第一篇：13.4 課題學習 最短路徑問題 教學設(shè)計 教案

教學準備

1.教學目標

1.理解并掌握平面內(nèi)一條直線同側(cè)兩個點到直線上的某一點距離之和為最小值時點的位置的確定；

2.能利用軸對稱平移解決實際問題中路徑最短的問題；

3.通過獨立思考，合作探究，培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的基本能力，感受學習成功的快樂。

2.教學重點/難點

教學重點

將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，運用軸對稱平移解決生活中路 徑最短的問題，確定出最短路徑的方法。教學難點

探索發(fā)現(xiàn)“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及說理。

3.教學用具 4.標簽

教學過程

一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新知。

同學們：我們已經(jīng)學習過“兩點的所有連線中?！焙汀斑B接直線外一點與直線上各點的所有線段中，”等問題，我們稱他們?yōu)樽疃搪窂絾栴}。

二、自主學習，探究新知。

1、探究問題：如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？

（I）兩點在一條直線異側(cè)：

活動1: 已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點P，使得這個點到點AB的距離和最短，即PA+PB最小。

思考：為什么這樣做就能得到最短距離呢？你如何驗證PA+PB最短呢？(Ⅱ)兩點在一條直線同側(cè)

活動2：如圖，牧馬人從地出發(fā)到一條筆直的河邊L飲馬，然后到地，牧馬人到B河邊的什么地方飲馬，可是所走的路徑最短？這個問題可以轉(zhuǎn)化為;當點L在的什么位置時。AC與BC的和最小。

2、探究問題：造橋選址問題中的最短路徑問題

活動3：如圖，A和B連地在一條河的兩岸，要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

①怎樣將實際問題轉(zhuǎn)化為實際問題？ ②若直線重合，最短路徑是什么？ ③若將直線平移開，怎樣思考該問題？ ④怎樣解決造橋選址問題？

作法：如圖，1.將點A沿與和垂直的方向平移MN的距離到A2.連接AB交河岸與點N，在此處造橋MN，所的路程AMNB就是最短路程。

三、合作交流，感悟新知 問題：如圖，點A是總局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，怎樣AD+DE+EA使最??？

四、反思構(gòu)造，融匯新知

五、檢測展示，反饋新知

如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。

六、拓展延伸，深化新知

1、在一條河的同一岸上有AB兩個油庫，要在河邊建一個碼頭C，怎樣作圖使：①AB兩油庫到碼頭C的距離相等.②AC+BC最短.2、如圖，一個旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P 處，請畫出旅游船的最短路徑．

七、學后反思，升華新知

第二篇：13．4 課題學習最短路徑問題

13．4

課題學習

最短路徑問題

能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．

利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題．

探索發(fā)現(xiàn)“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及說理．

一師一優(yōu)課　一課一名師(設(shè)計者：)

一、創(chuàng)設(shè)情景，明確目標

如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，走哪條路最近？你的理由是什么？

前面我們研究過一些關(guān)于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史中著名的“將軍飲馬問題”．

二、自主學習，指向目標

自學教材第85

頁至87

頁，思考下列問題：

1．求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求，其依據(jù)是兩點的所有連線中，線段最短．

2．求直線同側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關(guān)于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求．

3．在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇．

三、合作探究，達成目標

探索最短路徑問題

活動一：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：

從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l

飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？

精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？

追問1　這是一個實際問題，你打算首先做什么？答：將A，B

兩地抽象為兩個點，將河l

抽象為一條直線．

追問2　你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？

答：(1)從A

地出發(fā)，到河邊l

飲馬，然后到B

地；

(2)在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B

連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A

地到飲馬地，再回到B

地的路程之和；(3)現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設(shè)C

為直線上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當點C

在l的什么位置時，AC

與CB的和最小(如圖)．問題2：如圖，點A，B

在直線l的同側(cè)，點C

是直線上的一個動點，當點C

在l的什么位置時，AC與CB的和最??？

追問1：對于問題2，如何將點B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l

上的任意一點C，都保持CB

與CB′的長度相等？

追問2：你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？

展示點評：作法：

(1)作點B

關(guān)于直線l的對稱點B′；

(2)連接AB′，與直線l

交于點C.則點C

即為所求．

問題3　你能用所學的知識證明AC

＋BC最短嗎？

證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質(zhì)知，BC

＝B′C，BC′＝B′C′.∴

AC

＋BC＝

AC

＋B′C

＝

AB′，AC′＋BC′＝

AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴

AC

＋BC＜AC′＋BC′.即

AC

＋BC

最短.小組討論：證明AC

＋BC

最短時，為什么要在直線l

上任取一點C′(與點C

不重合)，證明AC

＋BC

＜AC′＋BC′？這里的“C′”的作用是什么？

反思小結(jié)：運用軸對稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點之間線段最短”解決問題．利用三角形的三邊關(guān)系，若直線l上任意一點(與點C

不重合)與A，B

兩點的距離和都大于AC

＋BC，就說明AC

＋BC

最小.C′的代表的是除點C以外直線l上的任意一點．

針對訓練：

1．如圖，A、B是河流

同側(cè)的兩個村莊，現(xiàn)要在河邊修一個抽水站向兩村供水，問抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？請在圖中表示出來．

答：如下圖，作點B關(guān)于l的對稱點B′，連接AB′交l于點P，點P即為所求．

2．如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC

上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．

答：作Q關(guān)于直線BC的對稱點Q′，連接PQ′交BC于R，∴旅游船線路：P—Q—R—P.選址造橋問題

活動二：(造橋選址問題)如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直．)

展示點評：從A到B要走的路線是A→M→N→B，如圖所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．

第三篇：最短路徑教案

13.4最短路徑問題

一、教學內(nèi)容：本節(jié)課的主要內(nèi)容是利用軸對稱研究某些最短路徑問題，最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以“兩點之間，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有連線中，垂線段最短”為知識基礎(chǔ)，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進行研究。

本節(jié)課以數(shù)學史中的一個經(jīng)典故事----“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間、線段最短”的問題。

二、教學目標

1、能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題

2、再談歲最短路徑的過程中，體會“軸對稱”的橋梁作用，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

三、教學重難點

重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間、線段最短”問題。難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題。

四、教學問題診斷

最短路徑問題從本質(zhì)上說是最值問題，作為初中學生，在此前很少涉及最值問題，解決這方面問題的數(shù)學經(jīng)驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手。

解答“當點AB在直線l的同側(cè)時，如何在l上找到點C，使AC與BC的和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“直線l異側(cè)的兩點，與直線l上的點的線段的和最小”的問題，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化，怎樣通過軸對稱實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學生會存在理解上和操作上的困難。

在證明“最短”時，需要在直線上任取一點（與所求做的點不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路和方法，一些學生想不到。

教學時，教師可以讓學生首先思考“直線l異側(cè)的兩點，與直線l上的點的和最小”為學生搭建“腳手架”，在證明最短時，教師要適時點撥學生，讓學生體會任意的作用。

五、教學過程

教師引語：現(xiàn)實生活中經(jīng)常會有這樣的生活經(jīng)歷，比如學校雖然為我們鋪設(shè)了一些石板甬路，方便同學們的行走，但是很多時候我們卻并不在這些小路上行走，這樣做的目的是什么呢？（學生一起回答）如果用數(shù)學知識來解釋這種行為，那就是我們曾經(jīng)學習的“兩點之間、線段最短”或“垂線段最短”，我們稱這樣的問題為最短路徑問題（板書課題）現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到最短路徑問題，這節(jié)課我們學習的主要任務就是最短路徑問題，并用所學知識探究數(shù)學史上著名的“將軍飲馬問題”。

1、情境引入

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫，有一天，有一位將軍專門拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊飲馬，然后到B地，到河邊什么地方飲馬，可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題。這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”。

2、探究解決問題的方法

問題一：這是一個實際問題，我們首先把它抽象為數(shù)學問題，請同學們用自己的語言說明這個問題的意思。

師生活動：學生獨立思考后小組交換意見，然后嘗試回答，相互補充，最后達成共識，教師根據(jù)學生的回答寫出問題的板書：如圖，已知點A和點B在直線L的同側(cè)，在直線L上找一點C，使AC與BC的和最小。

設(shè)計意圖：讓學生將實際問題抽象為數(shù)學問題，即將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”。

問題二：由上面的問題我們可以聯(lián)想到下面的問題：A、B分別是直線L異側(cè)的兩點，如何在直線L上找到一點C，使AC與BC的和最?。?/p>

師生活動：學生獨立思考，畫圖分析并嘗試回答，教師補充。

問題三：對于第一個問題，如何將點B移到L的另一側(cè)，B′處，滿足直線L上的任一點C，都保持CB與CB′的長度相等？ 問題四：你能利用軸對稱的知識找到符合條件的點B′嗎？

師生活動：學生獨立考，嘗試畫圖，然后小組交流，學生代表匯報交流成果，師生共同補充：只要作出點B關(guān)于直線L的對稱點B′，就可以滿足CB=CB′,再利用問題二中的方法，連接AB′,則AB′與直線L的交點即為所求。

學生敘述，教師板書并畫圖，同時學生在練習本上畫圖。

設(shè)計意圖：通過搭建臺階，為學生探究問題提供“腳手架”將同側(cè)難以解決的問題提轉(zhuǎn)化為異側(cè)容易解決的問題，滲透轉(zhuǎn)化思想。

3、推理證明“最短”

問題五：你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？

師生活動：師生共同分析，然后學生說證明過程，教師板書。

證明：在直線L上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′,BC′,B′C′.由軸對稱的性質(zhì)可知，BC=B′C,BC′=B′C′.∴AC+BC=AC+ B′C=AB′, AC′+ BC′= AC′+ B′C′

在△AB′C′中，AB′＜AC′+ B′C′

∴AC+BC＜ AC′+ BC′ 即AC+BC最短。

問題六：這里任取一點C′的作用是什么？

師生活動：學生相互交流，教師適時點撥，最后達成共識：若直線L上任取一點C′與A、B兩點的距離之和都大于AC+BC，則說明AC+BC最短。

設(shè)計意圖：讓學生進一步體會做法的正確性，提高邏輯思維能力。

問題七：回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？

師生共同總結(jié)：首先作其中一點關(guān)于直線的對稱點，然后連接另一點與對稱點之間的線段，通過軸對稱將兩條線段和轉(zhuǎn)化到同一條線段上去，這條線段與直線的交點即為所求，整個過程利用了“軸對稱”和“兩點之間、線段最短“的知識。

設(shè)計意圖：讓學生在反思的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，豐富數(shù)學活動經(jīng)驗。

4、鞏固練習

（1）如圖，一艘旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再回到P處，請畫出旅游船的最短路徑。

師生活動：學生分析解題思路，并相互補充，然后獨立完成畫圖，學生代表上臺講解?；舅悸贩治觯捍祟}中輪船的行走路線共有三段，其中PQ是必經(jīng)路段，由“兩點之間，線段最短”需首先連接PQ，再將河岸BC看成一條直線，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點P、Q在直線BC同側(cè)，如何在BC上找一點R，使PR+QR最小”。

設(shè)計意圖：讓學生進一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法。

（2）如圖，∠XOY內(nèi)有一點P，在射線OX上找出一點M，在射線OY上找出一點N，使PM+MN+NP最短．

分析：此題的出題背景就是角。本題主要利用了兩點之間線段最短的性質(zhì)通過軸對稱圖形的性質(zhì)確定三角形的另兩點．

分別以直線OX、OY為對稱軸，作點P的對應點P1與P2，連接P1P2交OX于M，交OY于N，則PM+MN+NP最短．

5、課堂小結(jié)：教師與學生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答：（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？（2）軸對稱在所研究的問題中起到什么作用？

6、布置作業(yè)：《課時練》第49頁1、2、3、4、5、7、8、9

第四篇：最短路徑問題（將軍飲馬問題）教學設(shè)計

最短路徑問題

——將軍飲馬問題及延伸

最短路徑問題

教學內(nèi)容解析：

本節(jié)課的主要內(nèi)容是利用軸對稱研究某些最短路徑問題，最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以“兩點之間，線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”為知識基礎(chǔ)，有時還要借助軸對稱、平移變換進行研究。

本節(jié)課以數(shù)學史中的一個經(jīng)典故事----“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間、線段最短”的問題。

教學目標設(shè)置：

1、能利用軸對稱解決最短路徑問題。

2、在解題過程能總結(jié)出解題方法，能進行一定的延伸。

3、體會“軸對稱”的橋梁作用，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

教學重點難點：

重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間、線段最短”問題。

難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題。

學情分析：

1、八年級學生的觀察、操作、猜想能力較強，但演繹推理、歸納和運用數(shù)學意識的思想比較薄弱，自主探究和合作學習能力也需要在課堂教學中進一步引導。此年齡段的學生具有一定的探究精神和合作意識，能在一定的親身經(jīng)歷和體驗中獲取一定的數(shù)學新知識，但在數(shù)學的說理上還不規(guī)范，集合演繹推理能力有待加強。

2、學生已經(jīng)學習過

“兩點之間，線段最短?！币约啊按咕€段最短”。以及剛剛學習的軸對稱和垂直平分線的性質(zhì)作為本節(jié)知識的基礎(chǔ)。

教學條件分析:

在初次解決問題時，學生出現(xiàn)了多種方法，通過測量，發(fā)現(xiàn)利用軸對稱將同側(cè)兩點轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點求得的線段和比較短；進而利用PPT動畫演示，實驗驗證了結(jié)論的一般性；最后通過邏輯推理證明。

教具準備：直尺、ppt

教學過程：

環(huán)

節(jié)

教師活動

學生活動

設(shè)計意圖

一

復

習

引

入

1.【問題】：看到圖片，回憶如何用學過的數(shù)學知識解釋這個問題？

2.這樣的問題，我們稱為“最短路徑”問題。

1、兩點之間，線段最短。

2、兩邊之和大于第三邊。

從學生已經(jīng)學過的知識入手，為進一步豐富、完善知識結(jié)構(gòu)做鋪墊。

二

探

究

新

知

1.探究一：

【故事引入】：唐朝詩人李頎在《古從軍行》中寫道：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩中就隱含著一個有趣的數(shù)學問題，古時候有位將軍，每天從軍營回家，都要經(jīng)過一條筆直的小河。而將軍的馬每天要到河邊喝水，那么問題來了，問題：怎樣走才能使總路程最短呢？

認真讀題，仔細思考。

將實際問題中的“地點”“河”抽象為數(shù)學中的“點”“線”，把實際問題抽象線段和最小問題。

從異側(cè)問題入手，由簡到難，逐步深入。

二

探

究

新

知

2.探究二：

【變換情境】：后來將軍把家搬到了河的對面，若還是要帶馬先到河邊喝水，然后再回家，應該怎樣走，才能使總路程最短呢？

（1）【轉(zhuǎn)化】：你能將實際問題抽象為數(shù)學問題嗎？

（2）【展示】：

讓學生猜想，并畫出圖形。

巡視發(fā)現(xiàn)學生不同的作法（盡可能多），分別展示各小組的作法。

給予學生一定的提示。

（3）【度量】：如何才能判斷哪種猜想是正確的呢？（測量一下）在幾何畫板中分別度量出AC,BC的長度，并計算AC+BC。讓學生觀察數(shù)值如何變化。并反思各自的作法是否正確。

【回答】：學生思考并回答，如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。

已知：直線L和同側(cè)兩點A、B

求作：直線L上一點C，使C滿足AC+BC的值最小。

【學生展示】：

作法1：

作法2：：

作法3：

【學生反思】：第1種作法是利用“垂線段最短”，得到AC最短，利用“兩點之間線段最短”，得到BC最短，但不能確定AC+BC是最短的。

第2種作法只能說明在河l上取一點，到A、B兩地的距離相等，也就是AC＝BC。不能說明AC+BC最短

第3種作法應該是正確的。

學生主動探索，充分發(fā)揮學生的主動性。

展示多種方法，產(chǎn)生思維沖突，引發(fā)學生進一步探究的學習欲望。

二

探

究

新

知

3.解決問題

【追問】用第3種作法的同學，你們是怎樣想到作點B關(guān)于直線L的對稱點的？為什么要作對稱點？

如果做點B關(guān)于直線L的對稱點，就是把點B移到了另一側(cè)，而且滿足了BC＝BC’。其實直線L上所有點到B和B’的距離都相等。

也可是根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，L就是線段BB’的垂直平分線，而垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等。

利用軸對稱將同側(cè)線段和最短轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段和最短問題。借助軸對稱，把折線轉(zhuǎn)化為線段的長來求解。

讓學生進一步體會做法的正確性，提高邏輯思維能力。

讓學生在反思的過程中，體會軸對稱的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，豐富數(shù)學活動經(jīng)驗。

（4）【推理論證】：如何證明AC+BC最短呢？

【提示】：沒有比較就不會產(chǎn)生大小。通常我們要在直線上任另取一點C＇（與點C不重合），只要證明AC＇+BC＇〉A(chǔ)C+BC即可。

老師動手操作，驗證結(jié)論的正確性。

（1）學生自主證明，教師糾錯。

（2）師生共同分析，學生說明證明過程，教師版書。

（3）共同完成證明過程。

認真觀察，思考，要想確認AC+BC最短，可以在直線l上任取一點C’（不與點C重合）

1.獨立糾錯

2.兵教兵

讓學生進一步體會作法的正確性，提高邏輯思維能力。

通過動畫演示，從特殊到一般地驗證了前面的結(jié)論。

三

發(fā)

散

思

維

除了作點B關(guān)于直線l的對稱點以外，還有沒有別的作法？

還可以作點A關(guān)于直線l的對稱點。

發(fā)散思維，培養(yǎng)學生一題多解的能力。

四

得

出

結(jié)

論

【問題】：我們是如何解決將軍飲馬問題的？

先將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。然后作其中一個點關(guān)于直線l的對稱點，連接對稱點和另一點與直線的交點就是滿足最短距離的點的位置。

讓學生反思剛才的探究過程。培養(yǎng)數(shù)學思維，和及時總結(jié)所學的知識的好習慣。

五

變式鞏固

【問題】：如圖，已知：P、Q是△ABC的邊AB、AC上的點，你能在BC上確定一點R，使△PQR的周長最短嗎？

在具體問題中實踐已有模型，固化已有模型。為進一步豐富、完善知識結(jié)構(gòu)做鋪墊。

六

拓展提升

【問題】：如圖,一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬去草地

OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水，最后回到駐地A問：這位將軍怎樣走路程最短？

【問題】：如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫助確定這一天的最短路線。

七

鞏

固

練

習

1.【題目】：如圖，已知：

MON內(nèi)兩點A、B.求作：點C和點D,使得點C在OM上，點D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。

2.【題目】：如圖，如圖，OMCN是矩形的臺球桌面，有黑、白兩球分別位于B、A兩點的位置上，試問怎樣撞擊白球，使白球A依次碰撞球臺邊OM、ON后，反彈擊中黑球？

習題難度，由易到難，逐步深入。讓學生進一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法。

八

課

堂

小

結(jié)

1.【問題】：本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？

當我們遇到一個實際問題，首先，我們要將實際問題變成一個數(shù)學問題（群答），也就是抽象成一個數(shù)學模型，這樣可以幫助我們進行實驗觀察，進而運用合情推理得到一個猜想，然后我們可以通過嚴謹?shù)倪壿嬜C明，驗證猜想，從而得出結(jié)論，最后再將結(jié)論運用到實際問題里。

2.【問題】：今天我們學習了最短路徑的相關(guān)問題，我們應該怎么樣找到它們的最短路徑呢？

先確定對稱軸，找出定點的對稱點。然后連接對稱點與另一點確定所求位置點（連接各對稱點確定所求位置點）。

我們要先將實際問題變成一個數(shù)學問題，然后觀察實驗，提出猜想，之后通過證明，驗證猜想，從而得出結(jié)論，最后再將結(jié)論運用到實際問題里。

如何求解

培養(yǎng)學生總結(jié)在課題學習的基本思路。

九

課

后

拓

展

【問題】：在矩形ABCD中，在邊和對角線AD、BD上有兩個動點M、N,當M、N運動到何處時，BM+MN最短？

根據(jù)解題方法進行深度拓展（難度大）

第五篇：最短路徑教學設(shè)計(上交)（推薦）

13．4《課題學習——最短路徑問題》教學設(shè)計

玉泉二中 王衛(wèi)杰

一.內(nèi)容和內(nèi)容解析

最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到，初中階段主要以“兩點之間，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為基礎(chǔ)知識，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進行研究.本節(jié)課利用“河邊飲馬地點的選擇”問題，開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題.二.目標和目標解析

1.教學目標

基于以上分析，本節(jié)課我確定的教學目標是：能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變換在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，進一步獲得數(shù)學活動的經(jīng)驗，增強應用意識.本節(jié)課我確定的的教學重點是：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力.2.教學目標解析

要求學生能將實際問題中的“地點”、“河流”抽象為數(shù)學中的“點”、“線”，把實際問題抽象為數(shù)學問題；能利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題；能通過邏輯推理證明所求距離最短；在探索最短路徑的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想.三.教學問題診斷分析

最短路徑問題從本質(zhì)上說是極值問題，作為八年級的學生，在此之前很少接觸，解決這方面問題的經(jīng)驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的極值問題，更會感到陌生，無從下手.對于直線異側(cè)的兩點，如何在直線上找到一點，使這一點到這兩點的距離之和最小，學生很容易想到連接這兩點，所連線段與直線的交點就是所求的點.但對于直線同側(cè)的兩點，如何在直線上找到一點，使這一點到這兩點的距離之和最小，一些學生會感到茫然，找不到解決問題的思路.在證明“最短”時，需要在直線上任取一點（與所求作的點不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，學生可能想不到，不會用.所以，本節(jié)課我確定的教學難點是：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題.教學時，教師可從“直線異側(cè)的兩點”過渡到“直線同側(cè)的兩點”，為學生搭建“腳手架”.在證明“最短”時，教師可以告訴學生，證明“最大”、“最小”這類問題，常常要另選一個量，通過與求證的那個“最大”、“最小”的量進行比較來證明.由于另取的點具有任意性，所以結(jié)論對于直線上的每一點（所求作的點除外）都成立.四.教學過程設(shè)計

1．創(chuàng)設(shè)問題情境

引入：（課件展示行人踐踏茵茵綠草穿越草坪）師：（1）同學們，生活中你見到過這樣的現(xiàn)象嗎？（2）他為什么選擇走紅色路線？（3）理由是什么？ 生：集體回答.師：生活中的實際問題，都可以抽象出數(shù)學圖形，并能用數(shù)學知識來解決.比如，請大家思考問題一：

（課件展示）問題1：

如圖，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選擇哪條路距離最短？說說你的理由.師生活動：學生回答問題，說出理由：兩點之間，線段最短.【設(shè)計意圖】讓學生回顧“兩點之間，線段最短”，同時讓學生感知從實際問題抽象出數(shù)學圖形，并用數(shù)學知識來解決，為引入新課作準備.師：同學們，隨著生活條件的改善，暖氣的使用已經(jīng)在城市普及.目前，市政府決定向農(nóng)村集中供暖，在施工過程中，技術(shù)人員遇到了這樣一個問題，請大家思考問題二：

（課件展示）問題2：

如圖，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩村供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

教師提出要求：

（1）在導學練上先抽象出數(shù)學圖形，一生上臺扮演.（2）學生獨立思考，怎樣找到泵站的位置？

師：現(xiàn)在的問題就是，怎樣在直線上找一點，使它到兩點的距離值和最??？

師生活動：學生回答，連接AB，線段AB與l的交點即為泵站修建的位置.師生小結(jié)：對于直線異側(cè)的兩點，怎樣在直線上找一點，使它到兩點的距離值和最小，就是要連接這兩點，所連線段與直線的交點就是所要求做的點.師：如何證明所找的點能滿足距離值和最短呢？

生：在直線上任意找一點（求作的點除外），與已知兩點連接，就得到一條新的路徑，只需要與前一條路徑進行比較即可.師：很明顯，利用兩點之間，線段最短，或者利用三角形中，兩邊之和大于第三邊，均可得證.師：如果兩點在直線同側(cè)呢？怎樣在直線上找一點，使它到兩點的距離值和最??？

請大家思考問題三：

【設(shè)計意圖】讓學生進一步感受“兩點之間，線段最短”，為把“同側(cè)的兩點”轉(zhuǎn)化為“異側(cè)的兩點”做鋪墊.2．將實際問題抽象為數(shù)學問題

（課件展示）問題3：

牧馬人從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地．到河邊什么地方飲馬，可使他所走的路徑最短？

你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？

教師提出要求：

（1）在導學練上先抽象出數(shù)學圖形，一生上臺扮演.（2）學生獨立思考，怎樣找到飲馬的位置？

師：現(xiàn)在的問題就是，怎樣在直線上找一點，使它到兩點的距離值和最??？

師生活動：學生嘗試回答，并相互補充，最后達成共識:（1）將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直線；（2）在直線l上找到一點C，使AC與BC的和最小？

【設(shè)計意圖】學生通過動手操作，在具體感知軸對稱圖形特征的基礎(chǔ)上，抽象出軸對稱圖形的概念.3．解決數(shù)學問題

問題4：

如圖，點A，B 在直線l 的同側(cè)，怎樣在直線l上找到一點C，使AC 與BC的和最小？

師生活動：學生獨立思考，嘗試畫圖，相互交流.如果學生有困難，教師可作如下提示：

（1）如果點B在點A的異側(cè)，如何在直線l上找到一點C，使AC 與BC的和最小

（2）現(xiàn)在點B與點A在同側(cè)，能否將點B移到l 的另一側(cè)點 處，且滿足直線l上的任意一點C，都能保持 ?（3）你能根據(jù)軸對稱的知識，找到（2）中符合條件的點 嗎？ 師生共同完成作圖，如下圖.作法：（1）作點B 關(guān)于直線l 的對稱點B′；

（2）連接AB′，與直線l 相交于點C．則點C 即為所求.【設(shè)計意圖】教師一步一步引導學生，如何將同側(cè)的兩點轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點，為問題的解決提供思路，滲透轉(zhuǎn)化思想.4．證明AC +BC “最短”

問題5： 你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？

師生活動：學生獨立思考，相互交流，師生共同完成證明過程.證明：如圖，在直線l 上任取一點AC′，BC′，∴ 在△∴

即AC +BC 最短．

追問1：

證明AC +BC最短時，為什么要在直線l上任取一點（與點C但不重合）？

師生活動：學生相互交流，教師適時點撥，最后達成共識：若直中，． ．，． ．，（與點C 不重合），連接由軸對稱的性質(zhì)知，線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC +BC，就說明AC +BC最小.【設(shè)計意圖】讓學生體會作法的正確性，提高邏輯思維能力.追問2：

回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？

師生活動：學生回答，相互補充.【設(shè)計意圖】學生在反思中，體會軸對稱的橋梁作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，豐富數(shù)學活動經(jīng)驗.5．鞏固練習

如圖，一個旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P 處，請畫出旅游船的最短路徑.師生活動:學生分析解題思路，獨立完成畫圖，教師適時點撥.【設(shè)計意圖】讓學生進一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法.6．歸納小結(jié)

教師和學生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題.（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？（2）軸對稱在所研究問題中起什么作用？ 師生活動：教師引導，學生小結(jié).【設(shè)計意圖】：引導學生把握研究問題的基本策略和方法，體會軸對稱在解決最短路徑問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想的重要價值.7．布置作業(yè)：

教科書復習題13第15題.8、課堂寄語：

（1）、你有夢想嗎？（2）、你的夢想是什么？

（3）、實現(xiàn)你的夢想的最短路徑是什么？

五、目標檢測設(shè)計

某實驗中學八(1)班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上，請你幫助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短？

【設(shè)計意圖】考查學生解決“最短路徑問題”的能力.