2017年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分。

下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.（1）若函數(shù)在x=0連續(xù)，則

(A)

(B)

(C)

(D)

（2）設(shè)二階可到函數(shù)滿足且，則

(A)

(B)

(C)

(D)

（3）設(shè)數(shù)列收斂，則

(A)當(dāng)時(shí)，(B)當(dāng)

時(shí)，則

(C)當(dāng),(D)當(dāng)時(shí)，（4）微分方程的特解可設(shè)為

(A)

(B)

(C)

(D)

（5）設(shè)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且在任意的，都有則

(A)

(B)

(C)

(D)

（6）甲乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開始時(shí)，甲在乙前方10（單位:m）處,圖中，實(shí)線表示甲的速度曲線

（單位:m/s）虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10,20,3，計(jì)時(shí)開始后乙追上甲的時(shí)刻記為（單位:s）,則

(A)

(B)

(C)

(D)

（7）設(shè)為三階矩陣，為可逆矩陣，使得，則

(A)

(B)

(C)

(D)

（8）已知矩陣，，則

(A)

A與C相似，B與C相似

(B)

A與C相似，B與C不相似

(C)

A與C不相似，B與C相似

(D)

A與C不相似，B與C不相似

二、填空題：9~14題，每小題4分，共24分.（9）曲線的斜漸近線方程為

（10）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，則

（11）

=

（12）設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則=

（13）

（14）設(shè)矩陣的一個(gè)特征向量為，則

三、解答題：15~23小題，共94分。

解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）

求

（16）（本題滿分10分）

設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)性偏導(dǎo)數(shù)，,求,（17）（本題滿分10分）

求

（18）（本題滿分10分）

已知函數(shù)由方程確定，求的極值

（19）（本題滿分10分）

在上具有2階導(dǎo)數(shù)，證明

（1）方程在區(qū)間至少存在一個(gè)根

（2）方程

在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的實(shí)根

（20）（本題滿分11分）

已知平面區(qū)域，計(jì)算二重積分

（21）（本題滿分11分）

設(shè)是區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，且，點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)，法線與軸相交于點(diǎn)，若，求上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程。

（22）（本題滿分11分）

三階行列式有3個(gè)不同的特征值，且

（1）證明

（2）如果求方程組的通解

（23）（本題滿分11分）

設(shè)在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為

求的值及一個(gè)正交矩陣.2016年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇：1~8小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合要求的.（1）

設(shè)，.當(dāng)時(shí)，以上3個(gè)無窮小量按照從低階到高階拓排序是

（A）.（B）.（C）.（D）.（2）已知函數(shù)則的一個(gè)原函數(shù)是

（A）（B）

（C）（D）

（3）反常積分，的斂散性為

（A）收斂，收斂.（B）收斂，發(fā)散.（C）收斂，收斂.（D）收斂，發(fā)散.（4）設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，求導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則

（A）函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，曲線有2個(gè)拐點(diǎn).（B）函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，曲線有3個(gè)拐點(diǎn).（C）函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，曲線有1個(gè)拐點(diǎn).（D）函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，曲線有2個(gè)拐點(diǎn).（5）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，若兩條曲線

在點(diǎn)處具有公切線，且在該點(diǎn)處曲線的曲率大于曲線的曲率，則在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，有

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）已知函數(shù)，則

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）設(shè)，是可逆矩陣，且與相似，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

（A）與相似

（B）與相似

（C）與相似

（D）與相似

（8）設(shè)二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為1,2，則

（A）

（B）

（C）

（D）與

二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分。

（9）曲線的斜漸近線方程為____________.（10）極限____________.（11）以和為特解的一階非齊次線性微分方程為____________.（12）已知函數(shù)在上連續(xù)，且，則當(dāng)時(shí)，____________.（13）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，記坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為.若點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)間的變化率為常數(shù)，則當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，對(duì)時(shí)間的變化率是

（14）設(shè)矩陣與等價(jià)，則

解答題：15~23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）

（16）（本題滿分10分）

設(shè)函數(shù)，求并求的最小值.（17）（本題滿分10分）

已知函數(shù)由方程確定，求的極值.（18）（本題滿分10分）

設(shè)是由直線，圍成的有界區(qū)域，計(jì)算二重積分

（19）（本題滿分10分）

已知，是二階微分方程的解，若，求，并寫出該微分方程的通解。

（20）（本題滿分11分）

設(shè)是由曲線與圍成的平面區(qū)域，求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積。

（21）（本題滿分11分）

已知在上連續(xù)，在內(nèi)是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)。

（Ⅰ）求在區(qū)間上的平均值；

（Ⅱ）證明在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)。

（22）（本題滿分11分）

設(shè)矩陣，且方程組無解。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求方程組的通解。

（23）（本題滿分11分）

已知矩陣

（Ⅰ）求

（Ⅱ）設(shè)3階矩陣滿足。記，將分別表示為的線性組合。

2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題:1～8小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)下列反常積分中收斂的是（）

（A）

（B）

(C)

(D)

(2)函數(shù)在內(nèi)（）

（A）連續(xù)

（B）有可去間斷點(diǎn)

（C）有跳躍間斷點(diǎn)

(D)有無窮間斷點(diǎn)

(3)設(shè)函數(shù)，若在處連續(xù)，則（）

（A）

(B)

(C)

(D)

(4)

設(shè)函數(shù)在連續(xù)，其二階導(dǎo)函數(shù)的圖形如右圖所示，則曲線的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

（A）0

(B)1

(C)2

(D)3

(5).設(shè)函數(shù)滿足，則與依次是（）

（A）,0

(B)0，（C）-,0

(D)0,-

(6).設(shè)D是第一象限中曲線與直線圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在D上連續(xù)，則=（）

（A）（B）

（C）（D）

(7)．設(shè)矩陣A=，b=,若集合Ω=，則線性方程組有無窮多個(gè)解的充分必要條件為（）

（A）

(B)

(C)

(D)

(8)設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為其中，若，則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為（）

(A):

(B)

(C)

(D)

二、填空題：9～14小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.(9)

設(shè)

（10）函數(shù)在處的n

階導(dǎo)數(shù)

（11）設(shè)函數(shù)連續(xù)，若，則

（12）設(shè)函數(shù)是微分方程的解，且在處取值3，則=

（13）若函數(shù)由方程確定，則=

（14）設(shè)3階矩陣A的特征值為2，-2,1，其中E為3階單位矩陣，則行列式=

三、解答題：15～23小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15、（本題滿分10分）

設(shè)函數(shù)，若與在是等價(jià)無窮小，求的值。

16、（本題滿分10分）

設(shè)，D是由曲線段及直線所形成的平面區(qū)域，分別表示D繞X軸與繞Y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積，若，求A的值。

17、（本題滿分10分）

已知函數(shù)滿足，求的極值。

18、（本題滿分10分）

計(jì)算二重積分，其中。

19、（本題滿分10分）

已知函數(shù)，求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

20、（本題滿分11分）

已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時(shí)刻物體溫度對(duì)時(shí)間的關(guān)系的變化與該時(shí)刻物體和介質(zhì)的溫差成正比，現(xiàn)將一初始溫度為120的物體在20恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后該物體溫度降至30，若要使物體的溫度繼續(xù)降至21，還需冷卻多長(zhǎng)時(shí)間？

21、（本題滿分11分）

已知函數(shù)在區(qū)間上具有2階導(dǎo)數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與X軸的交點(diǎn)是，證明：。

22、（本題滿分11分）

設(shè)矩陣,且，（1）求a的值；（2）若矩陣X滿足其中為3階單位矩陣，求X。

23、（本題滿分11分）

設(shè)矩陣，相似于矩陣，（1）求a,b的值（2）求可逆矩陣P，使為對(duì)角矩陣。

2013年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題

1—8小題．每小題4分，共32分．

１．設(shè)，當(dāng)時(shí)，（）

（A）比高階的無窮小

（B）比低階的無窮小

（C）與同階但不等價(jià)無窮小

（D）與等價(jià)無窮小

2．已知是由方程確定，則（）

（A）2

（B）1

（C）-1

（D）-2

３．設(shè)，則（）

（Ａ）為的跳躍間斷點(diǎn)．

（Ｂ）為的可去間斷點(diǎn)．

（Ｃ）在連續(xù)但不可導(dǎo)．

（Ｄ）在可導(dǎo)．

４．設(shè)函數(shù)，且反常積分收斂，則（）

（A）

（B）

（C）

（D）

５．設(shè)函數(shù)，其中可微，則（）

（A）

（B）（C）

（D）

6．設(shè)是圓域的第象限的部分，記，則（）

（A）

（B）

（C）

（D）

7．設(shè)Ａ，Ｂ，Ｃ均為階矩陣，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，則

（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià)．

（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)．

（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)．

（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià)．

8．矩陣與矩陣相似的充分必要條件是

（A）

（B），為任意常數(shù)

（C）

（D），為任意常數(shù)

二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）

9．．

10．設(shè)函數(shù)，則的反函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)

．

11．設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為為參數(shù)，則L所圍成的平面圖形的面積為

．

12．曲線上對(duì)應(yīng)于處的法線方程為

．

13．已知是某個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程三個(gè)解，則滿足方程的解為

．

14．設(shè)是三階非零矩陣，為其行列式，為元素的代數(shù)余子式，且滿足，則=

．

三、解答題

15．（本題滿分10分）

當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，求常數(shù)．

16．（本題滿分10分）

設(shè)D是由曲線，直線及軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形，分別是D繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，若，求的值．

17．（本題滿分10分）

設(shè)平面區(qū)域D是由曲線所圍成，求．

18．（本題滿分10分）

設(shè)奇函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：

（1）存在，使得；

（2）存在，使得．

19．（本題滿分10分）

求曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離和最短距離．

20．（本題滿分11）

設(shè)函數(shù)

⑴求的最小值；

⑵設(shè)數(shù)列滿足，證明極限存在，并求此極限．

21．（本題滿分11）

設(shè)曲線L的方程為．

（1）求L的弧長(zhǎng)．

（2）設(shè)D是由曲線L，直線及軸所圍成的平面圖形，求D的形心的橫坐標(biāo)．

22．本題滿分11分）

設(shè)，問當(dāng)為何值時(shí)，存在矩陣C，使得，并求出所有矩陣C．

23（本題滿分11分）

設(shè)二次型．記．

（1）證明二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為；

（2）若正交且為單位向量，證明在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為

．

2012年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題:1-8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)曲線的漸近線條數(shù)

（）

(A)

0

(B)

(C)

(D)

(2)

設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù),則

（）

(A)

(B)

(C)

(D)

(3)

設(shè)，則數(shù)列有界是數(shù)列收斂的（）

(A)

充分必要條件

(B)

充分非必要條件

(C)

必要非充分條件

(D)

非充分也非必要

(4)

設(shè)則有

（）

(A)

(B)

(C)

(D)

(5)

設(shè)函數(shù)為可微函數(shù)，且對(duì)任意的都有則使不等式成立的一個(gè)充分條件是

（）

(A)

(B)

(C)

(D)

(6)

設(shè)區(qū)域由曲線圍成，則

（）

(A)

(B)

(C)

(D)

(7)

設(shè)，，其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的為

（）

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)

設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且.若，則

（）

(A)

(B)

(C)

(D)

二、填空題：9-14小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.(9)

設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則

.(10)

.(11)

設(shè)其中函數(shù)可微，則

.(12)

微分方程滿足條件的解為

.(13)

曲線上曲率為的點(diǎn)的坐標(biāo)是

.(14)

設(shè)為3階矩陣，為伴隨矩陣，若交換的第1行與第2行得矩陣，則

.三、解答題：15-23小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分

分)

已知函數(shù)，記，(I)求的值;

(II)若時(shí)，與是同階無窮小，求常數(shù)的值.(16)(本題滿分

分)

求函數(shù)的極值.(17)(本題滿分12分)

過點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,又與軸交于點(diǎn),區(qū)域由與直線圍成,求區(qū)域的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.(18)(本題滿分

分)

計(jì)算二重積分，其中區(qū)域?yàn)榍€與極軸圍成.(19)(本題滿分10分)

已知函數(shù)滿足方程及,(I)

求的表達(dá)式;

(II)

求曲線的拐點(diǎn).(20)(本題滿分10分)

證明,.(21)(本題滿分10

分)

(I)證明方程，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根；

(II)記(I)中的實(shí)根為，證明存在，并求此極限.(22)(本題滿分11

分)

設(shè)，(I)

計(jì)算行列式；

(II)

當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，方程組有無窮多解，并求其通解.(23)(本題滿分11

分)

已知，二次型的秩為2，(I)

求實(shí)數(shù)的值；

(II)

求正交變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形.2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

(A)

選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。

（1）已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)與是等價(jià)無窮小，則（）

（A）

（B）

（C）

（D）

（2）設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則（）

（A）

（B）

（C）

（D）

（3）函數(shù)的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

（A）0

（B）1

（C）2

（D）3

（4）微分方程的特解形式為（）

（A）

（B）

（C）

（D）

（5）設(shè)函數(shù)，均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值的一個(gè)充分條件是（）

（A），（B），（C），（D），（6）設(shè)，，則，的大小關(guān)系為（）

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）設(shè)為3階矩陣，將的第2列加到第1列得矩陣，再交換的第2行與第3行得單位矩陣。記，則=（）

（A）

（B）

（C）

（D）

（8）設(shè)是4階矩陣，為的伴隨矩陣。若是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系可為（）

（A）

（B）

（C）

（D）

二、填空題：9～14小題，每小題4分，共24分。

請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上。

（9）。

（10）微分方程滿足條件的解為。

（11）曲線的弧長(zhǎng)。

（12）設(shè)函數(shù)，則。

（13）設(shè)平面區(qū)域由直線，圓及軸所圍成，則二重積分。

（14）二次型，則的正慣性指數(shù)為。

三、解答題：15～23小題，共94分。

請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上，解答應(yīng)字說明、證明過程或演算步驟。

（15）（本題滿分10分）

已知函數(shù)，設(shè)，試求的取值范圍。

（16）（本題滿分11分）

設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程

確定，求的極值和曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。

（17）（本題滿分9分）

設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可導(dǎo)且在處取得極值，求。

（18）（本題滿分10分）

設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線與直線相切于原點(diǎn)，記為曲線在點(diǎn)處切線的傾角，若，求的表達(dá)式。

（19）（本題滿分10分）

（I）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立。

（II）設(shè)，證明數(shù)列收斂。

（20）（本題滿分11分）

一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線由與連接而成。

（I）求容器的容積；

（II）若將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功？

（長(zhǎng)度單位：，重力加速度為，水的密度為）

（21）（本題滿分11分）

已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，，其中，計(jì)算二重積分。

（22）（本題滿分11分）

設(shè)向量組，不能由向量組，線性表示。

（I）求的值；

（II）將用線性表示。

（23）（本題滿分11分）

設(shè)為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，的秩為2，且。

（I）求的所有的特征值與特征向量；

（II）求矩陣。

2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一選擇題

(A)

A0

B1

C2

D3

2.設(shè)是一階線性非齊次微分方程的兩個(gè)特解，若常數(shù)使是該方程的解，是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則

A

B

C

D

(1)

A4e

B3e

C2e

De

4.設(shè)為正整數(shù),則反常積分的收斂性

A僅與取值有關(guān)

B僅與取值有關(guān)

C與取值都有關(guān)

D與取值都無關(guān)

5.設(shè)函數(shù)由方程確定,其中為可微函數(shù),且則=

A

B

C

D

6.(4)=

A

B

C

D

7.設(shè)向量組，下列命題正確的是：

A若向量組I線性無關(guān)，則

B若向量組I線性相關(guān)，則r>s

C若向量組II線性無關(guān)，則

D若向量組II線性相關(guān)，則r>s

15.設(shè)為4階對(duì)稱矩陣,且若的秩為3,則相似于A

B

C

D

二填空題

9.3階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解y=__________

(1)

曲線的漸近線方程為_______________

(2)

函數(shù)

(3)

(4)

已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)l以2cm/s的速率增加，寬w以3cm/s的速率增加，則當(dāng)l=12cm,w=5cm時(shí)，它的對(duì)角線增加的速率為___________

(5)

設(shè)A，B為3階矩陣，且

三解答題

(6)

16.(1)比較與的大小,說明理由.(2)記求極限

九、設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程十、一個(gè)高為l的柱體形貯油罐，底面是長(zhǎng)軸為2a,短軸為2b的橢圓。

現(xiàn)將貯油罐平放，當(dāng)油罐中油面高度為時(shí)，計(jì)算油的質(zhì)量。

（長(zhǎng)度單位為m，質(zhì)量單位為kg，油的密度為）十一、十二、十三、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=,證明：存在十四、23.設(shè)，正交矩陣Q使得為對(duì)角矩陣，若Q的第一列為，求a、Q.2009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（1）函數(shù)的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則（）

1.2.3.無窮多個(gè).（2）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則（）

....（3）設(shè)函數(shù)的全微分為，則點(diǎn)（）

不是的連續(xù)點(diǎn).不是的極值點(diǎn).是的極大值點(diǎn).是的極小值點(diǎn).（4）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則（）

....（5）若不變號(hào)，且曲線在點(diǎn)上的曲率圓為，則在區(qū)間內(nèi)（）

有極值點(diǎn)，無零點(diǎn).無極值點(diǎn)，有零點(diǎn).有極值點(diǎn)，有零點(diǎn).無極值點(diǎn)，無零點(diǎn).（6）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的圖形為：

0

O

則函數(shù)的圖形為（）

.0

.0

.0

.0

（7）設(shè)、均為2階矩陣，分別為、的伴隨矩陣。若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為（）

....（8）設(shè)均為3階矩陣，為的轉(zhuǎn)置矩陣，且，若，則為（）

....二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.（9）曲線在處的切線方程為

（10）已知,則

（11）

（12）設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，則

（13）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為

(14)設(shè)為3維列向量，為的轉(zhuǎn)置，若矩陣相似于，則

三、解答題：15－23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分9分）求極限

（16）（本題滿分10

分）計(jì)算不定積分

（17）（本題滿分10分）設(shè)，其中具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求與

（18）（本題滿分10分）

設(shè)非負(fù)函數(shù)滿足微分方程，當(dāng)曲線過原點(diǎn)時(shí)，其與直線及圍成平面區(qū)域的面積為2，求繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。

（19）（本題滿分10分）求二重積分，其中

（20）（本題滿分12分）

設(shè)是區(qū)間內(nèi)過的光滑曲線，當(dāng)時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的法線都過原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足。求的表達(dá)式

（21）（本題滿分11分）

（Ⅰ）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，則存在，使得（Ⅱ）證明：若函數(shù)在處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則存在，且。

（22）（本題滿分11分）設(shè)，（Ⅰ）求滿足的所有向量

（Ⅱ）對(duì)（Ⅰ）中的任一向量，證明：線性無關(guān)。

（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型

（Ⅰ）求二次型的矩陣的所有特征值；

（Ⅱ）若二次型的規(guī)范形為，求的值。

2008年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（1）設(shè)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

0

1.2

（2）曲線方程為函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分（）

曲邊梯形ABOD面積.梯形ABOD面積.曲邊三角形面積.三角形面積.（3）在下列微分方程中，以（為任意常數(shù)）為通解的是（）

（5）設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是（）

若收斂，則收斂.若單調(diào)，則收斂.若收斂，則收斂.若單調(diào)，則收斂.（6）設(shè)函數(shù)連續(xù)，若，其中區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，則

（7）設(shè)為階非零矩陣，為階單位矩陣.若，則（）

不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆.可逆，不可逆.（8）設(shè)，則在實(shí)數(shù)域上與合同的矩陣為（）

....二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.（9）

已知函數(shù)連續(xù)，且，則.（10）微分方程的通解是.（11）曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（12）曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)為______.（13）設(shè)，則.（14）設(shè)3階矩陣的特征值為.若行列式，則.三、解答題：15－23題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)（本題滿分9分）求極限.(16)（本題滿分10分）

設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，其中是初值問題的解.求.(17)（本題滿分9分）求積分

.(18)（本題滿分11分）

求二重積分其中

(19)（本題滿分11分）

設(shè)是區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且.對(duì)任意的，直線，曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體.若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)的表達(dá)式.(20)（本題滿分11分）

(1)

證明積分中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得

(2)若函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足，證明至少存在一點(diǎn)

（21）（本題滿分11分）

求函數(shù)在約束條件和下的最大值與最小值.（22）（本題滿分12分）

設(shè)矩陣，現(xiàn)矩陣滿足方程，其中，（1）求證；

（2）為何值，方程組有唯一解，并求；

（3）為何值，方程組有無窮多解，并求通解.（23）（本題滿分10分）

設(shè)為3階矩陣，為的分別屬于特征值特征向量，向量滿足，（1）證明線性無關(guān)；

（2）令，求.2007年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1～10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（1）當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無窮小量是

（A）

（B）

（C）

（D）

[

]

（2）函數(shù)在上的第一類間斷點(diǎn)是

[

]

（A）0

（B）1

（C）

（D）

（3）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是：

（A）

(B)

（C）

（D）

[

]

（4）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是：

（A）若存在，則

（B）若存在，則

.（C）若存在，則

（D）若存在，則.[

]

（5）曲線的漸近線的條數(shù)為

（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.[

]

（6）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，令，則下列結(jié)論正確的是：

(A)

若，則必收斂.(B)

若，則必發(fā)散

(C)

若，則必收斂.(D)

若，則必發(fā)散.[

]

（7）二元函數(shù)在點(diǎn)處可微的一個(gè)充要條件是[

]

（A）.（B）.（C）.（D）.（8）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于

（A）

（B）

（C）

（D）

（9）設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是

線性相關(guān)，則

(A)

(B)

(C)

.(D)

.[

]

（10）設(shè)矩陣，則與

(A)

合同且相似

（B）合同，但不相似.(C)

不合同，但相似.(D)

既不合同也不相似

[

]

二、填空題：11～16小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.（11）

__________.（12）曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的法線斜率為_________.（13）設(shè)函數(shù)，則________.（14）

二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解為________.（15）

設(shè)是二元可微函數(shù)，則

__________.（16）設(shè)矩陣，則的秩為

.三、解答題：17～24小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17）

(本題滿分10分)設(shè)是區(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且滿足，其中是的反函數(shù)，求.（18）（本題滿分11分）

設(shè)是位于曲線下方、軸上方的無界區(qū)域.（Ⅰ）求區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積；（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，最小？并求此最小值.（19）（本題滿分10分）求微分方程滿足初始條件的特解.（20）（本題滿分11分）已知函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，函數(shù)由方程所確定，設(shè)，求.（21）

(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，證明：存在，使得.（22）

(本題滿分11分)

設(shè)二元函數(shù)，計(jì)算二重積分，其中.（23）

(本題滿分11分)

設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.（24）

(本題滿分11分)

設(shè)三階對(duì)稱矩陣的特征向量值，是的屬于的一個(gè)特征向量，記，其中為3階單位矩陣.（I）驗(yàn)證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；

（II）求矩陣.2006年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、填空題：1－6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.（1）曲線的水平漸近線方程為

（2）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則

.（3）廣義積分

.（4）微分方程的通解是

（5）設(shè)函數(shù)由方程確定，則

（6）設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則

.二、選擇題：7－14小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（7）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點(diǎn)處的增量，分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若，則[

]

(A)

.(B)

.(C)

.(D)

.（8）設(shè)是奇函數(shù)，除外處處連續(xù)，是其第一類間斷點(diǎn)，則是

（A）連續(xù)的奇函數(shù).（B）連續(xù)的偶函數(shù)

（C）在間斷的奇函數(shù)

（D）在間斷的偶函數(shù).[

]

（9）設(shè)函數(shù)可微，則等于

（A）.（B）

（C）

（D）

[

]

（10）函數(shù)滿足的一個(gè)微分方程是

（A）

（B）

（C）

（D）

[

]

（11）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則等于

（Ａ）.（B）.(C).(D)

.[

]

（12）設(shè)均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是

[

]

(A)

若，則.(B)

若，則.(C)

若，則.(D)

若，則.（13）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項(xiàng)正確的是

[

]

16.若線性相關(guān)，則線性相關(guān).17.若線性相關(guān)，則線性無關(guān).(C)

若線性無關(guān)，則線性相關(guān).(D)

若線性無關(guān)，則線性無關(guān).（14）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則

（Ａ）.（Ｂ）.（Ｃ）.（Ｄ）.［　?。?/p>

三、解答題：15－23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）

試確定的值，使得，其中是當(dāng)時(shí)比高階的無窮小.（16）（本題滿分10分）求

.（17）（本題滿分10分）設(shè)區(qū)域，計(jì)算二重積分

（18）（本題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足

（Ⅰ）證明存在，并求該極限；（Ⅱ）計(jì)算.（19）（本題滿分10分）

證明：當(dāng)時(shí)，.（20）（本題滿分12分）

設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式.（I）驗(yàn)證；

（II）若，求函數(shù)的表達(dá)式.（21）（本題滿分12分）

已知曲線L的方程（I）討論L的凹凸性；（II）過點(diǎn)引L的切線，求切點(diǎn)，并寫出切線的方程；（III）求此切線與L（對(duì)應(yīng)于的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積.（22）（本題滿分9分）

已知非齊次線性方程組

有3個(gè)線性無關(guān)的解.（Ⅰ）證明方程組系數(shù)矩陣的秩；（Ⅱ）求的值及方程組的通解.（23）（本題滿分9分）

設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個(gè)解.(Ⅰ)求的特征值與特征向量；

(Ⅱ)求正交矩陣和對(duì)角矩陣,使得.2005年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二試題

二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）

（1）設(shè)，則

=

.（2）曲線的斜漸近線方程為

.（3）

.（4）微分方程滿足的解為

.（5）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則k=

.（6）設(shè)均為3維列向量，記矩陣，如果，那么

.二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）

（7）設(shè)函數(shù)，則f(x)在內(nèi)

(A)

處處可導(dǎo).(B)

恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(C)

恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).(D)

至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn).[

]

（8）設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，表示“M的充分必要條件是N”，則必有

(D)

F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù).（B）

F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).(C)

F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù).(D)

F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù).[

]

（9）設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，則曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

(A)

.(B)

.(C)

.(D)

.[

]

（10）設(shè)區(qū)域，f(x)為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a,b為常數(shù)，則

(A)

.(B)

.(C)

.(D)

.[

]

（11）設(shè)函數(shù),其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有

(A)

.（B）

.(C)

.(D)

.[

]

（12）設(shè)函數(shù)則

三、x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn).（B）

x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點(diǎn).(C)

x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第二類間斷點(diǎn).(D)

x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第一類間斷點(diǎn).[

]

（13）設(shè)是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無關(guān)的充分必要條件是

(A)

.(B)

.(C)

.(D)

.[

]

（14）設(shè)A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,分別為A,B的伴隨矩陣，則

[

]

18.交換的第1列與第2列得.(B)

交換的第1行與第2行得.(C)

交換的第1列與第2列得.(D)

交換的第1行與第2行得.三、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

（15）（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且，求極限

（16）（本題滿分11分）

如圖，和分別是和的圖象，過點(diǎn)(0,1)的曲線是一單調(diào)增函數(shù)的圖象.過上任一點(diǎn)M(x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線和.記與所圍圖形的面積為；與所圍圖形的面積為如果總有，求曲線的方程

（17）（本題滿分11分）

如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線與分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的切線，其交點(diǎn)為(2,4).設(shè)函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分

（18）（本題滿分12分）

用變量代換化簡(jiǎn)微分方程，并求其滿足的特解.（19）（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1.證明：

（I）存在使得；（II）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得

（20）（本題滿分10分）

已知函數(shù)z=f(x,y)的全微分，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在橢圓域上的最大值和最小值.（21）（本題滿分9分）

計(jì)算二重積分，其中.（22）（本題滿分9分）

確定常數(shù)a,使向量組可由向量組線性表示，但向量組不能由向量組線性表示.（23）（本題滿分9分）

已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O,求線性方程組Ax=0的通解.2004年考碩數(shù)學(xué)（二）真題

一.填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上.）

（1）設(shè),則的間斷點(diǎn)為

.（2）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程

確定,則曲線向上凸的取值范圍為____..（3）_____..（4）設(shè)函數(shù)由方程確定,則______.（5）微分方程滿足的特解為_______.（6）設(shè)矩陣,矩陣滿足,其中為的伴隨矩陣,是單位矩陣,則______-.二.選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).）

（7）把時(shí)的無窮小量，排列起來,使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小,則正確的排列次序是

（A）

（B）

（C）

（D）

（8）設(shè),則

（A）是的極值點(diǎn),但不是曲線的拐點(diǎn).（B）不是的極值點(diǎn),但是曲線的拐點(diǎn).（C）是的極值點(diǎn),且是曲線的拐點(diǎn).（D）不是的極值點(diǎn),也不是曲線的拐點(diǎn).（9）等于

（A）.（B）.（C）.（D）

（10）設(shè)函數(shù)連續(xù),且,則存在,使得

（A）在內(nèi)單調(diào)增加.（B）在內(nèi)單調(diào)減小.（C）對(duì)任意的有.（D）對(duì)任意的有.（11）微分方程的特解形式可設(shè)為

（A）.（B）.（C）.（D）

（12）設(shè)函數(shù)連續(xù),區(qū)域,則等于

（A）.（B）.（C）.（D）

（13）設(shè)是3階方陣,將的第1列與第2列交換得,再把的第2列加到第3列得,則滿足的可逆矩陣為

（A）.（B）.（C）.（D）.（14）設(shè),為滿足的任意兩個(gè)非零矩陣,則必有

（A）的列向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān).（B）的列向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān).（C）的行向量組線性相關(guān),的行向量組線性相關(guān).（D）的行向量組線性相關(guān),的列向量組線性相關(guān).三.解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

（15）（本題滿分10分）

求極限.（16）（本題滿分10分）

設(shè)函數(shù)在（）上有定義,在區(qū)間上，若對(duì)任意的都滿足,其中為常數(shù).(Ⅰ)寫出在上的表達(dá)式;

(Ⅱ)問為何值時(shí),在處可導(dǎo).（17）（本題滿分11分）

設(shè),(Ⅰ)證明是以為周期的周期函數(shù);(Ⅱ)求的值域.（18）（本題滿分12分）

曲線與直線及圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體,其體積為,側(cè)面積為,在處的底面積為.(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)計(jì)算極限.（19）（本題滿分12分）設(shè),證明.（20）（本題滿分11分）

某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí),為了減小滑行距離,在觸地的瞬間,飛機(jī)尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機(jī)迅速減速并停下來.現(xiàn)有一質(zhì)量為的飛機(jī),著陸時(shí)的水平速度為.經(jīng)測(cè)試,減速傘打開后,飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為).問從著陸點(diǎn)算起,飛機(jī)滑行的最長(zhǎng)距離是多少?

注

表示千克,表示千米/小時(shí).（21）（本題滿分10分）設(shè),其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù),求.（22）（本題滿分9分）

設(shè)有齊次線性方程組

試問取何值時(shí),該方程組有非零解,并求出其通解.（23）（本題滿分9分）

設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根,求的值,并討論是否可相似對(duì)角化.2003年考研數(shù)學(xué)（二）真題

三、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）

（1）

若時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則a=

.（2）

設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程所確定，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是

.（3）的麥克勞林公式中項(xiàng)的系數(shù)是__________.（4）

設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為，則該曲線上相應(yīng)于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為__________.（5）

設(shè)為3維列向量，是的轉(zhuǎn)置.若，則

=

.（6）

設(shè)三階方陣A,B滿足，其中E為三階單位矩陣，若，則________.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）

（1）設(shè)均為非負(fù)數(shù)列，且，,則必有

(A)

對(duì)任意n成立.(B)

對(duì)任意n成立.(C)

極限不存在.(D)

極限不存在.[

]

（2）設(shè),則極限等于

(A)

.(B)

.(C)

.(D)

.[

]

（3）已知是微分方程的解，則的表達(dá)式為

（A）

(B)

(C)

(D)

[

]

（4）設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有一、一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).二、兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).三、兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(D)

三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).[

]

y

O

x

（5）設(shè)，則

(A)

(B)

(C)

(D)

[

]

（6）設(shè)向量組I：可由向量組II：線性表示，則

(A)

當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān).(B)

當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān).(C)

當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān).(D)

當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān).[

]

三、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)

問a為何值時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)；a為何值時(shí)，x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn)？

四、（本題滿分9分）

設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程所確定，求

五、（本題滿分9分）計(jì)算不定積分

六、（本題滿分12分）

設(shè)函數(shù)y=y(x)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且是y=y(x)的反函數(shù).(1)

試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；

(2)

求變換后的微分方程滿足初始條件的解.七、（本題滿分12分）

討論曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).八、（本題滿分12分）

設(shè)位于第一象限的曲線y=f(x)過點(diǎn)，其上任一點(diǎn)P(x,y)處的法線與y軸的交點(diǎn)為Q，且線段PQ被x軸平分.(B)

求曲線

y=f(x)的方程；

(C)

已知曲線y=sinx在上的弧長(zhǎng)為，試用表示曲線y=f(x)的弧長(zhǎng)s.九、（本題滿分10分）

有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面（如圖），容器的底面圓的半徑為2

m.根據(jù)設(shè)計(jì)要求，當(dāng)以的速率向容器內(nèi)注入液體時(shí)，液面的面積將以的速率均勻擴(kuò)大（假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無液體）.(2)

根據(jù)t時(shí)刻液面的面積，寫出t與之間的關(guān)系式；

(3)

求曲線的方程.(注：m表示長(zhǎng)度單位米，min表示時(shí)間單位分.)

十、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且

若極限存在，證明：

(1)

在(a,b)內(nèi)f(x)>0;

(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)，使；

(3)

在(a,b)

內(nèi)存在與(2)中相異的點(diǎn)，使

十一、（本題滿分10分）

若矩陣相似于對(duì)角陣，試確定常數(shù)a的值；并求可逆矩陣P使

十二、（本題滿分8分）

已知平面上三條不同直線的方程分別為，.試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為

2002年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(二)試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分)

1．設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則（）．

2．位于曲線（）下方，軸上方的無界圖形的面積為（）．

3．滿足初始條件的特解是（）．

4．=（）．

5．矩陣的非零特征值是（）．

二、單項(xiàng)選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分．)

１．函數(shù)可導(dǎo)，當(dāng)自變量在處取得增量時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量的線性主部為０．１，則＝

（Ａ）－１；（Ｂ）０．１；

（Ｃ）１；（Ｄ）０．５．

２．函數(shù)連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是

(A)；

(B)；

(C)；

(D)

．

３．設(shè)是二階常系數(shù)微分方程滿足初始條件的特解，則極限

(A)不存在；（Ｂ）等于１；

(C)等于２；

(D)

等于３．

４．設(shè)函數(shù)在上有界且可導(dǎo)，則

(A)當(dāng)時(shí)，必有；

（Ｂ）當(dāng)存在時(shí)，必有；

(C)

當(dāng)時(shí)，必有；

(D)

當(dāng)存在時(shí)，必有．

5．設(shè)向量組線性無關(guān)，向量可由線性表示，而向量不能由線性表示，則對(duì)于任意常數(shù)必有

（Ａ）線性無關(guān)；(B)

線性相關(guān)；

（Ｃ）線性無關(guān)；

(D)

線性相關(guān)．

四、（本題滿分6分）已知曲線的極坐標(biāo)方程為，求該曲線對(duì)應(yīng)于處的切線與法線的直角坐標(biāo)方程．

五、（本題滿分７分）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的表達(dá)式．

五、（本題滿分７分）已知函數(shù)在上可導(dǎo)，，且滿足，求．

六、（本題滿分７分）求微分方程的一個(gè)解，使得由曲線與直線以及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積最?。?/p>

七、（本題滿分7分）某閘門的形狀與大小如圖所示，其中直線為對(duì)稱軸，閘門的上部為矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲線與線段ＡＢ所圍成．當(dāng)水面與閘門的上斷相平時(shí)，欲使閘門矩形部分與承受的水壓與閘門下部承受的水壓之比為５：４，閘門矩形部分的高應(yīng)為多少？

八、（本題滿分８分）

設(shè)，（＝１，２，３，…）．

證明：數(shù)列｛｝的極限存在，并求此極限．

十五、（本題滿分８分）設(shè)，證明不等式．

十、（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)在＝０的某鄰域具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

．證明：存在惟一的一組實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，．

十一、（本題滿分６分）已知Ａ，Ｂ為三階方陣，且滿足．

⑴證明：矩陣可逆；

⑵若，求矩陣Ａ．

十二、（本題滿分６分）已知四階方陣，均為四維列向量，其中線性無關(guān)，．若，求線性方程組的通解．

2001年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(二)試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分)

1、=（）．

2、曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為

：（）．

3、=（）．

4、微分方程滿足=0的特解為：（）．

5、方程組有無窮多解，則=（）．

二、單項(xiàng)選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分．)

1、則=

（A）

0；（B）1；（C）；

（D）．

2、時(shí)，是比高階的無窮小，而是比

高階的無窮小，則正整數(shù)等于

（A）1；（B）2；（C）3；（D）4．

3、曲線的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

（A）０；（B）１；（C）２；（D）３．

4、函數(shù)在區(qū)間（1-δ，1+δ）內(nèi)二階可導(dǎo)，嚴(yán)格單調(diào)減小，且

==1，則

（A）在（1-δ，1）和（1，1+δ）內(nèi)均有；

（B）在（1-δ，1）和（1，1+δ）內(nèi)均有；

（C）在（1-δ，1）內(nèi)有，在（1，1+δ）內(nèi)有；

（D）在（1-δ，1）內(nèi)有，在（1，1+δ）內(nèi)有．

5、設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖形如右圖所示：

則的圖形為

（）

三、（本題滿分6分）求．

四、（本題滿分7分）求函數(shù)=的表達(dá)式，并指出函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型．

五、（本題滿分7分）設(shè)是拋物線上任意一點(diǎn)M（）（）處的曲率半徑，是該拋物線上介于點(diǎn)A（1，1）與M之間的弧長(zhǎng)，計(jì)算的值（曲率K＝）．

六、（本題滿分7分）在[0，+）可導(dǎo)，=0，且其反函數(shù)為．

若，求．

七、（本題滿分7分）設(shè)函數(shù)，滿足=，=2－

且=0，=2，求

八、（本題滿分9分）設(shè)L為一平面曲線，其上任意點(diǎn)P（）（）到原點(diǎn)的距離，恒等于該點(diǎn)處的切線在軸上的截距，且L過點(diǎn)（0.5，0）．

1、求L的方程

2、求L的位于第一象限部分的一條切線，使該切線與L以及兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積最?。?/p>

九、（本題滿分7分）一個(gè)半球型的雪堆，其體積的融化的速率與半球面積S成正比

比例系數(shù)K>0．假設(shè)在融化過程中雪堆始終保持半球形狀，已知半徑為

r0的雪堆

在開始融化的3小時(shí)內(nèi)，融化了其體積的7/8，問雪堆全部融化需要多少時(shí)間？

十、（本題滿分8分）在[-a，a]上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且=01、寫出的帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式；

2、證明在[-a，a]上至少存在一點(diǎn)，使

十一、（本題滿分6分）已知且滿足

AXA+BXB=AXB+BXA+E，求X．

十二、（本題滿分6分）設(shè)為線性方程組AX=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系，其中為實(shí)常數(shù)

試問滿足什么條件時(shí)也為AX=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系．

2000

年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

一、填空題

1．2．

3.4.5.二、選擇題

6.7.8.9.10.三、解答題

11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.