2007年湖南卷

數(shù)學(xué)（文史類）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．不等式的解集是（）

A．

B．

C．

D．

2．若是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是（）

A．

B．

C．

D．

3．設(shè)（），關(guān)于的方程（）有實(shí)數(shù)，則是的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分又不必要條件

4．在等比數(shù)列（）中，若，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）

A．

B．

C．

D．

5．在（）的二次展開式中，若只有的系數(shù)最大，則（）

A

B

C

F

A．8

B．9

C．10

D．11

6．如圖1，在正四棱柱中，分別是，的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是（）

A．與垂直

B．與垂直

C．與異面

D．與異面

7．根據(jù)某水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到某條河流水位的頻率分布直方圖（如圖2）．從圖中可以看出，該水文觀測(cè)點(diǎn)平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（）

A．48米

B．49米

C．50米

D．51米

0.5%

1%

2%

水位（米）

圖2

8．函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

9．設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為（為半焦距）的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是（）

A．

B．

C．

D．

10．設(shè)集合，都是的含兩個(gè)元素的子集，且滿足：對(duì)任意的，（，），都有（表示兩個(gè)數(shù)中的較小者），則的最大值是（）

A．10

B．11

C．12

D．13

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在橫線上．

11．圓心為且與直線相切的圓的方程是

．

12．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，，則

．

13．若，則

．

14．設(shè)集合，，（1）的取值范圍是；

（2）若，且的最大值為9，則的值是

．

15．棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積是

；設(shè)分別是該正方體的棱，的中點(diǎn)，則直線被球截得的線段長(zhǎng)為

．

三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)．求：

（I）函數(shù)的最小正周期；

（II）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

17．（本小題滿分12分）

某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒有影響．

（I）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；

（II）任選3名下崗人員，求這3人中至少有2人參加過培養(yǎng)的概率．

18．（本小題滿分12分）

如圖3，已知直二面角，，，直線和平面所成的角為．

（I）證明；

（II）求二面角的大小．

A

B

C

Q

P

19．（本小題滿分13分）

已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．

（I）證明，為常數(shù)；

（II）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程．

20．（本小題滿分13分）

設(shè)是數(shù)列（）的前項(xiàng)和，且，．

（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；

（II）試找出一個(gè)奇數(shù)，使以18為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列（）中的所有項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，并指出是數(shù)列中的第幾項(xiàng)．

21．（本小題滿分13分）

已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)．

（I）求的最大值；

（II）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)處穿過函數(shù)的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式．

2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）

數(shù)學(xué)（文史類）參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．D

2．B

3．A

4．B

5．C

6．D

7．C

8．C

9．D

10．B

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在橫線上．

11．12．

13．3

14．（1）（2）

15．，三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

16．解：

．

（I）函數(shù)的最小正周期是；

（II）當(dāng)，即（）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）．

17．解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件，“該人參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件，由題設(shè)知，事件與相互獨(dú)立，且，．

（I）解法一：任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是

所以該人參加過培訓(xùn)的概率是．

解法二：任選1名下崗人員，該人只參加過一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是

該人參加過兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是．

所以該人參加過培訓(xùn)的概率是．

（II）解法一：任選3名下崗人員，3人中只有2人參加過培訓(xùn)的概率是

．

3人都參加過培訓(xùn)的概率是．

所以3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率是．

解法二：任選3名下崗人員，3人中只有1人參加過培訓(xùn)的概率是

．

3人都沒有參加過培訓(xùn)的概率是．

所以3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率是．

A

B

C

Q

P

O

H

18．解：（I）在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)．

因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕?/p>

而，所以，從而，又，所以平面．因?yàn)槠矫?，故?/p>

（II）解法一：由（I）知，又，，所以．

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，所以是和平面所成的角，則，不妨設(shè)，則，．

在中，所以，于是在中，．

故二面角的大小為．

解法二：由（I）知，，故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

因?yàn)?，所以是和平面所成的角，則．

不妨設(shè)，則，．

A

B

C

Q

P

O

x

y

z

在中，所以．

則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，．

所以，．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得

取，得．

易知是平面的一個(gè)法向量．

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，．

所以．

故二面角的大小為．

19．解：由條件知，設(shè)，．

（I）當(dāng)與軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，此時(shí)．

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．

代入，有．

則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，于是

．

綜上所述，為常數(shù)．

（II）解法一：設(shè)，則，，由得：

即

于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即．

又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即．

將代入上式，化簡(jiǎn)得．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程．

所以點(diǎn)的軌跡方程是．

解法二：同解法一得……………………………………①

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）

有．…………………②

．………………………③

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

當(dāng)時(shí)，由④⑤得，將其代入⑤有

．整理得．

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程．

故點(diǎn)的軌跡方程是．

20．解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得．

因?yàn)?，所以?/p>

…………………………①

于是．

…………………………………………………②

由②－①得：．……………………………………………③

于是．……………………………………………………④

由④－③得：．…………………………………………………⑤

即數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列．

（II）由①有，所以．

由③有，所以，而⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．

所以，．

由題設(shè)知，．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，只可能是數(shù)列中的項(xiàng)．

若是數(shù)列中的第項(xiàng)，由得，取，得，此時(shí)，由，得，從而是數(shù)列中的第項(xiàng)．

（注：考生取滿足，的任一奇數(shù)，說明是數(shù)列中的第項(xiàng)即可）

21．解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為（），則，且．于是，且當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．故的最大值是16．

（II）解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是，即，因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處空過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則

不是的極值點(diǎn)．

而，且

．

若，則和都是的極值點(diǎn)．

所以，即，又由，得，故．

解法二：同解法一得

．

因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，于是存在（）．

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．

由知是的一個(gè)極值點(diǎn)，則，所以，又由，得，故．