中國人口增長預(yù)測

摘要：

本文通過對題目中所給數(shù)據(jù)和參考資料以及網(wǎng)站上獲得的數(shù)據(jù)進行分析,利用多種模型對數(shù)據(jù)規(guī)律進行歸納提煉.首先我們建立了,Malthus微分方程,通過求借建立了我國人口增長的指數(shù)模型,通過常識和分析我們知道,由于受到資源和多種外在和內(nèi)在因素的影響,人口的這種增長模式是不可能實現(xiàn)的,它只是在理想情況下的一種模式.為了彌補這個模型的缺點,我們又分別建立了[1]L

eslie人口模型,微分差分混和模型,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,灰色模型,等多種模型方式.建立Leslie模型來預(yù)測未來中國大陸人口增長模型。根據(jù)死亡率，生育率是否變化，我們建立了兩個模型，第一個是死亡率變化的模型，在這個模型中，由于兩個因素的變化，使得在預(yù)測時只能簡單的預(yù)測下一年的數(shù)據(jù)，雖然精度很大，但是預(yù)測的時間太短。于是，在分析了死亡率和生育率在所給五年的各年齡段的情況，我們提出了忽略兩個因素變化所帶來的影響，以使模型更大眾化。最后通過檢驗，發(fā)現(xiàn)，在做中短期預(yù)測時，結(jié)果很令人滿意，誤差很小。但對于長期的預(yù)測準確度有所下降。通過對第一個模型—Leslie人口模型的求解，我們分析得到了短期，中期，長期，較長期（在這我們定義1—3年為短期，5—10年為中期，10年以上是長期）的預(yù)測人口數(shù)量在各個年齡段的分布。再對預(yù)測數(shù)據(jù)進行分析，并結(jié)合中國的實際國情，很容易知道Leslie人口模型增長只能用來預(yù)測中短期的人口發(fā)展規(guī)律（對與中國的實際國情而言）。于是為了預(yù)測探究長期的人口發(fā)展模型，我們必須找到更好的模型，結(jié)合別人的資料，然后我們又建立了一個有關(guān)人口數(shù)量的微分方程，這個微分方程包括了

各方面影響人口增長和變化的因素，如，育齡女性的百分比，潛在育齡女性的百分比，人口老齡百分比等等。這些因素的介入使得分析人口變化規(guī)律更接近實際的情況。隨后又建立了另外的模型,多種模型相互結(jié)合,是本文的一大特色.一、問題重述

中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)建模的方法，對中國人口做出分析和預(yù)測是一個重要問題。

近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。2007年初發(fā)布的《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》(附錄1)

還做出了進一步的分析。

關(guān)于中國人口問題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附錄2就是從《中國人口統(tǒng)計年鑒》上收集到的部分數(shù)據(jù)。

試從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，參考附錄2中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻和補充新的數(shù)據(jù)），建立中國人口增長的數(shù)學(xué)模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測；特別要指出你們模型中的優(yōu)點與不足之處。

中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)建模的方法，對中國人口做出分析和預(yù)測是一個重要問題。

近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。2007年初發(fā)布的《國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》(附錄1)

還做出了進一步的分析。

關(guān)于中國人口問題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附錄2就是從《中國人口統(tǒng)計年鑒》上收集到的部分數(shù)據(jù)。

試從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，參考附錄2中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也可以搜索相關(guān)文獻和補充新的數(shù)據(jù)），建立中國人口增長的數(shù)學(xué)模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測；特別要指出你們模型中的優(yōu)點與不足之處。

三

模型假設(shè)

中國大陸人口看作一封閉系統(tǒng),沒有遷入與遷出

同一年齡組內(nèi)是無區(qū)別的3

在時刻人口分布情況是已知的4

無重大自然災(zāi)害和重大疾病的發(fā)生

四、符號說明

第年年齡為的總?cè)藬?shù)；

第年年齡為的婦女的生育率，即為第年年齡為的婦女所生的小孩數(shù)與年齡為的婦女的總數(shù)之比；

第年年齡為的死亡率；

第年年齡為的女性占同齡總?cè)藬?shù)的比例；

五、建模過程

模型建立初期不考慮其他因素干擾，建立簡單模型，在分析和建立模型的過程中進一步優(yōu)化，建立過程如下：

考慮到我國目移民現(xiàn)象很少見，所以認為中國人口是一個封閉系統(tǒng)。在這種假設(shè)下，下一年人口的數(shù)量取決于本年個年齡人口的生育率、死亡率、人口總數(shù)和男女比例。

將女性按相同的年齡劃分為n+1組，各組中女性的年齡在[i,i+1]之內(nèi)，i=0,1,2,…,n,設(shè)表示第年年齡為的總?cè)藬?shù)

用矩陣形式可表示為：，其中

第年年齡為的總?cè)藬?shù)；

第年年齡為的婦女的生育率，即為第年年齡為的婦女所生的小孩數(shù)與年齡為的婦女的總數(shù)之比；

第年年齡為的婦女的死亡率；

第年年齡為的女性占同齡總?cè)藬?shù)的比例；

在第年此模型死亡率、生育率、總?cè)丝跀?shù)及男女比例已知時，我們就能夠預(yù)測出第個年齡的人口數(shù)，當然經(jīng)過簡單處理之后，還可得各年齡段的人口總數(shù)。

對于2001-2005年的數(shù)據(jù)，我們以抽樣調(diào)查到的城市女性總數(shù)，城鎮(zhèn)女性總數(shù)，鄉(xiāng)村女性總數(shù)的比例作為全國城市女性，城鎮(zhèn)女性和鄉(xiāng)村女性的比例。即有：

可知

則全國女性每個年齡段的死亡率，全國女性各個年齡段的生育率

根據(jù)具體情況，比如采集到的數(shù)據(jù)是按年齡段統(tǒng)計得死亡率、生育率、總?cè)丝跀?shù)及男女比例，我們就不能再按年齡來預(yù)測了，此時可以按年齡段來預(yù)測。這是一個可按分組的數(shù)據(jù)來預(yù)測下一個時刻情況的模型。針對本次競賽所給數(shù)據(jù)是按年齡統(tǒng)計到90歲（90歲和90歲以上的人歸為同一組），故我們可將上述矩陣寫為92行91列的矩陣，如下，此時，即

在第年此模型死亡率、生育率、總?cè)丝跀?shù)及男女比例已知時，我們就能夠預(yù)測出第個年齡的人口數(shù)，當然經(jīng)過簡單處理之后，還可得各年齡段的人口總數(shù)。

通過作個年齡段的死亡率的散點圖發(fā)現(xiàn)，各年齡段死亡率基本穩(wěn)定在一個常數(shù)值附近（圖2），并且在近些年不會發(fā)生重大的醫(yī)學(xué)進步，所以我們可以假設(shè)死亡率為一個常數(shù)，并且在計算過程中用2001-2005的平均死亡率代替它。通過2001-2005生育率的散點圖（圖1）可以發(fā)現(xiàn)2003年的生育率情況偏離其他年份的情況，而其他幾年的情況圖像形狀相似，因此剔除03年的數(shù)據(jù)，用剩余四年的平均出生率作為生育率的估計值，即也假設(shè)出生率為一常數(shù)。通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)出生性別基本穩(wěn)定在1.06附近，所以也假定生育率為常數(shù)。在這些假設(shè)下即可對我國人口數(shù)量進行預(yù)測。

（圖1）2001-2005年各年齡段生育率比較

（圖2）

2001-2005個年齡段死亡率比較

此時，這里

即

通過矩陣乘法可得

由上述公式，可以預(yù)測第年的人口數(shù)量。

優(yōu)點：此模型的優(yōu)點是在滿足假設(shè)的前提下能夠非常準確的預(yù)測出下一年的人口數(shù)。

缺點：過分依賴于前一年的死亡率、生育率、總?cè)丝跀?shù)及男女比例，只有這些參數(shù)已知時，才能預(yù)測此下一年，并只能預(yù)測一年。