13．4

課題學(xué)習(xí)

最短路徑問(wèn)題

能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．

利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題．

探索發(fā)現(xiàn)“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及說(shuō)理．

一師一優(yōu)課　一課一名師(設(shè)計(jì)者：)

一、創(chuàng)設(shè)情景，明確目標(biāo)

如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，走哪條路最近？你的理由是什么？

前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題”．

二、自主學(xué)習(xí)，指向目標(biāo)

自學(xué)教材第85

頁(yè)至87

頁(yè)，思考下列問(wèn)題：

1．求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求，其依據(jù)是兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短．

2．求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線的交點(diǎn)即為所求．

3．在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變化把已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇．

三、合作探究，達(dá)成目標(biāo)

探索最短路徑問(wèn)題

活動(dòng)一：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：

從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l

飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？

精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬問(wèn)題”．你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

追問(wèn)1　這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？答：將A，B

兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l

抽象為一條直線．

追問(wèn)2　你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？

答：(1)從A

地出發(fā)，到河邊l

飲馬，然后到B

地；

(2)在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B

連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A

地到飲馬地，再回到B

地的路程之和；(3)現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C

為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C

在l的什么位置時(shí)，AC

與CB的和最小(如圖)．問(wèn)題2：如圖，點(diǎn)A，B

在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C

是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C

在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？

追問(wèn)1：對(duì)于問(wèn)題2，如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l

上的任意一點(diǎn)C，都保持CB

與CB′的長(zhǎng)度相等？

追問(wèn)2：你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)B′嗎？

展示點(diǎn)評(píng)：作法：

(1)作點(diǎn)B

關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；

(2)連接AB′，與直線l

交于點(diǎn)C.則點(diǎn)C

即為所求．

問(wèn)題3　你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC

＋BC最短嗎？

證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′.由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，BC

＝B′C，BC′＝B′C′.∴

AC

＋BC＝

AC

＋B′C

＝

AB′，AC′＋BC′＝

AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴

AC

＋BC＜AC′＋BC′.即

AC

＋BC

最短.小組討論：證明AC

＋BC

最短時(shí)，為什么要在直線l

上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C

不重合)，證明AC

＋BC

＜AC′＋BC′？這里的“C′”的作用是什么？

反思小結(jié)：運(yùn)用軸對(duì)稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決問(wèn)題．利用三角形的三邊關(guān)系，若直線l上任意一點(diǎn)(與點(diǎn)C

不重合)與A，B

兩點(diǎn)的距離和都大于AC

＋BC，就說(shuō)明AC

＋BC

最小.C′的代表的是除點(diǎn)C以外直線l上的任意一點(diǎn)．

針對(duì)訓(xùn)練：

1．如圖，A、B是河流

同側(cè)的兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河邊修一個(gè)抽水站向兩村供水，問(wèn)抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？請(qǐng)?jiān)趫D中表示出來(lái)．

答：如下圖，作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．

2．如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC

上，再返回P處，請(qǐng)畫(huà)出旅游船的最短路徑．

答：作Q關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接PQ′交BC于R，∴旅游船線路：P—Q—R—P.選址造橋問(wèn)題

活動(dòng)二：(造橋選址問(wèn)題)如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直．)

展示點(diǎn)評(píng)：從A到B要走的路線是A→M→N→B，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．