第一篇：近世代數(shù) 第三章小結(jié)

第三章 環(huán)與域總結(jié)

第一節(jié)

加群、環(huán)的定義

定義：一個(gè)交換群叫做一個(gè)加群。

⑴一個(gè)加群的唯一的單位元叫做零元，記作0。

⑵元a的唯一的逆元叫做a的負(fù)元，記作-a，簡(jiǎn)稱(chēng)負(fù)a。環(huán)的定義：（R,?,?）

①（R+）是交換群（R對(duì)+封閉）；

②· ：R?R?R滿(mǎn)足結(jié)合律，即?a,b,c?R,?ab?c?a?bc? ③+和·都滿(mǎn)足分配律：即對(duì)?a,b,c?R滿(mǎn)足

a?b?c??ab?ac

?b?c?a?ba?ca

稱(chēng)R在+和·運(yùn)算下是環(huán)。①.R是一個(gè)加群；

②.R對(duì)于另一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)是閉的；

③.這個(gè)乘法適合結(jié)合律：

a?bc???ab?c，不管a,b,c是R的哪三個(gè)元；

④.兩個(gè)分配律都成立：

a?b?c??ab?ac,?b?c?a?ba?bc，不管a,b,c是R的哪三個(gè)元。

環(huán)滿(mǎn)足如下運(yùn)算： ①0a?a0,對(duì)?a?R ②a?b?c??ab?ac

?a?b?c?ac?bc

③a??c????a?c?ac,??a???c??ac

?mn?m??n?④?a1?a2???an??b1?b2???bn????ai????bj????aibj

?i?1??j?1?i?1j?1定義：（R,?,?），若對(duì)?a,b?R,有ab?ba,即滿(mǎn)足交換律的環(huán)是交換環(huán)。

（R,?,?），若?e?R,對(duì)?a?R,ea?ae?a則稱(chēng)e為R的一個(gè)單位元。一般地，一個(gè)環(huán)不一定有單位元。

（R,?,?），含有單位元e，,a?R若?b?R，使得ab?ba?e,則稱(chēng)b是a的逆元。

（R,?,?），a?b,b?0，若ab?0,則稱(chēng)a為左零因子，b為右零因子。既是左零因子又是右零因子的元叫做零因子。在交換群中無(wú)左右零因子，只有零因子。

定理：無(wú)零因子環(huán)里兩個(gè)消去律都成立： a?0,ab?ac?b?c（左消去）

a?0,ba?ca?b?c（右消去）

在一個(gè)環(huán)里如果有一個(gè)消去律成立，那么這個(gè)環(huán)沒(méi)有零因子。

推論：在一個(gè)環(huán)里如果有一個(gè)消去律成立，那么另一個(gè)消去律也成立。整環(huán)的定義：一個(gè)環(huán)R叫做一個(gè)整環(huán)，假如滿(mǎn)足： ①R是交換環(huán)：

ab?ba

②R是單位環(huán)，有單位元1：1a?a1?a

③R是無(wú)零因子環(huán)（滿(mǎn)足消去律）：ab?0?a?0或b?0

這里a,b可以是R中的任意元。

第二節(jié) 除環(huán)、域

除環(huán)的定義：一個(gè)環(huán)R叫做一個(gè)除環(huán)，假如滿(mǎn)足：

①R中至少包含一個(gè)不等于零的元

②R中有一個(gè)單位元

③R的每一個(gè)不等于零的元都有一個(gè)逆元 域的定義：一個(gè)交換除環(huán)叫做一個(gè)域。除環(huán)和域的幾個(gè)重要性質(zhì)：

⑴除環(huán)沒(méi)有零因子（滿(mǎn)足消去律）

⑵一個(gè)除環(huán)的不等于零的元對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)作成的群R???R??0?，叫做R的乘群。因?yàn)?① 封閉性?a?0,b?0,則ab?0?R??

② 滿(mǎn)足結(jié)合律

③ 有單位元1?0?R??

④ 有逆元?a?0,?a?1?0?R??

第三節(jié) 環(huán)的特征

定理：在無(wú)零因子環(huán)中，所有非零元在加法運(yùn)算下的階是一致的，稱(chēng)此階是環(huán)的特征。定理：無(wú)零因子環(huán)的特征要么是無(wú)窮，要么是素?cái)?shù)。第四節(jié) 子環(huán)

子環(huán)的定義：一個(gè)環(huán)R的一個(gè)子集S叫做R的一個(gè)子環(huán)，假如S本身對(duì)于R的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)環(huán)。

一個(gè)環(huán)R的一個(gè)子集S叫做R的一個(gè)子除環(huán)，假如S本身對(duì)于R的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)除環(huán)。

第五節(jié)、同態(tài) 同態(tài)的定義：（R,?,?）（R,?,?）環(huán)，f：R?R映射，若滿(mǎn)足下列條件：

①?a,b?R,f?a?b??f?a??f?b? ②?a,b?R,f?ab??f?a??f?b? 若f是同態(tài)滿(mǎn)射，則稱(chēng)R和R同態(tài)。

定理：（R,?,?），（R,?,?）,R與R同態(tài)，則f?0??0,f??a???f?a?,fa?1?f?a?。

?1?? 若R是交換環(huán)，則R是交換環(huán)。

定理：如果環(huán)R與R同構(gòu)，則有：若R是整環(huán)，則R是整環(huán)；若R是除環(huán)，則R是除環(huán)；若R是域，則R是域。

定理：假定R和R是兩個(gè)環(huán)，且同態(tài)。那么R的零元的象是R的零元，R的元a的負(fù)元的象是a的象的負(fù)元。并且，假如R是交換環(huán)，那么R也是交換環(huán)；假如R有單位元1，那么R也有單位元1，而且1是1的象。

定理：假定S是環(huán)R的一個(gè)子環(huán)，S在R里的補(bǔ)足集合（這就是所有不屬于S的R的元作成的集合）與另一個(gè)環(huán)S沒(méi)有公共元，并且S?S,那么存在一個(gè)與R同構(gòu)的環(huán)R，并且S是R的子環(huán)。

第六節(jié) 多項(xiàng)式環(huán)

多項(xiàng)式定義：一個(gè)可以寫(xiě)成a0?a1????an?nai?R,n是?0的數(shù)形式的R0的元叫做

??R上的?的一個(gè)多項(xiàng)式，ai叫做多項(xiàng)式的系數(shù)。

多項(xiàng)式環(huán)的定義：R???叫做R上的?的多項(xiàng)式環(huán)。

未定元的定義：R0的一個(gè)元x叫做R上的一個(gè)未定元，假如在R里找不到不都等于零的元a0,a1,?,an，使得a0?a1x???anxn?0

多項(xiàng)式次數(shù)的定義：令a0?a1x???anx,an?0是環(huán)R上一個(gè)一元多項(xiàng)式。那么非負(fù)整數(shù)n叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。多項(xiàng)式0沒(méi)有次數(shù)。對(duì)于給定的R0來(lái)說(shuō)，R0未必含有R上的未定元。

定理1：給了一個(gè)有單位元的交換環(huán)R，一定有R上的未定元x存在，因此也就有R上的n多項(xiàng)式環(huán)R?x?存在。

無(wú)關(guān)未定元的定義：R0的n個(gè)元x1,x2,?,xn叫做R上的無(wú)關(guān)未定元，假如任何一個(gè)R上的x1,x2,?,xn的多項(xiàng)式都不會(huì)等于零，除非這個(gè)多項(xiàng)式的所有系數(shù)都等于零。

定理2：給了一個(gè)有單位元的交換環(huán)R同一個(gè)正整數(shù)n，一定有R上的無(wú)關(guān)未定元x1,x2,?,xn存在，因此也就有R上的多項(xiàng)式環(huán)R?x1,x2,?,xn?存在。

定理3：假如R?x1,x2,?,xn?和R??1,?2,?,?n?都是有單位元的交換環(huán)R上的多項(xiàng)式環(huán)，那么R?x1,x2,?,xn?與x1,x2,?,xn是R上的無(wú)關(guān)未定元，?1,?2,?,?n是R上的任意元，R??1,?2,?,?n?同態(tài)。

第七節(jié) 理想

理想的定義：環(huán)R的一個(gè)非空子集?叫做一個(gè)理想子環(huán)，簡(jiǎn)稱(chēng)理想。假如

①?a,b??,則a?b??

②?a??,?r?R,ra,ar??

注：理想是子環(huán)，但子環(huán)不一定是理想。

一個(gè)環(huán)至少有兩個(gè)理想：①只包含零元的集合，這個(gè)理想叫做R的零理想②R本身，稱(chēng)單位理想。

定理1：除環(huán)只有兩個(gè)理想，即零理想和單位理想。

主理想的定義：a?R，由a生成的理想（即包含a的所有理想的交或包含a的最小理想）稱(chēng)為主理想，記為（a）。第八節(jié) 剩余類(lèi)環(huán)

剩余類(lèi)的定義：對(duì)于給定的環(huán)R及其一個(gè)理想?，若只就加法來(lái)看，R作成一個(gè)群，?作成R的一個(gè)不變子群。這樣?的陪集?a?,?b?,?c?,?作成R的一個(gè)分類(lèi)。我們把這些類(lèi)叫做模?的剩余類(lèi)。

定理1：假定R是一個(gè)環(huán)，?是它的一個(gè)理想，R是所有模?的剩余類(lèi)作成的集合，那么R本身也是一個(gè)環(huán)，并且R與R同態(tài)。

剩余類(lèi)環(huán)的定義：R叫做環(huán)R的模?的剩余類(lèi)環(huán)，用符號(hào)R/?來(lái)表示。

定理2：假定R和R是兩個(gè)環(huán)，并且R和R同態(tài)，那么這個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射的核?是R的一個(gè)理想，并且R/??R。

定理3：在環(huán)R到環(huán)R的一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射下，有 ①R的一個(gè)子環(huán)S的象S是R的一個(gè)子環(huán)； ②R的一個(gè)理想?的象?是R的一個(gè)理想； ③R的一個(gè)子環(huán)S的逆象S是R的一個(gè)子環(huán)； ④R的一個(gè)理想?的逆象?是R的一個(gè)理想。

第九節(jié) 最大理想 最大理想的定義：一個(gè)環(huán)R的一個(gè)不等于R的理想?叫作一個(gè)最大理想，假如除了R同?自己以外，沒(méi)有包含?的理想。

注：除環(huán)的最大理想是零理想（除環(huán)包括域）定理：?是R的理想（??R），R/?只有平凡理想??是R的最大理想。引理：R是含有單位元的交換環(huán)，若R只有平凡理想，則R是域。

定理：R是有單位元的交換環(huán)，?是環(huán)R的理想，則R/?是域??是最大理想。第十節(jié) 商域

定理1：每一個(gè)沒(méi)有零因子的交換環(huán)R都是一個(gè)域Q的子環(huán)。定理2：Q是所有元a?a,b?R,b?0?所作成的，這里a?ab?1?b?1a bb商域的定義：一個(gè)域Q叫做環(huán)R的一個(gè)商域，假如Q包含R，并且Q剛好是由所有元a?a,b?R,b?0?所作成的。b定理3：假定R是一個(gè)有兩個(gè)以上的元的環(huán)，F(xiàn)是一個(gè)包含R的域，那么F包含R的一個(gè)商域。

定理4：同構(gòu)的環(huán)的商域也同構(gòu)。一個(gè)環(huán)最多只有一個(gè)商域。

總結(jié)：

本章定理，推理及引理：

⒈在一個(gè)沒(méi)有零因子的環(huán)里兩個(gè)消去律都成立：

a?0,ab?ac?b?ca?0,ba?ca?b?c

反過(guò)來(lái)，在一個(gè)環(huán)里如果有一個(gè)消去律成立，那么這個(gè)環(huán)沒(méi)有零因子。

推論：在一個(gè)環(huán)里如果有一個(gè)消去律成立，那么另一個(gè)消去律也成立。2.在一個(gè)沒(méi)有零因子的環(huán)R里所有不等于零的元對(duì)于加法來(lái)說(shuō)的階都是一樣的。3.如果無(wú)零因子環(huán)R的特征是有限整數(shù)n，那么n是一個(gè)素?cái)?shù)。

推論：整環(huán)，除環(huán)以及域的特征或是無(wú)限大，或是一個(gè)素?cái)?shù)p。

4.若是存在一個(gè)R到R的滿(mǎn)射，使得R與R對(duì)于一對(duì)加法以及一對(duì)乘法來(lái)說(shuō)都同態(tài)，那么R也是一個(gè)環(huán)。

5.假如R和R是兩個(gè)環(huán)，并且R和R同態(tài)。那么R的零元的象是R的零元，R的元a的負(fù)元的象是a的象的負(fù)元。并且，假如R是交換環(huán)，那么R也是交換環(huán)；假如R有單位元1，那么R也有單位元1，并且1是1的象。

6.假定R同R是兩個(gè)環(huán)，并且R?R。那么，若R是整環(huán)，R也是整環(huán)；R是除環(huán)，R也是除環(huán)；R是域，R也是域。

7.假定S是環(huán)R的一個(gè)子環(huán)，S在R里的補(bǔ)足集合與另一個(gè)環(huán)S沒(méi)有共同元，并且S?S。那么存在一個(gè)與R同構(gòu)的環(huán)R，并且S是R的子環(huán)。

8.給了一個(gè)有單位元的交換環(huán)R，一定有R上的未定元x存在，因此也就有R上的多項(xiàng)式環(huán)R?x?存在。

9.給了一個(gè)有單位元的交換環(huán)R同一個(gè)正整數(shù)n，一定有R上的無(wú)關(guān)未定元x1,x2,?,xn存在，因此也就有R上的多項(xiàng)式環(huán)R?x1,x2,?,xn?存在。

10.假如R?x1,x2,?,xn?和R??1,?2,?,?n?都是有單位元的交換環(huán)R上的多項(xiàng)式環(huán)，x1,x2,?,xn是R上的無(wú)關(guān)未定元，?1,?2,?,?n是R上的任意元，那么

R?x1,x2,?,xn?與R??1,?2,?,?n?同態(tài)。11.一個(gè)除環(huán)R只有兩個(gè)理想，就是零理想和單位理想。12.假如R是一個(gè)環(huán)，u是它的一個(gè)理想，R是所有模u的剩余類(lèi)作成的集合，那么R本身也是一個(gè)環(huán)，并且R與R同態(tài)。

13.假定R同R是兩個(gè)環(huán)，并且R與R同態(tài)，那么這個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射的核并且Ru是R的一個(gè)理想，u?R。

14.在環(huán)R到環(huán)R的一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射之下，i.R的一個(gè)子環(huán)S的象S是R的一個(gè)子環(huán)；

ii.R的一個(gè)理想u的象u是R的一個(gè)理想；

iii.R的一個(gè)子環(huán)S的逆象S是R的一個(gè)子環(huán)；

iv.R的一個(gè)理想

u的逆象u是R的一個(gè)理想； 15.假定R是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，u是R的一個(gè)理想。Ru是一個(gè)域，當(dāng)而且只當(dāng)u是一個(gè)最大理想的時(shí)候。

16.每一個(gè)沒(méi)有零因子的交換環(huán)R都是一個(gè)域Q的子環(huán)。

aa(a,b?R,b?0)所作成的，這里?ab?1?b?1a。bb 18.假定R是一個(gè)有兩個(gè)以上的元的環(huán)，F(xiàn)是一個(gè)包含R的域，那么F包含R的一個(gè)商 17.Q剛好是由所有元域。

19.同構(gòu)的環(huán)的商域也同構(gòu)。

常用的計(jì)算規(guī)則：

⑴.0?a?a?0?a

⑵.?a?a?a?a?0

⑶.???a??a

⑷.a?c?b?c?b?a

⑸.??a?b???a?b,??a?b???a?b

⑹.m?na?mn?a,n?a?b??na?nb ⑺.?a?b?c?ac?bcc?a?b??ca?cb

⑻.0a?a0?0（這里的0都是R的零元）⑼.??a?b?a??b???ab ⑽.??a???b??ab

⑾.a?b1?b2???bn??ab1?ab2???abn

?b1?b2???bn?a?b1a?b2a???bna

⑿.?a1?a2???am??b1?b2???bn??a1b1???a1bn???amb1???ambn

⒀.?na?b?a?nb??n?ab?

⒁.aman?am?n

?a?mn?amn

數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 09級(jí)數(shù)本（1）班 段 秀 寬 20092111869 2012.5.25

第二篇：近世代數(shù)第一章小結(jié)

第一章小結(jié)

本章主要研究群的有關(guān)問(wèn)題：定義性質(zhì)、子群及不變子群、三類(lèi)重要的群——變換群、置換群、循環(huán)群、同態(tài)與同構(gòu)，主要內(nèi)容有：

一、基本概念

??子集--相等集合???交集??集合???集合運(yùn)算?并集???積集（笛卡兒積）????????單射????映射?滿(mǎn)射? 預(yù)備知識(shí)?

?雙射????映射???變換????????代數(shù)運(yùn)算????等價(jià)關(guān)系與分類(lèi)???交換群（阿貝爾群Abel),（?a,b?G,有ab?ba）??????非交換群（?a,b?G，使ab?ba)?群定義??有限群G—階G?n?????無(wú)限群G—階G?????????子群???子群?正規(guī)子群 群??陪集--商群????變換群——由一個(gè)非空集合的若干一一變換構(gòu)成的群??三種重要群??置換群——由n元有限集合的若干一一變換（置換）構(gòu)成的群??循環(huán)群——每個(gè)元素都是某個(gè)元的冪???存在保運(yùn)算的映射?同態(tài)?兩個(gè)群的關(guān)系???同構(gòu)存在保運(yùn)算的一一映射?單位元、逆元、元素的階、子群在群中的指數(shù)

.二、主要結(jié)論

1.群的基本性質(zhì)： 1）——5），定理1.2.1，1.2.2； 2.元素階的性質(zhì)：定理1.2.3---1.2.4 3．子群的判別條件（重點(diǎn)）

為群(1)任給（2）任給（3）任給 的非空子集.則 , 有 , 有 , 有 為 的子群的充分必要條件是: , 有

.，任給

.（只適合有限子集）

子群的性質(zhì)：子群的交集仍是子群 4．陪集、商群性質(zhì)

設(shè) 是 的子群, 則

（1）aH=Ha=H當(dāng)且僅當(dāng) a∈H

（2）（3）

（4）集之并.（5）(拉格朗日定理)有限群 的任一元素a 的階都是群（7）設(shè) 為有限群.的任一子群 的階數(shù)是群 的階數(shù)的因子.且|G|=|H|[G：H]（6）有限群 當(dāng)且僅當(dāng) 當(dāng)且僅當(dāng) , ，;;

可以表示成一些不相交的左(右)陪 的任何兩個(gè)左(右)陪集或者完全相同, 或者無(wú)公共元素.因此 的階數(shù)的因子.即|a|||G| , 則對(duì)任意的 ，.5.正規(guī)（不變）子群的判別條件

N是群 的子群，則N是G的不變子群的充要條件是（1）任意的（2）, 都有 aN=Na , ,;，.（3）6.變換群、置換群、循環(huán)群的結(jié)論

（1）一個(gè)集合A的所有一一變換作成一個(gè)變換群。(2)(凱萊定理)任一群都同構(gòu)于一個(gè)變換群.推論：任一個(gè)有限群都同構(gòu)于一個(gè)置換群.(3)

個(gè)元素的全體置換關(guān)于置換的乘法構(gòu)成群.(4)每一置換可唯一表為若干個(gè)不相交輪換(循環(huán)置換)的乘積(5)每一循環(huán)置換都可以表為若干個(gè)對(duì)換的乘積.(6)

每一置換都可表為若干個(gè)對(duì)換的乘積

(7)設(shè) 為群, , 則|a|=|a-1|（8）設(shè)（9）設(shè)（10）設(shè) 為群, 為群, ,ΙaΙ=n且 , 則., 如果 |a|=n,則

|ar|=n/d(d=(r,n))

.則 為 階循環(huán)群，為 的生成元的充分必要條件是

（11）循環(huán)群必是交換群.（12）循環(huán)群的子群必是循環(huán)群

（13）設(shè) 為循環(huán)群, 且G=（a）則

如果

如果

7.同態(tài)、同構(gòu)性質(zhì) , 則 , 則

;(1)設(shè)G是一個(gè)群，G 是一個(gè)非空集合，若G與G對(duì)于它們的乘法來(lái)說(shuō)同態(tài)，則G也是一個(gè)群

(2)定理1.8.2 設(shè) 與G是群, 是 到G的同態(tài)映滿(mǎn)射.1)如果 是 的單位元, 則 ，是

是G的單位元;

在G中的逆元.即

2)對(duì)于任意的

(3)定理1.8.3-----滿(mǎn)射、單射的條件

(4)定理1.8.4——同態(tài)映射保子群、正規(guī)子群.(5)定理1.8.5------同態(tài)基本定理

三、基本方法與題型

1、群的判別----定義法

2、子群的判別方法（四種方法）：定義法； 定理1；定理2；定理3（有限）；

3、正規(guī)子群的判別方法（四種方法）：定義法； 定理1）-3）；

4、求有限群的子群方法：（重點(diǎn)掌握循環(huán)群的子群求法）

1）確定子群的可能階數(shù)； 2）按階數(shù)確定可能的子集；3）判斷哪個(gè)是子群。

5、求正規(guī)子群方法：1）求子群； 2）判別哪些子群是正規(guī)子群（交換群的子群都是正規(guī)子群）

6、求陪集：定義法

7、求商群方法：按定義

8、計(jì)算置換的乘積、逆、階----定義方法

9、把置換表成不相連的循環(huán)置換的乘積或?qū)Q的乘積

10、求元素的階：1）定義方法 2）有關(guān)性質(zhì)

11、判別循環(huán)群方法：定義法

12、同態(tài)、同構(gòu)映射的判斷：定義方法

13、群同態(tài)、同構(gòu)的證明：構(gòu)造同態(tài)或同構(gòu)映射 14.單、滿(mǎn)、雙射的判斷----定義法 15.等價(jià)關(guān)系的判斷----定義法，傳遞性

第三篇：近世代數(shù)課程總結(jié)

近世代數(shù)基礎(chǔ)Ⅱ?qū)W習(xí)報(bào)告

現(xiàn)代數(shù)學(xué)

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)數(shù)學(xué),結(jié)構(gòu)反映事物構(gòu)成部分之間的關(guān)系，部分與整體的關(guān)系,或幾種事物間的相互組成聯(lián)系?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是集合，在集合上附加代數(shù)結(jié)構(gòu)、分析結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)或集合結(jié)構(gòu)得到數(shù)學(xué)的各種分支。本門(mén)課程的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容就是以集合理論為基礎(chǔ)而逐步展開(kāi)的。群論是在集合上賦予運(yùn)算法則，形成群、環(huán)、域等基本的運(yùn)算系統(tǒng)；流形同樣是在集合上賦予相應(yīng)的結(jié)構(gòu)而形成具有獨(dú)特性質(zhì)的數(shù)學(xué)研究對(duì)象。這些抽象的理論往往會(huì)在實(shí)際系統(tǒng)中得到應(yīng)用，用集合的思想去解決問(wèn)題往往會(huì)提升效率。

一 抽象代數(shù)

1.1 群

定義

群是特殊的集合，它是一個(gè)包含了二元運(yùn)算法則并滿(mǎn)足一定條件的集合。一般說(shuō)來(lái)，群G是指對(duì)于某種運(yùn)算法則?滿(mǎn)足以下四個(gè)條件的集合：

(1)封閉性：若a,b?G，則存在唯一確定的c?G使得a?b?c；

(2)結(jié)合律成立：任意a,b,c?G，有(a?b)?c?a?(b?c)；

(3)單位元存在：存在e?G對(duì)任意a?G，滿(mǎn)足a?e?e?a?a；

(4)逆元存在：對(duì)任意a?G，存在唯一確定的b?G使得a?b?b?a?e；若群還滿(mǎn)足交換律，則成為交換群或者阿貝爾群。

若群G中元素個(gè)數(shù)有限，則G為有限群；否則稱(chēng)為無(wú)限群。有限群的元素個(gè)數(shù)稱(chēng)為有限群的階。

子群

對(duì)于群G，若集合H?G對(duì)于群G上定義的二元運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群，則稱(chēng)H是G的子群，記做H?G。

小結(jié)

在群論的研究中，我們需要關(guān)心的是個(gè)元素之間的運(yùn)算關(guān)系，即群的結(jié)構(gòu)，而不用去管某個(gè)元素的具體含義是什么。

1.2 環(huán)

當(dāng)在一個(gè)集合上附加兩種代數(shù)運(yùn)算，而這兩種運(yùn)算是有機(jī)集合，可得到所謂的環(huán)。

定義

設(shè)R是一個(gè)非空集合，其上定義了兩種二元運(yùn)算，通常表示為加法+和乘法?，若(1)(R,?)是交換群

(2)(R,?)是半群

(3)乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律

則稱(chēng)R為一個(gè)環(huán)。環(huán)也是一種群。

子環(huán)

環(huán)R的一個(gè)非空子集S，若對(duì)于R的兩種運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)環(huán)，則稱(chēng)S為R的子環(huán)。

整環(huán)

設(shè)R為含單位的環(huán)，且1?0。若R為沒(méi)有零因子的交換環(huán)，則稱(chēng)R為整環(huán)。

1.3 域

域也是一種環(huán)，要求?要滿(mǎn)足交換律，除了有+的單位元還要有?的單位元(二者不等)，除了+的單位元外其他元素都有?的逆元。

1.4 群的應(yīng)用

群是刻畫(huà)事物對(duì)稱(chēng)性的有效工具，比如圖形的對(duì)稱(chēng)、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)等。

二 微分幾何

微分幾何學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論研究曲線或曲面上一點(diǎn)的鄰域的性質(zhì)，即研究一般曲線或曲面在小范圍上的性質(zhì)。它主要包含曲線論和曲面論。曲線論主要就是Frenet公式，曲面論主要是從曲面上曲線的弧長(zhǎng)公式推出曲面的第一基本形式（等距變換，保角變換，內(nèi)蘊(yùn)量的性質(zhì)），從曲面與切平面間的有向距離推出第二基本形式，而曲率的推導(dǎo)順序是：曲面上曲線的曲率、法曲率、主曲率、高斯曲率和平均曲率。微分幾何有兩個(gè)十分重要的基礎(chǔ)：坐標(biāo)變換和求導(dǎo)的技巧。在學(xué)習(xí)微分幾何之前需要熟練運(yùn)用這兩個(gè)部分。

標(biāo)架

標(biāo)架，這一概念在張量分析的學(xué)習(xí)中曾經(jīng)涉及到。張量可以看作一個(gè)實(shí)體（幾何體，幾何量），這個(gè)實(shí)體由這組分量和分量所對(duì)應(yīng)的基共同構(gòu)成。通常說(shuō)的張量是不依賴(lài)于坐標(biāo)系的，而觀察者和標(biāo)架是等同的。用一個(gè)坐標(biāo)系來(lái)充當(dāng)觀察者，再配上時(shí)間坐標(biāo)，標(biāo)架成為四維的。坐標(biāo)系和標(biāo)架（或者觀察者）是不同的，同

一個(gè)標(biāo)架下可以觀察到多個(gè)“坐標(biāo)系”。

測(cè)地線

曲面上測(cè)地曲率恒等于零的曲線，稱(chēng)為測(cè)地線。平面上的測(cè)地線就是直線； 測(cè)地線的概念就是平面上直線的概念在曲面上的推廣。曲面上的曲線，當(dāng)且僅當(dāng)它是直線或者它的主法向量處處是曲線的法向量時(shí)，它才是測(cè)地線。旋轉(zhuǎn)面上的經(jīng)線是測(cè)地線，球面上的大圓周是測(cè)地線。

距離最短的曲線在相對(duì)論中的專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)是測(cè)地線，事實(shí)上，相應(yīng)于速度小于

C、等于c、大于c 的三種測(cè)地線分別稱(chēng)為類(lèi)時(shí)測(cè)地線，類(lèi)光測(cè)地線和類(lèi)空測(cè)地線。

三 微分流形

3.1微分流形的數(shù)學(xué)定義

n 維流形就是一個(gè)Hausdorff 空間，它的每一點(diǎn)有開(kāi)鄰域與n 維歐式空間的開(kāi)集同胚。微分流形是一類(lèi)重要的拓?fù)淇臻g，它除了具有通常的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)外，還添加上了微分結(jié)構(gòu)，因而可以應(yīng)用微積分學(xué)，從而就能建立一些微分幾何的性質(zhì)。

3.2流形描述

流形（Manifold），是局部具有歐幾里得空間性質(zhì)的空間。流形在數(shù)學(xué)中用于描述幾何形體，它們提供了研究可微性的自然的舞臺(tái)。物理上，經(jīng)典力學(xué)的相空間和構(gòu)造廣義相對(duì)論的時(shí)空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實(shí)例。

3.3 流形的應(yīng)用

可以把經(jīng)典數(shù)學(xué)分析中的幾個(gè)著名公式，如格林公式、高斯公式、斯托克司公式等在高維的流形上，利用外微分，統(tǒng)一為一個(gè)形式。

空間最最本質(zhì)的東西就是有關(guān)測(cè)度的概念。測(cè)度不同，導(dǎo)致空間定義，空間結(jié)構(gòu)和形式的不同。歐氏空間和黎曼空間的區(qū)別也在于此，有了測(cè)度的概念，任何空間的構(gòu)型就可以被決定，對(duì)空間的研究也就不再成問(wèn)題。那么我們?cè)鯓觼?lái)度量空間，顯然歐氏空間已經(jīng)不再十分湊效，我們只能選擇黎曼流形。這就是光在宇宙中為什么沿著一條測(cè)地線前進(jìn)，而不是直線。

第四篇：近世代數(shù)期末考試試卷及答案

近世代數(shù)模擬試題三

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1、6階有限群的任何子群一定不是（）。A、2階

B、3 階 C、4 階 D、6 階

2、設(shè)G是群，G有（）個(gè)元素，則不能肯定G是交換群。A、4個(gè) B、5個(gè) C、6個(gè) D、7個(gè)

3、有限布爾代數(shù)的元素的個(gè)數(shù)一定等于（）。

A、偶數(shù) B、奇數(shù) C、4的倍數(shù) D、2的正整數(shù)次冪

4、下列哪個(gè)偏序集構(gòu)成有界格（）

A、（N,?）B、（Z,?）C、（{2,3,4,6,12},|（整除關(guān)系））D、(P(A),?)

5、設(shè)S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（）

A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

1、群的單位元是--------的，每個(gè)元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A與A間的一一映射，a是A的一個(gè)元，則f?1?f?a???----------。

3、區(qū)間[1，2]上的運(yùn)算a?b?{mina,b}的單位元是-------。

4、可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=——————————。

5、環(huán)Z8的零因子有-----------------------。

6、一個(gè)子群H的右、左陪集的個(gè)數(shù)----------。

7、從同構(gòu)的觀點(diǎn)，每個(gè)群只能同構(gòu)于他/它自己的---------。

8、無(wú)零因子環(huán)R中所有非零元的共同的加法階數(shù)稱(chēng)為R的-----------。

n9、設(shè)群G中元素a的階為m，如果a?e，那么m與n存在整除關(guān)系為--------。

三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）

1、用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項(xiàng)鏈，問(wèn)可做出多少種不同的項(xiàng)鏈？

2、S1，S2是A的子環(huán)，則S1∩S2也是子環(huán)。S1+S2也是子環(huán)嗎？

3、設(shè)有置換??(1345)(1245)，??(234)(456)?S6。

1．求??和??1?；

2．確定置換??和??1?的奇偶性。

四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）

1、一個(gè)除環(huán)R只有兩個(gè)理想就是零理想和單位理想。

2、M為含幺半群，證明b=a-1的充分必要條件是aba=a和ab2a=e。

近世代數(shù)模擬試題三

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

1、C；

2、C；

3、D；

4、D；

5、A；

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

1、唯

一、唯一；

2、a；

3、2；

4、24；

5、9、mn；

6、相等；

7、商群；

8、特征；；

三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）

1、解 在學(xué)群論前我們沒(méi)有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫(huà)一下，用黑白兩種珠子，分類(lèi)進(jìn)行計(jì)算：例如，全白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，…等等，可得總共8種。

2、證 由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對(duì)任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：

因?yàn)镾1，S2是A的子環(huán)，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2，因而a-b, ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子環(huán)。S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：

?1????(1243)(56)

3、解： 1．，??(16524)；

2．兩個(gè)都是偶置換。

四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）

1、證明：假定?是R的一個(gè)理想而?不是零理想，那么a?0??，由理想的定 3

?1a義a?1??，因而R的任意元b?b?1??

這就是說(shuō)?=R，證畢。

2、證 必要性：將b代入即可得。充分性：利用結(jié)合律作以下運(yùn)算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。

—————————————————————————————————————— 一．判斷題(每小題2分,共20分)

1.實(shí)數(shù)集R關(guān)于數(shù)的乘法成群.（）2.若H是群G的一個(gè)非空有限子集，且?a,b?H都有ab?H成立，則H是G的一個(gè)子群.（）3.循環(huán)群一定是交換群.（）4.素?cái)?shù)階循環(huán)群是單群.（）

5.設(shè)G是有限群，a?G，n是a的階，若ak?e，則n|k.（）

6.設(shè)f是群G到群G的同態(tài)映射，H是G的子群，則f?H?是G的子群.（）7.交換群的子群是正規(guī)子群.（）8.設(shè)G是有限群，H是G的子群，則GH?|G|.（）|H|9.有限域的特征是合數(shù).（）10.整數(shù)環(huán)Z的全部理想為形如nZ的理想.（）二．選擇題(每小題3分,共15分)11.下面的代數(shù)系統(tǒng)?G,??中，（）不是群.A.G為整數(shù)集合，?為加法； B.G為偶數(shù)集合，?為加法； C.G為有理數(shù)集合，?為加法； D.G為整數(shù)集合，?為乘法.12.設(shè)H是G的子群，且G有左陪集分類(lèi)?H,aH,bH,cH?.如果H的階為6，那么G 的階G?（）

A.6；

B.24；

C.10；

D.12.4

13.設(shè)S3???1?,?12?,?13?,?23?,?123?,?132?,?，則S B.2；

C.3；

3中與元?123?不能交換的元的個(gè)數(shù)是

A.1；

D.4.14.從同構(gòu)的觀點(diǎn)看，循環(huán)群有且只有兩種，分別是（）

A.G=（a）與G的子群；

B.整數(shù)加法群與模n的剩余類(lèi)的加法群； C.變換群與置換群；

D.有理數(shù)加法群與模n的剩余類(lèi)的加法群.15.整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個(gè)數(shù)是()。

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.4個(gè)

D.無(wú)限個(gè) 三．填空題(每小題3分,共15分)

16.如果G是全體非零有理數(shù)的集合，對(duì)于普通乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，則這個(gè)群的單位元是.17.n次對(duì)稱(chēng)群Sn的階是____________.18.整數(shù)加法群Z關(guān)于子群nZ的陪集為.19.設(shè)N是G的正規(guī)子群，商群GN中的單位元是。

20.若R是交換環(huán), a?R則主理想?a??____________.四．計(jì)算題(第21小題8分, 第22小題12分，共20分)21.令????6??123456??123456??????，???54321??231564??1????621354??，計(jì)算??,?.???123456?

22.設(shè)H?{(1),(123),(132)}是3次對(duì)稱(chēng)群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，并說(shuō)明H是否是S3的正規(guī)子群.五．證明題(每題10分,共30分)

23.設(shè)G是群，H是G的子群，證明：a?G，則aHa?1也是子群

24.設(shè)G是群，H是G的正規(guī)子群.G關(guān)于H的陪集的集合為

GH?{gH|g?G}，證明：G/H對(duì)于陪集的乘法成為一個(gè)群，稱(chēng)為G對(duì)H的商群.25.證明：域F上全體n?n矩陣的集合Mn?F?在矩陣的加法和乘法下成為環(huán).一．判斷題(每小題2分,共20分)

1-10 ××√√√ √√√×√ 二．選擇題(每小題3分,共15分)11.D；12.B；13.C；14.B；15.B.三．填空題(每小題3分,共15分)16.1； 17.n!；18.?nZ,nZ?1,?,nZ??n?1??；

19.N；20.aR.四．計(jì)算下列各題(第21小題8分, 第22小題12分，共20分)

21.解：?????123456??546213?，???????????????4分? 6

??1???123456??.??????????????????8分

?312645?22.解：H的所有左陪集為

H?{(1),(123),(132)}，(???23)}????????????4分

?12?H?{(12),(13),；H的所有右陪集為

H?{(1),(123),(132)}，H?12??{(12),(13),(23)}.對(duì)???S3，有?H?H?，即H是正規(guī)子群.?????????12分 五．證明題(每題10分,共30分)

23.證明：因?yàn)镠是G的子群，對(duì)任意x,y?H，有xy?H.???4分 由題意，對(duì)任意

?1,ax,y?H，有ax?1?1a?y?1aa，a從H而

??axa??ay?1?1?1a??axy?1?1a?aHa?1，即aHa?1也是子群.??????10分

24.證明：首先G???3分 H對(duì)于上述乘法是封閉的，且乘法滿(mǎn)足結(jié)合律.陪集H?eH是它的單位元，eHgH?egH?gH,?g?H.???7分 又任意gH，有g(shù)HgH?eH?gHgH，即gH是gH的逆元.???10分

25.證明：Mn?F?關(guān)于加法是封閉的，且滿(mǎn)足結(jié)合律，?????? 3分 零元是0n?n，對(duì)任意An?n?Mn?F?，有An?n???An?n??0n?n，即An?n的負(fù)元是?An?n.?1?1?1Mn?F?關(guān)于乘法是封閉的，且滿(mǎn)足結(jié)合律，單位元是En?n.?????? 8分

乘法關(guān)于加法的分配律成立.???????????????10分

第五篇：近世代數(shù)學(xué)習(xí)心得論文(中文英文對(duì)照)

近世代數(shù)學(xué)習(xí)心得

《抽象代數(shù)》是一門(mén)比較抽象的學(xué)科，作為初學(xué)者的我感到虛無(wú)飄渺，困難重重。我本來(lái)英語(yǔ)學(xué)的就不好，看到全英的《近世代數(shù)》我似乎傻眼了。通過(guò)兩個(gè)月的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)它還是有規(guī)律有方法的。

針對(duì)“近世代數(shù)”課程的概念抽象、難于理解的特點(diǎn)，我認(rèn)為理解概念的一種有效方法是多舉已學(xué)過(guò)的典型例子。多看多做，舉一反三。比如群論里面有一個(gè)最基本的問(wèn)題就是n階有限群的同構(gòu)類(lèi)型有多少。圍繞這個(gè)問(wèn)題可以引出很多抽象的概念，比如元素的階數(shù)，abel群，正規(guī)子群，商群，Sylow定理等，同時(shí)也會(huì)學(xué)到如何把這些理論應(yīng)用到具體的例子分析中學(xué)習(xí)“近世代數(shù)”時(shí)，就僅僅背下來(lái)一些命題、性質(zhì)和定理，并不意味著真正地理解。要想真正理解，需要清楚這些命題、性質(zhì)和定理的前提條件為什么是必要的？而達(dá)到這個(gè)目的的最有效的方法就是構(gòu)造反例。

其次是通過(guò)變換角度尋求問(wèn)題的解法，通常是將已知或未知較復(fù)雜的問(wèn)題變換為等價(jià)的較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，或者是將新問(wèn)題變換為已經(jīng)解決的問(wèn)題，或者是將未知與已知關(guān)系較少的問(wèn)題變?yōu)橐阎c未知關(guān)系較多的問(wèn)題等等

先參考著答案做題，然后自己總結(jié)方法思路，自己就開(kāi)始會(huì)做了。問(wèn)題在是否善于總結(jié)歸納。

以前學(xué)代數(shù)的時(shí)候從來(lái)沒(méi)有意識(shí)到代數(shù)是門(mén)很抽象的學(xué)科，總在練習(xí)的過(guò)程中靠點(diǎn)小聰明學(xué)過(guò)來(lái)，也由于這段路一直走得非常平坦，我從來(lái)沒(méi)停下來(lái)去想想其本身的理論體系的問(wèn)題。現(xiàn)在想想，也許這就是我一直停留在考試成績(jī)一般，卻難以有所作為的原因吧。所以有時(shí)走得太快可能未必時(shí)間好事。很可惜現(xiàn)在才了解到這一點(diǎn)，同時(shí)也還算幸運(yùn)，畢竟人還在青年，還來(lái)得及改正

Modern Algebra learning experience “Abstract Algebra” is a more abstract subjects, as a beginner , I feel vague , difficult.I had to learn English is not good to see the UK 's “Modern Algebra” I seem dumbfounded.Through two months of the study, it is found that there is a regular method.For the “ Modern Algebra ” course abstract concept , difficult to understand the characteristics , I believe that an effective way to understand the concept is to have learned to cite a typical example.See more and more , by analogy.Such as group theory which has a fundamental problem is a finite group of order n is isomorphic to type numbers.Around this problem can lead to many abstract concepts , such as the order of elements , abel group , normal subgroups , quotient groups , Sylow theorems , etc., but also learn how to put these theories to the analysis of specific examples to learn “ Modern Algebra ”, it is just back down a number of propositions , properties and theorems , does not mean that truly understand.To truly understand the need to clear these propositions , properties and theorems prerequisite Why is necessary ? To achieve this purpose the most effective way is to construct counterexample.Followed by changing the angle seek a solution, usually known or unknown to the more complex problem is converted into an equivalent simpler problem , or is transformed into a new problem has been solved , or is unknown with the known relations fewer problems become more known and unknown relationship problems, etc.Do question the answer to the first reference , and then summarize their way thinking that he began to do it.Whether good at summarizing the problem.Previously learned algebra algebra is never realized when the door is very abstract subject , always in the process of practice by learning a little smarter over, but also because this section has gone very flat , I never stopped to think about their own theoretical system problems.Now think about it , maybe this is what I have been stuck in test scores in general, but the reason it is difficult to make a difference.So sometimes a good thing going too fast may not be time.Unfortunately now I understand this, but also lucky , after all, people are still young , still have time to correct