第一篇：第二節(jié)數(shù)列極限能源

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第二篇：數(shù)列極限例題

三、數(shù)列的極限

(?1)n?1}當(dāng)n??時的變化趨勢.觀察數(shù)列{1?n問題:

當(dāng)n無限增大時, xn是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是, 如何確定? 通過上面演示實驗的觀察:

(?1)n?1當(dāng)n無限增大時, xn?1?無限接近于1.n問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.?xn?1?(?1)n?1給定

11? nn1111, 由?, 只要n?100時, 有xn?1?, 100n10010011,只要n?1000時, 有xn?1?, 給定1000100011,只要n?10000時, 有xn?1?, 給定10000100001給定??0,只要n?N(?[])時, 有xn?1??成立.?定義

如果對于任意給定的正數(shù)?(不論它多么小), 總存在正整數(shù)N, 使得對于n?N時的一切xn, 不等式xn?a??都成立, 那末就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為

limxn?a,或xn?a(n??).n??如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：

??N定義:limxn?a????0,?N?0, 使n?N時, 恒有xn?a??.n??其中記號?:每一個或任給的;?:至少有一個或存在.數(shù)列收斂的幾何解釋:

a??2?a??xN?2x2x1xN?1ax3x

當(dāng)n?N時, 所有的點xn都落在(a??,a??)內(nèi), 只有有限個(至多只有N個)落在其外.注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.n?(?1)n?1?1.例1 證明limn??nn?(?1)n?11?1 ?.證

注意到xn?1 ?nn任給??0, 若要xn?1??, 只要

11??,或 n?, n?所以, 取 N?[], 則當(dāng)n?N時, 就有 1?n?(?1)n?1?1??.nn?(?1)n?1?1.即limn??n

重要說明：（1）為了保證正整數(shù)N，常常對任給的??0,給出限制0???1；

n?(?1)n?1?1??”的詳細(xì)推理

（2）邏輯“取 N?[], 則當(dāng)n?N時, 就有

n?1見下，以后不再重復(fù)說明或解釋，對函數(shù)極限同樣處理邏輯推理.由于N?????立.嚴(yán)格寫法應(yīng)該是：任給??0, 不妨取0???1，若要?1???1??N?1，所以當(dāng)n?N時一定成立n?N?1?1?，即得

1??成nn?(?1)n?1111?1?

?n????是成立

n?(?1)n?11?1???.xn?1=

nnn?(?1)n?1?1.即limn??n小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時, 關(guān)鍵是任意給定??0,尋找N, 但不必要求最小的N.例3證明limq?0, 其中q?1.n??n證

任給??0(要求ε<1)若q?0, 則limq?lim0?0;

n??n??n若0?q?1, xn?0?q??, nlnq?ln?，n?n?ln?ln?, 取N?[](?1), 則當(dāng)n?N時, 就有qn?0??, lnqlnq?limqn?0.n???0, q?1,?q?1,??, n

說明：當(dāng)作公式利用：limq??

n??1, q?1,??不存在，q??1.?

第三篇：數(shù)列極限復(fù)習(xí)

數(shù)列極限復(fù)習(xí)題

姓名

2?4???2n1、lim=； n??1?3?9??(?3)n

an2?2n?1a2、若lim(2n?)?1，則=； n??bn?2b

1?an3、如果lim()?0，則實數(shù)a的取值范圍是；n??2a

n4、設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an?(1?4x)，若liman存在，則x的取值范圍是n??

___；

?a?5．已知無窮等比數(shù)列n的前n項和

窮等比數(shù)列各項的和是；

6、數(shù)列?an?滿足a1?Sn?1?a(n?N*)n3，且a是常數(shù)，則此無1，且對任意的正整數(shù)m,n都有am?n?am?an，則數(shù)列?an?的3所有項的和為；

7、無窮等比數(shù)列?an?的首項是某個自然數(shù)，公比為單位分?jǐn)?shù)（即形如：數(shù)，m為正整數(shù)），若該數(shù)列的各項和為3，則a1?a2；

8、無窮等比數(shù)列?an?的各項和為2，則a1的取值范圍是

1的分m

??

9、無窮等比數(shù)列an中，為；

lim(a2?a3?...?an)

n??

=1，則a1的取值范圍

cosn??sinn??

10、計算： lim,??[0,]?

n??cosn??sinn?

222n?a2n111、若lim2n?1，則實數(shù)a的取值范圍是； ?2n?

12?a

23?n?2?n?(?1)n(3?n?2?n)

12、若數(shù)列{an}的通項公式是an=,n=1,2,?,則

lim(a1?a2???an)__________；

n??

1?

1?n?2012?n(n?1)?

13、若an??,Sn為數(shù)列?an?的前n項和,求limSn?____;

n??

?3?1n?2013n?1??

214、等差數(shù)列?an?，?bn?的前n項和分別為Sn,Tn且

an

? n??bn

Sn2n

?，則Tn3n?

1lim15、設(shè)數(shù)列?an?、?bn?都是公差不為0的等差數(shù)列，且lim

lim

b1?b2???b3n

na4n

an

?3，則bn16、已知數(shù)

列為等差數(shù)列，且，則

a117、設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，且lim1?qn）?，則a1的取值范圍是

n??1?q

2__________；

18、已知等比數(shù)列{an}的首項a1?1，公比為q(q?0)，前n項和為Sn，若

lim

Sn?

1?1，則公比q的取值范圍是.；

n??Sn19、已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，滿足：對于所有n?N*，有4Sn?(an?1)2，n

?（）其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項和．則limn??an

A．0B．1C．D．

220、下列命題正確的是 ?????????????????????????()

（A）liman?A, limbn?B則lim

n??

n??

anA

?(bn?0,n?N)

n??bBn

（B）若數(shù)列{an}、{bn}的極限都不存在，則{an?bn}的極限也不存在（C）若數(shù)列{an}、{an?bn}的極限都存在,則{bn}的極限也存在（D）設(shè)Sn?a1?a2???an，若數(shù)列{an}的極限存在,則數(shù)列{Sn}的極限也存在21、用記號“○+”表示求兩個實數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)的運算, 即a○+b=已知數(shù)列{xn}滿足x1=0,x2=1,xn=xn－1○+xn－2(n≥3),則limxn等于（）

n???

a?b

.2A.2

3B.12

C.0D.122、連結(jié)?ABC的各邊中點得到一個新的?A1B1C1，又?A1B1C1的各邊中點得到一個新的?A2B2C2，如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形，?A1B1C1，?A2B2C2，?A3B3C3，?, 這一系列三角形趨向于一個點M。已知

A?0,0?,B?3,0?,C?2,2?，則點M的坐標(biāo)是（）

52522Ａ、(,)Ｂ、(,1)Ｃ、(,1)Ｄ、(1,)

3333323、已知數(shù)列

lim

{an},{bn}

都是無窮等差數(shù)列，其中

a1?3,b1?2,b2是a2和a

3的等差中

an1111?lim(??...?)n??bn??2，求極限a1b1a2b2anbn的值； n項，且

24、設(shè)正數(shù)數(shù)列

lga?

lin?

1n??

?an?

為一等比數(shù)列，且a2?4,a4?16，求

lag????n2n

2al2ng；

bn?lgan，25、數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的數(shù)列，其中c為正常數(shù)，數(shù)列?bn?a1?c，成等差數(shù)列且公差為lgc（1）求證?an?是等比數(shù)列；（2）?an?的前n項和為Sn，求lim26、已知f(x)?logax(a?o且a?1)，an

n??Sn

且2,f(a1),f(a2),f(a3),?,f(an),2n?1,?(n?N?)成等差數(shù)列，（1）求數(shù)列?an?的通項公式；

（2）若數(shù)列?an?的前n項和為Sn，當(dāng)a?1時，求lim

Sn

n??an

第四篇：數(shù)列極限教案

數(shù)列的極限教案

授課人：###

一、教材分析

極限思想是高等數(shù)學(xué)的重要思想。極限概念是從初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過渡所必須牢固掌握的內(nèi)容。

二、教學(xué)重點和難點

教學(xué)重點：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語言的刻畫。

教學(xué)難點：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語言的刻畫，簡單數(shù)列的極限進行證明。

三、教學(xué)目標(biāo)

1、通過學(xué)習(xí)數(shù)列以及數(shù)列極限的概念，明白極限的思想。

2、通過學(xué)習(xí)概念，發(fā)現(xiàn)不同學(xué)科知識的融會貫通，從哲學(xué)的量變到質(zhì)變的思想的角度來看待數(shù)列極限概念。

四、授課過程

1、概念引入

例子一：(割圓術(shù))劉徽的割圓術(shù)來計算圓的面積。

.........內(nèi)接正六邊形的面積為A1，內(nèi)接正十二邊形的面積為A2......內(nèi)接正6?2n?1形的面積為An.A1,A2,A3......An......?圓的面積S.用圓的內(nèi)接正六n邊形來趨近，隨著n的不斷增加，內(nèi)接正六n邊形的面積不斷

1接近圓的面積。

例子二：莊子曰“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”。

第一天的長度1第二天的剩余長度 第二天的剩余長度

第四天的剩余長度 8

.....第n天的剩余長度n?1.......2

隨著天數(shù)的增加，木桿剩余的長度越來越短，越來越接近0。

這里蘊含的就是極限的概念。

總結(jié)：極限是變量變化趨勢結(jié)果的預(yù)測。例一中，內(nèi)接正六n邊形的邊數(shù)不斷增加，多邊形的面積無限接近圓面積；例二中，隨著天數(shù)的不斷增加，木桿的剩余長度無限接近0.在介紹概念之前看幾個具體的數(shù)列：

111?1?（1）??: 1，,......； 23n?n?

???1?n?1111:?1，?，?,......；（2）??n2345??

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）??1?:?1,1,?1,1,......,??1?,......； nn????

我們接下來討論一種數(shù)列?xn?，在它的變化過程中，當(dāng)n趨近于??時，xn不斷接近于某一個常數(shù)a。如隨著n的增大，（1），（2）中的數(shù)列越來越接近0；（3）

（4）中的數(shù)列卻沒有這樣的特征。

此處“n趨近于??時”，“xn無限接近于數(shù)a”主要強調(diào)的是“一個過程”和一種“接近”程度。

可是只憑定性的描述和觀察很難做到準(zhǔn)確無誤，所以需要精確的，定量的數(shù)學(xué)語言來刻畫數(shù)列的概念。本節(jié)課的重點就是將數(shù)列的這樣一個特征用數(shù)學(xué)語言刻畫出來，并引入數(shù)列極限的概念。

2、內(nèi)容講授

（定義板書）設(shè)?xn?是一個數(shù)列，a是實數(shù)。如果對于任意給定的數(shù)??0，總存在一個正整數(shù)N，當(dāng)n?N時，都有xn?a??，我們稱a是數(shù)列?x

n?的極限，或者說數(shù)列?xn?收斂且收斂于數(shù)a。

寫作：limxn?a或xn?a?n????。

n???

如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。

注意：（1）理解定義中的“任意給定”?：?是代表某一個正數(shù)，但是這個數(shù)在選取時是任意的，選定以后就是固定的。不等式xn?a??是表示xn與a的接近程度，所以?可以任意的小。

（2）N的選取是與任意給定的?有關(guān)的。1?1?以數(shù)列??為例，欲若取??，則存在N?100，當(dāng)n?Nxn?a??； 100n??

若取??1，則存在N?1000，當(dāng)n?N時，xn?a??。1000

數(shù)列極限的??N語言：

limx

n???n?a????0,?N,n?Nxn?a??.數(shù)列極限的幾何解釋：

3、例題講解

n?2??1??1。例題1用數(shù)列極限的定義證明limn??nn

n?2??1?證明：設(shè)xn?，因為 nn

n?2??1?2??1?2???xn?1?nnnnn

???0，欲使xn???，只要22??即n?，n?

?2?我們?nèi)????1，當(dāng)n?N時，???

n?2??1?22?????.nnNn

n?2??1?所以lim?1.n??nn

?2?注：N的取法不是唯一的，在此題中，也可取N????10等。???

例題2 設(shè)xn?C（C為常數(shù)），證明limxn?C。n??

證明：任給的??0，對于一切正整數(shù)n，xn?C?C?C?0??，所以limxn?C。n??

小結(jié)：用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定?尋找N,但不必要求最小的N.五、課后作業(yè)

第五篇：數(shù)列極限的證明

例1 設(shè)數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn?n?1,2,??。（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；

n??1?xn?1?xn2（Ⅱ）計算lim??。n???xn?解（Ⅰ）用歸納法證明?xn?單調(diào)下降且有下界，由0?x1??，得

0?x2?sinx1?x1??，設(shè)0?xn??，則

0?xn?1?sinxn?xn??，所以?xn?單調(diào)下降且有下界，故limxn存在。

n??記a?limxn，由xn?1?sinxn得

x??a?sina，所以a?0，即limxn?0。

n??（Ⅱ）解法1 因為

?sinx?lim??x?0?x?1x2?limex?01sinxlnx2x?limex?01?cosx1????2x?sinxx?

?xsinx6x2xcosx?sinx?limex?02x3?limex?0?e?16又由（Ⅰ）limxn?0，所以

n??12xn1?xn?1??sinxn?xn2lim???lim??n??n??xx?n??n?1

?sinx??lim??x?0x??解法2 因為

1x2x2?e?16sinx?x?sinx????x???sinx?x????1????x??xsinx?x????x3，又因為

limsinx?x1?sinx?x???,lim?1??x?0x36x?0?x?12xnxsinx?x?e，??sinx?6所以 lim?，?e?x?0?x?1故

11?x?lim?n?1?n???xn?2xn?sinxn??lim??n??x?n??sinx??lim??x?0?x?2xn1x2

?e?16.