第一篇：數(shù)學思想方法縮印

數(shù)學思想方法：是對數(shù)學知識本質認識，對數(shù)學規(guī)律的理性認識，是從某些具體的數(shù)學內容和對數(shù)學知識的認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點。

數(shù)學方法：是從數(shù)學的角度提出問題，解決問題的過程中所采用的方式，手段，途徑等。

中學數(shù)學涉及的思想方法有：1用字母代替的數(shù)的思想方法2集合的思想方法3函數(shù)、映射、對應的思想方法4統(tǒng)計思想和數(shù)據處理方法5算法思想6數(shù)形結合的思想方法7最優(yōu)化的思想方法8極限思想和逼近方法9分類的思想方法10參數(shù)的思想方法 數(shù)學思想方法教學的特點：1隱喻性2活動性3主觀性4差異性

從學生的認知角度看，數(shù)學思想方法的構建有三個階段：潛意識階段，明朗和形成階段，深化階段 在數(shù)學教學的不同階段，如何進行數(shù)學思想方法教學；1在知識形成階段，可有計劃有步驟地選用觀察、實驗、比較、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法。字母代替數(shù)的思想方法、函數(shù)的思想方法、方程的思想方法、極限的思想方法、統(tǒng)計的思想方法等2在知識結論推導階段和解題教學中，可選用分類討論、化歸、等價轉換、特殊化與一般化、歸納、類比等思想方法3在知識的總結性階段，可采用結構化、公理化等思想方法 化歸方法的基本思想是什么“化歸”是轉化和歸結的簡稱。其基本思想是：人們在解決數(shù)學問題時，常常是將待解決的問題A，通過某種轉化手段，歸結為另一個問題B，而問題B是相對交易解決或已有固定解決程式的問題，且通過對問題B的解決可得到原問題A的解答 化歸方法的基本原則：1化歸目標簡單化原則2具體化原則3和諧統(tǒng)一性4形式標準化原則5低層次化原則 RMI原理：通過建立歐式平面到有序實數(shù)對集合的映射，將平面幾何問題轉化為簡析幾何問題的過程，以及通過建立平面直角坐標系到復數(shù)集的映射，將幾何問題化歸為復數(shù)問題的過程。它們有著共同的形式，即通過尋找適當映射實現(xiàn)化歸的策略進一步形式化地抽象為關系映射反演原理簡稱RMI原理

數(shù)學抽象的基本原則是邏輯建構形式化原則

數(shù)學抽象的主要方法：性質抽象，關系抽象，等置抽象，無限抽象，弱抽象和強抽象

數(shù)學模型方法是借用數(shù)學模型來研究原型的功能特征及其內在規(guī)律，并應用于實際的一種方法

數(shù)學建模的一般原則：1簡化原則 2可推演，3反映性 必真推理方法包括演繹法和完全歸納法。完全歸納法常會用到窮舉和類分的方法

類比法：類比法是根據兩個或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們在其他屬性上也相同或相似的推理方法

人們經常在數(shù)與式之間、平面與立體之間、一維與多維之間進行種種類比

類比的一般模式A類事物具有性質a1,a2,a3,a4，B類事物具有性質a1,a2,a3,所以B類事物可能具有性質a4 類比的三個環(huán)節(jié)：1依據某種相似性尋找適合的類比物2將兩個對象的相似性進一步明確化3依據1、2步中明確化的相似性推測相似結論，得到命題或證明方法的猜想 反證法：當證明論題p→q時，不去直接證明它，而是把﹁q作為前提，加進原論題的前提，并根據已知真命題和推理規(guī)則推出與另一已知真命題或原論題的前提相矛盾的結論，或者導出自相矛盾的結論，從而確立論題的正確性

計算機技術和數(shù)學科學的迅速發(fā)展推動了幾何定理證明機械化的進程，吳文俊先生研究幾何證明的機械化方法 算法是指可以用計算機來解決的某一類問題的程序或步驟，它的主要特征是程序性、明確性和有限性

在向量運算的教學中，特別要重視向量的數(shù)乘運算和數(shù)量積運算

公理化方法：從盡可能少的一組原始概念和公設和公理出發(fā)，運用邏輯推理原則，建立科學體系的方法。具體形態(tài)：1實體性公理化方法，形態(tài)公理化方法和純形式公理化方法

公理化方法的邏輯特征：1無矛盾性2獨立性3完備性 公理化方法對教學的啟示：1啟發(fā)學生自己去尋找依據2使學生在尋找體驗依據的過程中，培養(yǎng)起”說理有據“的習慣和能力3在運用公理化方法解決問題時，要幫助學生將命題的條件和結論聯(lián)系起來4應讓學生在公理化方法中學到從一般到特殊邏輯和直觀的教學的基本要素5要幫助學生認識運算是從一個或幾個已知判斷得到一個新判斷思維過程

在數(shù)學和數(shù)學學習中，分析和綜合的二種意義：1分析與綜合可以理解為證明定理和解題的思維方法2分析與綜合可以理解為研究數(shù)學概念和性質的方法

數(shù)學方法在實際應用中往往具有過程性和層次性的特點 涉及到無限概念的抽象為無限抽象，它分為潛無限抽象和實無限抽象

等置抽象是按某種等價關系，抽取一類對象共同性質特征的抽象

性質抽象是考察被研究對象某一方面的性質或屬性，而抽取向量性方面的性質或屬性的抽象方法

關系抽象是指根據認識目的，從研究對象中抽取或建構若干構成要素之間的數(shù)量關系或空間位置關系，而舍棄其他無關特征或物理現(xiàn)實意義的抽象方法

強抽象是指通過強化對象的特征，即增加對象的性特征來完成抽象建構，已形成新概念或模式的抽象方式 弱抽象是指由原型中抽取其某一方面的特征或側面加以概括，從而形成比原對象更為一般的概念或理論的一種抽象方式

數(shù)學抽象是一種特殊的抽象，具體表現(xiàn)為它的抽象的內容，程度和方法上

數(shù)學中的三種母結構為代數(shù)結構，序結構，拓撲結構 數(shù)學推理：是從一個或幾個已知判斷得到一個新的判斷的思維形式

推理的種類：安思維的方向性，可分為演繹推理、歸納推理、類比推理

推理有內容和形式兩方面。內容指前提和結論的真假性問題，形式是所推理的結構形式問題

數(shù)學推理的規(guī)則：1三段論推理規(guī)則2聯(lián)言推理規(guī)則3選言推理規(guī)則4分離規(guī)則5否定推理規(guī)則5逆推理規(guī)則6逆否規(guī)則

不完全歸納的理論依據：1共性存在于個性之中2普遍性寓于特殊性之中

為什么說數(shù)形結合方法是最基本最常用的方法，如何用？數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學。即就是研究數(shù)與形的科學，而且數(shù)學的高度抽象性，帶來了數(shù)學的難教、難懂、難學。正是數(shù)學科學的研究對象和特點，決定于數(shù)形結合是數(shù)學思考和研究問題的基本方法，它可以幫助人們將抽象的而難題變得直觀、形象，便于思考和研究，也可以幫助人們將直觀問題數(shù)量化、精確化，促進問題的解決。如何用？1從數(shù)到形，以形論數(shù)2從形到數(shù)，以數(shù)論形3數(shù)形結合，互相轉化，互相補充 公理化方法的意義和作用？1公理化方法有利于在理論上探索事物的發(fā)展規(guī)律2公理化方法有助于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力3公理化方法對數(shù)學的發(fā)展起的積極作用及其局限性

不完全歸納：不完全歸納法即不完全歸納推理，是根據考察的一類事物的部分對象具有某一屬性，向做出該類事物都具有這一屬性的一般結論的歸納推理

數(shù)學思想方法：是對數(shù)學知識的本質認識，對數(shù)學規(guī)律的理性認識，是從某些具體的數(shù)學內容和對數(shù)學知識的認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點。

數(shù)學方法：是從數(shù)學的角度提出問題，解決問題的過程中所采用的方式，手段，途徑等。

中學數(shù)學涉及的思想方法有：1用字母代替的數(shù)的思想方法2集合的思想方法3函數(shù)、映射、對應的思想方法4統(tǒng)計思想和數(shù)據處理方法5算法思想6數(shù)形結合的思想方法7最優(yōu)化的思想方法8極限思想和逼近方法9分類的思想方法10參數(shù)的思想方法 數(shù)學思想方法教學的特點：1隱喻性2活動性3主觀性4差異性

從學生的認知角度看，數(shù)學思想方法的構建有三個階段：潛意識階段，明朗和形成階段，深化階段 在數(shù)學教學的不同階段，如何進行數(shù)學思想方法教學；1在知識形成階段，可有計劃有步驟地選用觀察、實驗、比較、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法。字母代替數(shù)的思想方法、函數(shù)的思想方法、方程的思想方法、極限的思想方法、統(tǒng)計的思想方法等2在知識結論推導階段和解題教學中，可選用分類討論、化歸、等價轉換、特殊化與一般化、歸納、類比等思想方法3在知識的總結性階段，可采用結構化、公理化等思想方法 化歸方法的基本思想是什么“化歸”是轉化和歸結的簡稱。其基本思想是：人們在解決數(shù)學問題時，常常是將待解決的問題A，通過某種轉化手段，歸結為另一個問題B，而問題B是相對交易解決或已有固定解決程式的問題，且通過對問題B的解決可得到原問題A的解答 化歸方法的基本原則：1化歸目標簡單化原則2具體化原則3和諧統(tǒng)一性原則4形式標準化原則5低層次化原則

RMI原理：通過建立歐式平面到有序實數(shù)對集合的映射，將平面幾何問題轉化為簡析幾何問題的過程，以及通過建立平面直角坐標系到復數(shù)集的映射，將幾何問題化歸為復數(shù)問題的過程。它們有著共同的形式，即通過尋找適當映射實現(xiàn)化歸的策略進一步形式化地抽象為關系映射反演原理簡稱RMI原理

數(shù)學抽象的基本原則是邏輯建構形式化原則

數(shù)學抽象的主要方法：性質抽象，關系抽象，等置抽象，無限抽象，弱抽象和強抽象

數(shù)學模型方法是借用數(shù)學模型來研究原型的功能特征及其內在規(guī)律，并應用于實際的一種方法

數(shù)學建模的一般原則：簡化原則，可推演原則，反映性原則

必真推理方法包括演繹法和完全歸納法。完全歸納法常會用到窮舉和類分的方法

類比法：類比法是根據兩個或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們在其他屬性上也相同或相似的推理方法

人們經常在數(shù)與式之間、平面與立體之間、一維與多維之間進行種種類比

類比的一般模式為：A類事物具有性質a1,a2,a3,a4，B類事物具有性質a1,a2,a3,所以B類事物可能具有性質a4

類比的三個環(huán)節(jié)：1依據某種相似性尋找適合的類比物2將兩個對象的相似性進一步明確化3依據1、2步中明確化了的相似性，推測相似結論，得到命題或證明方法的猜想

反證法：當證明論題p→q時，不去直接證明它，而是把﹁q作為前提，加進原論題的前提，并根據已知真命題和推理規(guī)則推出與另一已知真命題或原論題的前提相矛盾的結論，或者導出自相矛盾的結論，從而確立論題的正確性

計算機技術和數(shù)學科學的迅速發(fā)展，推動了幾何定理證明機械化的進程，吳文俊先生研究幾何證明的機械化方法

算法是指可以用計算機來解決的某一類問題的程序或步驟，它的主要特征是程序性、明確性和有限性

在向量運算的教學中，特別要重視向量的數(shù)乘運算和數(shù)量積運算

公理化方法：從盡可能少的一組原始概念和公設和公理出發(fā)，運用邏輯推理原則，建立科學體系的方法。具體形態(tài)：1實體性公理化方法，形態(tài)公理化方法和純形式公理化方法

公理化方法的邏輯特征：1無矛盾性2獨立性3完備性 公理化方法對教學的啟示：1啟發(fā)學生自己去尋找依據2使學生在尋找體驗依據的過程中，培養(yǎng)起”說理有據“的習慣和能力3在運用公理化方法解決問題時，要幫助學生將命題的條件和結論聯(lián)系起來4應讓學生在公理化方法中學到從一般到特殊邏輯和直觀的教學的基本要素5要幫助學生認識運算是從一個或幾個已知判斷得到一個新判斷的思維過程

在數(shù)學和數(shù)學學習中，分析和綜合的二種意義：1分析與綜合可以理解為證明定理和解題的思維方法2分析與綜合可以理解為研究數(shù)學概念和性質的方法

數(shù)學方法在實際應用中往往具有過程性和層次性的特點 涉及到無限概念的抽象為無限抽象，它分為潛無限抽象和實無限抽象

等置抽象是按某種等價關系，抽取一類對象共同性質特征的抽象

性質抽象是考察被研究對象某一方面的性質或屬性，而抽取向量性方面的性質或屬性的抽象方法

關系抽象是指根據認識目的，從研究對象中抽取或建構若干構成要素之間的數(shù)量關系或空間位置關系，而舍棄其他無關特征或物理現(xiàn)實意義的抽象方法

強抽象是指通過強化對象的特征，即增加對象的性特征來完成抽象建構，已形成新概念或模式的抽象方式 弱抽象是指由原型中抽取其某一方面的特征或側面加以概括，從而形成比原對象更為一般的概念或理論的一種抽象方式

數(shù)學抽象是一種特殊的抽象，具體表現(xiàn)為它的抽象的內容，程度和方法上

數(shù)學中的三種母結構為代數(shù)結構，序結構，拓撲結構 數(shù)學推理：是從一個或幾個已知判斷得到一個新的判斷的思維形式

推理的種類：安思維的方向性，可分為演繹推理、歸納推理、類比推理

推理有內容和形式兩方面。內容指前提和結論的真假性問題，形式是所推理的結構形式問題

數(shù)學推理的規(guī)則：1三段論推理規(guī)則2聯(lián)言推理規(guī)則3選言推理規(guī)則4分離規(guī)則5否定推理規(guī)則5逆推理規(guī)則6逆否規(guī)則

不完全歸納的理論依據：1共性存在于個性之中2普遍性寓于特殊性之中

為什么說數(shù)形結合方法是最基本最常用的方法，如何用？數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學。即就是研究數(shù)與形的科學，而且數(shù)學的高度抽象性，帶來了數(shù)學的難教、難懂、難學。正是數(shù)學科學的研究對象和特點，決定于數(shù)形結合是數(shù)學思考和研究問題的基本方法，它可以幫助人們將抽象的而難題變得直觀、形象，便于思考和研究，也可以幫助人們將直觀問題數(shù)量化、精確化，促進問題的解決。如何用？1從數(shù)到形，以形論數(shù)2從形到數(shù)，以數(shù)論形3數(shù)形結合，互相轉化，互相補充 公理化方法的意義和作用？1公理化方法有利于在理論上探索事物的發(fā)展規(guī)律2公理化方法有助于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力3公理化方法對數(shù)學的發(fā)展起的積極作用及其局限性

不完全歸納：不完全歸納法即不完全歸納推理，是根據考察的一類事物的部分對象具有某一屬性，向做出該類事物都具有這一屬性的一般結論的歸納推理

第二篇：數(shù)學思想方法學習心得（推薦）

《數(shù)學思想方法》心得體會

寧安市東京城鎮(zhèn)小學 黃淑偉

我通過對數(shù)學思想方法的學習，并結合我在工作中的實際情況，體會到如下心得：

數(shù)學的內容、思想、方法和語言廣泛滲入自然學科和社會學科，成為現(xiàn)代文化的重要組成部分。數(shù)學思想方法是數(shù)學學科的精髓，是數(shù)學素養(yǎng)和重要內容之一。學生只有領會了數(shù)學思想方法，才能有效地應用知識，形成能力，而數(shù)學思想方法在教學實踐方面的應用，更能加強教師的數(shù)學思想方法教學意識，更新教學觀念，形成有效的數(shù)學思想方法教學策略，提高教學水平。

1.數(shù)學思想。數(shù)學思想是人們對數(shù)學科學研究的本質，及規(guī)律的深刻認識。它是指導學習數(shù)學，解決數(shù)學問題的思維方式、觀點、策略、指導原則。它具有導向性、統(tǒng)攝性、遷移性。中學數(shù)學教學中的基本數(shù)學思想有對應思想（函數(shù)思想、數(shù)形結合思想），系統(tǒng)與統(tǒng)計思想（整體思想、最優(yōu)化思想、統(tǒng)計思想），化歸與辯證思想（化歸思想、轉換思想）等。

2.數(shù)學方法。數(shù)學方法是指某一數(shù)學活動過程的途徑、程序、手段。它具有過程性、層次性、可操作性。中學數(shù)學教學中的基本數(shù)學方法：一是科學認識方法：觀察與實驗，比較與分類，歸納與類比，想象、直覺與頓悟；二是推理論證方法：綜合法與分析法，完全歸納法與數(shù)學歸納法，演繹法、反證法與同一法；三是求解方程：配方法、換元法、消元法、待定系數(shù)法、圖象法、軸對稱法、平移法、旋轉法等。3.數(shù)學思想方法。數(shù)學思想與數(shù)學方法既有差異性，又有同一性。數(shù)學方法是數(shù)學思想的表現(xiàn)形式和得以實現(xiàn)的手段?！胺椒ā敝赶颉皩嵺`”。數(shù)學思想是數(shù)學方法的靈魂，它指導方法的運用；數(shù)學思想與數(shù)學方法同屬于數(shù)學方法論的范疇，它們有時是等同的，并沒有明確的界限。由于數(shù)學思想與數(shù)學方法的這種特殊關系，我們在中學數(shù)學教學中把它們統(tǒng)稱為數(shù)學思想方法。

4.數(shù)學思想方法教學。因為數(shù)學教學內容始終反映著顯形的數(shù)學知識（概念、定理、公式、性質等）和隱形的數(shù)學知識（數(shù)學思想方法）這兩方面。所以，在教學中，我們不僅應當注意顯形的數(shù)學知識的傳授，而且也應注意數(shù)學思想方法的訓練和培養(yǎng)。只有注意思想方法的分析，我們才能把課講活、講懂、講深?！爸v活”，就是讓學生看到活生生的數(shù)學知識的來龍去脈，形成過程，而不是死的數(shù)學知識；“講懂”就是讓學生真正理解有關的數(shù)學內容，而不是囫圇吞棗，死記硬背；“講深”是指學生不僅能掌握具體的數(shù)學知識，而且也能感受、領會、形成、運用內在的思想方法。正如波利亞強調：在數(shù)學教學中“有益的思考方式、應有的思維習慣”應放在教學的首位。加強數(shù)學思想方法教學，必然對提高數(shù)學教學的質量起到積極的作用。

第三篇：數(shù)學思想方法心得體會

數(shù)學思想方法心得體會

數(shù)學思想方法是從數(shù)學內容中提煉出來的數(shù)學學科的精髓，是將數(shù)學知識轉化為數(shù)學能力的橋梁。下面是小編幫大家整理的數(shù)學思想方法心得體會，希望大家喜歡。

隨著素質教育的深入開展,數(shù)學思想方法作為數(shù)學素質教育的重要內容已引起教育界的普遍關注和高度重視。做為未來高中教師的初等教育系的學生肩負著基礎教育的重任,所以更應具有創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。那么,應當如何認識數(shù)學思想方法?數(shù)學思想方法與初等數(shù)學又有什么樣的關系?在初等數(shù)學的教學中又如何體現(xiàn)和滲透數(shù)學思想方法?

數(shù)學關鍵就在一個悟字，所謂悟，就是開竅，如何開竅，就要求講師不要只講題目的做法，而是包括，是怎么想到要這么做的，以引導學生去理解，去悟，對于初等數(shù)學，本人的看法是隨便怎么做，因為初等數(shù)學的試題必然有解，必然是可以通過所給條件經過N多步驟推出來，不信可以試試，拿一道，先什么都不要管，只管把已知條件以全排列方式組合，以推出新的條件，再將所得條件組合，再推，直到最后推無可推，你會發(fā)現(xiàn)題目所求就在其中，甚至簡單的可能是離最終結論還有N步，復雜的估計也就是最終結論了，所以以高考為目的的初等數(shù)學題目是不經做的，因為只要你做，就一定能做出來，而之所以很多學生覺得難，沒處著筆，不知道改該怎么做，很大一部分是因為懶，不愿動筆，而只是

呆看，簡單的能看出來，復雜的是很難看出來的，如果說那種直接推導的辦法太耗時間，那么只能說是因為不熟練，一旦題目做多了，思維形成了，差不多就可以一眼看出來，頂多推兩步，就知道后面的怎么推了，從而省略了N多的分支，古往今來的題海戰(zhàn)術不是沒有依據的，熟能生巧，見得多了，做的多了，自然可以找到某種規(guī)律

初數(shù)研究課在研究初等數(shù)學問題時，大多采用專題討論的方法，都有一套完整的體系。如果過分強調自身完整的邏輯系統(tǒng)，容易導致不同學科、不同課程的內客及方法有很多重復和交叉。

如數(shù)與初等數(shù)論中的相關內容，解析式的恒等變形，方程、不等式的解法與證明，幾何證題法與證題術排列、組合及數(shù)列的一些解題方法等。如果不處理好它們之間的關系，只是簡單地追求各門課程自身體系的完整，既不利于學生整體數(shù)學思想的建立，又制約了他們數(shù)學綜合運用能力的提高，同時占用了很多的課時，所以，對于相關課程中己作詳盡討論過的知識及理論，應作為工具來應用，避免一些不必要的重復。

１.知識系統(tǒng)的探究

初數(shù)研究課涉及大量的理論，教師講、學生聽的傳統(tǒng)教學模式既占用課時多，又難以體現(xiàn)學生的主體性。因此對理論性較強的內容，教師可以先提出一些切題的問題作為一堂

課的鍥子，留待后面逐個解決。這些問題將整個教學內容串起來，起到提綱摯領的作用，使學生明確學習目標，集中學習資源有針對性地去探究問題，然后教師組織學生對探究的結果進行歸納整理，形成較完整的知識體系。當然一個問題的解訣并非探究的終結，在探究過程中教師與學生都可以提出一些新問題，延續(xù)學生探究的熱情，在合作交流的民主和諧的氛圍里，盡可能地讓學生走向自由探究。

２.解題方法的探究

從學生的認知角度未說，解題過程是獨立的發(fā)現(xiàn)、探索與積極思考的過程，這種探索過程中所形成的意識和思維，就是真正的創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)。應該說，解題教學是中學數(shù)學教學的主要任務之一，設置初數(shù)研究課程的目的之一，就是結合中學實際對解題作專門的訓練。

３.條件與結論的探究

對一個問題的條件或結論進行探究是對問題深入研究的重要組成部分，也是初數(shù)研究課程中具有挑戰(zhàn)性的任務之一，引導學生從不同角度、不同層面來看問題，對學生的發(fā)散思維及創(chuàng)造思維的培養(yǎng)，都能起到良好的推動作用。

隨著教學改革的深化，教學思想方法不僅要在理論上做研究探討，更重要的是需要在實踐中不斷地創(chuàng)造與完善，才能使教學取得較好的效果。

第四篇：數(shù)學思想方法

函數(shù)是數(shù)學的綱，力和運動的關系是物理的綱。而力和運動的關系是因變量和自變量的關系也就是函數(shù)關系，所以數(shù)理不分家。最常用到的函數(shù)是三角函數(shù)，而力學中的力的分解和力的合成都必須用到數(shù)學中的三角函數(shù)和坐標系。此外，三角函數(shù)的運用在圓周運動的相關題目中也較多，特別是天體運動題目或帶電微粒在磁場或電磁場中的運動，這時就需要用反三角函數(shù)來表示一部分數(shù)值。

前言

美國著名數(shù)學教育家波利亞說過，掌握數(shù)學就意味著要善于解題。而當我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學思想、數(shù)學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數(shù)學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數(shù)學思想方法。我們要有意識地應用數(shù)學思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學素質，使自己具有數(shù)學頭腦和眼光。

高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學思想方法進行考查：?①常用數(shù)學方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、參數(shù)法、消去法等；?②數(shù)學邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；? ?③數(shù)學思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；???④常用數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想等。①常用數(shù)學方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、參數(shù)法、消去法等；

②數(shù)學邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

③數(shù)學思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等； ④常用數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想等。數(shù)學思想方法與數(shù)學基礎知識相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學知識是數(shù)學內容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學思想方法則是一種數(shù)學意識，只能夠領會和運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學問題的認識、處理和解決，掌握數(shù)學思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學知識忘記了，數(shù)學思想方法也還是對你起作用。數(shù)學思想方法中，數(shù)學基本方法是數(shù)學思想的體現(xiàn)，是數(shù)學的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，它與數(shù)學基本方法常常在學習、掌握數(shù)學知識的同時獲得。

可以說，“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學素質的核心就是提高學生對數(shù)學思想方法的認識和運用，數(shù)學素質的綜合體現(xiàn)就是“能力”。

為了幫助學生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實驗法，再介紹高考中常用的數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想。最后談談解題中的有關策略和高考中的幾個熱點問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。

在每節(jié)的內容中，先是對方法或者問題進行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡單的選擇填空題進行方法的再現(xiàn)，示范性題組進行詳細的解答和分析，對方法和問題進行示范。鞏固性題組旨在檢查學習的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個部分重要章節(jié)的數(shù)學知識。

高中數(shù)學解題基本方法配方法換元法待定系數(shù)法定義法數(shù)學歸納法參數(shù)法反證法消去法分析與綜合法特殊與一般法類比與歸納法觀察與實驗法

高中數(shù)學常用的數(shù)學思想數(shù)形結合思想分類討論思想函數(shù)與方程思想轉化（化歸）思想

第五篇：數(shù)學思想方法與應用

沈括運糧故事淺析

田小寬

（數(shù)學與統(tǒng)計學學院 數(shù)學與應用數(shù)學 2010212449）

【摘要】：沈括在其著作《夢溪筆談》中，涉及了軍隊運糧的有關問題。他把每人背的糧食，每天的食量作為已知定值，將士兵作戰(zhàn)時不缺糧食的天數(shù)和需要的運量人數(shù)作為未知數(shù)，通過這樣一個關系來說明軍隊作戰(zhàn)乃是國之大事

【關鍵詞】：運糧 運籌 軍事

【引言】凡師行，因糧于敵，最為急務。運糧不但多費，而勢難行遠。予嘗計之，人負米六斗，卒自攜五日干糧，人餉一卒，一去可十八日；米六斗，人食日二升，二人食之，十八日盡；若計復回，只可進九日。二人餉一卒，一去可二十六日；（米一石二斗，三人食日六升，八日則一夫所負已盡，給六日糧遣回，后十八日，二人食日四或并糧）。叵計復回，止可進十三日。（前八日日食六升，后五日并回程，日食四升并糧）三人餉一卒，一去可三十一日，米一石八斗，前六日半四人食日八升，減一夫，給四日糧；十七日三人食日六升，又減一夫，給九日糧；后十八日，二人食日四升并糧。計復回止可進十六日，（前六日半日食八升，中七日日食六升，后十一日并回程日食四升并糧）。三人餉一卒，極矣。若興師十萬，輜重三之一，止得駐戰(zhàn)之卒七萬人，已用三十萬人運糧，此外難復加矣。（放回運夫須有援卒，緣運行死亡疾病，人數(shù)稍減，且以所減之食，備援卒所費）。運糧之法，人負六斗，此以總數(shù)率之也。

一、軍隊運糧問題與運籌學聯(lián)系

軍隊運糧需要注意許多的變量，并且在事先確定了一些量之后，可以確定另外的比較重要的量最合適的數(shù)值，比如：當每人背的糧食和食量、前往作戰(zhàn)地所需的天數(shù)、作戰(zhàn)人數(shù)等確定之后可以得到數(shù)學模型下的理想的作戰(zhàn)的最長天數(shù)與運糧人數(shù)之間的一個關系式，即之間的一些線性關系，進而在作戰(zhàn)之前可以把運糧的大致工作安排妥當，所以說兵馬未動糧草先行。可見其是運籌學所研究的問題之一。

二、結合沈括著作《夢溪筆談》中運糧篇

先設定以下的量：士兵人數(shù)已知，x個農夫餉一卒，其他量如同上文沈括運糧問題內。

在沈括《夢溪筆談》運糧篇中，知道當兩人餉一卒時，不計往返則是二十六天，三人餉一卒時不計往返可行三十一日，則此時足夠到達作戰(zhàn)地點，當四人餉一卒時，不計往返可行三十四日，也能到達地點，并且此時若最后一批農夫不回，可支撐士兵作戰(zhàn)四天。具體計算如下：

1.一人餉一卒：設可堅持x天則有：2x+2(x-5)=60，x取整得18天

2．二人餉一卒：設第一個農夫在a天后回，則有：6a+2(a-2)=60，則a=8，加上最后一農夫所背糧食可支撐18天，則18+8=26 3.三人餉一卒：設第一個在b天后回，第二個在第一個回了c天后回，則有：8b+2(b-2)=60，則b取整為6天。又有：6c+2(b+c-2)=60，則c取整得7天，加上最后一人可支撐的18天，則有：6+7+18=31天

4.四人餉一卒：設第一個農夫在a天后回，第二個農夫在第一個回b天后回，第三個在第二個回c天后回，則：10a+2(a-2)=60,a取整得5,8b+2(b+5-2)=60,b取整得6天，2(c+5+6-2)+6c=60,c取整得5天，加上最后的18天，則5+6+5+18=34 用相同的方法以此類推，我們可以求得五人、六人以及更多人餉一卒的行軍的時間。到此時，我們乍一眼觀察，上面的運籌學模型沒有問題，可以把農夫人數(shù)無限制的演算下去，但是結合各個未知量的實際意義，我們知道a是一個不能小于2的量，因為由(a-2)的實際意義知a-2>0。而當又當x=14時，a=2，所以上面的運籌學模型只適用于農夫人數(shù)不大于14人時。若要繼續(xù)計算下去從十五人餉一卒開始，每增加一人多走一天，而當x>29時，此時農夫的增加和第一個農夫支撐天數(shù)a的對應關系又變。對于上述證明如下：

2(x+1)a+2(a-2)=60

a=32/(x+2)經過檢驗，當x=14時，a=2；當x=30時，a=1,這時，我們發(fā)現(xiàn)，實際情況是當x=29時，a=1！所以得證。

另外，當農夫人數(shù)增多時，四舍五入的方法也不在適用，在上面的計算時我們得到的一些數(shù)字采用了四舍五入，其中四人餉一卒時，b=5.6，若要當做6天計算，我們可以看到要多吃3.2升，那么農夫要空腹三四天才能返回，但此時顯然與上面方程矛盾，因此四舍五入應有限度。

有上述分析可知，解決這個運糧問題沒有一個固定的運籌學模型，或者說這個數(shù)學模型應是分段的，而且每一段都是遵循線性規(guī)劃模型的。

而且從上面分析，我們也應在四人餉一卒時應減去一天，即堅持33天。同樣在三人餉一卒時不能取整的天數(shù)也都舍掉零頭，這樣的意義是農夫空腹返回的時間少于2天。

綜上若要行軍一月則至少需三人餉一卒，十萬士兵就需要三十萬農夫運糧，但古時作戰(zhàn)士兵人數(shù)大多是在三十萬以上的，著名的赤壁之戰(zhàn)曹操號稱百萬大軍，則需要三百萬農夫。

由此可見古時兩國交戰(zhàn)是一件多么應該慎重的事，難怪真正懂得兵法人都說：兵者，國之大事，死生之地，存亡之道，不可不察也。甚至兵法圣典《孫子兵法》把它列在第一篇里的開頭。由此也可見運籌學對于軍事的重要貢獻?！緟⒖嘉墨I】

[1].刁在筠 劉桂真 宿潔 馬建華

《運籌學》（2007年1月第三版）

高等教育出版社 第82頁

[2].張俊杰 大眾文藝出版社 北京 2009年7月第一版 第10頁 《孫子兵法與三十六計》