第一篇：認(rèn)識(shí)無理數(shù)

第二章 實(shí)數(shù) 認(rèn)識(shí)無理數(shù)

【知識(shí)與技能】

1.通過拼圖活動(dòng)，讓學(xué)生感受無理數(shù)產(chǎn)生的必要性.2.借助計(jì)算器探索無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).3.會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù).【過程與方法】

讓學(xué)生親自動(dòng)手做拼圖活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和合作精神，通過辨別一個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)，訓(xùn)練大家的思維判斷能力.【情感態(tài)度】

1.了解有關(guān)無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)他們?yōu)檎胬矶鴬^斗的獻(xiàn)身精神.2.讓學(xué)生理解估算的意義，掌握估算的方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感和估算能力.【教學(xué)重點(diǎn)】 1.無理數(shù)的探索過程.2.了解無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別，并能正確判斷.【教學(xué)難點(diǎn)】

把兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成一個(gè)大正方形的動(dòng)手操作過程.一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

同學(xué)們，我們上了好多年的學(xué)，學(xué)過不計(jì)其數(shù)的數(shù)，概括起來我們都學(xué)過哪些數(shù)呢？

在小學(xué)我們學(xué)過自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù).在初一我們還學(xué)過負(fù)數(shù).對(duì)，我們?cè)谛W(xué)學(xué)了非負(fù)數(shù)，在初一發(fā)現(xiàn)數(shù)不夠用了，引入了負(fù)數(shù)，即把從小學(xué)學(xué)過的正數(shù)、零擴(kuò)充到有理數(shù)范圍，有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，那么有理數(shù)范圍是否能滿足我們實(shí)際生活的需要呢？下面我們就來共同研究這個(gè)問題.【教學(xué)說明】隨著學(xué)習(xí)的深入，知識(shí)層次的提高，有理數(shù)的范圍不能適應(yīng)現(xiàn)代生活的需要，這就要對(duì)數(shù)進(jìn)行擴(kuò)充，為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)作準(zhǔn)備.二、思考探究，獲取新知 無理數(shù)的概念 拼一拼：

請(qǐng)大家四個(gè)人為一組，拿出自己準(zhǔn)備好的兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和剪刀，認(rèn)真討論之后，動(dòng)手剪一剪，拼一拼，設(shè)法得到一個(gè)大的正方形，好嗎？

【教學(xué)說明】通過小組合作交流，動(dòng)手操作得到一個(gè)大的正方形，學(xué)生非常高興地投入到活動(dòng)中，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性.同學(xué)們展示，拼圖的結(jié)果.下面大家共同思考一個(gè)問題，假設(shè)拼成大正方形的邊長(zhǎng)為a，則a應(yīng)滿足什么條件呢？

【教學(xué)說明】探索拼圖的過程，對(duì)于學(xué)生理解大正方形的邊長(zhǎng)是a是不是有理數(shù)很有幫助.【歸納結(jié)論】因?yàn)?2=1，22=4，32=9，……整數(shù)的平方越來越大，所以a應(yīng)在1和2之間，故a不可能是整數(shù)，又(1/2)2=1/4，(1/3)2=1/9，(2/3)2=4/9，…兩個(gè)相同因數(shù)的乘積都為分?jǐn)?shù)，所以a不可能是分?jǐn)?shù).做一做：

大家判斷一下3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之間有怎樣的大小關(guān)系？說說你的理由.【教學(xué)說明】結(jié)合圖形，讓學(xué)生進(jìn)一步理解面積為2的正方形邊長(zhǎng)不是有理數(shù)，而是一種新數(shù).同學(xué)們能不能確定一下面積為2的正方形的邊長(zhǎng)為a的大致范圍呢？ 請(qǐng)大家用計(jì)算器探索，用表格的形式整理如下.還可以進(jìn)行下去嗎？a是有限小數(shù)嗎？

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生探索，讓學(xué)生對(duì)這種不是有理數(shù)的新數(shù)有了初步的認(rèn)識(shí)，為下面引出無理數(shù)的概念打下了基礎(chǔ).【歸納結(jié)論】像這種無限不循環(huán)小數(shù)就叫做無理數(shù).如：圓周率π=3.14159265…也是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，0.5858858885…（相鄰兩個(gè)5之間8的個(gè)數(shù)逐次加1）也是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，它們都是無理數(shù).?，它們都能化成有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)，這些數(shù)都是有理而3，45，0.38，0.17數(shù).三、運(yùn)用新知，深化理解 1.判斷題

（1）有理數(shù)與無理數(shù)的差都是有理數(shù).（2）無限小數(shù)都是無理數(shù).（3）無理數(shù)都是無限小數(shù).（4）兩個(gè)無理數(shù)的和不一定是無理數(shù).2.下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？

0.351，-23，4.9·6·，3.14159，-5.2323332…，***…（由相繼的正整數(shù)組成）.在下列每一個(gè)圈里，至少填入三個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù).【教學(xué)說明】學(xué)生自主完成，加深了對(duì)無理數(shù)的理解以及有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別所在，讓學(xué)生的疑難及時(shí)得到矯正與強(qiáng)化.【答案】1.（1）；（2）；（3）√；（4）√；

??，3.14159；-5.2323332…，***…（由2.0.351，-2/3，4.96相繼的正整數(shù)組成）.四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你是如何判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)？還有哪些困難？

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生尋找知識(shí)點(diǎn)間的區(qū)別和聯(lián)系，加深對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)的理解，有助于學(xué)生正確解題.1.習(xí)題2.2第1、2、3題.2.完成本課時(shí)練習(xí)部分.這節(jié)課的內(nèi)容是無理數(shù)的概念以及判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù).是數(shù)的范圍的又一次擴(kuò)充，是很重要的一節(jié).培養(yǎng)了學(xué)生分類歸納的思想.但對(duì)概念的理解掌握一些同學(xué)還不是很好，只能在以后的教學(xué)過程中不斷的完善.

第二篇：1 認(rèn)識(shí)無理數(shù)教案

第二章 實(shí)數(shù) 認(rèn)識(shí)無理數(shù)

【知識(shí)與技能】

1.通過拼圖活動(dòng)，讓學(xué)生感受無理數(shù)產(chǎn)生的必要性.2.借助計(jì)算器探索無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).3.會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù).【過程與方法】

讓學(xué)生親自動(dòng)手做拼圖活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和合作精神，通過辨別一個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)，訓(xùn)練大家的思維判斷能力.【情感態(tài)度】

1.了解有關(guān)無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)他們?yōu)檎胬矶鴬^斗的獻(xiàn)身精神.2.讓學(xué)生理解估算的意義，掌握估算的方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感和估算能力.【教學(xué)重點(diǎn)】 1.無理數(shù)的探索過程.2.了解無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別，并能正確判斷.【教學(xué)難點(diǎn)】

把兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成一個(gè)大正方形的動(dòng)手操作過程.一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

同學(xué)們，我們上了好多年的學(xué)，學(xué)過不計(jì)其數(shù)的數(shù)，概括起來我們都學(xué)過哪些數(shù)呢？

在小學(xué)我們學(xué)過自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù).在初一我們還學(xué)過負(fù)數(shù).對(duì)，我們?cè)谛W(xué)學(xué)了非負(fù)數(shù)，在初一發(fā)現(xiàn)數(shù)不夠用了，引入了負(fù)數(shù)，即把從小學(xué)學(xué)過的正數(shù)、零擴(kuò)充到有理數(shù)范圍，有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，那么有理數(shù)范梯田文化

教輔專家

圍是否能滿足我們實(shí)際生活的需要呢？下面我們就來共同研究這個(gè)問題.【教學(xué)說明】隨著學(xué)習(xí)的深入，知識(shí)層次的提高，有理數(shù)的范圍不能適應(yīng)現(xiàn)代生活的需要，這就要對(duì)數(shù)進(jìn)行擴(kuò)充，為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)作準(zhǔn)備.二、思考探究，獲取新知 無理數(shù)的概念 拼一拼：

請(qǐng)大家四個(gè)人為一組，拿出自己準(zhǔn)備好的兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和剪刀，認(rèn)真討論之后，動(dòng)手剪一剪，拼一拼，設(shè)法得到一個(gè)大的正方形，好嗎？

【教學(xué)說明】通過小組合作交流，動(dòng)手操作得到一個(gè)大的正方形，學(xué)生非常高興地投入到活動(dòng)中，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性.同學(xué)們展示，拼圖的結(jié)果.下面大家共同思考一個(gè)問題，假設(shè)拼成大正方形的邊長(zhǎng)為a，則a應(yīng)滿足什么條件呢？

【教學(xué)說明】探索拼圖的過程，對(duì)于學(xué)生理解大正方形的邊長(zhǎng)是a是不是有理數(shù)很有幫助.【歸納結(jié)論】因?yàn)?2=1，22=4，32=9，……整數(shù)的平方越來越大，所以a應(yīng)在1和2之間，故a不可能是整數(shù)，又(1/2)2=1/4，(1/3)2=1/9，(2/3)2=4/9，…兩個(gè)相同因數(shù)的乘積都為分?jǐn)?shù)，所以a不可能是分?jǐn)?shù).做一做：

梯田文化

教輔專家

大家判斷一下3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之間有怎樣的大小關(guān)系？說說你的理由.【教學(xué)說明】結(jié)合圖形，讓學(xué)生進(jìn)一步理解面積為2的正方形邊長(zhǎng)不是有理數(shù)，而是一種新數(shù).同學(xué)們能不能確定一下面積為2的正方形的邊長(zhǎng)為a的大致范圍呢？ 請(qǐng)大家用計(jì)算器探索，用表格的形式整理如下.還可以進(jìn)行下去嗎？a是有限小數(shù)嗎？

【教學(xué)說明】教師引導(dǎo)學(xué)生探索，讓學(xué)生對(duì)這種不是有理數(shù)的新數(shù)有了初步的認(rèn)識(shí)，為下面引出無理數(shù)的概念打下了基礎(chǔ).【歸納結(jié)論】像這種無限不循環(huán)小數(shù)就叫做無理數(shù).如：圓周率π=3.14159265…也是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，0.5858858885…（相鄰兩個(gè)5之間8的個(gè)數(shù)逐次加1）也是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，它們都是無理數(shù).?，它們都能化成有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)，這些數(shù)都是有理數(shù).而3，45，0.38，0.17

三、運(yùn)用新知，深化理解

梯田文化

教輔專家

1.判斷題

（1）有理數(shù)與無理數(shù)的差都是有理數(shù).（2）無限小數(shù)都是無理數(shù).（3）無理數(shù)都是無限小數(shù).（4）兩個(gè)無理數(shù)的和不一定是無理數(shù).2.下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？

0.351，-23，4.9·6·，3.14159，-5.2323332…，***…（由相繼的正整數(shù)組成）.在下列每一個(gè)圈里，至少填入三個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù).【教學(xué)說明】學(xué)生自主完成，加深了對(duì)無理數(shù)的理解以及有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別所在，讓學(xué)生的疑難及時(shí)得到矯正與強(qiáng)化.【答案】1.（1）；（2）；（3）√；（4）√；

??，3.14159；-5.2323332…，***…（由2.0.351，-2/3，4.96相繼的正整數(shù)組成）.四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你是如何判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)？還有哪些困難？

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生尋找知識(shí)點(diǎn)間的區(qū)別和聯(lián)系，加深對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)的理解，有助于學(xué)生正確解題.1.習(xí)題2.2第1、2、3題.2.完成本課時(shí)練習(xí)部分.梯田文化

教輔專家

這節(jié)課的內(nèi)容是無理數(shù)的概念以及判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù).是數(shù)的范圍的又一次擴(kuò)充，是很重要的一節(jié).培養(yǎng)了學(xué)生分類歸納的思想.但對(duì)概念的理解掌握一些同學(xué)還不是很好，只能在以后的教學(xué)過程中不斷的完善.梯田文化教輔專家

第三篇：《認(rèn)識(shí)無理數(shù)》 教學(xué)設(shè)計(jì)

《認(rèn)識(shí)無理數(shù)》 教學(xué)設(shè)計(jì)平山鄉(xiāng)后山小學(xué)：陶旭

教學(xué)目標(biāo)：(一)知識(shí)目標(biāo):

1、通過拼圖活動(dòng)，讓學(xué)生感受無理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景和引入的必要性。

2、能判斷給出的數(shù)是否為有理數(shù)；并能說出理由。(二)能力訓(xùn)練目標(biāo):

1、讓學(xué)生親自動(dòng)手做拼圖活動(dòng)，感受無理數(shù)存在的必要性和合理性，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和合作精神。

2、通過回顧有理數(shù)的有關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生能正確地進(jìn)行推理和判斷，識(shí)別某些數(shù)是否為有理數(shù)，訓(xùn)練他們的思維判斷能力。(三)情感與價(jià)值觀目標(biāo):

1、激勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

2、引導(dǎo)學(xué)生充分進(jìn)行交流、討論與探索等教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)他們合作與鉆研精神。

3、了解有關(guān)無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)他們?yōu)檎胬矶鴬^斗的精神。

教學(xué)重點(diǎn)：

1、讓學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程。感知生活中確實(shí)存在著不同于有理數(shù)的數(shù)。

2、會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：

1、把兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼成一個(gè)大正方形的動(dòng)手操作過程。

2、判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù)。教學(xué)過程：

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課： 講故事：（播放課件）

早在公元前，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為萬物皆“數(shù)”，即“宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”，也就是一切現(xiàn)象都可用有理數(shù)去描述.后來，這個(gè)學(xué)派中的一個(gè)叫希伯索斯的成員發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示，他認(rèn)為在生活中還存在除有理數(shù)之外的另一種數(shù)。

[師]到底誰的觀點(diǎn)正確呢？我們以前學(xué)的有理數(shù)范圍是否能滿足我們實(shí)際生活的需要呢？ 這節(jié)課我們就共同來研究這個(gè)問題。（板書課題）學(xué)生認(rèn)真聽故事。做好學(xué)前準(zhǔn)備。（本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖：以故事引入新課首先能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)讓學(xué)生帶著問題聽講新課會(huì)收到良好的效果。）

（二）操作觀察，總結(jié)歸納：

1、分組活動(dòng)：

[師]請(qǐng)學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的正方形和剪刀，認(rèn)真討論之后，動(dòng)手剪一剪，拼一拼，設(shè)法得到一個(gè)大的正方形。

學(xué)生分小組討論，組長(zhǎng)帶領(lǐng)組員動(dòng)手剪、拼。各小組組長(zhǎng)展示自己的操作成果（利用投影儀）教師演示拼圖過程（播放課件）

2、探索新知 [師]a2=2中a是整數(shù)嗎？是分?jǐn)?shù)嗎？

[甲生]因?yàn)?2=1，22=4所以a應(yīng)在1和2之間，故a不能是整數(shù)。[乙生]因?yàn)?兩個(gè)相同因數(shù)的乘積都為分?jǐn)?shù)，所以a不可能是分?jǐn)?shù)。

[師]同學(xué)們說的都不錯(cuò)，我們可以來回顧一下前面學(xué)過的有理數(shù)的范圍。[生]有理數(shù)包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)。[師]經(jīng)過我們剛才的分析可知，在a2=2中，a既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，所以a不是有理數(shù)，但在現(xiàn)實(shí)生活中確實(shí)存在像a這樣的數(shù)。看來我們學(xué)的有理數(shù)的范圍又不夠用了。

3、做一做：（播放課件）

(1)在下圖中，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？(2)正方形的邊長(zhǎng)為b，則b應(yīng)滿足什么條件？b是有理數(shù)嗎？ [師]我們先來回顧一下勾股定理的內(nèi)容。

[生]在直角三角形中，若兩條直角邊長(zhǎng)為a,b,斜邊為c,則有a2+b2=c2。[師]在這題中，根據(jù)勾股定理得b2=12+22,即b2=5,則b是有理數(shù)嗎？ [甲生]因?yàn)?2=4,32=9,所以b不可能是整數(shù)。

[乙生]沒有兩個(gè)相同的分?jǐn)?shù)相乘得5,所以b不可能是分?jǐn)?shù)。

[丙生]因?yàn)闆]有一個(gè)整數(shù)或分?jǐn)?shù)的平方為5，所以b不可能有理數(shù)。

[師]同學(xué)們說的很正確，生活中確實(shí)存在不同于有理數(shù)的數(shù)，它就是——無理數(shù)。下面我們繼續(xù)看課前播放的故事。（播放課件）

希伯索斯當(dāng)時(shí)的發(fā)現(xiàn)動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，他們?cè)噲D封鎖這一發(fā)現(xiàn)，然而希伯索斯早己將這個(gè)發(fā)現(xiàn)偷偷傳播出去了?？墒呛髞磉€是被畢氏圍捕，投進(jìn)了大海，從而獻(xiàn)出了寶貴的生命。但真理是不可戰(zhàn)勝的，后來古希臘人證實(shí)了希伯索斯的發(fā)現(xiàn)。

[師]我們現(xiàn)在所學(xué)的知識(shí)都是前人給我們總結(jié)出來的，我們一方面應(yīng)積極地學(xué)習(xí)這些經(jīng)驗(yàn)，另一方面我們也不能死搬教條，要大膽質(zhì)疑，如不這樣科學(xué)就會(huì)永遠(yuǎn)停留在某處而不前進(jìn)，要向古希臘的希伯索斯學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)他為捍衛(wèi)真理而勇于獻(xiàn)身的精神。

（本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生分組討論、合作、交流，培養(yǎng)了學(xué)生新的學(xué)習(xí)方法，加強(qiáng)了學(xué)生團(tuán)結(jié)、協(xié)作的能力。了解有關(guān)無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)他們?yōu)檎胬矶鴬^斗的精神。）

（三）鞏固練習(xí)，深化認(rèn)識(shí)：

1、如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，高為h，h可能是整數(shù)嗎？可能是分?jǐn)?shù)嗎？

[師]找兩生板演，其余在練習(xí)本上完成。

[生]由正三角形的性質(zhì)可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3。h不可能是整數(shù)，也不可能是分?jǐn)?shù)。

2、為了加固一個(gè)高2米、寬1米的大門，需要在對(duì)角線位置加固一條木板，設(shè)木板長(zhǎng)為a米，則由勾股定理得a2=12+22，即a2=5，a的值大約是多少？這個(gè)值可能是分?jǐn)?shù)嗎？ [生]a的值大約是2.2，這個(gè)值不可能是分?jǐn)?shù)。師總結(jié)，同時(shí)了解其余學(xué)生的做題情況。

（本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)的目的既是檢查又是鞏固、深化，幫助學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)形成更為清晰和深刻的認(rèn)識(shí)，同時(shí)可以讓學(xué)生在探索與被肯定當(dāng)中獲得積極的情感體驗(yàn)。）

（四）課堂小結(jié)，課外延伸：

[師]通過今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)你都有哪些收獲？

[甲生]通過拼圖活動(dòng)，經(jīng)歷無理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景，我感受到生活中不僅有理數(shù)，還有無理數(shù)。[乙生]會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù)。

（只要學(xué)生回答的有道理，教師就要給予肯定。

[師]希望同學(xué)們課后能在生活中尋找這類不同于有理數(shù)的數(shù)。（本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖：這部分有兩個(gè)作用：一是培養(yǎng)學(xué)生歸納梳理知識(shí)的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和能力；二是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，感受到數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。）

（五）課后作業(yè)：

1、必做題：課本習(xí)題

2、選做題：課本“試一試”

（本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖：考慮學(xué)生的實(shí)際情況分層布置作業(yè)，必做題面向全體，讓學(xué)生在鞏固知識(shí)的同時(shí)，有一定的創(chuàng)新空間，選做題供學(xué)有余力的同學(xué)研究、提高。）

第四篇：認(rèn)識(shí)無理數(shù)第一課時(shí)教案

2.1認(rèn)識(shí)無理數(shù)

（第一課時(shí)）

一、教學(xué)目標(biāo)敘寫

１．學(xué)生通過預(yù)習(xí)教材21頁(yè),并思考情景引入中的問題1．

２．學(xué)生通過合作探究部分，初步感知數(shù)不夠用了, 讓學(xué)生充分感受“新數(shù)”（無理數(shù)）的存在.３．學(xué)生通過交流知識(shí)點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和思想方法，培養(yǎng)學(xué)生歸納能力和有條理的表達(dá)能力． ４．學(xué)生通過完成“

五、當(dāng)堂評(píng)價(jià)”，能正確地進(jìn)行判斷某些數(shù)是否為有理數(shù)，加深對(duì)有理數(shù)和無理數(shù)的理解．

二、教學(xué)重難點(diǎn)

１．重點(diǎn)：讓學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程.２．難點(diǎn)：會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否為無理數(shù)．

三、教學(xué)過程

（一）、情景引入

［師］同學(xué)們,我們上了好多年的學(xué),學(xué)過不計(jì)其數(shù)的數(shù),概括起來我們都學(xué)過哪些數(shù)呢? ［生］在小學(xué)我們學(xué)過自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù).［生］在初一我們還學(xué)過負(fù)數(shù).［師］對(duì)，我們?cè)谛W(xué)學(xué)了非負(fù)數(shù)，在初一發(fā)現(xiàn)數(shù)不夠用了，引入了負(fù)數(shù)，即把從小學(xué)學(xué)過的正數(shù)、零擴(kuò)充到有理數(shù)范圍，有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，那么有理數(shù)范圍是否就能滿足我們實(shí)際生活的需要呢？下面我們就來共同研究這個(gè)問題.1、思考：⑴一個(gè)整數(shù)的平方一定是整數(shù)嗎？⑵一個(gè)分?jǐn)?shù)的平方一定是分?jǐn)?shù)嗎？

2、已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為1和2，算一算斜邊長(zhǎng)x的平方，并提出問題：x是整數(shù)（或分?jǐn)?shù)）嗎？

（二）、自主探究

1.問題的提出

［師］請(qǐng)大家四個(gè)人為一組，拿出自己準(zhǔn)備好的兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形和剪刀，認(rèn)真討論之后，動(dòng)手剪一剪，拼一拼，設(shè)法得到一個(gè)大的正方形，好嗎？

［生］好.(學(xué)生非常高興地投入活動(dòng)中).［師］經(jīng)過大家的共同努力，每個(gè)小組都完成了任務(wù)，請(qǐng)同學(xué)們把自己拼的圖展示一下.同學(xué)們非常踴躍地呈現(xiàn)自己的作品給老師.［師］現(xiàn)在我們一齊把大家的做法總結(jié)一下：

下面再請(qǐng)大家共同思考一個(gè)問題，假設(shè)拼成大正方形的邊長(zhǎng)為a，則a應(yīng)滿足什么條件呢？

［生甲］a是正方形的邊長(zhǎng)，所以a肯定是正數(shù).［生乙］因?yàn)閮蓚€(gè)小正方形面積之和等于大正方形面積，所以根據(jù)正方形面積公式可知a2=2.［生丙］由a2=2可判斷a應(yīng)是1點(diǎn)幾.［師］大家說得都有道理，前面我們已經(jīng)總結(jié)了有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，那么a是整數(shù)嗎？a是分?jǐn)?shù)嗎？請(qǐng)大家分組討論后回答.［生甲］我們組的結(jié)論是：因?yàn)?2=1，22=4，32=9，?整數(shù)的平方越來越大，所以a應(yīng)在1和2之間，故a不可能是整數(shù).［生乙］因?yàn)?11224111??,??,??，?兩個(gè)相同因數(shù)的乘積都為分?jǐn)?shù)，所224339339以a不可能是分?jǐn)?shù).［師］經(jīng)過大家的討論可知，在等式a2=2中，a既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，所以a不是有理數(shù)，但在現(xiàn)實(shí)生活中確實(shí)存在像a這樣的數(shù)，由此看來，數(shù)又不夠用了.活動(dòng)內(nèi)容：【議一議】→【釋一釋】→【憶一憶】→【找一找】

將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，剪一剪、拼一拼，設(shè)法得到一個(gè)大的正方形.設(shè)這個(gè)大的正方形的邊長(zhǎng)為a,a滿足什么條件？

【議一議】： 已知a?2，請(qǐng)問：①a可能是整數(shù)嗎？②a可能是分?jǐn)?shù)嗎？ 【釋一釋】：釋1．滿足a?2的a為什么不是整數(shù)？

釋2．滿足a?2的a為什么不是分?jǐn)?shù)？

【憶一憶】：讓學(xué)生回顧“有理數(shù)”概念，既然a不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)，那么a一定不是有理數(shù)，這表明：有理數(shù)不夠用了，為“新數(shù)”（無理數(shù)）的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ) 【找一找】：在下列正方形網(wǎng)格中，先找出長(zhǎng)度為有理數(shù)的線段，再找出長(zhǎng)度不是有理數(shù)的線段

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（三）、合學(xué)應(yīng)用 例：在數(shù)軸上表示滿足x2?2?x?0?的x.解：

（四）、整理反思

1．通過本課學(xué)習(xí)，感受有理數(shù)又不夠用了，請(qǐng)問你有什么收獲與體會(huì)？ 2．客觀世界中，的確存在不是有理數(shù)的數(shù)，你能列舉幾個(gè)嗎？ 3．除了本課所認(rèn)識(shí)的非有理數(shù)的數(shù)以外，你還能找到嗎？

（五）、當(dāng)堂評(píng)價(jià)

1、如圖，回答下列問題：

（1）以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為b,b滿足什么條件？（3）b是有理數(shù)嗎？

2、如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，高為h,h可能是整數(shù)嗎？可能是分?jǐn)?shù)嗎？

（六）、變練拓展

1.請(qǐng)你在方格紙上按照如下要求設(shè)計(jì)直角三角形：（1）使它的三邊中有一邊邊長(zhǎng)不是有理數(shù)；（2）使它的三邊中有兩邊邊長(zhǎng)不是有理數(shù)；（3）使它的三邊邊長(zhǎng)都不是有理數(shù).2.下圖是由16個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成的，任意連結(jié)這些小正方形的若干個(gè)頂點(diǎn)，可得到一些線段，試分別找出兩條長(zhǎng)度是有理數(shù)的線段和三條長(zhǎng)度不是有理數(shù)的線段.解：如圖，AB=2，BE=1，AB、BE是有理數(shù).AD2=AB2+BD2=22+32=13，AC2＝1＋1＝2.AE2=AB2+BE2=22+12=5.AC、AD、AE既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，所以不是有理數(shù).

第五篇：聽課雜感-無理數(shù)

聽課雜感─—無理數(shù)

畢達(dá)哥拉斯

從勾股定理說起

勾股定理在西方被稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，它是畢達(dá)哥拉斯在公元前500年發(fā)現(xiàn)的。其實(shí)在我國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》上，記載了公元前六七世紀(jì)榮方和陳子有關(guān)這條定理的一段對(duì)話，陳子說：“若求邪（斜）??勾股各自乘，并而開方除之”。這段話用公式表示即為：c等于根號(hào)下a平方加上b平方或c的平方等于a的平方加上b的平方。因?yàn)殛愖铀幍哪甏缬诋呥_(dá)哥拉斯的年代，曾有人主張將 “畢達(dá)哥哥拉斯定理”改稱“陳子定理”，1951年，我國(guó)的《中國(guó)數(shù)學(xué)》雜志將其定名為“勾股定理”。

畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個(gè)合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別─—畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。

由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。由畢達(dá)哥拉斯定理自身產(chǎn)生的矛盾─—無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)

然而，具有戲劇性的是由畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉 斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。

公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）學(xué)派的弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)：若正方形邊長(zhǎng)是1，則對(duì)角線的長(zhǎng)c不是一個(gè)有理數(shù)。就是說─—他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來表示。

事實(shí)上，若正方形邊長(zhǎng)是1，正方形對(duì)角線長(zhǎng)為c，根據(jù)畢達(dá)哥拉斯的定理，c2＝12+12＝2，即正方形對(duì)角線長(zhǎng)是平方為2的數(shù)，不是“有理數(shù)”。即正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的比，都不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)來表示；這些無法用整數(shù)關(guān)系來描述的比，是人們還沒有認(rèn)識(shí)的一類新數(shù)。

可以想象，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派受到了多么沉重的打擊。這一發(fā)現(xiàn)實(shí)際上是推翻了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派原來的論斷，觸犯了這個(gè)學(xué)派的信條。他們不許希伯索斯泄露存在2的平方根（即無理數(shù)）的秘密，但是天真的希伯索斯在無意中向別人談到了他的發(fā)現(xiàn)。后來畢達(dá)哥拉斯教派為了維護(hù)教派的信條，以破壞教規(guī)為理由將希伯索斯裝進(jìn)大口袋扔進(jìn)了大海。希伯索斯因?yàn)榻沂玖艘粋€(gè)科學(xué)的真理而付出了生命的代價(jià)。

對(duì)于這種新的數(shù)，因?yàn)樗c有理數(shù)相對(duì)立，十五世紀(jì)意大利著名畫家達(dá)·芬奇稱之為“無理的數(shù)”，實(shí)際上，有理數(shù)和無理數(shù)的英文名稱是“rational number”和“irrational number”，譯成“比數(shù)”和“非比數(shù)”更為合適。

一直到十八世紀(jì)，當(dāng)數(shù)學(xué)家證明了基本常數(shù)如圓周率是無理數(shù)時(shí)，擁護(hù)無理數(shù)存在的人才多起來。到十九世紀(jì)下半葉，現(xiàn)在意義上的實(shí)數(shù)理論建立起來后，無理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，無理數(shù)在數(shù)學(xué)園地中才真正扎下了根。無理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立，使人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從有理數(shù)拓展到實(shí)數(shù)。

希伯索斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

希伯索斯悖論的提出與畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）的發(fā)現(xiàn)密切相關(guān)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是歐氏幾何中最著名的定理之一。天文學(xué)家開普勒曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨的明珠之一。它在數(shù)學(xué)與人類的實(shí)踐活動(dòng)中有著極其廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是人類最早認(rèn)識(shí)到的平面幾何定理之一。在我國(guó)，最早的一部天文數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就已有了關(guān)于這一定理的初步認(rèn)識(shí)。不過，在我國(guó)對(duì)于勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國(guó)時(shí)期的趙爽才用面積割補(bǔ)給出它的第一種證明。

在國(guó)外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達(dá)哥拉斯。因而國(guó)外一般稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”。并且據(jù)說畢達(dá)哥拉斯在完成這一定理證明后欣喜若狂，而殺牛百只以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個(gè)帶神秘色彩的稱號(hào)：“百牛定理”。

畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個(gè)合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個(gè)成員希伯索斯（Hippausus）考慮了一個(gè)問題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來表示。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實(shí)際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊。對(duì)于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的觀念這都是一個(gè)極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常 識(shí)的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時(shí)是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測(cè)量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時(shí)，這個(gè)斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗(yàn)所確信的，完全符合常識(shí)的論斷居然被小小的2的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識(shí)，多么荒謬的事！它簡(jiǎn)直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對(duì)這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當(dāng)時(shí)直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī)，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場(chǎng)大的**，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。

在教學(xué)中對(duì)于平方為2的數(shù)，不是“有理數(shù)”可以這樣說明： 若正方形邊長(zhǎng)是1，正方形對(duì)角線長(zhǎng)為c

1、c不可能是整數(shù)，這是因?yàn)?＜c＜2；

2、c不可能是分?jǐn)?shù)

m?m?，很明顯若??2＝2（其中m、n是正整數(shù)，且沒有n?n?公約數(shù)，其中n≠1）是不可能的，這是因?yàn)槿绻钦麛?shù)，則n＝1

二百年后，大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論。他本人的著作已失傳，他的成果被保存在歐幾里德《幾何原本》一書第五篇中。歐多克索斯的巧妙方法可以避開無理數(shù)這一“邏輯上的丑聞”，并保留住與之相關(guān)的一些結(jié)論，從而解決了由無理數(shù)出現(xiàn)而引起的數(shù)學(xué)危機(jī)。但歐多克索斯的解決方式，是借助幾何方法，通過避免直接出現(xiàn)無理數(shù)而實(shí)現(xiàn)的。這就生硬地把數(shù)和量肢解開來。在這種解決方案下，對(duì)無理數(shù)的使用只有在幾何中是允許的，合法的，在代數(shù)中就是非法的，不合邏輯的?；蛘哒f無理數(shù)只被當(dāng)作是附在幾何量上的單純符號(hào)，而不被當(dāng)作真正的數(shù)。

畢氏弟子的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明它不能同連續(xù)的無限直線同等看待，有理數(shù)并沒有布滿數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡(jiǎn)直多得“不可勝數(shù)”（現(xiàn)在我們可以知道，有理數(shù)具有“稠密性”，實(shí)數(shù)具有“連續(xù)性”，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的）。于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹底地破滅了。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)

希伯索斯發(fā)現(xiàn)：直線上存在不對(duì)應(yīng)于任何有理數(shù)的點(diǎn)。特別是，他們證明了：在這條直線上的點(diǎn)P不對(duì)應(yīng)于任何一個(gè)有理數(shù)，這里距離OP等于邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)1的正方形的對(duì)角線，如圖1所示。

希伯索斯的發(fā)現(xiàn)

為了證明以單位長(zhǎng)為邊的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)不能用有理數(shù)來表示，根據(jù)勾股定理，只要證明平方為2的正數(shù)是不是有理數(shù)就夠了。據(jù)亞里士多德說，歷史上最早證明它是無理數(shù)的數(shù)學(xué)家正是畢達(dá)哥拉斯本人。他找到了一個(gè)方法來證明 這個(gè)數(shù)不能表示成m。這里，m、n是沒有公約數(shù)的正整數(shù)。n以下是反證法的證明：

假設(shè)2是有理數(shù)，首先它不是整數(shù)，因?yàn)?＜2＜2； 其次假定2是既約分?jǐn)?shù)，m＝2（其中m、n是正整數(shù)，且沒有公約數(shù)）

nm2則：2=2

∴m2=2n2是2的倍數(shù)①，n所以m2一定是偶數(shù)，故m亦是偶數(shù)（奇數(shù)的平方不會(huì)是偶數(shù)）所以必有一整數(shù)k，使得m＝2k ②

將①代入②得：m2=2n2＝(2k)2 ∴2n2＝4k2 化簡(jiǎn)得n2＝2k2，所以n是偶數(shù)，所以m和n都是偶數(shù)，這與最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的假設(shè)矛盾

所以2即不是有理數(shù)

這個(gè)證明可推廣至證明任何自然數(shù)的平方根是否是無理數(shù)。我們已經(jīng)知道，開方開不盡時(shí)所得到的數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)即無理數(shù)．但是，也確有一些無限不循環(huán)小數(shù)不是由于開方開不盡而產(chǎn)生的，在中學(xué)數(shù)學(xué)里遇到的有兩個(gè)數(shù)；圓周率π就是如此。π的實(shí)際意義是圓的周長(zhǎng)與該圓的直徑之比，稱為圓周率．我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之對(duì)π值的推算結(jié)果為：3.1415926<π<3.1415927。綜上所說，無理數(shù)可分為兩類：一類是由于開方開不盡而產(chǎn)生的，稱根數(shù)；另一類是像π這樣的數(shù)，它們不是由于開方開不盡而產(chǎn)生的，稱超越數(shù)。