第一篇：高中數(shù)學(xué)“立體幾何”教學(xué)研究

高中數(shù)學(xué)“立體幾何”教學(xué)研究

一.“立體幾何”的知識(shí)能力結(jié)構(gòu)

高中的立體幾何是按照從局部到整體的方式呈現(xiàn)的，在必修2中，先從對空間幾何體的整體認(rèn)識(shí)入手，主通過直觀感知、操作確認(rèn)，獲得空間幾何體的性質(zhì)，此后，在空間幾何體的點(diǎn)、直線和平面的學(xué)習(xí)中，充分利用對模型的觀察，發(fā)現(xiàn)幾何體的幾何性質(zhì)并通過簡單的“推理”得到一些直線和平面平行、垂直的幾何性質(zhì)，從微觀上為進(jìn)一步深入研究空間幾何體做了必要的準(zhǔn)備.在選修2-1中，首先引入空間向量，在必修2的基礎(chǔ)上完善了幾何論證的理論基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上對空間幾何體進(jìn)行了深入的研究.首先安排的是對空間幾何體的整體認(rèn)識(shí)，要求發(fā)展學(xué)生的空間想像能力，幾何直觀能力，而沒有對演繹推理做出要求.在“空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”的研究中，以長方體為模型，通過說理（歸納出判定定理，不證明）或簡單推理進(jìn)行論證（歸納并論證明性質(zhì)定理），在“空間向量與立體幾何”的學(xué)習(xí)中，又以幾何直觀、邏輯推理與向量運(yùn)算相結(jié)合，完善了空間幾何推理論證的理論基礎(chǔ)，并對空間幾何中較難的問題進(jìn)行證明.可見在立體幾何這三部分中，把空間想像能力，邏輯推理能力，適當(dāng)分開，有所側(cè)重地、分階段地進(jìn)行培養(yǎng)，這一編排有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念、培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、幾何直觀能力，同時(shí)降低學(xué)習(xí)立體幾何的門檻，同時(shí)體現(xiàn)了讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展的課標(biāo)理念.二.“立體幾何”教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征：柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征的概括； 空間幾何體的三視圖與直觀圖：幾何體的三視圖和直觀圖的畫法；

空間幾何體的表面積與體積：了解柱、錐、臺(tái)、球的表面積與體積的計(jì)算公式； 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系：空間直線、平面的位置關(guān)系； 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)：判定定理和性質(zhì)定理的歸納； 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)：判定定理和性質(zhì)定理的歸納.2.難點(diǎn)：

空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的概括：柱、錐、臺(tái)球的結(jié)構(gòu)特征的概括； 空間幾何體的三視圖與直觀圖：識(shí)別三視圖所表示的幾何體； 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系：三種語言的轉(zhuǎn)化； 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)：性質(zhì)定理的證明； 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)：性質(zhì)定理的證明.三．空間幾何體的教學(xué)要與空間想象能力培養(yǎng)緊密結(jié)合

空間幾何體的教學(xué)要注意加強(qiáng)幾何直觀與空間想象能力的培養(yǎng)，在立體幾何的入門階段，建立空間觀念，培養(yǎng)空間想象能力是學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，要注重培養(yǎng)空間想象能力的途徑，例如：

①注重模型的作用，讓學(xué)生動(dòng)手進(jìn)行模型制作，培養(yǎng)利用模型解決問題的意識(shí)與方法.②培養(yǎng)學(xué)生的畫幾何圖形能力，畫圖不是描字模（只模仿），而是要邊畫邊思考所畫圖與實(shí)際幾何體的對應(yīng)關(guān)系.③空間想象不是簡單的觀察、空想，應(yīng)與概念思辨相結(jié)合（前面已經(jīng)談到）.④發(fā)揮三視圖與直觀圖培養(yǎng)空間想象能力的作用，利用空間幾何體的三視圖與直觀圖的轉(zhuǎn)化過程，可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：空間圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)化有利于分析和表示較為復(fù)雜的空間圖形；變換觀察視角對空間幾何體進(jìn)行觀察可以更容易理解較為復(fù)雜的空間圖形，把握空間圖形中元素之間的關(guān)系.四．加強(qiáng)對概念、定理的理解與把握的教學(xué)

①用圖形輔助理解概念、定理和性質(zhì)

例如，我們可以按照推理的類別，用圖形刻畫幾何元素的關(guān)系，可以避免死記硬背文字和符號(hào)的機(jī)械式學(xué)習(xí)，更容易理解公理、定理、性質(zhì)等的幾何本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問題圖形中的元素關(guān)系關(guān)系.讓學(xué)生對照圖形敘述相關(guān)定理或性質(zhì)，特別要求對定理或性質(zhì)的使用條件加以說明.例如，用圖形表示平行關(guān)系

例如，用圖形表示垂直關(guān)系

②強(qiáng)化證明的言必有據(jù)

所謂“言必有據(jù)”，是指每一步推理的根據(jù)（即三段論推理的大前提）必須是課本中給出的公理、定義、定理，不可以自造理由，不可以隨意將習(xí)題的結(jié)論作為根據(jù)，不可以把平面幾何結(jié)論在立體幾何中不加證明地隨意使用.不僅在文字語言和符號(hào)語言的推理中，要言必有據(jù)，在幾何作圖中也是如此，因?yàn)閹缀巫鲌D是幾何推理的特珠形式.立體幾何作圖也必須步步有據(jù).③梳理推理依據(jù)

例如，從確定平行、垂直關(guān)系梳理推理依據(jù)（如圖），在解決問題時(shí)由圖形中尋找依據(jù).把推理依據(jù)轉(zhuǎn)化為系列圖形納入立體幾何的學(xué)習(xí)中，用圖形歸納立體幾何知識(shí)，串聯(lián)立體幾何推理的思路，形成對圖思考，以圖交流，使得邏輯推理與幾何直觀有機(jī)整合，提高了學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力.五.總結(jié)《課程標(biāo)準(zhǔn)》與高考對“立體幾何初步專題”的要求 《課程標(biāo)準(zhǔn)》對“立體幾何初步專題”的要求

（1）空間幾何體

①利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).②能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)使用材料（如：紙板）制作模型，會(huì)用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖.③通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.④完成實(shí)習(xí)作業(yè)，如畫出某些建筑的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）.⑤了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）.（2）點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系

①借助長方體模型，在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理：

◆公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).◆公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.◆公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.◆定理：空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).②以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理：

◆平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.◆一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.◆一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直.◆一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面垂直.通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明：

◆一條直線與一個(gè)平面平行，則過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行.◆兩個(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行.◆垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.◆兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.③能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.高考對“立體幾何初步專題”的要求（1）空間幾何體

①認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).②能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測法畫出它們的直觀圖.③會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.④會(huì)畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）.⑤了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）.（2）點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

①理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.◆公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)在此平面內(nèi).◆公理2：過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.◆公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.◆定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).②以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.理解以下判定定理.◆如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.◆如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行.◆如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.◆如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明.◆如果一條直線與一個(gè)平面平行，經(jīng)過該直線的任一個(gè)平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行.◆如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線相互平行.◆垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.◆如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直.③能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.

第二篇：高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)--立體幾何

【高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)】立體幾何學(xué)習(xí)的幾點(diǎn)建議.txt

一 逐漸提高邏輯論證能力

立體幾何的證明是數(shù)學(xué)學(xué)科中任一分之也替代不了的。因此，歷年高考中都有立體幾何論證的考察。論證時(shí)，首先要保持嚴(yán)密性，對任何一個(gè)定義、定理及推論的理解要做到準(zhǔn)確無誤。符號(hào)表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關(guān)結(jié)論。切忌條件不全就下結(jié)論。其次，在論證問題時(shí)，思考應(yīng)多用分析法，即逐步地找到結(jié)論成立的充分條件，向已知靠攏，然后用綜合法(“推出法”)形式寫出。

二 立足課本，夯實(shí)基礎(chǔ)

直線和平面這些內(nèi)容，是立體幾何的基礎(chǔ)，學(xué)好這部分的一個(gè)捷徑就是認(rèn)真學(xué)習(xí)定理的證明，尤其是一些很關(guān)鍵的定理的證明。例如：三垂線定理。定理的內(nèi)容都很簡單，就是線與線，線與面，面與面之間的關(guān)系的闡述。但定理的證明在初學(xué)的時(shí)候一般都很復(fù)雜，甚至很抽象。掌握好定理有以下三點(diǎn)好處：

(1)深刻掌握定理的內(nèi)容，明確定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。(2)培養(yǎng)空間想象力。

(3)得出一些解題方面的啟示。

在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的時(shí)候，可以用筆、直尺、書之類的東西搭出一個(gè)圖形的框架，用以幫助提高空間想象力。對后面的學(xué)習(xí)也打下了很好的基礎(chǔ)。

三 “轉(zhuǎn)化”思想的應(yīng)用

我個(gè)人覺得，解立體幾何的問題，主要是充分運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”這種數(shù)學(xué)思想，要明確在轉(zhuǎn)化過程中什么變了，什么沒變，有什么聯(lián)系，這是非常關(guān)鍵的。例如：

1.兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點(diǎn)引兩條異面直線的平行線。斜線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內(nèi)的射影所成的角。

2.異面直線的距離可以轉(zhuǎn)化為直線和與它平行的平面間的距離，也可以轉(zhuǎn)化為兩平行平面的距離，即異面直線的距離與線面距離、面面距離三者可以相互轉(zhuǎn)化。而面面距離可以轉(zhuǎn)化為線面距離，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，點(diǎn)面距離又可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離。

3.面和面平行可以轉(zhuǎn)化為線面平行，線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化。同樣面面垂直可以轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直。

4.三垂線定理可以把平面內(nèi)的兩條直線垂直轉(zhuǎn)化為空間的兩條直線垂直，而三垂線逆定理可以把空間的兩條直線垂直轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的兩條直線垂直。

以上這些都是數(shù)學(xué)思想中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，通過轉(zhuǎn)化可以使問題得以大大簡化。

四 培養(yǎng)空間想象力

為了培養(yǎng)空間想象力，可以在剛開始學(xué)習(xí)時(shí)，動(dòng)手制作一些簡單的模型用以幫助想象。例如：正方體或長方體。在正方體中尋找線與線、線與面、面與面之間的關(guān)系。通過模型中的點(diǎn)、線、面之間的位臵關(guān)系的觀察，逐步培養(yǎng)自己對空間圖形的想象能力和識(shí)別能力。其次，要培養(yǎng)自己的畫圖能力?？梢詮暮唵蔚膱D形(如：直線和平面)、簡單的幾何體(如：正方體)開始畫起。最后要做的就是樹立起立體觀念，做到能想象出空間圖形并把它畫在一個(gè)平面(如：紙、黑板)上，還要能根據(jù)畫在平面上的“立體”圖形，想象出原來空間圖形的真實(shí)形狀?？臻g想象力并不是漫無邊際的胡思亂想，而是以提設(shè)為根據(jù)，以幾何體為依托，這樣就會(huì)給空間想象力插上翱翔的翅膀。

五 總結(jié)規(guī)律，規(guī)范訓(xùn)練

立體幾何解題過程中，常有明顯的規(guī)律性。例如：求角先定平面角、三角形去解決，正余弦定理、三角定義常用，若是余弦值為負(fù)值，異面、線面取銳角。對距離可歸納為：距離多是垂線段，放到三角形中去計(jì)算，經(jīng)常用正余弦定理、勾股定理，若是垂線難做出，用等積等高來轉(zhuǎn)換。不斷總結(jié)，才能不斷高。還要注重規(guī)范訓(xùn)練，高考中反映的這方面的問題十分嚴(yán)重，不少考生對作、證、求三個(gè)環(huán)節(jié)交待不清，表達(dá)不夠規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，因果關(guān)系不充分，圖形中各元素關(guān)系理解錯(cuò)誤，符號(hào)語言不會(huì)運(yùn)用等。這就要求我們在平時(shí)養(yǎng)成良好的答題習(xí)慣，具體來講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過程等一步步把題目演算出來。答題的規(guī)范性在數(shù)學(xué)的每一部分考試中都很重要，在立體幾何中尤為重要，因?yàn)樗⒅剡壿嬐评?。對于即將參加高考的同學(xué)來說，考試的每一分都是重要的，在“按步給分”的原則下，從平時(shí)的每一道題開始培養(yǎng)這種規(guī)范性的好處是很明顯的，而且很多情況下，本來很難答出來的題，一步步寫下來，思維也逐漸打開了。六 典型結(jié)論的應(yīng)用

在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，對于證明過的一些典型命題，可以把其作為結(jié)論記下來。利用這些結(jié)論可以很快地求出一些運(yùn)算起來很繁瑣的題目，尤其是在求解選擇或填空題時(shí)更為方便。對于一些解答題雖然不能直接應(yīng)用這些結(jié)論，但其也會(huì)幫助我們打開解題思路，進(jìn)而求解出答案。

第三篇：高中數(shù)學(xué)立體幾何初步知識(shí)點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)立體幾何初步知識(shí)點(diǎn)

高中幾何是高中的一個(gè)難點(diǎn)。大家只要記住下面這幾點(diǎn)相信你成績一定會(huì)突飛猛進(jìn)的！立體幾何初步:①柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體等內(nèi)容是立體幾何的基礎(chǔ)，也是研究空間問題的基本載體，是高考考查的重要方面，在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意這些幾何體的概念、性質(zhì)以及對面積、體積公式的理解和運(yùn)用。②三視圖和直觀圖是認(rèn)知幾何體的基本內(nèi)容，在高考中，對這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查集中在兩個(gè)方面，一是考查三視圖與直觀圖的基本知識(shí)和基本的視圖能力，二是根據(jù)三視圖與直觀圖進(jìn)行簡單的計(jì)算，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)。③幾何體的表面積和體積，在高考中有所加強(qiáng)，一般以選擇題、填空、簡答等形式出現(xiàn)，難度不大，但是常與其他問題一起考查④平面的基本性質(zhì)與推理主要包括平面的有關(guān)概念，四個(gè)公理，等角定理以及異面直線的有關(guān)知識(shí)，是整個(gè)立體幾何的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對有關(guān)概念、定理的理解。⑤平行關(guān)系和垂直關(guān)系是立體幾何中的兩種重要關(guān)系，也是解決立體幾何的重要關(guān)系，要重點(diǎn)掌握。跟幾何說886吧，只要用心去學(xué)，相信成績上不會(huì)再因?yàn)閹缀味鴣G大量的分?jǐn)?shù)！

第四篇：高中數(shù)學(xué)立體幾何部分定理

高中數(shù)學(xué)立體幾何部分定理

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。

公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線。

公理3： 過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論1: 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。

公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。

空間兩直線的位置關(guān)系：空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面

1、按是否共面可分為兩類：

（1）共面：平行、相交

（2）異面：

異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。

兩異面直線所成的角：范圍為(0°，90°)esp.空間向量法 兩異面直線間距離: 公垂線段(有且只有一條)esp.空間向量法

2、若從有無公共點(diǎn)的角度看可分為兩類：

（1）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)——相交直線；（2）沒有公共點(diǎn)——平行或異面

直線和平面的位置關(guān)系： 直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行

①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

②直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。esp.空間向量法(找平面的法向量)

規(guī)定：a、直線與平面垂直時(shí)，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角

由此得直線和平面所成角的取值范圍為 [0°，90°]

最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角

三垂線定理及逆定理: 如果平面內(nèi)的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直

esp.直線和平面垂直

直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個(gè)平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面 互相垂直.直線a叫做平面 的垂線，平面 叫做直線a的垂面。

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。

直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

③直線和平面平行——沒有公共點(diǎn)

直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么我們就說這條直線和這個(gè)平面平行。

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。

兩個(gè)平面的位置關(guān)系：

（1）兩個(gè)平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點(diǎn)

（2）兩個(gè)平面的位置關(guān)系：

兩個(gè)平面平行-----沒有公共點(diǎn)； 兩個(gè)平面相交-----有一條公共直線。a、平行

兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么交線平行。

b、相交

二面角

（1）半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中每一個(gè)部分叫做半平面。

（2）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 [0°，180°]

（3）二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。

（4）二面角的面：這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.兩平面垂直

兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。記為 ⊥

兩平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直

兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

Attention：

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系）

多面體

棱柱

棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。

棱柱的性質(zhì)

（1）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形

（2）兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形

（3）過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（對角面）是平行四邊形

棱錐

棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐

棱錐的性質(zhì)：

（1）側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形

（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方

正棱錐

正棱錐的定義：如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

正棱錐的性質(zhì)：

（1）各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。

（3）多個(gè)特殊的直角三角形

esp： a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。

b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。

Attention：

1、注意建立空間直角坐標(biāo)系

2、空間向量也可在無坐標(biāo)系的情況下應(yīng)用

多面體歐拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=

2正多面體只有五種：正四、六、八、十二、二十面體。

球

attention：

1、球與球面積的區(qū)別

2、經(jīng)度（面面角）與緯度（線面角）

3、球的表面積及體積公式

4、球內(nèi)兩平行平面間距離的多解性

cool2009-01-29 15:44

兩點(diǎn)確定一直線，兩直線確定一平面。

一條直線a與一個(gè)平面o垂直，則該直線與平面o內(nèi)任何一條直線垂直。

一條直線a與一平面o內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與該平面垂直。若直線a在平面y內(nèi)，則平面y與平面o垂直。

平面o與平面y相交，相交直線為b，若平面o內(nèi)衣直線a與直線b垂直，則平面o與平面y垂直。

一條直a與平面o內(nèi)任何一條直線平行，則直線a與平面o平行。

直線a與平面o以及平面y都垂直，則平面o與平面y平行。

第五篇：高中數(shù)學(xué)立體幾何模塊公理定理

高中數(shù)學(xué)立體幾何模塊公理定理匯編

Hzoue/2009-12-12

公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．

A?l，B?l，且A?α，B?α?l?α．（作用：證明直線在平面內(nèi)）

公理2 過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．（作用：確定平面）推論 ①直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面．

②兩條相交直線確定一個(gè)平面．

③兩條平行直線確定一個(gè)平面．

公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線． P?α，且P?β?α?β＝l，且P?l．（作用：證明三點(diǎn)/多點(diǎn)共線）

公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行．（平行線的傳遞性）空間等角定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)． 線面平行判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行． 面面平行判定定理 一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行． 推論 一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行，則這兩個(gè)平面平行． 線面平行性質(zhì)定理 一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任意平面與此平面的交線與該直線平行． 面面平行性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，則它們的交線平行． 線面垂直判定定理 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面平行． 三垂線定理 如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線的射影垂直，則它和這條斜線垂直． 逆定理 如果平面內(nèi)一條直線與平面的一條斜線垂直，則它和這條直線的射影垂直． 射影定理 從平面外一點(diǎn)出發(fā)的所有斜線段中，若斜線段長度相等則射影相等，斜線段較長則射影較長，斜線段較短則射影較短． 面面垂直判定定理 一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．

線面垂直性質(zhì)定理1 如果一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于平面內(nèi)的所有直線． 線面垂直性質(zhì)定理2 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．

面面垂直性質(zhì)定理1 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直． 面面垂直性質(zhì)定理2 兩個(gè)平面垂直，過一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與另一個(gè)平面垂直的直線在該平面內(nèi)．