第一篇：高二數(shù)學(xué)選修4-5《不等式選講》模塊結(jié)業(yè)測(cè)試題1

高二數(shù)學(xué)選修4-5《不等式選講》測(cè)試題

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

1、已知集合A?{x|x?0},B?{x|?1?x?2}，則A?B?（）

A、{x|x??1}B、{x|x?2}C、{x|0?x?2}D、{x|?1?x?2}

2、欲證2?3?A、2?7??

26?7，只需證（）

B、?2?6??

2?

3?6?

??

2?

3?7

?

C、2?3??

2D、?2?3?6????7?

x?y3、設(shè)x?0，y?0，A?

1?x?y，B?

x1?x

?

y1?y，則A、B的大小關(guān)系是（A、A?BB、A?BC、A?BD、不能確定

4、若n?0，則n?

32n

2的最小值為（）

A、2B、4C、6D、85、如果命題p(n)對(duì)n?k成立，則它對(duì)n?k?2也成立，又命題p(n)對(duì)n?2成立，則下列結(jié)論正確的是（）

A、命題p(n)對(duì)所有正整數(shù)n成立B、命題p(n)對(duì)所有大于2的正整數(shù)n成立C、命題p(n)對(duì)所有奇正整數(shù)n成立D、命題p(n)對(duì)所有偶正整數(shù)n成立

6、已知0?a,b?1，用反證法證明a(1?b),b(1?a)不能都大于時(shí)，反設(shè)正確的是（）

41A、a(1?b),b(1?a)都大于

4，B、a(1?b),b(1?a)都小于

414

C、a(1?b),b(1?a)都大于或等于D、a(1?b),b(1?a)都小于或等于

7、已知a,b都是實(shí)數(shù)，那么“a2?b2”是“a?b”的（）A、充分而不必要條件B、必要而不充分條件

C、充分且必要條件D、既不充分也不必要條件

8、已知不等式?x?y??則實(shí)數(shù)a的最大值為（）?????a對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立，xy??A、2B、4C、2D、16

9、已知a,b?R，且ab

?0

?11?，則（）

A、a?b?a?b

B、a?b

?a?b

C、a?b

?a?b

D、a?b?a?b10、已知a?0，b?0滿足a?b?2，則（）A、ab?

2B、ab?

2C、a2?b2?2D、a2?b2?

4二、填空題（共7小題，每小題3分，共21分）

11、若不等式|ax?2|?6的解集是（-∞，-1]?[2,??)，則a的值是___________.12、函數(shù)y?2?x?2x?1的最大值為：；

13、用數(shù)學(xué)歸納法證明n?N*,1?12?13???

1n?

n時(shí)，從“n?k”到

“n?k?1”，左邊需添加的代數(shù)式為：；

14、經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列不等式正確：2??2，4.5?.5?2，3?

2?

?

2?2，??，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)類(lèi)似的不

等式：；

15、有4人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿每個(gè)人的水桶分別需要5s，4s，3s，7s，每個(gè)人接完水后就離開(kāi)，則他們總的等候時(shí)間最短為：；

16、若由不等式x?

1x

?2，x?

4x

?3，??，可以推廣到x?

ax

n

?n?1a?R

?

?

?，則

實(shí)數(shù)a的值為：；

17、如果關(guān)于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則參數(shù)b的取值范圍為.三、解答題（本大題5小題，共39分）

四、18、（8分）已知m,n?R?，求證：m3?n3?m2n?mn219、（8分）解不等式： |x?1|?|x?2|?5|x?1|?5?x|x?2|?5?x20、（8分）①、已知：a,b?R?，a?b?4，證明②、已知：a,b,c?R?，a?b?c?9，證明

21、（8分）已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn,Sn?（1）求a1,a2,a3；

（2）猜想數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式并證明你的結(jié)論。

3(an?1)(n?N).?

1a1c

?

1b

?1；

1a

?

1b

?

?1；

并類(lèi)比上面的結(jié)論，寫(xiě)出推廣后的一般性結(jié)論（不需證明）。

22、(本題滿分12分）(1)證明:5??3?8

(2)已知a,b,c?R?，且a?b?c?1，求證：(?1)(?1)(?1)?8

a

b

c

附加題、（本

題滿

分122(n?1?1)?

1?1???

1?2n(n?N)

2n）

分）用放縮法證: 明

高二數(shù)學(xué)選修4-5《不等式選講》結(jié)業(yè)測(cè)試參考答案

二、填空題（共7小題，每小題3分，共21分）

11、；12、13、14、5??2(答案不唯一)；15、16、nn；

17、；

第Ⅱ卷（共5題，總分39分）

三、解答題（本大題5小題，共39分）

18、已知m,n?R?，求證：m3?n3?m2n?mn

2方法一：作差比較：m3?n3?(m2n?mn2)???(m?n)(m?n)2 方法二：排序不等式：不妨設(shè)m?n，?m2?n2

根據(jù)排序不等式：m3?n3?m?m2?n?n2?m2n?mn219、解不等式： |x?1|?|x?2|?5 解：方法一：零點(diǎn)分段討論：{x|?3?x?2}

方法二：數(shù)形結(jié)合法：{x|?3?x?2}

20、①、已知：a,b?R?，a?b?4，證明②、已知：a,b,c?R?，a?b?c?9，證明

1a1a??1b1b?1； ?1c?1；

1k?

1；

并類(lèi)比上面的結(jié)論，寫(xiě)出推廣后的一般性結(jié)論（不需證明）。

解：①、根據(jù)柯西不等式：

(a?b)（1a?1b)?(a?

1a?b?

1b)

?4，?a?b?4，?

1a

?

1b

?

1②、根據(jù)柯西不等式：

(a?b?c)（1a?1b?1c)?(a?

1a?b?

1b?c?

1c)

?9，?a?b?c?9，?

1a

?

1b

?

1c

?

1可以推廣：a1?a2???an?n，則：

1a1

?

1a

2???

1an

?1；

21、已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn,Sn?

(an?1)(n?N).?

（1）求a1,a2,a3；（2）猜想數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式并證明你的結(jié)論。解:(1)由S1?又S2?

又S3?

131313

(a1?1),得a1?

(a1?1)∴a1??13

(a2?1),即a1?a2?(a2?1),得 a2?13

.18

(a3?1),即a1?a2?a3?(a3?1),得 a3??1

.(2)猜想數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式：an?(?)n

證法一：數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)n=k+1時(shí),ak?1?Sk?1?Sk??ak?1?

ak?1??

1313

(ak?1?1)?ak??

(ak?1)?12

k

ak?1?12)

?

ak?

?

ak?1?

ak

?(?),ak?1?(?

k?1，命題成立。

證法二：當(dāng)n>1時(shí),an?Sn?Sn?1?得

anan?1

??

12,所以?an?是首項(xiàng)為?

(an?1)?

1312

(an?1?1)，公比為?的等比數(shù)列.所以，an?(?)n

第二篇：選修4-5----不等式選講測(cè)試題

選修4-5不等式選講測(cè)試題

一.選擇題：

1.若a,b是任意的實(shí)數(shù),且a>b,則()A．a(chǎn)2?b2B．2.若

1a?1b

?0,則下列不等式中

b

1a1b

?1C． lg(a-b)>0D．()?()

22a

(1)a?b?ab

(2)|a|>|b|(3)a

ba

?

ab

?

2正確的個(gè)數(shù)是()

A．1B． 2C． 3D．4 3.不等式|x-1|+|x+2|?5的解集為()

A． ???,?2???2,???B． ???,?1???2,???C． ???,?2???3,???D．???,?3???2,??? 4.下列結(jié)論不正確的是()A．x,y為正數(shù),則

xy?yx

?2B．

x?2x?

122

?2C．lgx?logx10?2D．a(chǎn)?0,則(1?a)(1?

1a)?

45.如果a>0,且a?1,M?loga(a3?1),N?loga(a2?1),那么()

A．M>NB．M0,則n+A．2

32n

2的最小值為()

C．6

D． 8

B．4

7.已知3x+y=10,則x2?y2的最小值為()A．

B．10C．1D．100

8.函數(shù)y=5x?1?25?x的最大值為()

A．108B．63C．10D．279.已知0?a,b?1，用反證法證明a(1?b),b(1?a)不能都大于A．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都大于

時(shí)，反設(shè)正確的是()

14，B．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都小于

C．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都大于或等于D．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都小于或等于

10.已知a,b?R，且abA．a(chǎn)?b

?a?b

?0，則()

?a?b

B．a(chǎn)?b

aa?b?c

C．a(chǎn)?b

cc?d?a

?a?b

D．a(chǎn)?b

?a?b

11.a,b,c?R

?，設(shè)

S??

bb?c?d

??

dd?a?b，則下列判斷中正確的是()

A． 0?S?1B． 1?S?2C． 2?S?3D． 3?S?4

1111

312．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的過(guò)程中，由n＝k遞推

n＋1n＋22n14

到n＝k＋1時(shí)不等式左邊()

A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)、2?k＋1?2k＋12k＋2

C．增加了B中兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)D．以上各種情況均不對(duì)

k＋1二．填空題：

13.已知2x?3y?6z?12，求x2?y2?z2的最小值是 14.已知a1=,an+1=

3anan?3,則an=____________

15.如果關(guān)于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則b的取值范圍為16.設(shè)A?

?

?1

?

?2

????

?1，則A與1的大小關(guān)系是_____________

三．解答題：

17．（12分）（1）證明：a2?b2?2(2a?b)?5(2)證明：5??3?8

18.（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1?

12?13???

n

?

n?22,?n?N,n?2?

19.（12分）已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)證明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．

20.（12分）已知對(duì)于任意正數(shù)a1,a2,a3,有不等式:a1?

1a1

?1,(a1?a2)?（1a1

?1a2)?4,(a1?a2?a3)?（1a1

?

1a2

?

1a3)?9,…

(1)從上述不等式歸納出一個(gè)適合任意正數(shù)a1,a2,...,an的不等式.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你歸納得到的不等式.21（22分）如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，∠MBC＝45°,PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°.（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；

（2）求異面直線PA和BC所成角的余弦值；

（3）求直線AB與平面MAC所成角的正弦值；（4）求二面角M?AC?B的余弦值；（5）求三棱錐P?MAC的體積。

第三篇：數(shù)學(xué)選修4-5不等式選講教案

選修4-5 不等式選講

課 題：

不等式的基本性質(zhì)

二、不等式的基本性質(zhì)：

1、實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：

數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)，從實(shí)數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知：

a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?a?b?0

得出結(jié)論：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)即可。

2、不等式的基本性質(zhì)：

①、如果a>b，那么bb。(對(duì)稱(chēng)性)②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>c。③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>b?a+c>b+c。

推論：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b，c>d ?a+c>b+d． ④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac

⑤、如果a>b >0，那么an?bn(n?N，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么na?nb(n?N，且n>1)。

課 題：

含有絕對(duì)值的不等式的證明

一、引入：

證明一個(gè)含有絕對(duì)值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對(duì)值的和、差、積、商的性質(zhì)：

（1）a?b?a?b（2）a?b?a?b（3）a?b?a?b（4）

ab?a(b?0)b請(qǐng)同學(xué)們思考一下，是否可以用絕對(duì)值的幾何意義說(shuō)明上述性質(zhì)存在的道理？ 實(shí)際上，性質(zhì)a?b?a?b和

ab?a(b?0)可以從正負(fù)數(shù)和零的乘法、除法法則直接推出；而b絕對(duì)值的差的性質(zhì)可以利用和的性質(zhì)導(dǎo)出。因此，只要能夠證明a?b?a?b對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明。

現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們討論一個(gè)問(wèn)題：設(shè)a為實(shí)數(shù)，a和a哪個(gè)大？

顯然a?a，當(dāng)且僅當(dāng)a?0時(shí)等號(hào)成立（即在a?0時(shí)，等號(hào)成立。在a?0時(shí)，等號(hào)不成立）。同樣，a??a.當(dāng)且僅當(dāng)a?0時(shí)，等號(hào)成立。

含有絕對(duì)值的不等式的證明中，常常利用a??a、a??a及絕對(duì)值的和的性質(zhì)。

二、典型例題：

例

1、證明（1）a?b?a?b，（2）a?b?a?b。

證明（1）如果a?b?0,那么a?b?a?b.所以a?b?a?b?a?b.如果a?b?0,那么a?b??(a?b).所以a?b??a?(?b)??(a?b)?a?b

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，有a?b??b?a?b?b，就是，a?b?b?a。

所以，a?b?a?b。

探究：試?yán)媒^對(duì)值的幾何意義，給出不等式a?b?a?b的幾何解釋?zhuān)?/p>

含有絕對(duì)值的不等式常常相加減，得到較為復(fù)雜的不等式，這就需要利用例1，例2和例3的結(jié)果來(lái)證明。

cc例

4、已知 x?a?,y?b?，求證(x?y)?(a?b)?c.22證明(x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b)?x?a?y?b（1）

?x?a?cc,y?b?，22cc∴x?a?y?b???c（2）

22由（1），（2）得：(x?y)?(a?b)?c

aa,y?.求證：2x?3y?a。46aaaa證明 ?x?,y?，∴2x?,3y?，4622aa由例1及上式，2x?3y?2x?3y???a。

22注意： 在推理比較簡(jiǎn)單時(shí)，我們常常將幾個(gè)不等式連在一起寫(xiě)。但這種寫(xiě)法，只能用于不等號(hào)方向相同的不等式。

課 題：

含有絕對(duì)值的不等式的解法

一、引入：

在初中課程的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)對(duì)不等式和絕對(duì)值的一些基本知識(shí)有了一定的了解。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)討論含有絕對(duì)值的不等式。

關(guān)于含有絕對(duì)值的不等式的問(wèn)題，主要包括兩類(lèi)：一類(lèi)是解不等式，另一類(lèi)是證明不等式。下面分別就這兩類(lèi)問(wèn)題展開(kāi)探討。

1、解在絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的不等式（也稱(chēng)絕對(duì)值不等式），關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值符號(hào)，化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對(duì)值的意義.請(qǐng)同學(xué)們回憶一下絕對(duì)值的意義。例

5、已知x??x，如果x?0? 在數(shù)軸上，一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離稱(chēng)為這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對(duì)值。即x??0，如果x?0。

??x，如果x?0?

2、含有絕對(duì)值的不等式有兩種基本的類(lèi)型。

第一種類(lèi)型。設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對(duì)值的意義，不等式x?a的解集是，如{x|?a?x?a}，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于a的點(diǎn)的集合是開(kāi)區(qū)間（－a，a）圖所示。

?a 圖1-1 a

如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結(jié)果來(lái)解。

第二種類(lèi)型。設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對(duì)值的意義，不等式x?a的解集是 {x|x?a或x??a} 它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離大于a的點(diǎn)的集合是兩個(gè)開(kāi)區(qū)間(??,?a),(a,?)的并集。如圖1-2所示。

–a a

圖1-2 同樣，如果給定的不等式符合這種類(lèi)型，就可以直接利用它的結(jié)果來(lái)解。課 題：

平均值不等式

一、引入：

1、定理1：如果a,b?R，那么a2?b2?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）

證明：a2?b2?2ab?(a?b)2

當(dāng)a?b時(shí)，(a?b)2?0?22??a?b?2ab 2當(dāng)a?b時(shí)，(a?b)?0?1．指出定理適用范圍：a,b?R 強(qiáng)調(diào)取“=”的條件a?b。

2、定理2：如果a,b是正數(shù)，那么

a?b）?ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”證明：∵(a)2?(b)2?2ab ∴a?b?2ab

即：a?ba?b?ab 當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí) ?ab 22 注意：1．這個(gè)定理適用的范圍：a?R?；

2．語(yǔ)言表述：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

3、定理3：如果a,b,c?R?，那么a3?b3?c3?3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)取“=”）

證明：∵a3?b3?c3?3abc?(a?b)3?c3?3a2b?3ab2?3abc

?(a?b?c)[(a?b)2?(a?b)c?c2]?3ab(a?b?c)

?(a?b?c)[a2?2ab?b2?ac?bc?c2?3ab] ?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca)

?1(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2] 2∵a,b,c?R? ∴上式≥0 從而a3?b3?c3?3abc 指出：這里a,b,c?R? ∵a?b?c?0就不能保證。

推論：如果a,b,c?R?，那么

a?b?c3（當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)取“=”）?abc。證明：(3a)3?(3b)3?(3c)3?33a?3b?3c

?a?b?c?33abc

a?b?c3?abc

34、算術(shù)—幾何平均不等式： ?①．如果a1,a2,?,an?R?,n?1且n?N? 則：na1?a2???an叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，na1a2?an叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)；

②．基本不等式： a1?a2???an≥na1a2?an（n?N*,ai?R?,1?i?n）

n這個(gè)結(jié)論最終可用數(shù)學(xué)歸納法，二項(xiàng)式定理證明（這里從略）語(yǔ)言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

a?b③．?ab的幾何解釋?zhuān)?/p>

2以a?b為直徑作圓，在直徑AB上取一點(diǎn)C，過(guò)C作弦DD’?AB 則CD2?CA?CB?ab，a?b從而CD?ab，而半徑?CD?ab。

2課 題：

不等式的證明方法之一：比較法

課 題：

不等式的證明方法之二：綜合法與分析法 課 題： 不等式的證明方法之三：反證法

課 題：

不等式的證明方法之四：放縮法與貝努利不等式

DAaOCbB 4

第四篇：不等式選講測(cè)試題

不等式選講測(cè)試題

一、選擇題：(本大題共8小題，每小題5分，共40分．)

1．若a,b是任意的實(shí)數(shù),且a>b,則()

(A)a?b(B)

2．不等式2211b?1(C)lg(a-b)>0(D)()a?()b 22a2??3的解集是()x

2222(A)(??,?)(B)(??,?)?(0,??)(C)(?,0)?(0,??)(D)(?,0)3333

3．在直徑為4的圓內(nèi)接矩形中,最大的面積是()

(A)4(B)2(C)6(D)8

4．已知3x+y=10,則x2?y2的最小值為（）

1(B)．10(C)．1(D)．100 10

5．不等式|x-1|+|x+2|?5的解集為()(A)．

(A).???,?2???2,???(B).???,?1???2,???

(C).???,?2???3,???(D).???,?3???2,???

6．若n>0,則n+32的最小值為()2n

A．2B．4C．6D． 8

7．若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的最值范圍為()

A.?6,???B.?9,???C.???,9?D.8．已知a,b,c是正實(shí)數(shù),且a+b+c=1,則111??的最小值為()abc

A..3B.6C.9D.12

二．填空題：本大題共6小題；每小題5分，共30分．

9．函數(shù)y=5x?1?25?x的最大值為；

10．若不等式mx?mx?1?0對(duì)一切x?R都成立，則m的取值范圍是11．如果關(guān)于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則參數(shù)b的取值范圍2

為.12．建造一個(gè)容積為18 m，深為2 m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁每平方米的造價(jià)分別為200元和150元，那么池的最低造價(jià)為：__________.13．設(shè)a, b?R?，若a?b?5，求a?2b的最大值為：_______。

14．（1）ba?≥2成立當(dāng)且僅當(dāng)a,b均為正數(shù)。ab223

（2）y?2x2?3,(x?0)的最小值是34。x

2273（3）y?x(a?2x)2,(0?x?a)的最大值是2a。

（4）|a＋1|≥2成立當(dāng)且僅當(dāng)a≠0。a

以上命題是真命題的是：

15.(15分)已知數(shù)列{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)于一切n?N均有an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng)。

（1）計(jì)算a1,a2,a3,并由此猜想{an}的通項(xiàng)公式an；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中你的猜想。

16.(15分)解不等式?x?3x?2?4?3x2?

答案:

DBDBDCBC 9.22910.?4?m?011.b>912.540013.514.(4)(5)

2a?2(a?2)nn15.解：（1）由可求得a1?Sn得Sn?28?2,a2?6,a3?10，┈5分

由此猜想{an}的通項(xiàng)公式an?4n?2(n?N?)。┈┈┈7分

（2）證明：①當(dāng)n?1時(shí)，a1?2，等式成立；┈┈┈9分②假設(shè)當(dāng)n?k時(shí)，等式成立，即ak?4k?2，┈┈┈11分

(ak?1?2)2(ak?2)2

?ak?1?Sk?1?Sk??88

?(ak?1?ak)(ak?1?ak?4)?0,又ak?1?ak?0

?ak?1?ak?4?0，?ak?1＝ak＋4?4k－2＋4?4(k?1)?2

?當(dāng)n?k?1時(shí)，等式也成立。┈┈┈13分 由①②可得an?4n?2(n?N?)成立。┈┈┈15分 16解：原不等式等價(jià)于下列兩個(gè)不等式組得解集的并集：

?4?3x?0??x2?3x?2?0?2Ⅰ：??x?3x?2?04分Ⅱ：?4分 ?4?3x?0??x2?3x?2?(4?3x)2?

4?x??3464?解Ⅰ：?1?x?2??x? 3分解Ⅱ：?x?23分 353?6?x?3

?52?

6∴原不等式的解集為{x|?x?2} 2分 5

第五篇：人教數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)選修不等式選講簡(jiǎn)介

人教數(shù)學(xué)（A版）培訓(xùn)手冊(cè)之三十九──“不等式選講”簡(jiǎn)介

人教A版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（選修4-5）《不等式選講》是根據(jù)教育部制訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)課程標(biāo)準(zhǔn))的選修4系列第5專(zhuān)題“不等式選講”的要求編寫(xiě)的。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，本專(zhuān)題介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學(xué)歸納法和它的簡(jiǎn)單應(yīng)用

一、內(nèi)容與要求1．回顧和復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)和基本不等式。

2．理解絕對(duì)值的幾何意義，并能利用絕對(duì)值不等式的幾何意義證明以下不等式：（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；（3）會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類(lèi)型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。3．認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。（1）證明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|。（2）證明：（a+b）(c+d)≥(ac+bd)。（3）證

明：

≥。4．用22222參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況：5．用向量遞歸方法討論排序不等式。6．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。7．會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：(1＋x)＞1＋nx（x＞-1,n為正整數(shù)）。了解當(dāng)n為實(shí)數(shù)時(shí)貝努利不等式也成立。

8．會(huì)用上述不等式證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。9．通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。

二、內(nèi)容安排 本專(zhuān)題內(nèi)容分成四講，結(jié)構(gòu)如下圖所n

示：

本專(zhuān)題的內(nèi)容是在初中階段掌握了不等式的基本概念，學(xué)會(huì)了一元一次不等式、一元一次不等式組的解法，多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)高中必修課五個(gè)模塊的基礎(chǔ)上展開(kāi)的．作為一個(gè)選修專(zhuān)題，教科書(shū)在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對(duì)的完整性．第一講是“不等式和絕對(duì)值不等式”，它是本專(zhuān)題的最基本內(nèi)容，也是其余三講的基礎(chǔ)．

本講的第一部分類(lèi)比等式的基本性質(zhì)，從“數(shù)與運(yùn)算”的基本思想出發(fā)討論不等式的基本性質(zhì)，這是關(guān)于不等式在運(yùn)算方面的一些最基本法則．接著討論基本不等式，介紹了基本不等式的一個(gè)幾何解釋?zhuān)骸爸苯侨切涡边吷系闹芯€不小于斜邊上的高”，并把基本不等式推廣到三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式．對(duì)于一般形式的均值不等式，則只作簡(jiǎn)單介紹，不給出證明．在此基礎(chǔ)上，介紹了它們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題中的一些應(yīng)用，如最基本的等周問(wèn)題，簡(jiǎn)單的極值問(wèn)題等。第二部分討論了有關(guān)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)及絕對(duì)值不等式的解法．絕對(duì)值是與實(shí)數(shù)有關(guān)的一個(gè)基本而重要的概念，討論關(guān)于絕對(duì)值的不等式具有重要的意義．

絕對(duì)值三角不等式是一個(gè)基本的結(jié)論，教科書(shū)首先引導(dǎo)學(xué)生借助于實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示和絕對(duì)值的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的運(yùn)算角度探究歸納出絕對(duì)值三角不等式，接著聯(lián)系向量形式的三角不等式，得到絕對(duì)值三角不等式的幾何解釋?zhuān)詈笥么鷶?shù)方法給出證明．這樣，數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生多角度認(rèn)識(shí)這個(gè)不等式，逐步深化對(duì)它的理解．利用絕對(duì)值三角不等式可以解決形如的函數(shù)的極值問(wèn)題，教科書(shū)安排了一個(gè)這樣的實(shí)際問(wèn)題

對(duì)于解含有絕對(duì)值的不等式，教科書(shū)只討論了兩種特殊類(lèi)型不等式的解法，而不是系統(tǒng)地對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行研究。教科書(shū)引導(dǎo)學(xué)生探討了形如解法，以及形如或或的不等式的的不等式的解法．學(xué)生通過(guò)這兩類(lèi)含有絕對(duì)值的不等式能夠基本學(xué)到解含有絕對(duì)值的不等式的一般思想和方法。第二講是“證明不等式的基本方法”．對(duì)于不等式的深入討論必須首先掌握一些基本的方法，所以本講內(nèi)容也是本專(zhuān)題的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容。本講通過(guò)一些比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，介紹了證明不等式的幾種常用而基本的方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法． 比較法是證明不等式的最基本的方法，比較法可以分為兩種，一種是相減比較法，它的依據(jù)是：

另一種是相除比較法，是把不等式兩邊相除，轉(zhuǎn)化為比較所得商式與1的大小關(guān)系，它的依據(jù)是：當(dāng)b＞0

時(shí)，在比較法的兩種方法中，相減比較法又是最基本而重要的一種方法。在證明不等式的過(guò)程中，根據(jù)對(duì)于不等式的條件和結(jié)論不同探索方向作分類(lèi)，證明方法又可以分為分析法和綜合法。在證明不等式時(shí)，可以從已知條件出發(fā)逐步推出結(jié)論的方法是綜合法；尋找結(jié)論成立的充分條件，從而證明不等式的方法就是分析法．證明不等式的方法還可以分為直接證法和間接證法，反證法是一種間接證法．它從不等式結(jié)論的反面出發(fā)，即假設(shè)要證明的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，得出矛盾結(jié)果，從而說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，而要證的原不等式結(jié)論成立

在證明不等式的過(guò)程中，有時(shí)通過(guò)對(duì)不等式的某些部分作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明的目的，這就是所謂的放縮法． 教科書(shū)對(duì)以上方法都結(jié)合實(shí)例加以介紹。本講內(nèi)容對(duì)進(jìn)一步

討論不等式提供了思想方法的基礎(chǔ)． 本講的教學(xué)內(nèi)容中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標(biāo)準(zhǔn)才引入到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的內(nèi)容。第三講是“柯西不等式和排序不等式”．本講介紹兩個(gè)基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用． 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎(chǔ)，有著廣泛的應(yīng)用．教科書(shū)首先介紹二維形式的柯西不等式，再?gòu)南蛄康慕嵌葋?lái)認(rèn)識(shí)柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類(lèi)型的函數(shù)極值中的應(yīng)用。在介紹了二維形式的柯西不等式的基礎(chǔ)上，教科書(shū)引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式以及三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，從幾何意義上發(fā)現(xiàn)二維形式的三角不等式。接著借助二維形式的柯西不等式證明了三角不等式。在一般形式的柯西不等式的基礎(chǔ)上，教科書(shū)安排了一個(gè)探究欄目，讓學(xué)生通過(guò)探究得出一般形式的三角不等式。排序不等式也

是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式

．有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡(jiǎn)捷的證明。教科書(shū)在討論排

序不等式時(shí)，展示了一個(gè)“探究——猜想——證明——應(yīng)用”的研究過(guò)程，目的是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)，初步認(rèn)識(shí)排序不等式的數(shù)學(xué)意義、證明方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用。

柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)正式引入到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中。第四講是“數(shù)學(xué)歸納法證明不等式”．本講介紹了數(shù)學(xué)歸納法及其在證明不等式中的應(yīng)用．對(duì)于某些不等式，必須借助于數(shù)學(xué)歸納法證明，所以在不等式選講的專(zhuān)題中安排這個(gè)內(nèi)容是很有必要的。教科書(shū)首先結(jié)合具體例子，提出尋找一種用有限步驟處理無(wú)限多個(gè)對(duì)象的方法的問(wèn)題．然后，類(lèi)比多米諾骨牌游戲，引入用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的方法，并分析了數(shù)學(xué)歸納法的基本結(jié)構(gòu)和用它證明命題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題（兩個(gè)步驟缺一不可）．接著舉例說(shuō)明數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式中的應(yīng)用，特別地，證明了貝努利不等式。本專(zhuān)題的教學(xué)重點(diǎn)：不等式基本性質(zhì)、基本不等式及其應(yīng)用、絕對(duì)值不等式的解法及其應(yīng)用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式、排序不等式及其應(yīng)用； 教學(xué)難點(diǎn)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式及其應(yīng)用、絕對(duì)值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運(yùn)用柯西不等式和排序不等式證明不等式；

本專(zhuān)題教學(xué)約需18課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）第一講 不等式和絕對(duì)值不等式

一、不等式約３課時(shí)

二、絕對(duì)值不等式約２課時(shí)第二講 證明不等式的基本方法

一、比較法約1課時(shí)

二、綜合法與分析法約2課時(shí)

三、反證法與放縮法約1課時(shí)

第三講 柯西不等式與排序不等式一、二維形式的柯西不等式約1課時(shí)二、一般形式的柯西不等式約1課時(shí)

三、排序不等式約2課時(shí)

第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

一、數(shù)學(xué)歸納法約2課時(shí)

二、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式約2課時(shí)

學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告約1課時(shí)

三、編寫(xiě)中考慮的幾個(gè)問(wèn)題

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，本專(zhuān)題應(yīng)該強(qiáng)調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學(xué)生對(duì)這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析解決問(wèn)題的能力，我們?cè)诮炭茣?shū)的編寫(xiě)中努力去實(shí)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的思想。

(一)重視展現(xiàn)不等式的幾何背景，力求讓學(xué)生對(duì)重要不等式有直觀理解

數(shù)量關(guān)系和空間形式是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面，不等式則是從數(shù)量關(guān)系的角度來(lái)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的。我們一般借助于代數(shù)方法證明不等式。代數(shù)證明要經(jīng)過(guò)一系列的變形，人們常常不能很直接地看出其中的數(shù)量關(guān)系。而借助于幾何的方法，把不等式中的有關(guān)量適當(dāng)?shù)赜脠D形中的幾何量表示出來(lái)，則往往能很好地指明不等關(guān)系，使學(xué)生從幾何背景的角度，直觀地，從而也是直接地理解不等式。本專(zhuān)題中的重要不等式都有明顯的幾何背景，教科書(shū)注意呈現(xiàn)不等式的幾何背景，幫助學(xué)生理解不等式的幾何本質(zhì)。如對(duì)于是借助于面積關(guān)系，絕對(duì)值三角不等式是借助于向量和三角形中的邊長(zhǎng)關(guān)系，柯西不等式是借助于向量運(yùn)算，排序不等式是借助于三角形的面積。這樣，逐漸引導(dǎo)學(xué)生在面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能從幾何角度去思考問(wèn)題，找到解決問(wèn)題的途徑

(二)重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

數(shù)學(xué)思想是對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)（數(shù)學(xué)中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本質(zhì)的、高度抽象和概括的認(rèn)識(shí)，帶有普遍的指導(dǎo)意義，蘊(yùn)涵于運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程之中。數(shù)學(xué)方法是研究或解決數(shù)學(xué)問(wèn)題并使之達(dá)到目的的手段、方式、途徑或程序。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深對(duì)于具體數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。本專(zhuān)題的內(nèi)容包涵了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如應(yīng)用重要不等式解決實(shí)際問(wèn)題中體現(xiàn)出來(lái)的優(yōu)化思想，在重要不等式的呈現(xiàn)過(guò)程中的數(shù)形結(jié)合思想，在解不等式中體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化的思想，函數(shù)思想，以及證明不等式的比較法、綜合與分析法、放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法，在證明柯西不等式中的配方法等，對(duì)于這些數(shù)學(xué)思想和方法，教科書(shū)都及時(shí)作歸納和總結(jié)，使學(xué)生能夠結(jié)合具體的問(wèn)題加以理解和體會(huì)。

(三)重視引導(dǎo)學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式的改進(jìn)

在目前的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐仍存在一些問(wèn)題，就學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，比較突出的就是被動(dòng)的接受式的學(xué)習(xí)，教師偏重于灌輸式的教學(xué)，啟發(fā)式的教學(xué)原則做得不夠。學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)不強(qiáng)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力不強(qiáng)，獨(dú)立地解決問(wèn)題的能力也不強(qiáng)。針對(duì)這種情況，教科書(shū)重視引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，教科書(shū)設(shè)置了許多探究欄目，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探究，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類(lèi)比提出問(wèn)題及其解決方法，對(duì)于數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行特殊化、作推廣。例如，在講述了基本不等式以后，教科書(shū)就提出了一個(gè)思考問(wèn)題：“對(duì)于三個(gè)正數(shù)會(huì)有怎樣的不等式成立呢？”在證明了關(guān)于三個(gè)正數(shù)的均值不等式以后，又直接給出了一般的均值不等式；在證明了二維和三維的柯西不等式以后，就設(shè)置了一個(gè)探究性問(wèn)題“對(duì)比二維形式三維形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式嗎？”；再如“一般形式的三角不等式應(yīng)該是怎樣的？如何應(yīng)用一般形式的柯西不等式證明它？請(qǐng)同學(xué)自己探究?！钡鹊龋@樣的探究性問(wèn)題在教科書(shū)中處處可見(jiàn)。

(四)注意發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)

重要不等式在許多實(shí)際問(wèn)題中可以得到應(yīng)用，在實(shí)際工作中常常能起到節(jié)約能源，降低成本，提高效率，加快速度等作用。在本專(zhuān)題中，教科書(shū)注意體現(xiàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際工作中的廣泛應(yīng)用，編寫(xiě)了一些體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的例、習(xí)題。如經(jīng)典的等周問(wèn)題、盒子體積問(wèn)題、施工隊(duì)臨時(shí)生活區(qū)選點(diǎn)問(wèn)題、關(guān)于面積和體積的最值問(wèn)題。通過(guò)這些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的作用。

四、對(duì)教學(xué)的幾個(gè)建議

(一)注意把握教學(xué)要求

無(wú)論是不等式還是數(shù)學(xué)歸納法，都已經(jīng)發(fā)展成為內(nèi)容非常豐富的初等數(shù)學(xué)分支，也出版了一些專(zhuān)門(mén)的論著，老師們對(duì)于這些內(nèi)容一般都有豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，很容易把這些內(nèi)容作一

些拓展和補(bǔ)充。所以，在這個(gè)專(zhuān)題的教學(xué)中，要特別注意把握好教學(xué)要求，不要隨意提高教學(xué)要求，而應(yīng)該按照數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求來(lái)控制教學(xué)的深廣度。課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于本專(zhuān)題的幾個(gè)教學(xué)內(nèi)容都明確的教學(xué)要求，如：對(duì)于解含有絕對(duì)值的不等式，只要求能解幾種特殊類(lèi)型的不等式，不要求學(xué)生會(huì)解各種類(lèi)型的含有絕對(duì)值的不等式。對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式的要求也只要求會(huì)證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。只要求通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法，會(huì)利用所學(xué)的不等式證明一些簡(jiǎn)單不等式，等等。

另外，在不等式和數(shù)學(xué)歸納法的許多問(wèn)題中，常常需要一些技巧性比較強(qiáng)的恒等變形，在本專(zhuān)題的教學(xué)中則要控制這方面的教學(xué)要求，不要使教學(xué)陷于過(guò)于形式化和復(fù)雜的恒等變形的技巧之中，教學(xué)中不要補(bǔ)充一些代數(shù)恒等變形過(guò)于復(fù)雜或過(guò)于技巧化的問(wèn)題和習(xí)題，以免沖淡對(duì)于基本思想方法的理解，也不要引入一些過(guò)于專(zhuān)業(yè)和形式化、抽象化的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法的理解，不必要求學(xué)生對(duì)于方法的理解水平提高到專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)工作者才需要的數(shù)學(xué)理論高度，而只需要通過(guò)一些學(xué)生容易理解的數(shù)學(xué)問(wèn)題中加深對(duì)于方法的理解和掌握。對(duì)于大多數(shù)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，要重視通過(guò)比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解和掌握這部分的基本數(shù)學(xué)思想和方法。

當(dāng)然，對(duì)于部分確有余力的學(xué)生，仍可以適當(dāng)對(duì)于教學(xué)內(nèi)容作一些拓展，如可以介紹一般的均值不等式的證明及其應(yīng)用，以使學(xué)生對(duì)于這一重要不等式有一個(gè)比較完整的了解。

(二)要抓住教學(xué)重點(diǎn)

無(wú)論對(duì)于基本不等式、柯西不等式、排序不等式，還是解含有絕對(duì)值的不等式，不等式證明的方法，或數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)，都要抓住教學(xué)重點(diǎn)，抓住基本思想基本方法的教學(xué)，力求以簡(jiǎn)馭繁。對(duì)于幾個(gè)重要不等式，最基本的是二元(二維)的情況，核心的思想也是在二元(二維)的不等式中得到直接的體現(xiàn)；對(duì)于不等式的證明的最基本的方法是比較法；解含有絕對(duì)值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來(lái)加以討論，把含有絕對(duì)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式；讓學(xué)生能對(duì)數(shù)學(xué)歸納法思想真正理解和掌握，就能使學(xué)生靈活地加以應(yīng)用。這樣，學(xué)生就能掌握本專(zhuān)題最基本也是最重要的知識(shí)。