第一篇：2008屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)難點突破練習(xí)(25)——垂直與平行

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第一輪復(fù)習(xí)：高2008屆數(shù)學(xué)難點突破練習(xí)二十五

垂直與平行

垂直與平行考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解線面平行與垂直、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)，并能利用它們解決一些問題.難點：

已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分別是AB、A1B1的中點，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，異面直線AB1和C1B互相垂直.(1)求證：AB1⊥C1D1；(2)求證：AB1⊥面A1CD；

(3)若AB1=3，求直線AC與平面A1CD所成的角.例題：

［例1］兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE.本題主要考查線面平行的判定，面面平行的判定與性質(zhì)，以及一些平面幾何的知識。解決本題的關(guān)鍵在于找出面內(nèi)的一條直線和該平面外的一條直線平行，即線(內(nèi))∥線(外)?線(外)∥面.或轉(zhuǎn)化為證兩個平面平行.證法二中要證線面平行，通過轉(zhuǎn)化證兩個平面平行，正確的找出MN所在平面是一個關(guān)鍵.證法一利用線面平行的判定來證明.證法二采用轉(zhuǎn)化思想，通過證面面平行來證線面平行.證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，則MP∥AB，NQ∥AB.∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四邊形MPQN為平行四邊形 ∴MN∥PQ

∵PQ?平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE.證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC，歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。004km.cn 高考資源網(wǎng)（004km.cn），您身邊的高考專家

∴AMAH ?ACABFNAH ?BFAB連結(jié)NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得

∴MN∥平面BCE.［例2］在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；

(2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C；

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要條件嗎？請你敘述判斷理由.本題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)。線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì).(3)的結(jié)論在證必要性時，輔助線要重新作出.本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于對題目中條件的思考與分析，掌握做此類題目的一般技巧與方法，以及如何巧妙作輔助線.(1)證明：∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥側(cè)面BB1C1C ∴AD⊥CC1.(2)證明：延長B1A1與BM交于N，連結(jié)C1N ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥側(cè)面BB1C1C，∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C ∴截面C1NB⊥側(cè)面BB1C1C ∴截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.(3)解：結(jié)論是肯定的，充分性已由(2)證明，下面證必要性.過M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C ∴ME⊥側(cè)面BB1C1C，又∵AD⊥側(cè)面BB1C1C.∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥側(cè)面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中點，∴E是BC1的中點

∴AM=DE=CC1?121AA1，∴AM=MA1.2垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：

1.平行轉(zhuǎn)化

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2.垂直轉(zhuǎn)化

每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達到目的.例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.練習(xí)題：

一、選擇題

1.在長方體ABCD—A1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點A1到截面AB1D1的距離是（）A.8 B.3 8

C.3

D.42.在直二面角α—l—β中，直線a?α,直線b?β,a、b與l斜交，則（）A.a不和b垂直，但可能a∥b

B.a可能和b垂直，也可能a∥b C.a不和b垂直，a也不和b平行

D.a不和b平行，但可能a⊥b

二、填空題

3.設(shè)X、Y、Z是空間不同的直線或平面，對下面四種情形，使“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”為真命題的是_________(填序號).①X、Y、Z是直線

②X、Y是直線，Z是平面

③Z是直線，X、Y是平面

④X、Y、Z是平面

4.設(shè)a,b是異面直線，下列命題正確的是_________.①過不在a、b上的一點P一定可以作一條直線和a、b都相交 ②過不在a、b上的一點P一定可以作一個平面和a、b都垂直 ③過a一定可以作一個平面與b垂直 ④過a一定可以作一個平面與b平行

三、解答題

5.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點.(1)求證：CD⊥PD;(2)求證：EF∥平面PAD;(3)當(dāng)平面PCD與平面ABCD成多大角時，直線EF⊥平面PCD？

6.如圖，在正三棱錐A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H.(1)判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由.(2)設(shè)P是棱AD上的點，當(dāng)AP為何值時，平面PBC⊥平面EFGH，請給出證明.歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。004km.cn 高考資源網(wǎng)（004km.cn），您身邊的高考專家

7.如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長都相等，D、E分別是CC1和AB1的中點，點F在BC上且滿足BF∶FC=1∶3.(1)若M為AB中點，求證：BB1∥平面EFM；(2)求證：EF⊥BC；

(3)求二面角A1—B1D—C1的大小.8.如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB= ∠C1CD=∠BCD=60°,(1)證明：C1C⊥BD；

(2)假定CD=2，CC1=的余弦值；

(3)當(dāng)

3，記面C1BD為α,面CBD為β,求二面角α—BD—β的平面角2CD的值為多少時，可使A1C⊥面C1BD？ CC1

參考答案

難點：

1.(1)證明：∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中點，∴C1D1⊥A1B1于D1，又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA，而AB1?平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1.(2)證明：連結(jié)D1D，∵D是AB中點，∴DD

1CC1，∴C1D1∥CD，由(1)得CD⊥AB1，歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。004km.cn 高考資源網(wǎng)（004km.cn），您身邊的高考專家

又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，由三垂線定理得BD1⊥AB1，又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD.(3)解：由(2)AB1⊥平面A1CD于O，連結(jié)CO1得∠ACO為直線AC與平面A1CD所成的角，∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=∴∠OCA=

AO1?，AC2?.6練習(xí)題：

一、1.解析：如圖，設(shè)A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交線為AO1，在面AA1O1內(nèi)過A1作A1H⊥AO1于H，則易知A1H長即是點A1到平面AB1D1的距離，在Rt△A1O1A中，A1O1=2，AO1=32，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H=4.3

答案：C

2.解析：如圖，在l上任取一點P，過P分別在α、β內(nèi)作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一點A，過A作AC⊥l，垂足為C，則AC⊥β,過C作CB⊥b′交b′于B，連AB，由三垂線定理知AB⊥b′，∴△APB為直角三角形,故∠APB為銳角.答案：C

二、3.解析：①是假命題，直線X、Y、Z位于正方體的三條共點棱時為反例，②③是真命題，④是假命題，平面X、Y、Z位于正方體的三個共點側(cè)面時為反例.答案：②③ 4.④

三、5.證明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影，∵CD?平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD.(2)取CD中點G，連EG、FG，∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG∥AD，F(xiàn)G∥PD ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解：當(dāng)平面PCD與平面ABCD成45°角時，直線EF⊥面PCD

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證明：G為CD中點，則EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，從而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中點，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.6.(1)證明：

同理EF∥FG，∴EFGH是平行四邊形

∵A—BCD是正三棱錐，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四邊形EFGH是矩形.(2)作CP⊥AD于P點，連結(jié)BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG?面EFGH.面BCP⊥面EFGH，3a.27.(1)證明：連結(jié)EM、MF，∵M、E分別是正三棱柱的棱AB和AB1的中點，∴BB1∥ME，又BB1?平面EFM，∴BB1∥平面EFM.(2)證明：取BC的中點N，連結(jié)AN由正三棱柱得：AN⊥BC，又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中點，故MF∥AN，∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME.∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，又EF平面EFM，∴BC⊥EF.(3)解：取B1C1的中點O，連結(jié)A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由點O作B1D的垂線OQ，垂足為Q，連結(jié)A1Q，由三垂線定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD為二面角A1—B1D—C的平面在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=角，易得∠A1QO=arctan15.8.(1)證明：連結(jié)A1C1、AC，AC和BD交于點O，連結(jié)C1O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD

又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共邊，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D ∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O ∴BD⊥平面AC1，又C1C?平面AC1，∴C1C⊥BD.(2)解：由(1)知AC⊥BD，C1O⊥BD，∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角.在△C1BC中，BC=2，C1C==

333，∠BCC1=60°，∴C1B2=22+()2－2×2××cos60°22213.413,BC=1,C1O=,即C1O=C1C.2233作C1H⊥OC，垂足為H，則H是OC中點且OH=，∴cosC1OC=

23∵∠OCB=30°,∴OB=歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。004km.cn 高考資源網(wǎng)（004km.cn），您身邊的高考專家

(3)解：由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O?平面AC1，∴BD⊥A1C，當(dāng)

CD=1時，平行六CC1面體的六個面是全等的菱形，同理可證BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD.歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。004km.cn

第二篇：《平行與垂直》重難點突破

平行與垂直

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能：理解平行與垂直是同一平面內(nèi)兩條直線的兩種特殊位置關(guān)系，初步認識平行線與垂線。

過程與方法：在觀察、操作、比較、概括中，經(jīng)歷探究平行線和垂線特征的過程，建立平行與垂直的概念。

情感態(tài)度價值觀：在活動中豐富學(xué)生活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和空間想象能力。教學(xué)重點：正確理解“相交”、“互相平行”、“互相垂直”的概念。教學(xué)難點：理解平行與垂直概念的本質(zhì)特征。教學(xué)準備：多媒體課件、直尺、三角板、量角器等 教學(xué)過程：

一、情景導(dǎo)入

師：同學(xué)們，我們之前已經(jīng)學(xué)過了直線的相關(guān)知識，那誰能說一說直線都有哪些特征？ 生：沒有端點，可以向兩端無限延長。

師： 我們一起來學(xué)習(xí)有關(guān)直線的知識——平行與垂直。（板書課題）

1、學(xué)生想象在無限大的平面上兩條直線的位置關(guān)系。師：摸一摸平放在桌面上的白紙，你有什么感覺？（1）生交流匯報

（2）師：像這樣很平的面，我們就稱它為平面。（板書：平面）

我們可以把白紙的這個面作為平面的一部分，請大家在這個平面上任意畫一條直線，說一說，你畫的這條直線有什么特點？

（3）師：閉上眼睛想一想：白紙所在的平面慢慢變大，變得無限大，在這個無限大的平面上，直線也跟著不斷延長。這時平面上又出現(xiàn)了另一條直線，這兩條直線的位置關(guān)系是怎樣的呢？會有哪幾種不同的情況？

2.學(xué)生嘗試

要求：把你想象的情況畫在白紙上，注意一張紙上只畫一種情況，想到幾種就畫幾種，相同類型的不畫。

二、探究新知

（一）觀察分類，感受特征

1、展示作品

師：同學(xué)們的想象力真豐富！互相看一看，你們的想法一樣嗎？老師選擇了幾幅有代表性的作品，我們一起來欣賞一下。

如果你畫的和這幾種情況不一樣，可以補充到黑板上。

不管哪種情況，我們所畫的兩條直線都在同一張白紙上。因為我們把白紙的面看作了一個平面，所以可以這樣說，我們所畫的兩條直線都在同一平面。（板書：同一平面）

2、分類討論

師：現(xiàn)在你們能給它們分分類嗎？為了方便描述，我們先給作品標(biāo)上序號，可以怎樣分類？按什么標(biāo)準分？

（1）先獨立思考：我打算怎么分？為什么這么分？分幾類？（2）再小組交流

3、學(xué)生匯報

師：哪一組愿意派代表來匯報一下？你們是怎么分的？分類的結(jié)果是什么？

各個小組交流分類情況。當(dāng)學(xué)生在匯報過程中出現(xiàn)“交叉”一詞時，教師隨即解釋：在數(shù)學(xué)上把這種交叉的關(guān)系叫作相交。（板書：相交）

師：還有沒有不同的分法？能說一說你們是怎么想的嗎？

學(xué)情預(yù)設(shè)：

（1）分兩類：相交的一類，不相交的一類

（2）分三類：相交的一類，不相交的一類，快要相交的一類

（3）分四類：相交的一類，不相交的一類，快要相交的一類，相交成直角的一類。4．達成共識

教師：同學(xué)們現(xiàn)在出現(xiàn)了不同的分法，這些分法，你更贊同哪一種？把你的想法在小組內(nèi)交流交流。

學(xué)生在小組內(nèi)將兩條直線再延長，．然后逐一討論、分析，再次進行分類。教師：通過再次操作與討論，對于第一次分類的結(jié)果，你們現(xiàn)在有什么想說的？ 指名匯報并說明理由。

教師：他的講解能讓你們信服嗎？還有什么補充或建議嗎？

學(xué)生通過討論達成共識：看似不相交的兩條直線延長后實際上是相交的，而出現(xiàn)相交成直角的這種情況是一種特殊的位置關(guān)系，也是相交。對于第三種分類，前面是按照兩條直線相交與否為分類標(biāo)準來分類的，而相交成直角是根據(jù)兩條直線相交后所成角度來分類的，二者不是同一標(biāo)準，所以這種分法是不正確的。從而達成分類的統(tǒng)一，即相交的一類、不相交的一類。（板書：相交，不相交）

小結(jié)：在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有相交和不相交兩種情況，但在判斷時我們不能光看表面，而要看他們的本質(zhì)，也就是兩條直線延長后是否相交。

（二）自主探究，揭示概念

1、揭示平行的概念（1）感知平行的特點

師：這兩條直線真的不相交嗎？怎樣驗證？

結(jié)合學(xué)生回答用課件演示兩條直線無論怎樣延長都不會相交的動態(tài)過程。（2）揭示平行的定義

師：像屏幕上這樣的兩條直線在數(shù)學(xué)上叫什么呢？（平行線）誰恩那個說一說什么是平行線？

課件出示：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。（板書：互相平行）

師：這里的“互相”是什么意思？ 生舉例說明

教師：你認為在這句話中哪個詞應(yīng)重點強調(diào)？為什么？ 結(jié)合學(xué)生回答，教師舉例：這兩條直線互相平行嗎？為什么？

學(xué)生體會“同一平面”和“互相平行”的含義。(3)介紹平行符號。

課件分別呈現(xiàn)3組不同位置的平行線

教師：這3幅圖中的直線a與直線b都互相平行，我們用符號“∥”來表示平行，a與b互相平行，記作a∥b，讀作a平行于b。

教師：用這樣的方法來表示a平行于b，你們覺得怎么樣？是呀，像這樣來表示兩直線互相平行，既形象又方便。(4)體驗生活中的平行現(xiàn)象。

教師：生活中我們常常遇到平行的現(xiàn)象，你能舉幾個例子嗎？（學(xué)生舉例后教師可用多媒體課件適時補充一些生活中的實例。）2．認識垂直(1)感知垂直的特點。

教師：剛才同學(xué)們在畫兩條直線的位置關(guān)系時，還畫了相交的情況。我們一起來看一看這些相交的情況。（課件或?qū)嵨锿队俺尸F(xiàn)幾組典型的作品）觀察一下這些相交的情況，你們發(fā)現(xiàn)了什么？（都形成了四個角，有的是銳角，有的是鈍角；還有的比較特殊，四個角都是直角……）你怎么知道他們相交后形成的角是直角呢？請同學(xué)們量一量，剛才所畫的兩條相交直線組成的角分別是多少度？通過測量，你們又有什么新發(fā)現(xiàn)？（學(xué)生通過測量能夠發(fā)現(xiàn)有一種情況比較特殊，所形成的四個角，每個角都是90°）（2）認識垂直的定義

師：如果兩條直線相交成直角，我們就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。課件呈現(xiàn)三組垂線

師：觀察這里的三幅圖，他們有什么相同點和不同點？根據(jù)剛才的比較，能嘗試總結(jié)你的發(fā)現(xiàn)嗎？（垂直要看兩條直線相交是否成直角，而與怎樣擺放無關(guān)）（3）介紹垂直符號

師：垂直和平行一樣，也可以用符號表示，就是“⊥”（板書“⊥”）。這里的直線a與b互相垂直，記作a⊥b，讀作a垂直于b。（4）感受生活中的垂直現(xiàn)象

師：生活中我們還會常常遇到垂直的現(xiàn)象，你能舉出生活中一些有關(guān)垂直的例子嗎？（學(xué)生舉例后教師用多媒體課件補充一些實例）

三、鞏固練習(xí)

1、完成教科書第57頁“做一做”

學(xué)生根據(jù)平行與垂直的特征快速判斷，然后集體交流

2、完成練習(xí)十第1題

學(xué)生先獨立嘗試找一找，集體交流后，使學(xué)生體驗到幾何圖形中也有互相垂直和互相平行的現(xiàn)象，并借助課件用不同顏色的線來分別呈現(xiàn)圖形中互相平行或互相垂直的線段，加深學(xué)生的直觀認識。

3、完成練習(xí)十第2題

課件出示游戲的操作規(guī)則和提示，學(xué)生全員參與游戲。讓學(xué)生先按照操作提示擺一擺，接著啟發(fā)學(xué)生想象：如果把小棒看作直線的畫，會有多少條直線跟他們平行或垂直。然后讓學(xué)生結(jié)合觀察、想象，嘗試總結(jié)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

四、課堂總結(jié)

師：你有什么收獲？還有什么疑問？ 師：在生活中找一找平行和垂直的現(xiàn)象。

板書設(shè)計：

垂直與平行

成直角 互相垂直

相交

不成直角

在同一平面內(nèi)兩條

直線的位置關(guān)系

不相交 互相平行

教學(xué)反思：

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》中指出：“在掌握基礎(chǔ)知識的同時，感受數(shù)學(xué)的意義”提出了“重視從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的知識中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)”使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊，感受到數(shù)學(xué)的趣味、作用。本節(jié)課是新課標(biāo)人教版四年級上冊第四單元第一課時的教學(xué)內(nèi)容，這部分教材是在學(xué)生學(xué)習(xí)了直線與角的知識的基礎(chǔ)上教學(xué)的，也是認識平行四邊形和梯形的基礎(chǔ)。由于垂直與平行是同一平面內(nèi)兩條直線的兩種特殊的位置關(guān)系，而且在生活中有著廣泛的應(yīng)用，無論是走在寬廣的大街上，還是坐在明亮寬敞的教室里，環(huán)顧左右應(yīng)該都不缺少垂直與平行的現(xiàn)象。對于小學(xué)四年級的孩子來說，他們應(yīng)該都有這樣的經(jīng)驗：哪些線是交叉的，哪些線是不交叉的。因此我們在課中要做的就是讓學(xué)生體驗在同一平面內(nèi)，不交叉的兩條直線叫做平行線，交叉里有一種特殊的叫做互相垂直，讓學(xué)生的認識上升到思維的層面來。鑒于此，針對本課知識的特點和學(xué)生的實際，我精

心設(shè)計教案，把學(xué)生的自主探索與教師的適時引導(dǎo)有機結(jié)合，把知識點清晰地展現(xiàn)在學(xué)生的面前，使得教學(xué)過程零而不散，教學(xué)活動絮而不亂，學(xué)生在輕松愉悅的氛圍中，提高了學(xué)習(xí)能力，增強了學(xué)習(xí)信心。

一、合理設(shè)置導(dǎo)課情景，突破知識難點本課的一個難點就是讓學(xué)生理解同一個平面，和不同平面的區(qū)別。不同于以往是教學(xué)設(shè)計，我把這部分用生活中的例子不同的路面不同的平面來導(dǎo)課，即激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又解決了一個學(xué)生認知上的難點，為后面平行和垂直的判斷掃清了障礙。

二、整體呈現(xiàn)、逐步建構(gòu)。新知的探究緊緊抓住“以分類為主線”展開活動。首先讓學(xué)生畫圖初步感知同一平面兩條直線的位置關(guān)系，再引導(dǎo)學(xué)生觀察分類，通過操作、驗證使學(xué)生逐步認識到：在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系只有相交和不相交兩種情況，而相交中又有成直角和不成直角兩種情況，最后，順?biāo)浦劢沂靖拍?。這樣讓學(xué)生通過動手實踐、自主探索與合作交流的學(xué)習(xí)方式自主完成對知識的建構(gòu)

三、注意創(chuàng)設(shè)生活情境，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更貼近學(xué)生。通過演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察和測量角的度數(shù)、發(fā)現(xiàn)在相交的兩條直線中有不同的情況，然后引入垂直的概念，接著讓學(xué)生找一找身邊哪里有平行和垂直及出示校園圖找平行與垂直的現(xiàn)象，將學(xué)生放置于生活情節(jié)中，進行相應(yīng)方面的教學(xué)，并注重發(fā)揮評價的激勵性作用，豐富學(xué)生的情感體驗。

第三篇：高考數(shù)學(xué)重點難點26 垂直與平行

高中數(shù)學(xué)難點26 垂直與平行

垂直與平行是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解線面平行與垂直、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)，并能利用它們解決一些問題.●難點磁場

(★★★★)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分別是AB、A1B1的中點，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，異面直線AB1和C1B互相垂直.(1)求證：AB1⊥C1D1；(2)求證：AB1⊥面A1CD；

(3)若AB1=3，求直線AC與平面A1CD所成的角

●案例探究

［例1］兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE.命題意圖：本題主要考查線面平行的判定，面面平行的判定與性質(zhì)，以及一些平面幾何的知識，屬★★★★級題目.知識依托：解決本題的關(guān)鍵在于找出面內(nèi)的一條直線和該平面外的一條直線平行，即線(內(nèi))∥線(外)?線(外)∥面.或轉(zhuǎn)化為證兩個平面平行.錯解分析：證法二中要證線面平行，通過轉(zhuǎn)化證兩個平面平行，正確的找出MN所在平面是一個關(guān)鍵.技巧與方法：證法一利用線面平行的判定來證明.證法二采用轉(zhuǎn)化思想，通過證面面平行來證線面平行.證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，則MP∥AB，NQ∥AB.∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四邊形MPQN為平行四邊形 ∴MN∥PQ

∵PQ?平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE.證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC，∴AMAH ?ACABFNAH ?BFAB連結(jié)NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得

∴MN∥平面BCE.［例2］在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；

(2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C；

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要條件嗎？請你敘述判斷理由.命題意圖：本題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，屬★★★★★級題目.知識依托：線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì).錯解分析：(3)的結(jié)論在證必要性時，輔助線要重新作出.技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于對題目中條件的思考與分析，掌握做此類題目的一般技巧與方法，以及如何巧妙作輔助線.(1)證明：∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥側(cè)面BB1C1C ∴AD⊥CC1.(2)證明：延長B1A1與BM交于N，連結(jié)C1N ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥側(cè)面BB1C1C，∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C ∴截面C1NB⊥側(cè)面BB1C1C ∴截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.(3)解：結(jié)論是肯定的，充分性已由(2)證明，下面證必要性.過M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C ∴ME⊥側(cè)面BB1C1C，又∵AD⊥側(cè)面BB1C1C.∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥側(cè)面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中點，∴E是BC1的中點

11∴AM=DE=CC1?AA1，∴AM=MA1.22●錦囊妙計

垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系： 1.平行轉(zhuǎn)化

2.垂直轉(zhuǎn)化

每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達到目的.例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.●殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)在長方體ABCD—A1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點A1到截面AB1D1的距離是（）83

43B.C.D.38342.(★★★★)在直二面角α—l—β中，直線a?α,直線b?β,a、b與l斜交，則（）A.a不和b垂直，但可能a∥b

B.a可能和b垂直，也可能a∥b C.a不和b垂直，a也不和b平行

D.a不和b平行，但可能a⊥b

二、填空題

3.(★★★★★)設(shè)X、Y、Z是空間不同的直線或平面，對下面四種情形，使“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”為真命題的是_________(填序號).①X、Y、Z是直線

②X、Y是直線，Z是平面

③Z是直線，X、Y是平面

④X、Y、Z是平面

4.(★★★★)設(shè)a,b是異面直線，下列命題正確的是_________.①過不在a、b上的一點P一定可以作一條直線和a、b都相交 ②過不在a、b上的一點P一定可以作一個平面和a、b都垂直 ③過a一定可以作一個平面與b垂直 ④過a一定可以作一個平面與b平行

三、解答題

5.(★★★★)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點.(1)求證：CD⊥PD;(2)求證：EF∥平面PAD;(3)當(dāng)平面PCD與平面ABCD成多大角時，直線EF⊥平面PCD？ A.6.(★★★★)如圖，在正三棱錐A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H.(1)判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由.(2)設(shè)P是棱AD上的點，當(dāng)AP為何值時，平面PBC⊥平面EFGH，請給出證明.7.(★★★★)如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長都相等，D、E分別是CC1和AB1的中點，點F在BC上且滿足BF∶FC=1∶3.(1)若M為AB中點，求證：BB1∥平面EFM；(2)求證：EF⊥BC；

(3)求二面角A1—B1D—C1的大小.8.(★★★★★)如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB= ∠C1CD=∠BCD=60°,(1)證明：C1C⊥BD；

(2)假定CD=2，CC1=的余弦值；

(3)當(dāng)

3，記面C1BD為α,面CBD為β,求二面角α—BD—β的平面角2CD的值為多少時，可使A1C⊥面C1BD？ CC1

參考答案

難點磁場

1.(1)證明：∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中點，∴C1D1⊥A1B1于D1，又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA，而AB1?平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1.(2)證明：連結(jié)D1D，∵D是AB中點，∴DD

1CC1，∴C1D1∥CD，由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，由三垂線定理得BD1⊥AB1，又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD.(3)解：由(2)AB1⊥平面A1CD于O，連結(jié)CO1得∠ACO為直線AC與平面A1CD所成的

角，∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=∴∠OCA=

AO1?，AC2?.6殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：如圖，設(shè)A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交線為AO1，在面AA1O1內(nèi)過A1作A1H⊥AO1于H，則易知A1H長即是點A1到平面AB1D1的距離，在Rt△A1O1A中，A1O1=2，AO1=32，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H=4.3

答案：C

2.解析：如圖，在l上任取一點P，過P分別在α、β內(nèi)作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一點A，過A作AC⊥l，垂足為C，則AC⊥β,過C作CB⊥b′交b′于B，連AB，由三垂線定理知AB⊥b′，∴△APB為直角三角形,故∠APB為銳角.答案：C

二、3.解析：①是假命題，直線X、Y、Z位于正方體的三條共點棱時為反例，②③是真命題，④是假命題，平面X、Y、Z位于正方體的三個共點側(cè)面時為反例.答案：②③ 4.④

三、5.證明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影，∵CD?平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD.(2)取CD中點G，連EG、FG，∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG∥AD，F(xiàn)G∥PD ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解：當(dāng)平面PCD與平面ABCD成45°角時，直線EF⊥面PCD 證明：G為CD中點，則EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，從而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中點，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.6.(1)證明：

同理EF∥FG，∴EFGH是平行四邊形

∵A—BCD是正三棱錐，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四邊形EFGH是矩形.(2)作CP⊥AD于P點，連結(jié)BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG?面EFGH.面BCP⊥面EFGH，3a.27.(1)證明：連結(jié)EM、MF，∵M、E分別是正三棱柱的棱AB和AB1的中點，∴BB1∥ME，又BB1?平面EFM，∴BB1∥平面EFM.(2)證明：取BC的中點N，連結(jié)AN由正三棱柱得：AN⊥BC，又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中點，故MF∥AN，∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME.∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，又EF平面EFM，∴BC⊥EF.(3)解：取B1C1的中點O，連結(jié)A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由點O作B1D的垂線OQ，垂足為Q，連結(jié)A1Q，由三垂線定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD為二面角A1—B1D—C的平面在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=角，易得∠A1QO=arctan15.8.(1)證明：連結(jié)A1C1、AC，AC和BD交于點O，連結(jié)C1O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD

又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共邊，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D ∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O ∴BD⊥平面AC1，又C1C?平面AC1，∴C1C⊥BD.(2)解：由(1)知AC⊥BD，C1O⊥BD，∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角.在△C1BC中，BC=2，C1C==

333，∠BCC1=60°，∴C1B2=22+()2－2×2××cos60°22213.4∵∠OCB=30°,∴OB=

13,BC=1,C1O=,即C1O=C1C.2233，∴cosC1OC= 23CD=1時，平行六面CC1作C1H⊥OC，垂足為H，則H是OC中點且OH=(3)解：由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O?平面AC1，∴BD⊥A1C，當(dāng)體的六個面是全等的菱形，同理可證BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD.

第四篇：高考數(shù)學(xué)考點歸納 垂直與平行問題

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垂直與平行是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解線面平行與垂直、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)，并能利用它們解決一些問題.●難點磁場

(★★★★)已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分別是AB、A1B1的中點，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，異面直線AB1和C1B互相垂直.(1)求證：AB1⊥C1D1；(2)求證：AB1⊥面A1CD；

(3)若AB1=3，求直線AC與平面A1CD所成的角.●案例探究

［例1］兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE.命題意圖：本題主要考查線面平行的判定，面面平行的判定與性質(zhì)，以及一些平面幾何的知識，屬★★★★級題目.知識依托：解決本題的關(guān)鍵在于找出面內(nèi)的一條直線和該平面外的一條直線平行，即線(內(nèi))∥線(外)?線(外)∥面.或轉(zhuǎn)化為證兩個平面平行.錯解分析：證法二中要證線面平行，通過轉(zhuǎn)化證兩個平面平行，正確的找出MN所在平面是一個關(guān)鍵.技巧與方法：證法一利用線面平行的判定來證明.證法二采用轉(zhuǎn)化思想，通過證面面平行來證線面平行.證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，則MP∥AB，NQ∥AB.∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45° ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四邊形MPQN為平行四邊形 ∴MN∥PQ

∵PQ?平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE.證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC，∴

AMAH ?ACABFNAH ?BFAB京翰教育http://004km.cn/ 連結(jié)NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得

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∴MN∥平面BCE.［例2］在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；

(2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C；

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要條件嗎？請你敘述判斷理由.命題意圖：本題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，屬★★★★★級題目.知識依托：線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì).錯解分析：(3)的結(jié)論在證必要性時，輔助線要重新作出.技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于對題目中條件的思考與分析，掌握做此類題目的一般技巧與方法，以及如何巧妙作輔助線.(1)證明：∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥側(cè)面BB1C1C ∴AD⊥CC1.(2)證明：延長B1A1與BM交于N，連結(jié)C1N ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥側(cè)面BB1C1C，∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C ∴截面C1NB⊥側(cè)面BB1C1C ∴截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.(3)解：結(jié)論是肯定的，充分性已由(2)證明，下面證必要性.過M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C ∴ME⊥側(cè)面BB1C1C，又∵AD⊥側(cè)面BB1C1C.∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥側(cè)面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中點，∴E是BC1的中點

∴AM=DE=CC1?121AA1，∴AM=MA1.2●錦囊妙計

垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系： 1.平行轉(zhuǎn)化

2.垂直轉(zhuǎn)化

每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達到目的.例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進

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高考網(wǎng)http://004km.cn 一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.●殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)在長方體ABCD—A1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點A1到截面AB1D1的距離是（）A.8 B.3 8

C.4 3

D.42.(★★★★)在直二面角α—l—β中，直線a?α,直線b?β,a、b與l斜交，則（）A.a不和b垂直，但可能a∥b

B.a可能和b垂直，也可能a∥b C.a不和b垂直，a也不和b平行

D.a不和b平行，但可能a⊥b

二、填空題

3.(★★★★★)設(shè)X、Y、Z是空間不同的直線或平面，對下面四種情形，使“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”為真命題的是_________(填序號).①X、Y、Z是直線

②X、Y是直線，Z是平面

③Z是直線，X、Y是平面

④X、Y、Z是平面 4.(★★★★)設(shè)a,b是異面直線，下列命題正確的是_________.①過不在a、b上的一點P一定可以作一條直線和a、b都相交 ②過不在a、b上的一點P一定可以作一個平面和a、b都垂直 ③過a一定可以作一個平面與b垂直 ④過a一定可以作一個平面與b平行

三、解答題

5.(★★★★)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點.(1)求證：CD⊥PD;(2)求證：EF∥平面PAD;(3)當(dāng)平面PCD與平面ABCD成多大角時，直線EF⊥平面PCD？

6.(★★★★)如圖，在正三棱錐A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H.(1)判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由.(2)設(shè)P是棱AD上的點，當(dāng)AP為何值時，平面PBC⊥平面EFGH，請給出證明.7.(★★★★)如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長都相等，D、E分別是CC1和AB1的中點，點F在BC

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(3)求二面角A1—B1D—C1的大小.8.(★★★★★)如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB= ∠C1CD=∠BCD=60°,(1)證明：C1C⊥BD；

(2)假定CD=2，CC1=(3)當(dāng)3，記面C1BD為α,面CBD為β,求二面角α—BD—β的平面角的余弦值； 2CD的值為多少時，可使A1C⊥面C1BD？ CC1

參考答案

難點磁場

1.(1)證明：∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中點，∴C1D1⊥A1B1于D1，又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA，而AB1?平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1.(2)證明：連結(jié)D1D，∵D是AB中點，∴DD

1CC1，∴C1D1∥CD，由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，由三垂線定理得BD1⊥AB1，又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD.(3)解：由(2)AB1⊥平面A1CD于O，連結(jié)CO1得∠ACO為直線AC與平面A1CD所成的角，∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=∴∠OCA=AO1?，AC2?.6殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：如圖，設(shè)A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交線為AO1，在面AA1O1內(nèi)過A1作A1H⊥AO1于H，則易知A1H長即是點A1到平面AB1D1的距離，在Rt△A1O1A中，A1O1=2，AO1=32，由A1O1·A1A=h·AO1,可得A1H=

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答案：C

2.解析：如圖，在l上任取一點P，過P分別在α、β內(nèi)作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一點A，過A作AC⊥l，垂足為C，則AC⊥β,過C作CB⊥b′交b′于B，連AB，由三垂線定理知AB⊥b′，∴△APB為直角三角形,故∠APB為銳角.答案：C

二、3.解析：①是假命題，直線X、Y、Z位于正方體的三條共點棱時為反例，②③是真命題，④是假命題，平面X、Y、Z位于正方體的三個共點側(cè)面時為反例.答案：②③ 4.④

三、5.證明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影，∵CD?平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD.(2)取CD中點G，連EG、FG，∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG∥AD，F(xiàn)G∥PD ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解：當(dāng)平面PCD與平面ABCD成45°角時，直線EF⊥面PCD

證明：G為CD中點，則EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，從而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中點，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.6.(1)證明：

同理EF∥FG，∴EFGH是平行四邊形

∵A—BCD是正三棱錐，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四邊形EFGH是矩形.(2)作CP⊥AD于P點，連結(jié)BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP

∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG?面EFGH.面BCP⊥面EFGH，京翰教育http://004km.cn/

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3a.27.(1)證明：連結(jié)EM、MF，∵M、E分別是正三棱柱的棱AB和AB1的中點，∴BB1∥ME，又BB1?平面EFM，∴BB1∥平面EFM.(2)證明：取BC的中點N，連結(jié)AN由正三棱柱得：AN⊥BC，又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中點，故MF∥AN，∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME.∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，又EF平面EFM，∴BC⊥EF.(3)解：取B1C1的中點O，連結(jié)A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由點O作B1D的垂線OQ，垂足為Q，連結(jié)A1Q，在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=由三垂線定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD為二面角A1—B1D—C的平面角，易得∠A1QO=arctan15.8.(1)證明：連結(jié)A1C1、AC，AC和BD交于點O，連結(jié)C1O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD

又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共邊，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D ∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O ∴BD⊥平面AC1，又C1C?平面AC1，∴C1C⊥BD.(2)解：由(1)知AC⊥BD，C1O⊥BD，∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角.33313，∠BCC1=60°，∴C1B2=22+()2－2×2××cos60°=.222413∵∠OCB=30°,∴OB=,BC=1,C1O=,即C1O=C1C.2233作C1H⊥OC，垂足為H，則H是OC中點且OH=，∴cosC1OC=

23在△C1BC中，BC=2，C1C=(3)解：由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O?平面AC1，∴BD⊥A1C，當(dāng)菱形，同理可證BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD.CD=1時，平行六面體的六個面是全等的CC1京翰教育http://004km.cn/

第五篇：垂直與平行練習(xí)1

垂直與平行2

一、基礎(chǔ)訓(xùn)練 l．畫一畫。

(1)畫出已知直線的垂線。

(2)畫出已知直線的平行線。

2．選 擇。

(1)過直線外一點，畫已知直線的垂線，這樣的垂線可以畫出()條。A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)

(2)已知直線a與直線c互相平行，直線b與直線c互相平行。那么，直線a與直線b()。

A．互相平行 B．互相垂直 C．無法確定 3．過點A畫已知直線的平行線和垂線。

4．畫一個長4厘米、寬3厘米的長方形。

二、能力提高

l．過三角形內(nèi)的一點分別向三條線段作垂線。

2．畫一條與下面直線距離為2厘米的平行線。