第一篇：教案《線面垂直的判定》

陜西省西安中學(xué)附屬遠(yuǎn)程教育學(xué)校

線面垂直的判定

教學(xué)目標(biāo)

1．知識與技能

掌握直線和平面、平面和平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，并能應(yīng)用．

2．過程與方法

通過“觀察”“認(rèn)識”“畫出”空間圖形及垂直關(guān)系相關(guān)定理的學(xué)習(xí)過程，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力及合情推理能力．

3．情感、態(tài)度與價值觀

垂直關(guān)系在日常生活中有廣泛的實例，通過本節(jié)的教學(xué)，可讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)原理的廣泛應(yīng)用．

教材分析

教材以旗桿與地面、書脊與桌面等日常生活中學(xué)生熟悉的實例人手，讓學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上借助直角三角板形成直線與平面垂直的概念．然后以長方體模型為基礎(chǔ)，讓學(xué)生思考：如何判定一條直線與一個平面垂直呢?結(jié)合長方體模型中具體的線面關(guān)系，讓學(xué)生進(jìn)行操作確認(rèn)，從而得到直線與平面垂直的判定定理．突出了長方體模型在幫助學(xué)生思考垂直關(guān)系中的作用．

在平面與平面垂直的判定這一節(jié)中，教材的展開思路與

教學(xué)目標(biāo)

1．知識與技能

掌握直線和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用．

2．過程與方法

在合作探究中，逐步構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)；在實踐操作中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力和空間想象能力．

3．情感、態(tài)度與價值觀

垂直關(guān)系在日常生活中有廣泛的實例，通過本節(jié)的教學(xué)，可讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)原理的廣泛應(yīng)用．

教材分析

本節(jié)課是第6節(jié)的第一課時，是立體幾何的核心內(nèi)容之一．在學(xué)生學(xué)習(xí)了線面平行關(guān)

系之后，仍以長方體為載體，是對學(xué)生“直觀感知、操作確認(rèn)、歸納總結(jié)、初運用”的認(rèn)知過程的一個再強(qiáng)化．

學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和平面、平面和平面平行的判定及性質(zhì)，學(xué)習(xí)了兩直線(共面或異面)互相垂直的位置關(guān)系，有了“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數(shù)學(xué)結(jié)論”的體會，有了一定的空間想象能力、幾何直觀能力和推理論證能力． 教學(xué)重點和難點

本節(jié)的重點：垂直關(guān)系的判定定理．

本節(jié)的難點：對直線和平面垂直判定定理的理解．

教學(xué)過程

問題提出

問題1空間一條直線與平面有哪幾種位置關(guān)系?

問題2在直線與平面相交的位置關(guān)系中，哪種相交最特殊?

在我們的生活中，隨處可見線、面的垂直：在操場上豎立的國旗桿與地面、豎直的墻角線與地面、燈塔與海平面.思考

1如何用語言表述直線和平面的垂直關(guān)系?

直線和平面垂直的定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直．

用符號記作： l

用圖形表示： ?a．

思考

2怎樣判定直線與平面垂直呢?

思考

3? 如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的一

條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直?

? 如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條條直線，那么這條直線是否與這個平

面垂直?

? 如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個平

面垂直?

? 如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線是否與這個

平面垂直?

抽象概括

直線和平面垂直判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面．

關(guān)鍵：線不在多，相交則行

符號語言表示：若a?,b?,a?b?P,且l?a,l?b，則l??

圖形語言表示：

動手實踐

過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，再將翻折后的紙片豎起放置在桌面上

（BD、DC與桌面接觸），進(jìn)行觀察并思考：

（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？若不過頂點A翻折紙片呢？

（3）翻折前后垂直關(guān)系發(fā)生變化了嗎？由此你能得到什么結(jié)論？

知識應(yīng)用

例1如圖所示，在Rt△ABC中，?B?90，P為△ABC所在平面外一點，PA?平0

面ABC問：四面體P—ABC中有幾個直角三角形?

解：因為PA?平面ABC，所以 PA?AB，PA?AC，PA?BC．

所以△PAB，△PAC為直角三角形．

又PA?BC，AB?BC，且PA?AB?A，所以BC?平面PAB．

又PB平面PAB，于是BC?PB，所以△PBC也為直角三角形．

所以四面體PABC中的四個面都是

直角三角形．

例2如圖所示，已知三棱錐A-BCD中，CA?CB,DA?DB,BE?CD,AH?BE,且F為棱AB的中點，求證：AH?平面BCD.證明：取AB的中點F，連接CF，DF，因為CA=CB，DA=DB，所以CF?AB,DF?AB,又CF?DF

又CD?F,所以AB?平面CDF.平面CDF，于是AB?CD,由已知BE?CD,且AB?BE?B,所以CD?平面ABH.又AH平面ABH，于是CD?AH,已知AH?BE,且BE?CD?E,所以AH?平面BCD.課堂小結(jié)

判定直線和平面是否垂直，有兩種方法：

(1)定義：強(qiáng)調(diào)是“任何一條直線”；

(2)判定定理：必須是“兩條相交直線”．

線線垂直線面垂直

布置作業(yè)

課本習(xí)題1—6 A組5、6（1）B組2（1）

思考交流

如圖，直線m、n都是線段AA/的垂直平分線，設(shè)m、n確定的平面為?，能否證明：AA/⊥g，其中g(shù)為平面內(nèi)過點B的任意直線.

第二篇：線面垂直的判定

漯河高中2013—2014高一數(shù)學(xué)必修二導(dǎo)學(xué)案

2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)

2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)

編制人：魏艷麗方玉輝審核人：高一數(shù)學(xué)組時間：2013.12.0

3【課前預(yù)習(xí)】

一、預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

1、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：_________________________________________.2、垂直于同一條直線的兩個平面____________.3、平面與平面垂直的性質(zhì)定理：_________________________________________.4、如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在___________.二、預(yù)習(xí)檢測教材P71、P7

3【課內(nèi)探究】

［例1］如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.［例2］如圖，已知矩形ABCD，過A作SA⊥平面AC，再過A作AE⊥SB交SB于E，過E作EF⊥SC交SC于F.（1）求證：AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于G，求證：AG⊥SD.我主動，我參與，我體驗，我成功第1頁（共4頁）

［例3］

10、在三棱錐P—ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90o.（1）證明：AB⊥PC；

（2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱錐P—ABC的體積.［例4］如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.（1）若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；

（2）過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C；

（3）若截面MBC1⊥平面BB1C1C，則AM=MA1嗎？請敘述你的判斷理由

.我主動，我參與，我體驗，我成功第2頁（共4頁）

【鞏固訓(xùn)練】

1．已知兩個平面互相垂直，那么下列說法中正確的個數(shù)是

()

①一個平面內(nèi)的直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線；

②一個平面內(nèi)垂直于這兩個平面交線的直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線； ③過一個平面內(nèi)一點垂直于另一個平面的直線，垂足必落在交線上； ④過一個平面內(nèi)的任意一點作交線的垂線，則此直線必垂直于另一個平面． A．

4B．

3C．

2D．

1()()

2．在圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上)，過該點作另一底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是A．相交

B．平行

C．異面

D．相交或平行

3．若m、n表示直線，α表示平面，則下列命題中，正確命題的個數(shù)為

m∥n?m⊥α???

???m∥n； ①?n⊥α；②??m⊥α?n⊥α?

m⊥α?m∥α??????n⊥α.③?m⊥n;④??n∥α?m⊥n?A．

4B．

3C．

2D．1D．重心

o

o

4．在△ABC所在的平面α外有一點P，且PA＝PB＝PC，則P在α內(nèi)的射影是△ABC的()A．垂心

B．外心

C．內(nèi)心

5.如圖所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為45和30.過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為A′、B′，則AB∶A′B′等于()

A．3∶1

B．2∶1

C．3∶2

D．4∶3

6．設(shè)α－l－β是直二面角，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么()

A．a(chǎn)與b可能垂直，但不可能平行 B．a(chǎn)與b不可能垂直，但可能平行 C．a(chǎn)與b可能垂直，也可能平行 D．a(chǎn)與b不可能垂直，也不可能平行

7．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，則a與β的關(guān)系為________．

8．直線a和b在正方體ABCD－A1B1C1D1的兩個不同平面內(nèi)，使a∥b成立的條件是________．

①a和b垂直于正方體的同一個面； ②a和b在正方體兩個相對的面內(nèi)，且共面； ③a和b平行于同一條棱；

④a和b在正方體的兩個面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直． 9.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.我主動，我參與，我體驗，我成功第3

頁（共4頁）

求證：BC⊥AB.10.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC.求證：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中點．

11．如圖所示，在多面體P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4(1)設(shè)M是PC上的一點，求證：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱錐P—ABCD的體積．

※12．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，D是棱AA1

2的中點，DC1⊥BD.(1)證明：DC1⊥BC；

(2)求二面角A1－BD－C1的大?。?/p>

我主動，我參與，我體驗，我成功第4頁（共4頁）

第三篇：線面垂直判定經(jīng)典證明題

線面垂直判定

1、已知：如圖，PA⊥AB，PA⊥AC。

求證：PA⊥平面ABC。

2、已知：如圖，PA⊥AB，BC⊥平面PAC。

求證：PA⊥BC。

3、如圖，在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC。求證：VB?AC4、在正方體ABCD-EFGH中，O為底面ABCD中心。求證：BD?平面AEGC5、如圖，AB是圓O的直徑，PA⊥AC, PA⊥AB,求證： BC⊥平面PAC6、如圖，AD⊥BD, AD⊥DC,AD=BD=CD,∠BAC=60°

求證： BD⊥平面ADC7、.如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.8、已知：如圖，P是棱形ABCD所在平面外一點，且PA=PC 求證：AC?平面PBD

_

_

C9、已知四面體ABCD中，AB?AC,BD?CD,平面ABC?平面BCD,E為棱BC的中點。（1）求證：AE?平面BCD;（2）求證：AD?BC;

B

E

C

D10、三棱錐A-BCD中，AB=1，AD=2，求證：AB⊥平面BCD11、在四棱錐S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形

求證：AC⊥平面SBD12、如圖，正方形ABCD所在平面與三角形CDE所在平面相交于CD，AE?平面CDE，求證：AB?平面ADE；

A

E

D13、三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，H是△ABC的垂心

求證:PH?底面ABC14、正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BC1D._A

_

115、S是△ABC所在平面外一點，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求證AB⊥BC

S

C

A

B16、如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中點． 求證C1D ⊥平面A1B ；

第四篇：線面垂直的判定定理 教案

線面垂直的判斷定理

數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 劉桂欽 2007220113

5一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能目標(biāo)

理解直線與平面垂直的定義，掌握直線與平面垂直的判定定理及其應(yīng)用。

（二）過程與方法目標(biāo)

通過直觀感知、操作，歸納概括出直線與平面垂直的判定定理。

（三）情感與態(tài)度目標(biāo)

通過該內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力及合情推理能力，并從中體會“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。

二、教學(xué)重、難點

教學(xué)重點：直線與平面垂直的判定定理的理解掌握。

教學(xué)難點：直線與平面垂直的判定定理的推導(dǎo)歸納。

三、教學(xué)過程

（一）構(gòu)建定義

1、直觀感知

通過觀察圖片，如地面上樹立的旗桿、水面上大橋的橋柱等，使學(xué)生直觀感知直線和平面垂直的位置關(guān)系，并在頭腦中產(chǎn)生直線與地面垂直的初步印象，為下一步的數(shù)學(xué)抽象做準(zhǔn)備。然后再引導(dǎo)學(xué)生舉出更多直線與平面垂直的例子，如教室內(nèi)直立的墻角線和地面位置關(guān)系，桌子腿與地面的位置關(guān)系，直立書的書脊與桌面的位置關(guān)系等，由此引出課題。

2、觀察思考

首先讓學(xué)生思考如何定義一條直線與一個平面垂直，然后帶著問題觀察在陽光下直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC所在直線的位置關(guān)系，這可以通過多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時間的變化而移動的過程，并引導(dǎo)學(xué)生得出旗桿所在直線與地面內(nèi)的直線都垂直這一結(jié)論。

3、抽象概括

問題：通過上述觀察分析，你認(rèn)為應(yīng)該如何定義一條直線與一個平面垂直？ 這可以讓學(xué)生討論后口頭回答，老師再根據(jù)學(xué)生回答構(gòu)建出線面垂直的定義與畫法。（板書）

定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線 l與平面α互相垂直，記作： l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一l 的公共點P叫做垂足。

畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面P 的平行四邊形的一邊垂直，如右圖所示。

4、加深理解

在給出了線面垂直的定義和畫法之后，可以繼續(xù)問學(xué)生：

（1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否就與這個平面垂直？

（2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線是否就垂直于這個平面內(nèi)的任一直線？

這樣通過問題的辨析，加深學(xué)生對概念的理解，以掌握概念的本質(zhì)屬性。由（1）使學(xué)生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思，定義的實質(zhì)就是直線與平面內(nèi)所有直線都垂直。由（2）使學(xué)生明確，線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質(zhì)，線線垂直與線面垂直可以相互轉(zhuǎn)化。

（二）探索發(fā)現(xiàn)

1、觀察猜想

思考：我們該如何檢驗學(xué)校廣場上的旗桿是否與地面垂直？

雖然可以根據(jù)定義判定直線與平面垂直，但這種方法實際上難以實施。有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？

然后讓學(xué)生觀察跨欄、簡易木架等實物的圖片，并引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，給出猜想：一條直線與一個平面內(nèi)兩相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

2、操作確認(rèn)

如圖，請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個實驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.觀察并思考：

（1）折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕

AD與桌面所在的平面垂直？

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系，即AD⊥

CD，AD⊥BD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？ C 通過這個實驗，可以引導(dǎo)學(xué)生獨立發(fā)現(xiàn)直線與平面D垂直的條件，并培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和幾何直

觀能力。

3、合情推理

在上面的試驗后，可以引導(dǎo)學(xué)生回憶出“兩條相交直線確定一個平面”，以及直觀過程中獲得的感知，將“與平面內(nèi)所有直線垂直”逐步歸結(jié)到“與平面內(nèi)兩條相交直線垂直”，進(jìn)而歸納出直線與平面垂直的判定定理，這充分體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。用符號語言表示為：m??,n??,m?n?P???l?? l?m,l?n?

（三）例題分析

例

1、求證：與三角形的兩條邊都垂直的直線必與第三條邊垂直。

分析：這道題主要是讓學(xué)生感受如何運用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明確運用線面垂直判定定理的條件。

例

2、如右圖，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。分析：這道題主要是讓學(xué)生進(jìn)一步感受如何運用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直，體會轉(zhuǎn)化思想在證題中的作用，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力與一定的推理論證能力。首先引導(dǎo)學(xué)生分析思路，可利用線面垂直的定義證，也可

用判定定理證，再提示輔助線的添法，將思路集中在如何在平面內(nèi)α內(nèi)找到兩條與直線b垂直的相交直線上。

（四）課堂小結(jié)

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？

（2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)的什么數(shù)學(xué)思想？

（3）關(guān)于直線與平面垂直你還有什么問題？

P

（五）鞏固練習(xí)

1、如圖，點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC，PB=PD.求證： D

PO⊥平面ABCD B

2、已知：菱形ABCD在平面M內(nèi)，P為M外一點，PA=PC．

求證：AC⊥平面PBD．

（六）布置作業(yè)

1．課本：課后練習(xí)1、2題．

2．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BDC1．

（七）板書設(shè)計

第五篇：線面垂直教案

2012第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案

線面垂直、面面垂直

教學(xué)目標(biāo)：掌握線面垂直、面面垂直的證明方法，并能熟練解決相應(yīng)問題.（一）主要知識及主要方法：

【思考與分析】要證明線面垂直，我們可以把它轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，這道題可以通過證明A1C與平面C1BD內(nèi)兩條相交直線BD，BC1垂直即可.而要證明A1C與相交直線BD、BC1垂直，可利用三垂線定理的三步曲證明．基礎(chǔ)平面分別取下底面及右側(cè)面．

1.線面垂直的證明：?1?判定定理；?2?如果兩條平行線中一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于

這個平面；?3?一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面,它也垂直于另一個平面；?4?兩個平面垂直,在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.?5?如果兩個相交平面都與第三個平面垂直,那么它們的交線與第三個平面垂直.P A?6?向量法：

???????????????????PQ?AB?PQ?AB?0

PQ??????? ???????????????

???PQ?AC?PQ?AC?0

CQ

2.面面垂直的證明：?2?如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,?1?計算二面角的平面角為90? ；

那么這兩個平面垂直;

題型講解證明線線垂直

三垂線定理與平面的位置無關(guān)，即對水平位置、豎直位置、傾斜位置的平面都能用三垂線定理．下面我們通過實例來體驗“三步曲”的具體應(yīng)用過程．

例1(1)已知PA、PB、PC兩兩互相垂直，求證：P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的垂心．

【思考與分析】 要證O是△ABC的垂心，我們需要證明AO⊥BC、BO⊥AC、CO⊥AB.而AO、BO、CO分別是AP、BP、CP在平面ABC上的射影，因此我們想到應(yīng)用三垂線定理.分三步進(jìn)行：①定線面：即面內(nèi)直線BC與基礎(chǔ)平面為底面ABC，②找三線：即垂線PO，斜線PA，射影AO，③證垂直：即AO⊥BC．同理可證其它兩條．

證明：因為P在平面ABC內(nèi)的射影為O，所以PO⊥平面ABC，連結(jié)AO且延長交BC于D，則AO是PA在平面ABC上的射影．

∵ AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，∴ PA⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴ AP⊥BC．根據(jù)三垂線定理的逆定理知，AD⊥BC，所以AD是△ABC中BC邊上的高．連結(jié)CO并延長交AB于F，同理可證CF⊥AB；所以CF是△ABC中AB邊上的高，AD∩CF=O，所以O(shè)是△ABC的垂心．【反思】 解這道題時，首先應(yīng)用的是線面垂直的判定定理，然后運用三垂線定理的逆定理，所以要想快速解題，我們需要熟練掌握并能綜合應(yīng)用所學(xué)知識.(2)正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：對角線A1C⊥平面C1BD．

證明：∵ A1A⊥平面ABCD，A1C是斜線，連AC，AC⊥BD，由三垂線定理知BD⊥A1C．∵ A1B1⊥平面BCC1B1，A1C是斜線，連B1C，B1C是A1C在BCC1B1內(nèi)的射影，又∵ BC1⊥B1C，由三垂線定理知BC1⊥A1C．又BD∩BC1=B，∴ A1C⊥平面DBC1．

【反思】 應(yīng)用三垂線定理解題一定要熟記這三個步驟，而且還需要我們有一定的空間立體感.例2在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求證：A1B⊥B1C

證明：取A1B1的中點D1，連結(jié)C1D1∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A連結(jié)AD1，則AD1是AC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD11取AB的中點D，連結(jié)CD、B1D，則B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1內(nèi)的射影∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C點評：證明異面直線垂直的常用方法有：證明其中一直線垂直于另外一直線所在的平面；利用三垂線定理及其逆定理 證明線面垂直

例3 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，過A點作AE⊥PC于點E，求證：AE⊥平面PBC

證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC 而PC∩AC=C，∴BC⊥平面又∵AE在平面PAC內(nèi)，∴BC⊥AE∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC 點評：證明直線與平面垂直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判定定理；利用“若直線a∥直線b，直線a⊥平面α，則直線b⊥平面α”

練習(xí)：

1.以AB為直徑的圓在平面?內(nèi)PA⊥?于A，C在圓上，連PB、PC過A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，試判斷圖中還有幾組線面垂直。

PA???

BC????

?PAAB為直徑?AC?BC

??

????AF?面PAC

??

??AF?PC

??

?AF?面PBC?PB?面PBC??AF?PB?

?AE?PB???PB?AEF

cos?BAC?

AB2?AC2?BC

22?AB?AC ?

a2?b2?a2?c2?b2?c2

2?AB?AC

?

a

a2?b2?a2?c2

?0

?BAC為銳角，同理?ABC為銳角?。

P在底面射影為?ABC垂心。

BC?面ABC??

PA?BC?

? ?BC?面APQ??AQ?面APQ???BC?AQ?

??Q為?ABC垂心

同理?AC?BQ?

?

?CQ?AB?

??AB?面PQC?PQ?AB?AB?PC

同理A、B5.如圖，?B?AAA?//BB?確定平面?

????A?B??

??AB?????AB//AB??

?

??AB//?????AB?AA??

?

??AB?面AA?CAA??A?B?

??

??

AB?AC

??

?A?B??面CA?A?A?B??CA???CA?B?為直角

證明面面垂直

例4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點（1）求證：AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方體中一些特殊的點、線、面的問題，建立空間直角坐標(biāo)系來解，不僅容易找到解題方向，而且坐標(biāo)也簡單，此時“垂直”問題轉(zhuǎn)化為“兩向量數(shù)量積為0”的問題，當(dāng)然也可用其它的證證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，并設(shè)AB=2，則A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)

?????????

(1)AD?(0,2,0),D1F?(1,0,?2)

?????????

? AD?D1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, ?AD⊥D1F

??????????????????（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|?，|D1F|?設(shè)AE與D1F的夾角為θ，則 cosθ1?

2?1?0?0?1?(?2)

5?0

所以，直線AE與D1F所成的角為90°（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，?D1F⊥平面AED，∵D1F?平面A1FD1M

?平面AED⊥平面A1FDB

例5已知AB是圓O的直徑，PA垂直于?O所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任一

點，求證：平面PAC?平面PBC．

分析：根據(jù)“面面垂直”的判定定理，要證明兩平面互相垂直，只要在其中一個平面中尋找一條與另解：∵AB是圓O的直徑，∴AC?BC，又∵PA垂直于?O所在的平面，∴PA?BC，∴BC?平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC?平面PBC． 點評：由于平面PAC與平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC?平面PBC，則在平面PBC中，垂直于PC的直線一定垂直于平面PAC小結(jié):

1垂直問題來處理或在兩直線上分別取它們的方向向量，然后證它們的數(shù)量積為0

2面垂直的判定定理，證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，當(dāng)然再證這直線（這平面）與已知直線（或平面）重合，有時侯將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為證面面垂直問題，也許會給你帶來意想不到的收獲 3如證面面垂直可轉(zhuǎn)化為證明一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線

用向量法證明垂直，就是證有關(guān)向量的數(shù)量積為1“直線l垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線”是“l(fā)⊥α”的 AB

CD 答案：B①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行②夾在兩個平行平面間的兩條異面線段的中點連線平行于這兩個平面③直線m⊥平面α，直線n⊥m，則n∥α④a、b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a、b都平行且與a、b距離相等 ABCD 解析：①錯誤與平面相交如下圖，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分別為AB、CD的中點，過C作CG∥AB交平面β于G，連結(jié)BG、GD設(shè)H是CG的中點，則EH∥BG，HF∥GD∴EH∥平面β，HF∥平面β

∴平面EHF∥平面β∥平面α∴EF∥α，EF∥β

③錯誤直線n可能在平面α內(nèi)④正確AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點，過E作a′∥a，b′∥b，則a′、b′確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是唯一確定的答案：D

3在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，D是EF的中點，沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3三點重合，重合后的點記為G，那么，在四面體S—EFG中必有 A⊥平面EFGB⊥平面EFG C⊥平面SEF D⊥平面SEF

解析：注意折疊過程中，始終有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFGA答案：A

4PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A、B的任一點，則下列關(guān)系不正確的是 A⊥BCB⊥平面PACC⊥PB D⊥BC 解析：由三垂線定理知AC⊥PB，故選答案：C 5ABC的三個頂點A、B、C到平面α的距離分別為2 cm、3 cm、4 cm，且它們在α的同側(cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為解析：如下圖，設(shè)A、B、C在平面α上的射影分別為A′、B′、C′，△ABC的重心為G，連結(jié)CG交

AB于中點E，又設(shè)E、G在平面α上的射影分別為E′、G′，則E′∈A′B，G′∈C′E，EE′=A′

A+B′B）=，CC′=4，CG∶GE=2∶1，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3答案：3 cm

6ABCD—A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_______時，有A1C⊥B1D1認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）答案：A1C1⊥B1D1或四邊形A1B1C1D1為菱形等 7ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，則（1）A點到CD1的距離為________；（2）A點到BD1的距離為________；

（3）A點到面BDD1B1的距離為_____________；（4）A點到面A1BD的距離為_____________；（5）AA1與面BB1D1D的距離為__________6622（2）（3）（4）（5）232

328△ABC在平面α內(nèi)的射影是△A1B1C1，設(shè)直角邊AB∥α，則△A1B1C1的形狀是_____________三角形答案：（1）

解析：根據(jù)兩平行平面的性質(zhì)及平行角定理，知△A1B1C的形狀仍是Rt△答案：直角 4ABCD—A1B1C1D1中，M為CC1的中點，AC交BD于點O，求證：A1O⊥平面MBD證明：連結(jié)MO ∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1又A1O?平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

（1）解：當(dāng)a=2時，ABCD為正方形，則BD⊥AC又∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面故當(dāng)a=2時，BD⊥平面PAC（2）證明：當(dāng)a=4時，取BC邊的中點M，AD邊的中點N，連結(jié)AM、DM、BMN∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂線定理得，PM⊥DM，故當(dāng)a=4時，BC邊的中點M使PM⊥DM（3）解：設(shè)M是BC邊上符合題設(shè)的點M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM因此，M點應(yīng)是以AD為直徑的圓和BC邊的一個公共點，則AD≥2AB，即a≥4點評：本題的解決中充分運用了平面幾何的相關(guān)知識因此，立體幾何解題中，要注意有關(guān)的平面幾何知識的運用事實上，立體幾何問題最終是在一個或幾個平面中得以解決的在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=

22，tan∠MOC=，22

∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA+∠MOC=90A1O⊥OM∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面9S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB邊的高CD上，點M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求證：SC⊥截面證明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SCMD∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SCAB∩DM=D，∴SC⊥截面MABABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M為AB邊上的一個動點，求PM的最小值解：∵P是定點，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可 要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，∴只需使CM⊥AB即可

∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB·cos60°=4

∴CM=AC·sin60°=4·

=2

B

∴PM=PC2?CM2=?

12P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA⊥底面ABCD（1）當(dāng)a為何值時，BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論（2）當(dāng)a=4時，求證：BC邊上存在一點M，使得PM⊥（3）若在BC邊上至少存在一點M，使PM⊥DM，求a的取值范圍分析：本題第（1）問是尋求BD⊥平面PAC的條件，即BD垂直平面PAC內(nèi)兩相交直線，易知BD⊥PA，問題歸結(jié)為a為何值時，BD⊥AC，從而知ABCD為正方形-4-