專題13

交點零點有沒有，極最符號異與否

【題型綜述】

導數研究函數圖象交點及零點問題

利用導數來探討函數的圖象與函數的圖象的交點問題，有以下幾個步驟：

①構造函數；

②求導；

③研究函數的單調性和極值（必要時要研究函數圖象端點的極限情況）；

④畫出函數的草圖，觀察與軸的交點情況，列不等式；

⑤解不等式得解.探討函數的零點個數，往往從函數的單調性和極值入手解決問題，結合零點存在性定理求解.【典例指引】

例1．已知函數，．

（I）若曲線在點（1，）處的切線與直線垂直，求a的值；

（II）當時，試問曲線與直線是否有公共點？如果有，求出所有公共點；若沒有，請說明理由．

例2．已知函數f(x)=lnx，h(x)=ax(a為實數)

（1）函數f(x)的圖象與h(x)的圖象沒有公共點，求實數a的取值范圍；

（2）是否存在實數m，使得對任意的都有函數的圖象在函數圖象的下方？若存在，請求出整數m的最大值；若不存在，說明理由（）

例3．已知二次函數f(x)的最小值為－4，且關于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}．

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)求函數的零點個數．

例4．已知函數，．

（Ⅰ）求證：當時，；

（Ⅱ）若函數在（1，+∞）上有唯一零點，求實數的取值范圍．

【同步訓練】

1．已知函數．

（Ⅰ）若在處取極值，求在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，若有唯一的零點，求證：

2．已知函數

．

（1）當時，若函數恰有一個零點，求實數的取值范圍；

（2）當，時，對任意，有成立，求實數的取值范圍．

3．已知函數

(I)若函數處取得極值，求實數的值；并求此時上的最大值；

(Ⅱ)若函數不存在零點，求實數a的取值范圍；

4．已知函數，其中是自然數的底數，．

（Ⅰ）求實數的單調區(qū)間．

（Ⅱ）當時，試確定函數的零點個數，并說明理由．

5．已知函數，．[來源:學&科&網]

（Ⅰ）求曲線在處的切線方程．

（Ⅱ）求的單調區(qū)間．

（Ⅲ）設，其中，證明：函數僅有一個零點．

6．設函數

（Ⅰ）當（為自然對數的底數）時，求的極小值；

（Ⅱ）若函數存在唯一零點，求的取值范圍．

7．已知函數．

（1）若，求函數的極值；[來源:學|科|網Z|X|X|K]

（2）若函數有兩個零點，求實數的取值范圍．

8．已知，．

（1）求函數的增區(qū)間；

（2）若函數有兩個零點，求實數的取值范圍，并說明理由；

（3）設正實數，滿足當時，求證：對任意的兩個正實數，總有．

(參考求導公式：)

9．已知函數，．

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）令，討論函數的零點的個數；

（3）若，正實數滿足，證明

10．已知函數（）．

（1）判斷函數在區(qū)間上零點的個數；

（2）當時，若在（）上存在一點，使得成立，求實數的取值范圍．

[來源:Zxxk.Com]

11．已知函數．

（1）求在處的切線方程；

（2）試判斷在區(qū)間上有沒有零點？若有則判斷零點的個數．

12．已知函數，其中為自然對數的底數．

（1）當時，求函數的極值；

（2）當時，討論函數的定義域內的零點個數．

13．已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個零點，求a的取值范圍．

14．已知函數．

（1）若，求函數的極值；

（2）當

時，判斷函數在區(qū)間上零點的個數．

15．已知函數．

（1）求函數的極值；[來源:學_科_網]

（2）若，試討論關于的方程的解的個數，并說明理由．[來源:學,科,網]