第一篇：數(shù)列極限的收斂準(zhǔn)則
第一講 數(shù)列極限
一、數(shù)列極限的收斂準(zhǔn)則
1.數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則
a)數(shù)列{xn}，{yn}，{zn}滿足：
i.yn＃xnzn(n N0)
ii.nlimyn=nlimzn=a
則數(shù)列{xn}的極限存在，且nlimxn=a
b)例
1、求極限n!
nlimnn=0 注：n!=1鬃23Ln
1例
2、求極限lim1+2n+nnn
n(3)注：nlima=1(a>0)
驏1n
練習(xí)：
1、1n
nlim?? ??桫1+n+
1n÷÷
2÷÷ 注：運用重要極限nlim(1+n)=e2、求n?lim(其中 a1,a2,L,ak為正常數(shù), k?Z+.)
2.單調(diào)數(shù)列的收斂準(zhǔn)則
a)單調(diào)增加有上界的數(shù)列必收斂；
b)單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必收斂；
通常說成：單調(diào)有界的數(shù)列必收斂。
例1． 證明lim(1
1n)n
n+=e 注：補(bǔ)充二項式定理
例2．
設(shè)x1=10，xn+1={xn}極限存在，并求其極限。例3．
設(shè)x1=xn+1={xn}極限存在，并求其極限。注：補(bǔ)充數(shù)學(xué)歸納法例
1、證明1+3+L+(2n-1)=n2 例
2、證明1+++L+<思考：
1、有界數(shù)列是否收斂？
2、數(shù)列{xn}收斂是否可推出數(shù)列xn}收斂？反之是否成立？
13、數(shù)列xn為有界數(shù)列，且limyn=0，數(shù)列數(shù)列xnyn是否收斂？ n{}{}
二、收斂數(shù)列的性質(zhì)
1.極限的唯一性。
2.有界性。問題：有界數(shù)列是否收斂？
3.保號性。問題：若xn>0("n N)，且limxn=a，是否一定有a>0？ n
4.收斂數(shù)列的子數(shù)列必收斂。
思考：（1）數(shù)列xn與yn都發(fā)散，是否數(shù)列xnyn與xn+yn也都發(fā)散？
（2）若子列x2n-1與x2n均收斂，則數(shù)列xn是否收斂？
（3）設(shè)x1>0，xn+1{}{}{}{}{}{}{}1驏1÷÷=?x+，證明數(shù)列{xn}極限存在，并求其極限。?÷n?÷2?xn桫
nn（4）求lim2+3+4n(nn
驏12n÷÷（5）求lim ++L+÷222n÷n+n+1n+n+2n+n+n桫
（6）設(shè)數(shù)列xn滿足：0
A無窮小量B無窮大量C有界變量D無界變量2
第二篇：數(shù)列極限例題
三、數(shù)列的極限
(?1)n?1}當(dāng)n??時的變化趨勢.觀察數(shù)列{1?n問題:
當(dāng)n無限增大時, xn是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是, 如何確定? 通過上面演示實驗的觀察:
(?1)n?1當(dāng)n無限增大時, xn?1?無限接近于1.n問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.?xn?1?(?1)n?1給定
11? nn1111, 由?, 只要n?100時, 有xn?1?, 100n10010011,只要n?1000時, 有xn?1?, 給定1000100011,只要n?10000時, 有xn?1?, 給定10000100001給定??0,只要n?N(?[])時, 有xn?1??成立.?定義
如果對于任意給定的正數(shù)?(不論它多么小), 總存在正整數(shù)N, 使得對于n?N時的一切xn, 不等式xn?a??都成立, 那末就稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a, 記為
limxn?a,或xn?a(n??).n??如果數(shù)列沒有極限, 就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：
??N定義:limxn?a????0,?N?0, 使n?N時, 恒有xn?a??.n??其中記號?:每一個或任給的;?:至少有一個或存在.數(shù)列收斂的幾何解釋:
a??2?a??xN?2x2x1xN?1ax3x
當(dāng)n?N時, 所有的點xn都落在(a??,a??)內(nèi), 只有有限個(至多只有N個)落在其外.注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.n?(?1)n?1?1.例1 證明limn??nn?(?1)n?11?1 ?.證
注意到xn?1 ?nn任給??0, 若要xn?1??, 只要
11??,或 n?, n?所以, 取 N?[], 則當(dāng)n?N時, 就有 1?n?(?1)n?1?1??.nn?(?1)n?1?1.即limn??n
重要說明：（1）為了保證正整數(shù)N，常常對任給的??0,給出限制0???1；
n?(?1)n?1?1??”的詳細(xì)推理
（2）邏輯“取 N?[], 則當(dāng)n?N時, 就有
n?1見下，以后不再重復(fù)說明或解釋，對函數(shù)極限同樣處理邏輯推理.由于N?????立.嚴(yán)格寫法應(yīng)該是：任給??0, 不妨取0???1，若要?1???1??N?1，所以當(dāng)n?N時一定成立n?N?1?1?，即得
1??成nn?(?1)n?1111?1?
?n????是成立
n?(?1)n?11?1???.xn?1=
nnn?(?1)n?1?1.即limn??n小結(jié): 用定義證數(shù)列極限存在時, 關(guān)鍵是任意給定??0,尋找N, 但不必要求最小的N.例3證明limq?0, 其中q?1.n??n證
任給??0(要求ε<1)若q?0, 則limq?lim0?0;
n??n??n若0?q?1, xn?0?q??, nlnq?ln?，n?n?ln?ln?, 取N?[](?1), 則當(dāng)n?N時, 就有qn?0??, lnqlnq?limqn?0.n???0, q?1,?q?1,??, n
說明：當(dāng)作公式利用：limq??
n??1, q?1,??不存在，q??1.?
第三篇：數(shù)列極限教案
數(shù)列的極限教案
授課人：###
一、教材分析
極限思想是高等數(shù)學(xué)的重要思想。極限概念是從初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過渡所必須牢固掌握的內(nèi)容。
二、教學(xué)重點和難點
教學(xué)重點：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語言的刻畫。
教學(xué)難點：數(shù)列極限概念的理解及數(shù)列極限??N語言的刻畫，簡單數(shù)列的極限進(jìn)行證明。
三、教學(xué)目標(biāo)
1、通過學(xué)習(xí)數(shù)列以及數(shù)列極限的概念，明白極限的思想。
2、通過學(xué)習(xí)概念，發(fā)現(xiàn)不同學(xué)科知識的融會貫通，從哲學(xué)的量變到質(zhì)變的思想的角度來看待數(shù)列極限概念。
四、授課過程
1、概念引入
例子一：(割圓術(shù))劉徽的割圓術(shù)來計算圓的面積。
.........內(nèi)接正六邊形的面積為A1，內(nèi)接正十二邊形的面積為A2......內(nèi)接正6?2n?1形的面積為An.A1,A2,A3......An......?圓的面積S.用圓的內(nèi)接正六n邊形來趨近，隨著n的不斷增加，內(nèi)接正六n邊形的面積不斷
1接近圓的面積。
例子二：莊子曰“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”。
第一天的長度1第二天的剩余長度 第二天的剩余長度
第四天的剩余長度 8
.....第n天的剩余長度n?1.......2
隨著天數(shù)的增加，木桿剩余的長度越來越短，越來越接近0。
這里蘊含的就是極限的概念。
總結(jié)：極限是變量變化趨勢結(jié)果的預(yù)測。例一中，內(nèi)接正六n邊形的邊數(shù)不斷增加，多邊形的面積無限接近圓面積；例二中，隨著天數(shù)的不斷增加，木桿的剩余長度無限接近0.在介紹概念之前看幾個具體的數(shù)列：
111?1?（1）??: 1，,......； 23n?n?
???1?n?1111:?1，?，?,......；（2）??n2345??
（3）n2:1,4,9,16,......；
（4）??1?:?1,1,?1,1,......,??1?,......； nn????
我們接下來討論一種數(shù)列?xn?，在它的變化過程中，當(dāng)n趨近于??時，xn不斷接近于某一個常數(shù)a。如隨著n的增大，（1），（2）中的數(shù)列越來越接近0；（3）
（4）中的數(shù)列卻沒有這樣的特征。
此處“n趨近于??時”，“xn無限接近于數(shù)a”主要強(qiáng)調(diào)的是“一個過程”和一種“接近”程度。
可是只憑定性的描述和觀察很難做到準(zhǔn)確無誤，所以需要精確的，定量的數(shù)學(xué)語言來刻畫數(shù)列的概念。本節(jié)課的重點就是將數(shù)列的這樣一個特征用數(shù)學(xué)語言刻畫出來，并引入數(shù)列極限的概念。
2、內(nèi)容講授
（定義板書）設(shè)?xn?是一個數(shù)列，a是實數(shù)。如果對于任意給定的數(shù)??0，總存在一個正整數(shù)N，當(dāng)n?N時，都有xn?a??，我們稱a是數(shù)列?x
n?的極限，或者說數(shù)列?xn?收斂且收斂于數(shù)a。
寫作：limxn?a或xn?a?n????。
n???
如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。
注意：（1）理解定義中的“任意給定”?：?是代表某一個正數(shù)，但是這個數(shù)在選取時是任意的，選定以后就是固定的。不等式xn?a??是表示xn與a的接近程度，所以?可以任意的小。
（2）N的選取是與任意給定的?有關(guān)的。1?1?以數(shù)列??為例，欲若取??，則存在N?100，當(dāng)n?Nxn?a??； 100n??
若取??1，則存在N?1000，當(dāng)n?N時，xn?a??。1000
數(shù)列極限的??N語言：
limx
n???n?a????0,?N,n?Nxn?a??.數(shù)列極限的幾何解釋：
3、例題講解
n?2??1??1。例題1用數(shù)列極限的定義證明limn??nn
n?2??1?證明：設(shè)xn?，因為 nn
n?2??1?2??1?2???xn?1?nnnnn
???0，欲使xn???，只要22??即n?，n?
?2?我們?nèi)????1，當(dāng)n?N時，???
n?2??1?22?????.nnNn
n?2??1?所以lim?1.n??nn
?2?注：N的取法不是唯一的，在此題中，也可取N????10等。???
例題2 設(shè)xn?C（C為常數(shù)），證明limxn?C。n??
證明：任給的??0，對于一切正整數(shù)n，xn?C?C?C?0??，所以limxn?C。n??
小結(jié)：用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定?尋找N,但不必要求最小的N.五、課后作業(yè)
第四篇：數(shù)列極限復(fù)習(xí)
數(shù)列極限復(fù)習(xí)題
姓名
2?4???2n1、lim=； n??1?3?9??(?3)n
an2?2n?1a2、若lim(2n?)?1，則=； n??bn?2b
1?an3、如果lim()?0，則實數(shù)a的取值范圍是；n??2a
n4、設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an?(1?4x)，若liman存在，則x的取值范圍是n??
___；
?a?5．已知無窮等比數(shù)列n的前n項和
窮等比數(shù)列各項的和是；
6、數(shù)列?an?滿足a1?Sn?1?a(n?N*)n3，且a是常數(shù)，則此無1，且對任意的正整數(shù)m,n都有am?n?am?an，則數(shù)列?an?的3所有項的和為；
7、無窮等比數(shù)列?an?的首項是某個自然數(shù)，公比為單位分?jǐn)?shù)（即形如：數(shù)，m為正整數(shù)），若該數(shù)列的各項和為3，則a1?a2；
8、無窮等比數(shù)列?an?的各項和為2，則a1的取值范圍是
1的分m
??
9、無窮等比數(shù)列an中，為；
lim(a2?a3?...?an)
n??
=1，則a1的取值范圍
cosn??sinn??
10、計算： lim,??[0,]?
n??cosn??sinn?
222n?a2n111、若lim2n?1，則實數(shù)a的取值范圍是； ?2n?
12?a
23?n?2?n?(?1)n(3?n?2?n)
12、若數(shù)列{an}的通項公式是an=,n=1,2,?,則
lim(a1?a2???an)__________；
n??
1?
1?n?2012?n(n?1)?
13、若an??,Sn為數(shù)列?an?的前n項和,求limSn?____;
n??
?3?1n?2013n?1??
214、等差數(shù)列?an?，?bn?的前n項和分別為Sn,Tn且
an
? n??bn
Sn2n
?，則Tn3n?
1lim15、設(shè)數(shù)列?an?、?bn?都是公差不為0的等差數(shù)列，且lim
lim
b1?b2???b3n
na4n
an
?3，則bn16、已知數(shù)
列為等差數(shù)列，且，則
a117、設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，且lim1?qn）?，則a1的取值范圍是
n??1?q
2__________；
18、已知等比數(shù)列{an}的首項a1?1，公比為q(q?0)，前n項和為Sn，若
lim
Sn?
1?1，則公比q的取值范圍是.；
n??Sn19、已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，滿足：對于所有n?N*，有4Sn?(an?1)2，n
?（）其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項和．則limn??an
A．0B．1C．D．
220、下列命題正確的是 ?????????????????????????()
（A）liman?A, limbn?B則lim
n??
n??
anA
?(bn?0,n?N)
n??bBn
（B）若數(shù)列{an}、{bn}的極限都不存在，則{an?bn}的極限也不存在（C）若數(shù)列{an}、{an?bn}的極限都存在,則{bn}的極限也存在（D）設(shè)Sn?a1?a2???an，若數(shù)列{an}的極限存在,則數(shù)列{Sn}的極限也存在21、用記號“○+”表示求兩個實數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)的運算, 即a○+b=已知數(shù)列{xn}滿足x1=0,x2=1,xn=xn－1○+xn－2(n≥3),則limxn等于（）
n???
a?b
.2A.2
3B.12
C.0D.122、連結(jié)?ABC的各邊中點得到一個新的?A1B1C1，又?A1B1C1的各邊中點得到一個新的?A2B2C2，如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形，?A1B1C1，?A2B2C2，?A3B3C3，?, 這一系列三角形趨向于一個點M。已知
A?0,0?,B?3,0?,C?2,2?，則點M的坐標(biāo)是（）
52522Ａ、(,)Ｂ、(,1)Ｃ、(,1)Ｄ、(1,)
3333323、已知數(shù)列
lim
{an},{bn}
都是無窮等差數(shù)列，其中
a1?3,b1?2,b2是a2和a
3的等差中
an1111?lim(??...?)n??bn??2，求極限a1b1a2b2anbn的值； n項，且
24、設(shè)正數(shù)數(shù)列
lga?
lin?
1n??
?an?
為一等比數(shù)列，且a2?4,a4?16，求
lag????n2n
2al2ng；
bn?lgan，25、數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的數(shù)列，其中c為正常數(shù)，數(shù)列?bn?a1?c，成等差數(shù)列且公差為lgc（1）求證?an?是等比數(shù)列；（2）?an?的前n項和為Sn，求lim26、已知f(x)?logax(a?o且a?1)，an
n??Sn
且2,f(a1),f(a2),f(a3),?,f(an),2n?1,?(n?N?)成等差數(shù)列，（1）求數(shù)列?an?的通項公式；
（2）若數(shù)列?an?的前n項和為Sn，當(dāng)a?1時，求lim
Sn
n??an
第五篇：數(shù)列極限的證明
例1 設(shè)數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn?n?1,2,??。（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；
n??
?xn?1?xn（Ⅱ）計算lim??。n??
?xn?
解（Ⅰ）用歸納法證明?xn?單調(diào)下降且有下界，由0?x1??，得
0?x2?sinx1?x1??，設(shè)0?xn??，則
0?xn?1?sinxn?xn??，所以?xn?單調(diào)下降且有下界，故limxn存在。
n??
記a?limxn，由xn?1?sinxn得
x??
a?sina，所以a?0，即limxn?0。
n??
（Ⅱ）解法1 因為
?sinx?lim??x?0
?x?
1x?lime
x?0
1sinxlnx2x
?lime
x?0
1?cosx1?
???
2x?sinxx?
?xsinx6x2
xcosx?sinx
?lime
x?0
2x3
?lime
x?0
?e
?
又由（Ⅰ）limxn?0，所以
n??
1xn
?xn?1??sinxn?xn2
lim???lim??n??n??xx?n??n?
?sinx?
?lim??x?0x??
解法2 因為
1xx?e
?
sinx?x
?sinx????x?
?
?sinx?x????1????x??
xsinx?x
????
x3，又因為
limsinx?x1?sinx?x???,lim?1??x?0x36x?0?x?
xnxsinx?x?e，??sinx?6所以lim?，?e?x?0?x?1
故
11?x?lim?n?1?n???xn?xn?sinxn??lim??n??x?n?
?sinx??lim??x?0?x?xn1x ?e?1
6.
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