2005年高考理科數(shù)學(xué)湖南卷試題及答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．復(fù)數(shù)z＝i＋i2＋i3＋i4的值是

（）

A．－1

B．0

C．1

D．i

2．函數(shù)f(x)＝的定義域是

（）

A．－∞，0]

B．[0，＋∞

C．（－∞，0）

D．（－∞，＋∞）

3．已知數(shù)列{log2(an－1)}（n∈N*）為等差數(shù)列，且a1＝3，a2＝5，則

=

（）

A．2

B．

C．1

D．

4．已知點(diǎn)P（x，y）在不等式組表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，則z＝x－y的取值范圍是（）

A．[－2，－1]

B．[－2，1]

C．[－1，2]

D．[1，2]

5．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面AB

C1D1的距離為（）

A．

B．

C．

D．

6．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2005(x)＝（）

A．sinx

B．－sinx

C．cosx

D．－cosx

7．已知雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)A，△OAF的面積為（O為原點(diǎn)），則兩條漸近線的夾角為

（）

A．30o

B．45o

C．60o

D．90o

8．集合A＝｛x|＜0＝，B＝｛x

||

x

-b|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分條件，則b的取值范圍是

（）

A．－2≤b＜0

B．0＜b≤2

C．－3＜b＜－1

D．－1≤b＜2

9．4位同學(xué)參加某種形式的競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每位同學(xué)必須從甲．乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對(duì)得100分，答錯(cuò)得－100分；選乙題答對(duì)得90分，答錯(cuò)得－90分.若4位同學(xué)的總分為0，則這4位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)是

（）

A．48

B．36

C．24

D．18

10．設(shè)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，S△ABC表示△ABC的面積，λ1＝，λ2＝，λ3＝，定義f(P)=(λ1,λ,λ3),若G是△ABC的重心，f(Q)＝（，），則（）

A．點(diǎn)Q在△GAB內(nèi)

B．點(diǎn)Q在△GBC內(nèi)

C．點(diǎn)Q在△GCA內(nèi)

D．點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合第Ⅱ卷（非選擇題）

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分（第15小題每空2分），共20分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上.11．一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品16800件，它們來自甲．乙．丙3條生產(chǎn)線，為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣，已知甲．乙．丙三條生產(chǎn)線抽取的個(gè)體數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了

件產(chǎn)品.12．在的展開式中，x

2項(xiàng)的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

13．已知直線ax＋by＋c＝0與圓O：x2＋y2＝1相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|＝，則?。?14．設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,2）對(duì)稱，且存在反函數(shù),f

(4)＝0，則＝

.15．設(shè)函數(shù)f

(x)的圖象與直線x

=a，x

=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f(x)在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y＝sinnx在[0，]上的面積為（n∈N*），（i）y＝sin3x在[0,]上的面積為　　??；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面積為

.三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16．（本小題滿分12分）

已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.17．（本題滿分12分）

如圖1，已知ABCD是上．下底邊長(zhǎng)分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OO1折成直二面角，如圖2.圖1

圖2

（Ⅰ）證明：AC⊥BO1；

（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.圖1

圖2

18．（本小題滿分14分）

某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)ξ表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值.（Ⅰ）求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）記“函數(shù)f(x)＝x2－3ξx＋1在區(qū)間[2，＋∞上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率.19．（本小題滿分14分）

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e.直線

l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)＝λ.（Ⅰ）證明：λ＝1－e2；

（Ⅱ）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.20．（本小題滿分14分）

自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響.用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c.（Ⅰ）求xn+1與xn的關(guān)系式；

（Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不

要求證明）

（Ⅱ）設(shè)a＝2，b＝1，為保證對(duì)任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論.21．（本小題滿分14分）

已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0

（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)圖象C2交于點(diǎn)P、Q，過線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線分別交C1，C2于點(diǎn)M、N，證明C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行

2005年高考理科數(shù)學(xué)湖南卷試題及答案

參考答案

一、選擇題：1—5：BACCB

6—10：

CDDBA

二、填空題：

11．5600

12．35

13．14．－2

15．，解：函數(shù)y＝sinnx在[0，]上的面積為（n∈N*），就是函數(shù)y＝sinnx半周期的圖像與x軸所圍成的封閉圖形的面積為。

（i）y＝sin3x在[0,]上的面積為如圖所示的兩個(gè)封閉圖形的面積。

（ii）y＝sin（3x－π）＋1＝－在[，]上的面積如圖所示，其面積為：。

三、解答題：

16．解法一

由

得

所以

即

因?yàn)樗?，從?/p>

由知

從而.由

即

由此得所以

解法二：由

由、，所以

即

由得

所以

即

因?yàn)椋?/p>

由從而，知B+2C=不合要求

再由，得

所以

17．解法一（I）證明

由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO1

圖3

所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）

O1（0，0，）.從而

所以AC⊥BO1.（II）解：因?yàn)樗訠O1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一個(gè)法向量.設(shè)是0平面O1AC的一個(gè)法向量，由

得.設(shè)二面角O—AC—O1的大小為，由、的方向可知，>，所以cos，>=

即二面角O—AC—O1的大小是

解法二（I）證明

由題設(shè)知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.從而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影.因?yàn)椋浴螼O1B=60°，∠O1OC=30°，從而OC⊥BO1

圖4

由三垂線定理得AC⊥BO1.（II）解

由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.設(shè)OC∩O1B=E，過點(diǎn)E作EF⊥AC于F，連結(jié)O1F（如圖4），則EF是O1F在平面AOC

內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1F⊥AC.所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.由題設(shè)知OA=3，OO1=，O1C=1，所以，從而，又O1E=OO1·sin30°=，所以

即二面角O—AC—O1的大小是

18．解：（I）分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”，“客人游覽乙景點(diǎn)”，“客人游覽丙景點(diǎn)”

為事件A1，A2，A3.由已知A1，A2，A3相互獨(dú)立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3.相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取

值為3，2，1，0，所以的可能取值為1，3.P（=3）=P（A1·A2·A3）+

P（）

=

P（A1）P（A2）P（A3）+P（）

=2×0.4×0.5×0.6=0.24，1

P

0.76

0.24

P（=1）=1－0.24=0.76.所以的分布列為

E=1×0.76+3×0.24=1.48.（Ⅱ）解法一

因?yàn)?/p>

所以函數(shù)上單調(diào)遞增，要使上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)

從而

解法二：的可能取值為1，3.當(dāng)=1時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞增，當(dāng)=3時(shí)，函數(shù)上不單調(diào)遞增.0

所以

19．（Ⅰ）證法一：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是.所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）.由

即

證法二：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是

所以

因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以

即

解得

（Ⅱ）解法一：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即

設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由

得

所以

即當(dāng)△PF1F2為等腰三角形.解法二：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，則，由|PF1|=|F1F2|得

兩邊同時(shí)除以4a2，化簡(jiǎn)得

從而

于是

即當(dāng)時(shí)，△PF1F2為等腰三角形

20．解（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為

（II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1，n∈N*，從而由（*）式得

因?yàn)閤1>0，所以a>b

猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變

（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*

由xn+1=xn(3－b－xn),n∈N*,知

0

由此猜測(cè)b的最大允許值是1

下證

當(dāng)x1∈(0,2)，b=1時(shí)，都有xn∈(0,2),n∈N*

①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即xk∈(0,2),則當(dāng)n=k+1時(shí)，xk+1=xk(2－xk)>0.又因?yàn)閤k+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,所以xk+1∈(0,2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).綜上所述，為保證對(duì)任意x1∈(0,2),都有xn>0，n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1.21．解：（I），則

因?yàn)楹瘮?shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以<0有解

又因?yàn)閤>0時(shí)，則ax2+2x－1>0有x>0的解.①當(dāng)a>0時(shí)，y=ax2+2x－1為開口向上的拋物線，ax2+2x－1>0總有x>0的解；

②當(dāng)a<0時(shí)，y=ax2+2x－1為開口向下的拋物線，而ax2+2x－1>0總有x>0的解；

則△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此時(shí)，－1

（II）證法一

設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（x1,y1），（x2,y2），0

C1在點(diǎn)M處的切線斜率為

C2在點(diǎn)N處的切線斜率為

假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行，則k1=k2.即，則

=

所以

設(shè)則①

令則

因?yàn)闀r(shí)，所以在）上單調(diào)遞增.故

則.這與①矛盾，假設(shè)不成立

故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行

證法二：同證法一得

因?yàn)椋?/p>

令，得

②

令

因?yàn)椋詴r(shí)，故在[1，+上單調(diào)遞增.從而，即

于是在[1，+上單調(diào)遞增

故即這與②矛盾，假設(shè)不成立

故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行