專題12

已知函數(shù)增或減，導(dǎo)數(shù)符號不改變

【題型綜述】

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

（1）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求函數(shù)的定義域→求導(dǎo)→解不等式＞0得解集→求，得函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．

一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，＞0在這個區(qū)間是增函數(shù)

一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，＜0在這個區(qū)間是減函數(shù)

（2）單調(diào)性的應(yīng)用（已知函數(shù)單調(diào)性）

一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，在這個區(qū)間是增(減)函數(shù)≥。

常用思想方法：

函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，說明導(dǎo)數(shù)大于或等于零恒成立．，而函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞減，說明導(dǎo)數(shù)小于或等于零恒成立．

[來源:Zxxk.Com]

【典例指引】

例1．已知函數(shù)，．

⑴

若曲線在點處的切線經(jīng)過點，求實數(shù)的值；

⑵

若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍．

例2．已知函數(shù)．（x＞0）

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

例3．已知函數(shù)．[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

（1）若曲線在點處的切線的傾斜角為，求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的范圍

【同步訓(xùn)練】

1．已知函數(shù)．

（1）若的圖像在處的切線與軸平行，求的極值；

（2）若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．

2．已知函數(shù)．

（1）若在上遞增，求的取值范圍；

（2）證明：．

3．已知函數(shù)．

（1）若曲線與曲線在它們的公共點處具有公共切線，求的表達(dá)式；

（2）若在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

4．設(shè)函數(shù)．

（1）若時，取得極值，求的值；

（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍．

5．己知函數(shù)，．

（I）求函數(shù)上零點的個數(shù)；

（II）設(shè)，若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

6．已知函數(shù)的切線方程為y=3x+1．

(1)

若函數(shù)處有極值，求的表達(dá)式；

(2)

若函數(shù)在區(qū)間[－2，1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的取值范圍．

7．已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為1，求實數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

[來源:Zxxk.Com]

8．（本題15分）已知函數(shù)．

（I）若在處的切線方程為，求的值；

（II）若在上為增函數(shù)，求得取值范圍．

[來源:Zxxk.Com]

9．已知函數(shù)

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍．

10．已知函數(shù)．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．

11．已知函數(shù)

．

（Ⅰ）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；

（Ⅱ）討論的單調(diào)性．

[來源:Zxxk.Com]

12．已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；

（2）若在上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．