第一篇：韓信點(diǎn)兵中的數(shù)學(xué)故事

韓信點(diǎn)兵中的數(shù)學(xué)故事

韓信點(diǎn)兵是一個(gè)有趣的游戲,如果你隨便拿一把棋子（數(shù)目在100粒左右）,先3粒3粒數(shù),不滿3粒的記下余數(shù)；再5粒5粒數(shù),不滿5粒的記下余數(shù)；最后7粒7粒地?cái)?shù),也把余數(shù)記下來(lái).然后根據(jù)每次的余數(shù),就可以知道你原來(lái)拿的棋子總共有多少.如：3個(gè)一數(shù)余1粒,5個(gè)一數(shù)余2粒,7個(gè)一數(shù)余2粒,那么原有棋子是多少呢? 它的算法很簡(jiǎn)單,而且在我國(guó)古代就有.宋朝周密叫它“鬼谷算”或“隔墻算”；楊輝叫它“剪管術(shù)”；而“韓信點(diǎn)兵”是較通行的名稱.至于它的算法,在《孫子算經(jīng)》上早有說(shuō)明,后來(lái)在宋朝經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家秦九韶的推廣,又發(fā)現(xiàn)了一種算法,叫“大衍一術(shù)”.這就是外國(guó)人所稱的“中國(guó)剩余定理”,是數(shù)學(xué)史上極有名的問(wèn)題.那么到底怎樣來(lái)計(jì)算呢? A×70+b×21+c×15-105 其中a、b、c分別為3個(gè)、5個(gè)、7個(gè)一數(shù)的余數(shù).如果得出數(shù)還是比105大,就再減去105,一直到得數(shù)比105小為止.因此你可以很容易地知道,前面問(wèn)題的答案了 1×70+2×21+2×15-105=37（粒）.那么“韓信點(diǎn)兵”里為什么要3個(gè)一數(shù),5個(gè)一數(shù),7個(gè)一數(shù)呢?周其它的數(shù)可以嗎?我們先研究一下“韓信點(diǎn)兵”的解法“70a+21b+15c-105”.我們先來(lái)看一下70、21、15、105這4個(gè)數(shù)和3、5、7之間的關(guān)系：

（1）70=2×5×7,70=3×23+1,所以70是5和7的一個(gè)公倍數(shù),它被3除后余數(shù)是1.（2）同理,21是3與7的一個(gè)公倍數(shù),它被5除后余數(shù)是1.（3）15是3與5的一個(gè)公倍數(shù),它被7除后余數(shù)是1.（4）105=3×5×7,是3、5、7的最小公倍數(shù).根據(jù)上面的這些關(guān)系,“70a+21b+15c-105”確實(shí)是所求的得數(shù).所以,70a+21b+15c-105被3除的余數(shù)是1.據(jù)同樣的道理,這個(gè)數(shù)被5除后的余數(shù)是2,被7除后余數(shù)是2.那么,“韓信點(diǎn)兵”里為什么要用3、5、7這三個(gè)數(shù)呢?我們知道,3、5、7中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是1,也就是說(shuō)是兩兩互素.于是就可以找到這樣一個(gè)數(shù),是3、5、7其中兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù),而被另一個(gè)數(shù)除后余數(shù)是1,類似70、21、15.這也就是“韓信點(diǎn)兵”中的三個(gè)數(shù)的要求.那么不是兩兩互素的數(shù),是不是就一定找不到類似70、21、15的數(shù)呢?如4、6、7這三個(gè)數(shù),4與6不是互素,它們的最大公約數(shù)是2,而6與7的任何一個(gè)公倍數(shù)都是偶數(shù),被偶數(shù)4除后的余數(shù)也一定是偶數(shù),而不可能是1,所以是找到與70、21、15相當(dāng)?shù)娜齻€(gè)數(shù)的.因此在“韓信點(diǎn)兵”里就不能用.我們也可以不用3、5、7這三個(gè)數(shù),而換成其它兩兩互素的數(shù),如2、3、11.這時(shí)的計(jì)算式是“33a+22b+12c-66”.不信的話,你可以用上文中的例子試一試,看是不是37粒.

第二篇：古代的數(shù)學(xué)文化講解：韓信點(diǎn)兵

古代的數(shù)學(xué)文化講解：韓信點(diǎn)兵

小學(xué)是我們整個(gè)學(xué)業(yè)生涯的基礎(chǔ)，所以小朋友們一定要培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)為同學(xué)們特別提供了古代的數(shù)學(xué)文化講解，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助!

韓信點(diǎn)兵又稱為中國(guó)剩余定理，相傳漢高祖劉邦問(wèn)大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說(shuō)，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。

我們先考慮下列的問(wèn)題：假設(shè)兵不滿一萬(wàn)，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少?

首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數(shù)9945(注：因?yàn)?、9、13、17為兩兩互質(zhì)的整數(shù)，故其最小公倍數(shù)為這些數(shù)的積)，然後再加3，得9948(人)。

中國(guó)有一本數(shù)學(xué)古書(shū)「孫子算經(jīng)」也有類似的問(wèn)題：「今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問(wèn)物幾何?」

答曰：「二十三」

術(shù)曰：「三三數(shù)之剩二，置一百四十，五五數(shù)之剩三，置六十三，七七數(shù)之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數(shù)之剩一，則置七十，五五數(shù)之剩一，則置二十一，七七數(shù)之剩一，則置十五，即得。」

孫子算經(jīng)的作者及確實(shí)著作年代均不可考，不過(guò)根據(jù)考證，著作年代不會(huì)在晉朝之後，以這個(gè)考證來(lái)說(shuō)上面這種問(wèn)題的解法，中國(guó)人發(fā)現(xiàn)得比西方早，所以這個(gè)問(wèn)題的推廣及其解法，被稱為中國(guó)剩余定理。中國(guó)剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代數(shù)學(xué)中占有一席非常重要的地位。

以上就是古代的數(shù)學(xué)文化講解的全部?jī)?nèi)容，查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)歡迎大家閱讀。

第三篇：韓信點(diǎn)兵方法證明

關(guān)于韓信點(diǎn)兵問(wèn)題

公式的證明

設(shè)：第一次每排A人，最后剩余a人，第二次每排B人，最后剩余b人，第三次每排C人，最后剩余c人。按照求解方法的步驟是：

第一步

1找到滿足下列條件的k1、k2： ○

（B×C）·k1=A·k2+

12將上面的等式兩邊擴(kuò)大a(第一次最后剩余人數(shù))倍 ○

1式或：（B×C）·a ·k1=A·a·k2+a，……○

[(B×C）·a ·k1]÷A=a·k2……a第二步同法：

1找到滿足下列條件的k3、k4： ○

（A×C）·k3=B·k4+1

2將上面的等式兩邊擴(kuò)大b(第二次最后剩余人數(shù))倍 ○

2式或（A×C）·b·k3=B·b·k4+b……○

[(A×C)·b·k3]÷B=b·k4……b第三步同法：

3式或(A×B）·c ·k5 =C·c·k6+c……○

[（A×B）·c ·k5]÷C=c·k6……c

1○2○3式相加，并驗(yàn)證 第四步把○

1式(B×C）·a·k1= A·a·k2+a……○

2式(A×C）·b·k3 = B·b·k4+b……○

3式(A×B）·c·k5= C·c·k6+c……○

1○2○3式左邊相加 驗(yàn)證：○

1式說(shuō)明左邊除以A，余a ○

2式說(shuō)明左邊除以A，無(wú)余數(shù)； ○

3式說(shuō)明左邊除以A，也無(wú)余數(shù)； ○

1○2○3式相加，和除以A,余數(shù)必然是a;把○

同理:

1○2○3式相加，和除以B,余數(shù)必然是b;把○

1○2○3式相加，和除以C,余數(shù)必然是c;把○

最后總結(jié)一下：

該數(shù)=(B×C）·a·ka+(A×C）·b·kb+(A×B）·c·kc其中：

ka 滿足:(B×C）·ka= An+1取最小 kb 滿足:(A×C）·kb = Bn+1取最小 kc 滿足:(A×B）·kc= Cn+1取最小

第四篇：趣味數(shù)學(xué)教案—韓信點(diǎn)兵

韓信點(diǎn)兵

教學(xué)目標(biāo)：

一、讓學(xué)生在故事中學(xué)會(huì)帶余除法的算法，掌握剩余定理。

二、幫助學(xué)生開(kāi)拓邏輯思維，提前掌握用未知數(shù)列方程。

三、在學(xué)習(xí)中玩，在玩中學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的快樂(lè)。

教學(xué)重點(diǎn)：

剩余定理，帶余除法

教學(xué)難點(diǎn)：

多方程解未知數(shù)

課前準(zhǔn)備：

教學(xué)PPT

教學(xué)步驟：

一、韓信點(diǎn)兵

漢高祖劉邦曾問(wèn)大將韓信：“你看我能帶多少兵？”韓信斜了劉邦一眼說(shuō)：“你頂多能帶十萬(wàn)兵吧！”漢高祖心中有三分不悅，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韓信傲氣十足地說(shuō)：“我呀，當(dāng)然是多多益善啰！”劉邦心中又添了三分不高興，勉強(qiáng)說(shuō)：“將軍如此大才，我很佩服?，F(xiàn)在，我有一個(gè)小小的問(wèn)題向?qū)④娬?qǐng)教，憑將軍的大才，答起來(lái)一定不費(fèi)吹灰之力的?！表n信滿不在乎地說(shuō)：“可以可以。”劉邦狡黠地一笑，傳令叫來(lái)一小隊(duì)士兵隔墻站隊(duì)，劉邦發(fā)令：“每三人站成一排?！标?duì)站好后，小隊(duì)長(zhǎng)進(jìn)來(lái)報(bào)告：“最后一排只有二人?！薄皠钣謧髁睿骸懊课迦苏境梢慌拧！毙￡?duì)長(zhǎng)報(bào)告：“最后一排只有三人?！眲钤賯髁睿骸懊科呷苏境梢慌拧！毙￡?duì)長(zhǎng)報(bào)告：“最后一排只有二人?！眲钷D(zhuǎn)臉問(wèn)韓信：“敢問(wèn)將軍，這隊(duì)士兵有多少人？”韓信脫口而出：“二十三人。”劉邦大驚，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找個(gè)岔子把他殺掉，免生后患。”一面則佯裝笑臉夸了幾句，并問(wèn)：“你是怎樣算的？”韓信說(shuō)：“臣幼得黃石公傳授《孫子算經(jīng)》，這孫子乃鬼谷子的弟子，算經(jīng)中載有此題之算法.二、唐僧師徒摘桃子

一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不長(zhǎng)時(shí)間，徒弟三人摘完桃子高高興興回來(lái)。師父唐僧問(wèn)：你們每人各摘回多少個(gè)桃子？

八戒憨笑著說(shuō)：師父，我來(lái)考考你。我們每人摘的一樣多，我筐里的桃子不到100個(gè)，如果3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)到最后還剩1個(gè)。你算算，我們每人摘了多少個(gè)？

沙僧神秘地說(shuō)：師父，我也來(lái)考考你。我筐里的桃子，如果4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)到最后還剩1個(gè)。你算算，我們每人摘了多少個(gè)？

悟空笑瞇瞇地說(shuō)：師父，我也來(lái)考考你。我筐里的桃子，如果5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)，數(shù)到最后還剩1個(gè)。你算算，我們每人摘多少個(gè)？

唐僧很快說(shuō)出他們每人摘桃子的個(gè)數(shù)。你知道他們每人摘多少個(gè)桃子嗎？（61）

三、小題考一考

一個(gè)數(shù)，被3除余1，被5除余3，被7除余6，被11除余8，這個(gè)數(shù)是多少？（118）課堂總結(jié)

活躍氣氛，快樂(lè)學(xué)習(xí)。

第五篇：數(shù)學(xué)故事中的智慧

數(shù)學(xué)故事中的智慧 韓信點(diǎn)兵

有一次，韓信去校場(chǎng)清點(diǎn)兵馬，手指令旗，調(diào)遣軍隊(duì)，只見(jiàn)韓信呼啦啦把旗一揮，發(fā)出信號(hào)。士兵們的隊(duì)形馬上發(fā)生了變化，排成3列橫隊(duì)，前后對(duì)的整整齊齊。韓信默默記下了不足三人一排余下的人數(shù)。接著，韓信的令旗有一揮，士兵們排成5列橫隊(duì)，每五個(gè)人一排也對(duì)齊。韓信又記下最后一排不足5人的數(shù)。最后，韓信在變一次隊(duì)形，把整個(gè)軍隊(duì)變成7列橫隊(duì)，每七人一排也對(duì)齊。韓信就根據(jù)這三個(gè)數(shù)，算出缺席士兵的人數(shù)，看上去很容易，很快就完成了。

這道問(wèn)題運(yùn)用的是剩余定理

人們把這類問(wèn)題成為 中國(guó)剩余定理或?qū)O子訂立，中國(guó)古文明的火花閃耀出奪目的光輝。

他命令士兵3人一排，結(jié)果多出2名；接著命令士兵5人一排，結(jié)果多出3名；他又命令士兵7人一排，結(jié)果又多出2名。

1先算3、5、7的最小公倍數(shù)3*5*7=105

2再算符合除以3余2，除以5余3，除以7余2的最小值

除以3余2的數(shù)：5，8，11，14，17，20，23，26…

除以5余3的數(shù)：8，13，18，23，28…

除以7余2的數(shù)：9，16，23，30…

由上得出除以3余2，除以5余3，除以7余2的最小值為23

3韓信原有1500名士兵，苦戰(zhàn)一場(chǎng)死傷四五百?，F(xiàn)剩余士兵應(yīng)在1000-1100之間，并且現(xiàn)存的士兵數(shù)應(yīng)可以被105整除并且余數(shù)是23.所以現(xiàn)存士兵數(shù)應(yīng)該是105×10+23=1073人。

斐波納奇和兔子

有一對(duì)兔子，每一個(gè)月可以生下一對(duì)小兔子，而且假定小兔子在出生的第二個(gè)月便有生育能力，那么過(guò)一年后，問(wèn)一共能有多少對(duì)兔子？假設(shè)每產(chǎn)一對(duì)必須是一雌兔一雄兔，并且所有的兔子都能進(jìn)行相互交配，所生下來(lái)的兔子都能保證成活率。

究竟有多少對(duì)呢？我們不妨計(jì)算一下，一對(duì)兔子，在一個(gè)月后生出了一對(duì)，總數(shù)是兩對(duì)。而在這兩對(duì)當(dāng)中，只有第一對(duì)兔子有生育能力，因而兩個(gè)月后一共有三對(duì)兔子，三個(gè)月后第一第二對(duì)兔子都有生育能力，因此又新出生兩對(duì)兔子，總共有五對(duì)兔子，這樣依此類推，經(jīng)過(guò)一年（十二個(gè)月）后，兔子總數(shù)為233對(duì)。

我們現(xiàn)在把從1，1開(kāi)始，兩數(shù)相加得出后面一個(gè)數(shù)的數(shù)列叫斐波那契數(shù)列

斐波納契數(shù)列（Fibonacci Sequence），又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、有趣的是：前一項(xiàng)除以后一項(xiàng)，愈往后愈接近黃金分割比。而黃金分割比這一漂亮的比例結(jié)果早已深入人心，應(yīng)用十分廣泛。

沈括數(shù)壇

第二天。這堆酒壇果然吸引了不少顧客，老板望著酒壇，樂(lè)不可支。這時(shí)，一位衣冠楚楚的青年書(shū)生走了過(guò)來(lái)，面對(duì)酒壇，若有所思。老板心想：我昨天為了數(shù)清這堆酒壇，花了很大的功夫，這位青年相貌不凡，我倒要考考他看。

“年輕人，你知道這堆酒壇一共有多少個(gè)嗎?”老板半開(kāi)玩笑地問(wèn)道。

“這很容易，只要你告訴我這堆酒壇最上面的那層一共幾排，每排多少個(gè)，一共有幾層。根本不用數(shù)，我馬上就知道這堆酒壇的數(shù)目?！蹦贻p人這么說(shuō)話，顯然有十足的把握。

“噢!”老板心想：這位年輕人真會(huì)說(shuō)大話，不妨把他提的條件告訴他，看看他的能耐到底有多大。于是老板爽快地說(shuō)：

“最上面那層酒壇是四排，每排8個(gè)，第二層是五排，每排9個(gè)……”

“好了，一共七層，”年輕人打斷了老板的話，不加思索地報(bào)出了答案，“一共567個(gè)酒壇。對(duì)嗎?” 沈括回答老板說(shuō)：“我數(shù)這壇子的方法其實(shí)非常簡(jiǎn)單，因?yàn)樽钪虚g那層共77個(gè)，共七層，只要再乘7，最后加上常數(shù)28就行了?！?也就是

4*8+5*9+6*10+7*11+8*12+9*13+10*14=4*11-4*3+5*11-5*2+6*10-6*1+7*11+8*11+8+9*11+9*2+10*11+10*3=7*7*11+(-12-10-6+8+18+30)=7*7*11+28=567 沈括數(shù)壇的方法就是利用了高階等差級(jí)數(shù)求和的方法。數(shù)學(xué)上還可能碰到數(shù)字更大，項(xiàng)數(shù)更多的題目 投針試驗(yàn)

試驗(yàn)開(kāi)始公元1777年的一天，法國(guó)科學(xué)家D?布豐(D.Buffon 1707～1788)的家里賓客滿堂，原來(lái)他們是應(yīng)主人的邀請(qǐng)前來(lái)觀看一次奇特試驗(yàn)的，但見(jiàn)年已古稀的布豐先生興致勃勃地拿出一張紙來(lái)，紙上預(yù)先畫(huà)好了一條條等距離的平行線。接著他又抓出一大把原先準(zhǔn)備好的小針，這些小針的長(zhǎng)度都是平行線間距離的一半。然后布豐先生宣布：“請(qǐng)諸位把這些小針一根一根往紙上扔吧!不過(guò)，請(qǐng)大家務(wù)必把扔下的針是否與紙上的平行線相交告訴我。”

客人們不知布豐先生要玩什么把戲，只好客隨主意，一個(gè)個(gè)加入了試驗(yàn)的行列。一把小針扔完了，把它撿起來(lái)又扔，而布豐先生本人則不停地在一旁數(shù)著、記著，如此這般地忙碌了將近一個(gè)鐘頭。最后，布豐先生高聲宣布：“先生們，我這里記錄了諸位剛才的投針結(jié)果，共投針2212次，其中與平行線相交的704次。總數(shù)2212與相交數(shù)704的比值為3.142?！闭f(shuō)到這里，布豐先生故意停了停，并對(duì)大家報(bào)以神秘的一笑，接著有意提高聲調(diào)說(shuō)：“先生們，這就是圓周率π的近似值!”

布馮先生的理論后來(lái)發(fā)展成了概率論。隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，按照布馮的思路建立起了我們現(xiàn)在經(jīng)常用的“蒙特卡洛方法”