專(zhuān)題4

初識(shí)非負(fù)數(shù)

閱讀與思考

絕對(duì)值是初中代數(shù)中的一個(gè)重要概念，引入絕對(duì)值概念之后，對(duì)有理數(shù)、相反數(shù)以及后續(xù)要學(xué)習(xí)的算術(shù)根可以有進(jìn)一步的理解；絕對(duì)值又是初中代數(shù)中的一個(gè)基本概念，在求代數(shù)式的值、代數(shù)式的化簡(jiǎn)、解方程與解不等式時(shí)，常常遇到含有絕對(duì)值符號(hào)的問(wèn)題，理解、掌握絕對(duì)值概念應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：

1.去絕對(duì)值符號(hào)法則

2.絕對(duì)值的幾何意義

從數(shù)軸上看，即表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即代表的是一個(gè)長(zhǎng)度，故表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，表示數(shù)軸上數(shù)、數(shù)的兩點(diǎn)間的距離.3.絕對(duì)值常用的性質(zhì)

①

②

③

④

⑤

⑥

例題與求解

【例1】已知，且，那么

.（祖沖之杯邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：由已知求出、的值，但要注意條件的制約，這是解本題的關(guān)鍵.【例2】已知、、均為整數(shù)，且滿足，則（）

A.1

B.2

C.3

D.4

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

解題思路：≥0，≥0，又根據(jù)題中條件可推出，中一個(gè)為0，一個(gè)為1.【例3】已知＋＋＋…＋＋＝0，求代數(shù)式…－的值.解題思路：運(yùn)用絕對(duì)值、非負(fù)數(shù)的概念與性質(zhì)，先求出…，的值，注意的化簡(jiǎn)規(guī)律.【例4】設(shè)、、是非零有理數(shù)，求的值.解題思路：根據(jù)、、的符號(hào)的所有可能情況討論，化去絕對(duì)值符號(hào)，這是解本例的關(guān)鍵.（希望杯邀請(qǐng)賽試題）

【例5】設(shè)是六個(gè)不同的正整數(shù)，取值于1，2，3，4，5，6.記，求S的最小值.（四川省競(jìng)賽試題）

解題思路：利用絕對(duì)值的幾何意義建立數(shù)軸模型.【例6】已知，且，求的值.（北京市迎春杯競(jìng)賽試題）

解題思路：由知，即，代入原式中，得，再對(duì)的取值，分情況進(jìn)行討論.A級(jí)

1.若為有理數(shù)，那么，下列判斷中：

（1）若，則一定有；

（2）若，則一定有；

（3）若，則一定有；

（4）若，則一定有；正確的是

.（填序號(hào)）

2.若有理數(shù)滿足，則

.3.若有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)的位置如下圖所示，則化簡(jiǎn)后的結(jié)果是

.4.已知正整數(shù)滿足，且，則的值是

.（四川省競(jìng)賽試題）

5.已知且，那么

.6.如圖，有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：

則在中，負(fù)數(shù)共有（）

A．3個(gè)

B．1個(gè)

C．4個(gè)

D．2個(gè)

（湖北省荊州市競(jìng)賽試題）

7.若，且，那么的值是（）

A．3或13

B．13或－13

C．3或－3

D．－3或－13

8.若是有理數(shù)，則一定是（）

A．零

B．非負(fù)數(shù)

C．正數(shù)

D．負(fù)數(shù)

9.如果，那么的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

10.是有理數(shù)，如果，那么對(duì)于結(jié)論（1）一定不是負(fù)數(shù)；（2）可能是負(fù)數(shù)，其中（）

A．只有（1）正確

B．只有（2）正確

C．（1）（2）都正確

D．（1）（2）都不正確

（江蘇省競(jìng)賽試題）

11.已知是非零有理數(shù)，且，求的值.12.已知是有理數(shù)，且，求的值.（希望杯邀請(qǐng)賽試題）

B級(jí)

1.若，則代數(shù)式的值為

.2.已知，那么的值為

.3.數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且，則

.（重慶市競(jìng)賽試題）

4.若，則的值等于

（五城市聯(lián)賽試題）

5.已知，則

.（希望杯邀請(qǐng)賽試題）

6.如果，那么代數(shù)式在≤≤15的最小值（）

A.30

B.0

C.15

D.一個(gè)與有關(guān)的代數(shù)式

7.設(shè)k是自然數(shù)，且，則等于（）

A.3

B.2

C.D.（創(chuàng)新杯邀請(qǐng)賽試題）

8.已知，那么的最大值等于（）

A．1

B．5

C．8

D．9

（希望杯邀請(qǐng)賽試題）

9.已知都不等于零，且，根據(jù)的不同取值，有（）

A．唯一確定的值

B．3種不同的值

C．4種不同的值

D．8種不同的值

10.滿足成立的條件是（）

A．

B．

C．

D．

（湖北省黃岡市競(jìng)賽試題）

11.有理數(shù)均不為0，且，設(shè)，試求代數(shù)式的值.（希望杯邀請(qǐng)賽訓(xùn)練題）