第一篇：培優(yōu)專題5_因式分解小結(jié)(含答案)

7、因式分解小結(jié)

【知識(shí)精讀】

因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運(yùn)算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

1.因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；

2.因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；

3.分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止；

4.公式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式；

5.結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成冪的形式；

6.題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；

7.因式分解的一般步驟是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；

（2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(xiàng)（添項(xiàng)）等方法；

下面我們一起來回顧本章所學(xué)的內(nèi)容。【分類解析】

1.通過基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的 例1.分解因式x5?x4?x3?x2?x?1

分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對(duì)值。本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。

證明：(x2?4)(x2?10x?21)?100

?(x?2)(x?2)(x?3)(x?7)?100

?(x?2)(x?7)(x?2)(x?3)?100

?(x2?5x?14)(x2?5x?6)?100

設(shè)y?x2?5x，則

原式?(y?14)(y?6)?100?y2?8y?16?(y?4)

2?無論y取何值都有(y?4)2?0?(x2?4)(x2?10x?21)?100的值一定是非負(fù)數(shù)

4.因式分解中的轉(zhuǎn)化思想

例：分解因式：(a?2b?c)3?(a?b)3?(b?c)3

分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。

解：設(shè)a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B ?原式?(A?B)3?A3?B3?A3?3A2B?3AB2?B3?A3?B

3?3A2B?3AB2?3AB(A?B)?3(a?b)(b?c)(a?2b?c)

說明：在分解因式時(shí)，靈活運(yùn)用公式，對(duì)原式進(jìn)行“代換”是很重要的。

中考點(diǎn)撥：

例1.在?ABC中，三邊a,b,c滿足a2?16b2?c2?6ab?10bc?0

求證：a?c?2b

?a2?a2?2a?1?(a2?a)2

?2(a2?a)?1?(a2?a)2?(a2?a?1)2

?62?72?422?(36?6?1)2?432?1849

說明：利用因式分解簡(jiǎn)化有理數(shù)的計(jì)算。

【實(shí)戰(zhàn)模擬】

1.分解因式：

（1）3x5?10x4?8x3?3x2?10x?8（2）(a?3a?3)(a?3a?1)?5（3）x2?2xy?3y2?3x?5y?2（4）x?7x?6

322

2.已知：x?y?6，xy??1，求：x3?y3的值。

3.矩形的周長(zhǎng)是28cm，兩邊x,y使x3?x2y?xy2?y3?0，求矩形的面積。

（2）解：原式?[(a2?3a)?3][(a2?3a)?1]?5

?(a2?3a)2?2(a2?3a)?8

?(a2?3a?4)(a2?3a?2)

?(a?4)(a?1)(a?1)(a?2)

（3）解：原式?(x?3y)(x?y)?3x?5y?2

?(x?3y?1)(x?y?2)

x-3y 1

x+y 2

（4）解：原式?7x3?6x3?7x?6

?7x3?7x?6x3?6?7x(x2?1)?6(x3?1)

?7x(x?1)(x?1)?6(x?1)(x2?x?1)?(x?1)(7x?7x?6x?6x?6)?(x?1)(x2?x?6)?(x?1)(x?3)(x?2)22

2.解：?x2?y2?(x?y)2?2xy

?36?2?38

?x3?y3?(x?y)(x2?xy?y2)

?6?(38?1)?234

3.解：?x3?x2y?xy2?y3?0

?(x3?y3)?xy(x?y)?0即(x?y)2(x?y)?0

?x?y?0又?x?y?14?x?y?7?面積為49cm2

4.證明：n3?5n

第二篇：9.5～9.6 因式分解(含答案)-

.cn

9．5～9.6因式分解

1．若（2x）n－81可分成（4x2+9）（2x+3）（2x－3）則n為（）

A．2B．4C．6D．8

2．下列各式可以用平方差公式分解的是（）

A．x3－y3B．a(chǎn)2+b2C．mx－nyD．－x2+y2

3．若（3x－y2）·M=y4－9x2，則M等于（）

A．－（3x+y2）B．－y2+3xC．3x+y2D．－3x+y2

4．把多項(xiàng)式－8a2b2c+16a2b2c2－24a3bc3分解因式，應(yīng)提?。ǎ?/p>

A．2ab2c3B．－4abcC．－8a2bcD．8a2b3c3

1n）2． 4

12004120056．計(jì)算：（－）+（－）=________． 225．m2－mn+______=（m－

7．若b－a=－6，ab=7，則a2b－ab2=_____．

8．若x+y=1，xy=－3，則yx?=_______． xy

9．若a+b=3，ab=－3，求a2－ab+b2的值．

10．試說明a2+b2+c2－ab－bc－ac一定為非負(fù)數(shù)．

x2?y2

11．設(shè)x（x－1）－（x－y）=2，求－xy的值． 2

212．已知三角形的三條邊長(zhǎng)分別為a、b、c，求代數(shù)式a2－2ab+b2－c值的正負(fù)．

13．將下列各式因式分解:

（1）（x－1）（x+3）+1；（2）x2－4y2－2x+1；

（3）9（2x－y）2－6（2x+y）+1．

14．已知a－b－c=16，求a（a－b－c）+b（c－a+b）+c（b－c－a）的值．

15．已知（x+y）2=3，（x－y）2=2，求x2+y2+6xy的值．

16．設(shè)m2+m－1=0，求m3+2m2+2004的值．

17．若a+1=b+2=c+3，求（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2的值．

答案:

1．B2．D3．A4．C5．

10．原式=12005127n6．（）7．428．－9．18243

13．（1）（x－2）2（2）（x+2y－1）（x－2y+1）（3）[3（2x－y）－1] 214．25615．416．200517．6[（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2]≥011．212．負(fù)2

第三篇：因式分解知識(shí)點(diǎn)小結(jié)

因式分解知識(shí)點(diǎn)小結(jié)

提公因式法

【知識(shí)要點(diǎn)】

知識(shí)點(diǎn)1 因式分解的定義

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.【注】(1)因式分解與整式乘法是相反方向的變形.(2)因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗(yàn).知識(shí)點(diǎn)2 公因式：

一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的相同的因式,叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因式.知識(shí)點(diǎn)3 提公因式法：

把一個(gè)多項(xiàng)式中的公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式法.【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】 1.方法規(guī)律：

一個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式必須由三部分組成：(1)、各項(xiàng)整數(shù)系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)、各項(xiàng)相同的字母；

(3)、相同因式的指數(shù)取最小次數(shù).2.解題方法：

(1)、用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公因式；

(2)、公因式提出后，剩下的因式的求法：用公因式去除多項(xiàng)式各項(xiàng)，所得商即為另一個(gè)因式.3.方法技巧：

(1)、用提公因式法分解因式的一般步驟：

○1 確定公因式

○2 把公因式提到括號(hào)外面后，用原多項(xiàng)式除以公因式所得商作為另一個(gè)因式.(2)、為了檢驗(yàn)分解因式的結(jié)果是否正確，可以用整式乘法運(yùn)算來檢驗(yàn).運(yùn)用公式法

【知識(shí)要點(diǎn)】

1．因式分解概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，就叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也可稱為將這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，它與整式乘法互為逆運(yùn)算.2．提公因式法；（1）多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.（2）公因式的構(gòu)成：①系數(shù)：各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；

②字母：各項(xiàng)都含有的相同字母；

③指數(shù)：相同字母的最低次冪.3．公式法：

（1）常用公式平方 差： a2?b2?(a?b)(a?b)

完全平方： a2?2ab?b2?(a?b)2

（2）常見的兩個(gè)二項(xiàng)式冪的變號(hào)規(guī)律：

①(a?b)2n?(b?a)2n； ②(a?b)2n?1??(b?a)2n?1．（n為正整數(shù)）

十字相乘、分組分解

【知識(shí)要點(diǎn)】 1.十字相乘法

（1）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式x?px?q中，如果能把常數(shù)項(xiàng)q分解成兩個(gè)因式

2a、b的積，并且a?b等于一次項(xiàng)系數(shù)p的值，那么它就可以把二次三項(xiàng)式x2?px?q分解成

x2?px?q?x2??a?b?x?ab??x?a??x?b?

（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式ax?bx?c中，如果能把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積，并且a1c2?a2c1等于一次項(xiàng)系數(shù)b的值，那么它就可以把二次三項(xiàng)式ax?bx?c分解成：

22ax2?bx?c?a1a2x2??a1c2?a2c1?x?c1c2??a1x?a??a2x?c2?.2．分組分解法

（1）定義：分組分解法，適用于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，例如a2?b2?a?b，既沒有公因式，又不能直接利用公式法分解，但是如果將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)分別結(jié)合，把原多項(xiàng)式分成兩組。再提公因式，即可達(dá)到分解因式的目的。例如：

a2?b2?a?b=(a2?b2)?(a?b)?(a?b)(a?b)?(a?b)?(a?b)(a?b?1)，這種利用分組來分解因式的方法叫分組分解法。

（2）原則：分組后可提取公因式或可以直接運(yùn)用公式，但必須使各組之間能繼續(xù)分解。（3）注意：有些多項(xiàng)式在用分組分解法時(shí)，分組的方法并不唯一，無論怎樣分組，只要能將多項(xiàng)式正確分解即可。

第四篇：培優(yōu)小結(jié)

培優(yōu)工作總結(jié)

一學(xué)期以來，我在“培優(yōu)輔差”工作過程中，能根據(jù)實(shí)際情況，有步驟、有措施地實(shí)施落實(shí)“培優(yōu)補(bǔ)差”的內(nèi)容，使學(xué)生能較好的得到發(fā)展。通過內(nèi)化教育，學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，學(xué)習(xí)積極性大大地被調(diào)動(dòng)起來。不管是優(yōu)等生或是后進(jìn)生，現(xiàn)都能明確自己的學(xué)習(xí)目的，不是為別人，而是為自己。學(xué)習(xí)風(fēng)氣較以前有了一定的變化。通過不斷的加強(qiáng)訓(xùn)練，幫助學(xué)生獲取一個(gè)個(gè)小成功，學(xué)生的自信心，意志力得到提高。現(xiàn)將一學(xué)期來的工作總結(jié)如下：

一、教學(xué)觀念的積極轉(zhuǎn)化，家長(zhǎng)的配合。

在工作過程中，首先是教學(xué)的觀念能積極轉(zhuǎn)化。由以前看分?jǐn)?shù)、注重優(yōu)生的輔、對(duì)潛能生耐心不足，“恨鐵不成鋼”，急功近利的心態(tài)，轉(zhuǎn)變?yōu)槟苷_看待每一個(gè)學(xué)生,以培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)的提高為自己工作的重點(diǎn)。在工作過程中能個(gè)體分析，群體分析，確立發(fā)展目標(biāo)和措施，找出每個(gè)學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)，缺點(diǎn)。潛在的優(yōu)點(diǎn)，缺點(diǎn)。新的生長(zhǎng)點(diǎn)，用發(fā)展的眼光看自己，分析別人。積極對(duì)待學(xué)生的每一個(gè)閃光點(diǎn)，施以恰如其分的鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)。及時(shí)召開家長(zhǎng)會(huì)和進(jìn)行家訪工作。特別是教學(xué)網(wǎng)站和網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的積極使用，拓寬了學(xué)生的視野，增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)學(xué)校、對(duì)課堂的喜愛。通過遠(yuǎn)程交流學(xué)習(xí)，激發(fā)了學(xué)生對(duì)獲取新知識(shí)、掌握新技能的渴望之情。通過增設(shè)競(jìng)賽活動(dòng)活躍了學(xué)生的學(xué)習(xí)生活，大大提高了學(xué)習(xí)興趣。使得每一位學(xué)生能安心于課堂的學(xué)習(xí)，逐漸變得乖巧了。把潛能生的厭學(xué)情緒抑制在一個(gè)最低點(diǎn)上。從而使班級(jí)成績(jī)達(dá)到了穩(wěn)步的提高。

二、在班級(jí)里設(shè)立不同層次的學(xué)習(xí)幫扶小組，確立學(xué)習(xí)目標(biāo)。

在班級(jí)里努力營(yíng)造一個(gè)良好的學(xué)習(xí)氛圍、改變老師補(bǔ)課、留課的陋習(xí)、把問題交給學(xué)生去獨(dú)立解決，老師起指導(dǎo)作用。其次，依據(jù)學(xué)生的能力，對(duì)各層次的學(xué)生分別有不同的完成目標(biāo)，由易而難，逐層推進(jìn)。

三、實(shí)行“因材施教”的教法改革。

充分發(fā)揮學(xué)生相互教育,自我教育的作用。摸清學(xué)生相關(guān)準(zhǔn)備知識(shí)、基礎(chǔ)、能力和心理準(zhǔn)備的實(shí)際,把起點(diǎn)放在學(xué)生努力一下就可以達(dá)到的水平上，使新舊知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，形成網(wǎng)絡(luò)。根據(jù)學(xué)生實(shí)際，確定能達(dá)到的實(shí)際進(jìn)度，把教學(xué)的步子放小,把教學(xué)內(nèi)容按由易到難，由簡(jiǎn)到繁的原則分解成合理的層次，分層推進(jìn)。在實(shí)際教學(xué)中，根據(jù)本學(xué)生實(shí)際，利用網(wǎng)絡(luò)、精心設(shè)計(jì)每一個(gè)課件，力爭(zhēng)做到精

講精練?？焖俜答伡皶r(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題及時(shí)矯正及調(diào)節(jié)教學(xué)進(jìn)度，從而有效地提高課堂教學(xué)的效益,避免課后大面積補(bǔ)課。特別是寫作方面提高幅度很大。

四、在培優(yōu)補(bǔ)差的過程中，我采取了這樣一些措施:

1、培優(yōu)重在拔尖,輔差重在提高。

2、課堂上有意識(shí)給他們制造機(jī)會(huì)，利用電腦課件，利用網(wǎng)絡(luò)信息，利用QQ聊天等多種方法，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們?cè)谝曈X上，聽覺上和感覺上都動(dòng)起來。真正意義上的做到——讓優(yōu)生吃得飽，讓后進(jìn)生吃得好。發(fā)揮優(yōu)生的優(yōu)勢(shì)，指名讓他帶一名后進(jìn)生，介紹方法讓差生懂得怎樣學(xué),激起他們的學(xué)習(xí)興趣。

5、對(duì)于后進(jìn)生，主要引導(dǎo)他們學(xué)會(huì)利用電腦，激活興趣，通過打字練習(xí)加深對(duì)拼音、生字、詞的印象。通過加大閱讀量。多學(xué)習(xí)、多重復(fù)、多寫日記、多讀日記在熟練的基礎(chǔ)上不斷提高自己的分析推理能力，尤其是學(xué)習(xí)態(tài)度的轉(zhuǎn)變和學(xué)習(xí)積極性的提高方面花了很大的力氣。值得一提的就是班里由外校轉(zhuǎn)來的那位同學(xué)，從一字不識(shí)、亂寫，到會(huì)認(rèn)、會(huì)讀，并可以寫出簡(jiǎn)單的作文。使我看到了自己的成績(jī)，看到了作為老師可能對(duì)學(xué)生造成的影響。

總之，教學(xué)就是一門藝術(shù)，只要你投入就會(huì)有收獲。

第五篇：初中數(shù)學(xué)因式分解(含答案)競(jìng)賽題精選1

初中數(shù)學(xué)因式分解(一)

因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式，是解決數(shù)學(xué)問題的有力工具．是掌握因式分解對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生解題技能，思維能力，有獨(dú)特作用．

1．運(yùn)用公式法

整式乘法公式，反向使用，即為因式分解

(1)a-b=(a+b)(a-b)；

(2)a±2ab+b=(a±b)；

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．

幾個(gè)常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n為正整數(shù)；

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n為偶數(shù)；

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n為奇數(shù)．

分解因式，根據(jù)多項(xiàng)式字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式．

例1 分解因式：

(1)-2x

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；(4)a-ab+ab-b．

2752

575n-1nnnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-133322

2222

23322332222222y+4x3n-1n+2y-2xy；(2)x-8y-z-6xyz； n-1n+4333

333例2 分解因式：a+b+c-3abc．

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．

1514132

2．拆項(xiàng)、添項(xiàng)法

因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算．在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零．在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)．拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解．

例4 分解因式：x-9x+8．

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3；(2)(m-1)(n-1)+4mn；

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；(4)ab-ab+a+b+1．

422

322963223

3．換元法

換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡(jiǎn)明清晰．

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．

例7 分解因式：(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．

例8 分解因式：(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．

22222

例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．

例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2

+y2)．

1．分解因式：

(2)x10+x5-2；

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．

練習(xí)一

2．分解因式：

(1)x+3x-4；

(2)x-11xy+y；

(3)x+9x+26x+24；

(4)x-12x+323．

3．分解因式：

(1)(2x-3x+1)-22x+33x-1；(2)x+7x+14x+7x+1；

(3)(x+y)+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x-1)(x+5)-20． 3

2222

232432422

2初中數(shù)學(xué)因式分解(一)答案

多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用．初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹．

1．運(yùn)用公式法

在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：

(1)a-b=(a+b)(a-b)；

(2)a±2ab+b=(a±b)；

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．

下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n為正整數(shù)；

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n為偶數(shù)；

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n為奇數(shù)．

運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式．

例1 分解因式：

(1)-2xy+4x3335n-1n3n-1nnn-1n-

2n-

32n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

n-2

n-1333

2222

23322332222222y-2xy； n+2n-1n+

4(2)x-8y-z-6xyz；

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；

(4)a-ab+ab-b．

解(1)原式=-2xy(xn-2xny+y)

=-2xy[(xn)-2xny+(y)]

=-2xy(xn-y)

=-2xy(x-y)(x+y)．

(2)原式=x+(-2y)+(-z)-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x+4y+z+2xy+xz-2yz)．

(3)原式=(a-2ab+b)+(-2bc+2ca)+c

＝(a-b)+2c(a-b)+c

=(a-b+c)．

本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：

原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b)22222

222

2333n-1nn

n

2n-1n2

22n-1n2

22n-1n4

4752257222

=(a-b+c)

(4)原式=(a-ab)+(ab-b)

=a(a-b)+b(a-b)

=(a-b)(a+b)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a-ab+ab-ab+b)

=(a+b)(a-b)(a-ab+ab-ab+b)

例2 分解因式：a+b+c-3abc．

本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)．

分析我們已經(jīng)知道公式

(a+b)=a+3ab+3ab+b 的正確性，現(xiàn)將此公式變形為

a+b=(a+b)-3ab(a+b)．

這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來推導(dǎo)．

333

324

4225552252

27522

572

解原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc

=［(a+b)3+c］-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)．

說明公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為

a+b+c-3abc 33322

顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a+b+c=3abc；當(dāng)a+b+c＞0時(shí)，則a+b+c-3abc≥0，即a+b+c≥3abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立．

如果令x=a≥0，y=b≥0，z=c≥0，則有 33

等號(hào)成立的充要條件是x=y=z．這也是一個(gè)常用的結(jié)論．

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．

分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x開始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公式a-b來分解．

解因?yàn)?/p>

x-1=(x-1)(x+x+x+…x+x+1)，所以 16151413

2nn

151514

說明在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用．

2．拆項(xiàng)、添項(xiàng)法

因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算．在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零．在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)．拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解．

例4 分解因式：x-9x+8．

分析本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧．

解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9．

原式=x-9x-1+9

=(x-1)-9x+9

=(x-1)(x+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法2 將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x．

原式=x-x-8x+8

=(x-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法3 將三次項(xiàng)x拆成9x-8x．

原式=9x-8x-9x+8

=(9x-9x)+(-8x+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法4 添加兩項(xiàng)-x+x．

原式=x-9x+8

=x-x+x-9x+8

=x(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

說明由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種． 22322322

223333

33323322333

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3；

(2)(m-1)(n-1)+4mn；

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；

(4)ab-ab+a+b+1．

解(1)將-3拆成-1-1-1．

原式=x+x+x-1-1-1

=(x-1)+(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)

=(x-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x+x+1)(x+2x+3)．

(2)將4mn拆成2mn+2mn．

原式=(m-1)(n-1)+2mn+2mn

=mn-m-n+1+2mn+2mn

=(mn+2mn+1)-(m-2mn+n)

=(mn+1)-(m-n)

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．

(3)將(x-1)拆成2(x-1)-(x-1)．

原式=(x+1)+2(x-1)-(x-1)+(x-1)

=［(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)]-(x-1)

=［(x+1)+(x-1)]-(x-1)

=(2x+2)-(x-1)=(3x+1)(x+3)．

(4)添加兩項(xiàng)+ab-ab．

原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab

=(ab-ab)+(a-ab)+(ab+b+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)

=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b+1)

=[a(a-b)+1](ab+b+1)

=(a-ab+1)(b+ab+1)．

說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式．這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)．

3．換元法 222

2332

233222222

2222

242

2422

4222

222222

222222226

33363

39639633322422

422963

換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡(jiǎn)明清晰．

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．

分析將原式展開，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難．我們不妨將x+x看作一個(gè)整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問題了．

解設(shè)x+x=y，則

原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x+x-2)(x+x+5)

=(x-1)(x+2)(x+x+5)．

說明本題也可將x+x+1看作一個(gè)整體，比如今x+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試．

例7 分解因式：

(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．

分析先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合．

解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

=(2x+5x+3)(2x+5x+2)-90．

令y=2x+5x+2，則

原式=y(y+1)-90=y+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x+5x+12)(2x+5x-7)

=(2x+5x+12)(2x+7)(x-1)．

說明對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ)．

例8 分解因式：

(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．

解設(shè)x+4x+8=y，則

原式=y+3xy+2x=(y+2x)(y+x)

=(x+6x+8)(x+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x+5x+8)．

說明由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃?，換元法的本質(zhì)是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式．

例9分解因式：6x+7x-36x-7x+6．

解法1 原式=6(x+1)＋7x(x-1)-36x

=6［(x-2x+1)+2x］+7x(x-1)-36x 42

243

2222222

2222222

222

222

=6[(x-1)2+2x]+7x(x-1)-36x

=6(x-1)+7x(x-1)-24x

=[2(x-1)-3x］［3(x-1)+8x]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

說明本解法實(shí)際上是將x-1看作一個(gè)整體，但并沒有設(shè)立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來代替整體．

解法2

222

22222

原式=x[6(t+2)+7t-36]

=x(6t+7t-24)=x(2t-3)(3t+8)

=x[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)． 22222222

例10 分解因式：(x+xy+y)-4xy(x+y)．

分析本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱式．對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式．

解原式=[(x+y)-xy]-4xy[(x+y)-2xy]．令x+y=u，xy=v，則

原式=(u-v)-4v(u-2v)

=u-6uv+9v

=(u-3v)

=(x+2xy+y-3xy)

=(x-xy+y)．

***2

22222