~

a6?68,a7?75,a8?82,a9?89,a10?96,a11?103，答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.例5 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an?pn?q，其中p、q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？

分析：由等差數(shù)列的定義，要判定?an?是不是等差數(shù)列，只要看an?an?1是不是一個與n無關(guān)的常解：當(dāng)n≥2時,）

an?an?1???pn?q??p為常數(shù)

∴{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1?p?q，公差為

注：①若p=0，則{an}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，…

②若p≠0, 則{an}是關(guān)于n的一次式,從圖象上看,表示數(shù)列的各點(diǎn)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上,一次項(xiàng)的系數(shù)是公差,直線在y軸上的截距為q.③數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)an=p n+q d，并掌握其基本

~ 30 ~

應(yīng)用.最后，還要注意一重要關(guān)系式：an?am?d和an=p n+q 的理解與應(yīng)用.?

課題：3.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

6161,又∵n∈n*∴滿足不等式n＜的正整數(shù)一共有30個.2

2二、例題講解例1.求集合m={m|m=2n－1,n∈n*,且m＜60}的元素個數(shù)及這些元素的和.解：由2n－1＜60,得n＜

即 集合m中一共有30個元素，可列為：1，3，5，7，9，…，59，組成一個以a1=1, an30=59,n=30的等差數(shù)列.∵sn=2,∴s30

30=2=900.答案：集合m中一共有30個元素，其和為900.例2.在小于100的正整數(shù)中共有多少個數(shù)能被3除余2分析：滿足條件的數(shù)屬于集合，m={m|m=3n+2,m＜100,m∈n*}

解：分析題意可得滿足條件的數(shù)屬于集合，m={m|m=3n+2,m＜100,n∈n*}

~ 31 ~

由3n+2＜100,得n＜322

3,且m∈n*,∴n可取0，1，2，3，…，32.即 在小于100的正整數(shù)中共有33個數(shù)能被3除余2.把這些數(shù)從小到大排列出來就是：2，5，8，…，98.它們可組成一個以a1=2,d=3, a33=98,n=33的等差數(shù)列.由snn=2,得s33

33=2=1650.答：在小于100的正整數(shù)中共有33個數(shù)能被3除余2，這些數(shù)的和是1650.例3已知數(shù)列?an?,是等差數(shù)列，sn是其前n項(xiàng)和，求證：⑴s6，s12-s6，s18-s12成等差數(shù)列；

⑵設(shè)sk,s2k?sk,s3k?s2k 成等差數(shù)列

證明：設(shè)?an?,首項(xiàng)是a1，公差為d

則s6?a1?a2?a3?a4?a5?a6

∵s12?s6?a7?a8?a9?a10?a11?a12

~ 32 ~

36d?s6?36d∵s18?s12?a13?a14?a15?a16?a17?a18

??

??36d??36d∴

?s6,s12?s6,s18?s12是以36d同理可得sk,s2k?sk,s3k?s2k是以kd為公差的等差數(shù)列.三、練習(xí)：

1．一個等差數(shù)列前4項(xiàng)的和是24，前5項(xiàng)的和與前2項(xiàng)的和的差是27，求這個等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.分析：將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后再解.解：根據(jù)題意，得s4=24, s5－s2=27

則設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a1,公差為d, 2

4d?4a??24??12則 ?

?d)?d)?2711?22?

?a1?3解之得：?∴an=3+2=2n+1.d?2?

2．兩個數(shù)列1, x1, x2, ……,x7, 5和1, y1, y2, ……,y6, 5均成等差數(shù)列公

~ 33 ~

差分別是d1, d2, 求x?x2x7d1與1y1?y2y6d2

解：5＝1＋8d1, d1＝d147, 又5＝1＋7d2, d2＝, ∴1＝;d2278

x1+x2+……+x7＝7x4＝7×1?5＝21,2

y1+y2+ ……+y6＝3×＝18，∴x1?x2x77＝.y1?y2y66

3．在等差數(shù)列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和snsn解法1：∵a4＝a1＋3d, ∴ －15＝a1＋9, a1＝－24，3n3512512

∴ sn＝－24n＋＝,36226

∴ 當(dāng)|n－51|最小時，sn最小，6

即當(dāng)n＝8或n＝9時，s8＝s9＝－108最小.解法2：由已知解得a1＝－24, d＝3, an＝－24＋3，由an≤0得n≤9且a9＝0，∴當(dāng)n＝8或n＝9時，s8＝s9＝－108最小.~ 34 ~

四、小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：?an?是等差數(shù)列，sn是其前n項(xiàng)和，則sk,s2k?sk,s3k?s2k

七、課后記：

~ 35 ~

第二篇：等差數(shù)列教案（精選）

等差數(shù)列教案

一、教材分析

從教材的編寫順序上來看，等差數(shù)列是必修五第二章的第二節(jié)的內(nèi)容，一方面它是數(shù)列中最基礎(chǔ)的一種類型、與前面學(xué)習(xí)的函數(shù)等知識也有著密切的聯(lián)系，另一方面它又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)等比數(shù)列及數(shù)列的極限等內(nèi)容作準(zhǔn)備.就知識的應(yīng)用價值上來看，它是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)問題中抽象出來的一個模型，對其在性質(zhì)的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神,是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)能力的良好載體．

依據(jù)課標(biāo) “等差數(shù)列”這部分內(nèi)容授課時間3課時，本節(jié)課為第2課時，重在研究等差數(shù)列的性質(zhì)及簡單應(yīng)用，教學(xué)中注重性質(zhì)的形成、推導(dǎo)過程并讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。

二． 教學(xué)目標(biāo)

依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和年齡特點(diǎn)，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

知識與技能目標(biāo)：理解等差數(shù)列的定義基礎(chǔ)上初步掌握等差數(shù)列幾個特征性質(zhì)并能運(yùn)用性質(zhì)解決一些簡單問題．

過程與方法目標(biāo)：通過性質(zhì)的推導(dǎo)過程，提高學(xué)生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)．

情感與態(tài)度目標(biāo)：通過其性質(zhì)的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗(yàn)，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美．

三．教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的性質(zhì)推導(dǎo)及其簡單應(yīng)用．從教材體系來看，它為后繼學(xué)習(xí)提供了知識基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用；從知識特點(diǎn)而言，蘊(yùn)涵豐富的思想方法；就能力培養(yǎng)來看，通過發(fā)現(xiàn)性質(zhì)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用數(shù)學(xué)語言交流表達(dá)的能力.突出重點(diǎn)方法：“抓三線、突重點(diǎn)”，即(一)知識技能線：問題情境→性質(zhì)發(fā)現(xiàn)→簡單應(yīng)用；

（二）過程與方法線:特殊到一般、猜想歸納→轉(zhuǎn)化、方程思想；

（三）能力線：觀察能力→數(shù)學(xué)思想解決問題能力→靈活運(yùn)用能力及嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度.難點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)的探究，從學(xué)生認(rèn)知水平來看，學(xué)生的探究能力和用數(shù)學(xué)語言交流的能力還有待提高.它需要對等差數(shù)列的概念充分理解并融會貫通，而知識的整合對學(xué)生來說恰又是比較困難的。

突破難點(diǎn)手段：“抓兩點(diǎn)，破難點(diǎn)”,即一抓學(xué)生情感和思維的興奮點(diǎn)，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學(xué)生大膽猜想、積極探索，及時地給以鼓勵，使他們知難而進(jìn)；二抓知識選擇的切入點(diǎn)，給予恰大的引導(dǎo)，讓學(xué)生能在原有的認(rèn)知水平和所需的知識特點(diǎn)入手。四．教學(xué)方法

利用多媒體輔助教學(xué)，采用啟發(fā)和探究-建構(gòu)教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)模式

五．教學(xué)過程.1.復(fù)習(xí)引入

回顧等差數(shù)列的定義：一般的，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，即an?an?1?d（n?2.n?N?)

（讓學(xué)生自己列舉等差數(shù)列的例子，教師給出一特殊等差數(shù)列）2.根據(jù)給出的數(shù)列引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的性質(zhì)：

①有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于其首末兩項(xiàng)之和

a1?an?a2?an?1?a3?an?2???

②已知aman 為等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)，公差為d，則d=（公差的計算：d =an?an?1）

③等差數(shù)列中，若m?n?p?q，則am?an?ap?aq（讓學(xué)生推

廣：m?n 的情況）

④若?an??bn?是等差數(shù)列，則?an?k??kan??an?bn?也是等差數(shù)列，公差分別為d、kd、d1+d2

3.知識鞏固

例1.等差數(shù)列?an?中，已知a2?a7?9,a3?4，則a6解析一：由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得：a2?a7=a1?d?a1?6d?9

a3?a1?2d?4

解得：

am?an

m?n

101則a6?a1?5d?5 a? d?

3解析二：由性質(zhì)③得a2?a7?a3?a6易得a6?5

變式：等差數(shù)列?an?中，a5?8,a2?2.則a8?例2.已知等差數(shù)列?an?滿足a1?a2?a3????a101?0，則有（）

A、a1?a101?0 B、a2?a101?0C、a3?a99?0D、a51?51 解析：根據(jù)性質(zhì)1得：a1?a101?a2?a100???a49?a50?2a51，由于

a1?a2?a3???a101?0，所以a51?0，又因?yàn)?，a3?a99?2a51?0，故正確

答案為C。

課堂練習(xí)：等差數(shù)列?an?中，a第六項(xiàng)是多少？ 4.小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列定義，從通項(xiàng)公式中發(fā)現(xiàn)性質(zhì)。5.作業(yè)布置：

（1）.書面作業(yè)：教材P681.3

（2）請同學(xué)們課后思考：除了上述特征性質(zhì)外，還能不能

發(fā)現(xiàn)其他的性質(zhì)？

六．教學(xué)設(shè)計說明

1．復(fù)習(xí)引入.本著遵循掌握知識，熟能生巧的方針，溫故而知新。讓學(xué)生自己例舉等差數(shù)列，進(jìn)一步讓學(xué)生真正知道什么是等差數(shù)列，然后采用圖片形式創(chuàng)設(shè)問題情景，意在營造和諧、積極的學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)學(xué)生的探究欲.2．性質(zhì)發(fā)現(xiàn)

教學(xué)中本著以學(xué)生發(fā)展為本的理念，充分給學(xué)生想的時間、說的機(jī)會以及展示思維過程的舞臺，通過他們自主學(xué)習(xí)、合作探究,展示學(xué)生解決問題的思想方法，共享學(xué)習(xí)成果，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的喜悅.通過師生之間不斷合作和交流，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力和語言表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和嚴(yán)謹(jǐn)性.3．知識鞏固

通過例題說明靈活的應(yīng)用這些性質(zhì)和變形公式，可以避繁就簡，有思路的功效。對數(shù)列性質(zhì)的靈活應(yīng)用反應(yīng)學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)特征掌握程度，有助于學(xué)生形成知識模塊，優(yōu)化知識體系.?2,a?5.則數(shù)列?a?4?的n

4．作業(yè)布置彈性化．

通過布置彈性作業(yè)，為學(xué)有余力的學(xué)生提供進(jìn)一步發(fā)展的空間．

第三篇：等差數(shù)列教案

等差數(shù)列教案

目的：1.要求學(xué)生掌握等差數(shù)列的概念

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能用來解決有關(guān)問題。

重點(diǎn)：1.要證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，只要證明an+1-an等于常數(shù)即可（這里n≥1,且n∈N）

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d(n≥1,且n∈N).3．等到差中項(xiàng)：若a、A、b成等差數(shù)列，則A叫做a、b的等差中項(xiàng)，且ak?am?an2**

難點(diǎn)：等差數(shù)列“等差”的特點(diǎn)。公差是每一項(xiàng)（從第2項(xiàng)起）與它的前一項(xiàng)的關(guān)絕對不能把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒。

等差數(shù)列通項(xiàng)公式的含義。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式由它的首項(xiàng)和公差所完全確定。換句話說，等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差已知，那么，這個等差數(shù)列就確定了。

過程：

一、引導(dǎo)觀察數(shù)列：4，5，6，7，8，9，10，??

3，0，?3，?6，??

12210310410，，??

an?12?3(n?1)12，9，6，3，??

特點(diǎn)：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是常數(shù) — “等差”

二、得出等差數(shù)列的定義：（見P115）

注意：從第二項(xiàng)起，后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)。．．．．．．．．．．1．名稱：AP 首項(xiàng)(a1)公差(d)2．若d?0 則該數(shù)列為常數(shù)列 3．尋求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

a2?a1?d

a3?a2?d?(a1?d)?d?a1?2da4?a3?d?(a1?2d)?d?a1?3d????

由此歸納為 an?a1?(n?1)d 當(dāng)n?1時 a1?a1（成立）

注意: 1? 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)

2? 如果通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，則該數(shù)列成AP 證明：若an?An?B?A(n?1)?A?B?(A?B)?(n?1)A

它是以A?B為首項(xiàng)，A為公差的AP。

3? 公式中若 d?0 則數(shù)列遞增，d?0 則數(shù)列遞減 4? 圖象： 一條直線上的一群孤立點(diǎn)

三、例題： 注意在an?a1?(n?1)d中n，an，a1，d四數(shù)中已知三個可以

求出另一個。

例1（P115例一）

例2（P116例二）注意：該題用方程組求參數(shù) 例3（P116例三）此題可以看成應(yīng)用題

四、關(guān)于等差中項(xiàng)： 如果a,A,b成AP 則A?a?b2

證明：設(shè)公差為d，則A?a?d b?a?2d

∴a?b2?a?a?2d2?a?d?A

例4 《教學(xué)與測試》P77 例一：在?1與7之間順次插入三個數(shù)a,b,c使這五個數(shù)成AP，求此數(shù)列。

解一：∵?1,a,b,c,7成AP ∴b是-1與7 的等差中項(xiàng)

∴ b? ∴a??1?72?1?32?3 a又是-1與3的等差中項(xiàng) ?1

3?72?5 c又是1與7的等差中項(xiàng) ∴c? 解二：設(shè)a1??1 a5?7 ∴7??1?(5?1)d ?d?2

∴所求的數(shù)列為-1，1，3，5，7

五、判斷一個數(shù)列是否成等差數(shù)列的常用方法

1．定義法：即證明 an?an?1?d(常數(shù))

2例

5、已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?3n?2n，求證數(shù)列?an?成等差數(shù)列，并求其首項(xiàng)、公差、通項(xiàng)公式。

解：a1?S1?3?2?

1當(dāng)n?2時

an?Sn?Sn?1?3n2?2n?[3(n?1)2?2(n?1)]?6n?5

n?1時 亦滿足

∴ an?6n?5

首項(xiàng)a1?1

an?an?1?6n?5?[6(n?1)?5]?6(常數(shù))

∴?an?成AP且公差為6

2．中項(xiàng)法： 即利用中項(xiàng)公式，若2b?a?c 則a,b,c成AP。

例6

已知

1a1a?，成AP，求證

bc11b?ca，c?ab，a?bc也成AP。

證明： ∵

∴

2b，1a1b?，1c1c成AP

化簡得：2ac?b(a?c)

b?ca?a?bc?bc?c?a?abac22?b(a?c)?a?cac22?2ac?a?cac22

=

(a?c)ac2?(a?c)22b(a?c)?2?a?cb

∴b?ca，c?ab，a?bc也成AP

3．通項(xiàng)公式法：利用等差數(shù)列得通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)這一性質(zhì)。例7 設(shè)數(shù)列?an?其前n項(xiàng)和Sn?n?2n?3，問這個數(shù)列成AP嗎？

解： n?1時 a1?S1?

2n?2時 an?Sn?Sn?1?2n?

3∵a1不滿足an?2n?3

∴ an???2?2n?3

n?1n?2

∴ 數(shù)列?an?不成AP

但從第2項(xiàng)起成AP。

五、小結(jié)：等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、等差中項(xiàng)、等差數(shù)列的證明方法

六、作業(yè)： P118習(xí)題3．2 1-9

七、練習(xí)：

1．已知等差數(shù)列{an}，（1）an=2n+3,求a1和d

（2）a5=20,a20=-35,寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式及a100.2.在數(shù)列{an}中，an=3n-1，試用定義證明{an}是等差數(shù)列，并求出其公差。

注：不能只計算a2-a1、a4-a3、等幾項(xiàng)等于常數(shù)就下結(jié)論為等差數(shù)列。、a3-a2、3．在1和101中間插入三個數(shù)，使它們和這兩個數(shù)組成等差數(shù)列，求插入的三個數(shù)。

4．在兩個等差數(shù)列2，5，8，?與2，7，12，?中，求1到200內(nèi)相同項(xiàng)的個數(shù)。

分析：本題可采用兩種方法來解。

（1）用不定方程的求解方法來解。關(guān)鍵要從兩個不同的等差數(shù)列出發(fā)，根據(jù)

相同項(xiàng)，建立等式，結(jié)合整除性，尋找出相同項(xiàng)的通項(xiàng)。

（2）用等差數(shù)列的性質(zhì)來求解。關(guān)鍵要抓?。簝蓚€等差數(shù)列的相同項(xiàng)按原來的前后次序仍組成一個等差數(shù)列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數(shù)。5．在數(shù)列{an}中, a1=1,an=差數(shù)列，并求Sn。

分析：只要證明

1Sn?1Sn?12Sn22Sn?1,(n≥2),其中Sn=a1+a2+?+an.證明數(shù)列是等

(n≥2)為一個常數(shù)，只需將遞推公式中的an轉(zhuǎn)化

為Sn-Sn-1后再變形，便可達(dá)到目的。

6．已知數(shù)列{an}中，an-an-1=2(n≥2), 且a1=1，則這個數(shù)列的第10項(xiàng)為（）

A

B 19

C 20

D21

7．已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)為a-1,a+1,2a+3,則此數(shù)列的公式為（）

A

2n-5

B 2n+1

C 2n-3

D 2n-1

8.已知m、p為常數(shù)，設(shè)命題甲：a、b、c成等差數(shù)列；命題乙：ma+p、mb+p、mc+p 成等差數(shù)列，那么甲是乙的（）

A 充分而不必要條件

B 必要而不充分條件

C 充要條件

D既不必要也不充分條件

第四篇：人教版等差數(shù)列教案

等差數(shù)列

本節(jié)課講述的是人教版高一數(shù)學(xué)（上）§3.2等差數(shù)列（第一課時）的內(nèi)容。

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進(jìn)一步深入和拓廣。

2、教學(xué)目標(biāo)

理解并掌握等差數(shù)列的概念；了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及思想；

3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

①等差數(shù)列的概念。

②等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用。

由于學(xué)生第一次接觸不完全歸納法,對此并不熟悉因此用不完全歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列的同項(xiàng)公式是這節(jié)課的一個難點(diǎn)。

二、學(xué)情分析對于高一學(xué)生，知識經(jīng)驗(yàn)已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運(yùn)演階段，具備了教強(qiáng)的抽象思維能力和演繹推理能力，所以我在授課時注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。

二、教法分析

本節(jié)課我采用啟發(fā)式、討論式以及講練結(jié)合的教學(xué)方法，通過問題激發(fā)學(xué)生求知欲，使學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，以獨(dú)立思考和相互交流的形式，在教師的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。

三、教學(xué)程序

本節(jié)課的教學(xué)過程由

（一）復(fù)習(xí)引入

（二）新課探究

（三）應(yīng)用舉例

（四）歸納小結(jié)

（五）布置作業(yè)，五個教學(xué)環(huán)節(jié)構(gòu)成。

(一)復(fù)習(xí)引入：

上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義以及給出數(shù)列和表示數(shù)列的幾種方法——列舉法、通項(xiàng)公式、遞推公式、圖象法.這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點(diǎn).下面我們看這樣一些數(shù)列的例子：(課本P41頁的4個例子)

(1)0，5，10，15，20，25，…;

(2)48，53，58，63，…;

(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;

(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366

(二)新課探究

1、由引入自然的給出等差數(shù)列的概念：

如果一個數(shù)列,從第二項(xiàng)開始它的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差都等于同一常數(shù)，這個數(shù)列就叫等差數(shù)列, 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d來表示。

強(qiáng)調(diào)：

① ―從第二項(xiàng)起‖滿足條件；

②公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得；

③每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差必須是同一個常數(shù)（強(qiáng)調(diào)―同一個常數(shù)‖）；

在理解概念的基礎(chǔ)上，由學(xué)生將等差數(shù)列的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，歸納出數(shù)學(xué)表達(dá)式： an+1-an=d(n≥1)

同時為了配合概念的理解，我找了5組數(shù)列，由學(xué)生判斷是否為等差數(shù)列，是等差數(shù)列的找出公差。

1.9，8，7，6，5，4，……；√ d=-1

2.0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01

3.0，0，0，0，0，0，…….;√ d=0

4.1，2，3，2，3，4，……；×

5.1，0，1，0，1，……×

其中第一個數(shù)列公差<0, 第二個數(shù)列公差>0,第三個數(shù)列公差=0

由此強(qiáng)調(diào)：公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是0，當(dāng)d=0，an 為常數(shù)列。

2、第二個重點(diǎn)部分為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

若一等差數(shù)列{an }的首項(xiàng)是a1,公差是d,則據(jù)其定義可得：

a2-a1 =d 即： a2 =a1 +d

a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d

a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d

……

猜想: a40 = a1 +39d

進(jìn)而歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

an=a1+(n-1)d

此時指出：這種求通項(xiàng)公式的辦法叫不完全歸納法，這種導(dǎo)出公式的方法不夠嚴(yán)密，為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，在這里向?qū)W生介紹另外一種求數(shù)列通項(xiàng)公式的辦法------迭加法：a2 – a1 =d

a3 – a2 =d

a4 – a3 =d

……

an – an-1=d

將這（n-1）個等式左右兩邊分別相加,就可以得到an– a1=(n-1)d即 an= a1+(n-1)d（第一通項(xiàng)公式）

當(dāng)n=1時，（1）也成立，所以對一切n∈N＊，上面的公式都成立

因此它就是等差數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。

在這里通過該知識點(diǎn)引入迭加法這一數(shù)學(xué)思想，逐步達(dá)到―注重方法，凸現(xiàn)思想‖ 的教學(xué)要求

am 與an有什么關(guān)系呢？

am=a1+(m-1)d①

an=a1+(n-1)d②

a1=am-(m-1)d代入②得an=am-(m-1)d+(n-1)d 即：an=am+(n-m)d(第二通項(xiàng)公式)

（三）應(yīng)用舉例

【例1】（1）求等差數(shù)列8，5，2,…的第20項(xiàng);

（2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

分析（1）

這個等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別是什么?你能求出它的第20項(xiàng)嗎?

首項(xiàng)和公差分別是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因?yàn)閚=20，所以由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.

分析（2）

由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得數(shù)列通項(xiàng)公式為an=-5-4(n-1).

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項(xiàng).

【例2】 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=pn+q，其中p、q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？

例題分析：

由等差數(shù)列的定義，要判定{an}是不是等差數(shù)列，只要根據(jù)什么?

只要看差an-an-1(n≥2)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù).

說得對，請你來求解.

當(dāng)n≥2時，〔取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an-1與an(n≥2)〕

an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p為常數(shù),

所以我們說{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=p+q，公差為p.

這里要重點(diǎn)說明的是：

(1)若p=0，則{an}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，….

(2)若p≠0，則an是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示數(shù)列的各點(diǎn)(n，an)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上，一次項(xiàng)的系數(shù)是公差p，直線在y軸上的截距為q.

(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)an=pn+q(p、q是常數(shù))，稱其為第三通項(xiàng)公式.（五）歸納小結(jié)1.等差數(shù)列的概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式．

強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵字：從第二項(xiàng)開始它的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差都等于同一常數(shù)

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an= a1+(n-1)d會知三求一

(六)布置作業(yè)

必做題：課本P114習(xí)題3.2第2，6 題

五、板書設(shè)計

第五篇：等差數(shù)列復(fù)習(xí)教案

等差數(shù)列

高考考點(diǎn)：

1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式及應(yīng)用；

2.等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.知識梳理:

1.等差數(shù)列的定義：

2.等差中項(xiàng)

3.通項(xiàng)公式

4.前n項(xiàng)和公式

5.等差數(shù)列的性質(zhì)（基本的三條）

典型例題：

一.基本問題

例：在等差數(shù)列?an?中

（1）已知a15?33，a45?153，求a61

（2）已知S8?48，S12?168，求a1和d

（3）已知a16?3，求S31

變式：（1）（2008陜西）已知?an?是等差數(shù)列，a1?a2?4，a7?a8?28，則該數(shù)列的前10項(xiàng)的和等于（）

A.64B.100C.110D.120

(2)(2008廣東)記等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若a1?

A.16B.24C.36D.48 1，則S6?（）S4?20，2

二.性質(zhì)的應(yīng)用

例：（1）若一個等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后三項(xiàng)的和為146。，且所有項(xiàng)的和為390，則這個數(shù)列有_____項(xiàng)

（2）已知數(shù)列?an?的前m項(xiàng)和是30，前2m項(xiàng)的和是100，則它的前3m項(xiàng)的和是______

（3）設(shè)Sn和Tn分別為兩個等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對于任意的n?N，都有*Sn7n?1，則第一個數(shù)列的第11項(xiàng)與第二個數(shù)列的第11項(xiàng)的比為________ ?Tn4n?27

變式：（1）已知等差數(shù)列?an?中，a3，a15是方程x?6x?1?0的兩根，則2

_a7?a8?a9?a10?a11?_____

（2）已知兩個等差數(shù)列?an?和?bn?的前n項(xiàng)和分別為?An?和?Bn?，且An5n?63，則?Bnn?3使得

an為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是________ bn

三.等差數(shù)列的判定

例：已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn且滿足an?2Sn?1Sn(n?2)，a1?1

（1）求證：??1??是等差數(shù)列 S?n?

（2）求an的表達(dá)式

變式：數(shù)列?an?中，a1?

an1，an?1?，求其通項(xiàng)公式 2an?1

四.綜合應(yīng)用

例：數(shù)列?an?中，a1?8，a4?2，且滿足an?2?2an?1?an，n?N *

（1）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)n為何值時，其前n項(xiàng)和Sn最大？求出最大值;

(3)設(shè)Sn?a1?a2??an，求Sn

變式：（08四川）設(shè)等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，若S4?10，S5?15，則a4的最大值是_______

課后作業(yè)

1.（09年山東）在等差數(shù)列?an?中，a3?7，a5?a2?6，則a6?______

2.若x?y，數(shù)列x，a1，a2，y和x，b1，b2，y 各自成等差數(shù)列，則

A.a2?a1?（）b2?b12433B.C.D.3324

3.集合A??1,2,3,4,5,6?，從集合A中任選3個不同的元素組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列共有（）

A.4個B.6個C.10個D.12個

4.(09安徽)已知?an?為等差數(shù)列，a1?a3?a5?105，a2?a4?a6?99，以Sn表示?an?的前n項(xiàng)和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是（）

A.21B.20C.19D.18

5.（10浙江）設(shè)a1,d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6?15?0，則d的取值范圍是___________

6.已知數(shù)列?an?中，a1?3,anan?1?1?2an(n?2,n?N*)，數(shù)列?bn?滿足5

bn?1(n?N*)an?1

（1）.求證：數(shù)列?bn?是等差數(shù)列

（2）.求數(shù)列?an?中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)