第一篇：3.1.2空間向量基本定理學案范文

3．1．2空間向量的基本定理

一．自學達標： 1．共線向量定理：

2．共面向量定理：

3．空間向量分解定理:

?,b?,?

4．a(chǎn)c可作空間的基底的充要條件是：

5．已知平行六面ABCD-A??????????a,AD???b,????AA?

1B1C1D1,AB1?c，試用基底{a?,b?,?c}表示如下向量???AC???????????????1,BD1,CA1,DB

1二．例題精選：

例1．已知三棱柱ABC-A1B1C1，設

???AB???????a,AC??b?,????AA?

1?c，M,N分別為AC1 ,BC中點，證明：（1）????MN?，??a,?

c共面

（2〕證明：????MN??????

A1B

例2：空間四邊形中，???OA???a????,OB???b,???OC???

c，M,N分別

為OA,BC中點，G在MN上，NG?2GM，用基底

{a?,b?,?c}表示????MN?，???OG?

三．達標練習：

1．下列命題正確的是（）?

???

??A．若a與b共線，b與c共線，則a與ca?共線

??

B．向量、b、c共面即它們所在的直線共面

Ｃ．零向量沒有確定的方向??b?

Ｄ．若a，則存在唯一的實數(shù)?，使?a????b?

2.設空間四點O、A、B、P，滿足???OP??mOA?????nOB????，其中

m?n?1，則（）

A.P在直線AB上B.P不在直線AB上 C.點P不一定在直線AB上D.以上都不對

3.①任意給出三個不共面的向量都可以作為一個基底②已知?

a?b?，則?a，b?

與任何向量都不能構成空間一個基底③A,B,M,N是空間四點，若???BA?,????BM?,???BN?

不能構成空

???

間的一個基底，則A,B,M,N共面。④已知{a,b,c}是空

?????

c?????間的一個基底，若m?a，則{a,b,c,m}

也是空間的一個基底。其中正確的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4

{a?,b?,?

4．若c}是一組基底，則x?y?z?0是

xa??yb??zc?的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件 5．如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別在B和D?11

1B1D上，且BE3B1B，DF?3

D1D。

（1）證明A,E,C1,F四點共面；

（2）若???EF??xAB?????y???AD??z????

AA1，求x?y?z

自助餐：對于空間任一點O和不共線的三點A、B、C，且有???OP??xOA?????yOB?????zOC????

(x,y,z?R)，x?y?z?1，證明A,B,C,P四點共面

第二篇：專題二向量的坐標表示和空間向量基本定理

第7課時專題二向量的坐標表示和空間向量基本定理 任務1點共面問題

例1.已知A、B、C三點不共線，對平面外一點O，在下列條件下，點P是否一定與A、B、C共面？

（1）；（2）

例2.若點M在平面ABC內(nèi)，點O為空間中的任意一點，?????????

OM?xOA?1???

??1????OBOC,則x的值為3

3多少 筆記：

任務2空間向量基本定 理

例3已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點，且M分

成定比2，N分PD成定比1，求滿足的實數(shù)x、y、z的值。

任務3 利用空間向量證明平行、垂直問題

例4.如圖，在四棱錐

P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F。（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：PB

⊥平面EFD；

筆記：

【堂中精練】

1．設????

????

????

O,P,A,B為空間任意四個點，若OP?mOA?nOB,且m?n?1,則（）

A.P在直線AB上B.P,A,B三點不共線C.P有可能在直線AB上D.以上都不對

2．若點M在平面ABC內(nèi)，點O為空間中的任意一點，?????????1????OM?xOA?OB?1????

OC,則x3

3的值為（）

A.1B.0C.3D.13

????????????????????????

3．設A,B,C,D為空間不共面的四點，且滿足AB?AC?0,AB?AD?0,AC?AD?0,則?BCD是

（）A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形

4．若a,b均為單位向量，且?a,b??60?,則|a?3b

|?（）

B

CD.4點睛：點共面問題，可轉(zhuǎn)化為向量共面問題，要證明P、A、B、C四點共面，只

要

能

證

明，或

對空間任一點O，有

或

即可，以上結(jié)論是判定空間四點共面的一個充要條件，共面向量定理實際上

也是三個非零向量所在直線共面的必要條件。

點睛：結(jié)合圖形，從向量

出發(fā)，利用向量運算法則不斷進行分解，直到全部向量都

用、、表示出來，即

可求出x、y、z的值

點睛：證明線面平行的方

法：

①證 明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

②證明能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已 知直

線的方向向量共線

【反饋測評】

1.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點M,N,P,Q,R,S分別為AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中點，則MN?PQ化簡的結(jié)果為（）A.0B.RSC.SRD.NQ

????

???

????

?????

????

10已知A(1,?1,2),B(5,?6,2),C(1,3,?1),則?ABC中AC邊上的高BD是

2．在以下命題中，不正確的命題個數(shù)是（）①對于空間中任意????

????????????的四點A,B,C,D恒有AB?

BC?C?D0D?；A②

|a?|

b|?|a|?b?|共線；③若ab

a與b共線，則a與b所在直線平行；④對空間中任意的一點O和不共線的三點

????????????????

A,B,C,若OP?xOA?yOB?zOC（x,y,z?R)，則P,A,B,C四點共面。A.1B.2C.3D.43．若點G為?ABC的重心，點O是空間中任意一點，則下列結(jié)論中（）是正確的。

????

????????

????????A.GA?GB?GC?0

B.OG?1????OA?1????OB?1OC????????????OA?O?BO

????

?????2???2????

2????C.OG?

C D.OG?3OA?3O?B3O C4．下列命題正確的是（）A.若

????1????1????OP?OA?OB,則

P,A,B

三點共線2

3B.若{a,b,c}為一個基底，則{a?b,b?c,c?a}也為一個基底

C.|(a?b)c|?|a|?|b|?|c|

????????

D.?ABC為直角三角形的充要條件是AB?AC?0

5.已知向量a?(?1,2,3),b?(1,1,1),則向量a在向量b方向上的射影向量的模為

6.已知兩點A(1,?2,3),B(2,?1,1),則直線AB與平面xOz的交點坐標為

7.如圖，在矩形ABCD中，AB?1,BC?a,PA?平面AC，且PA?1,若在BC邊上存在兩個

點Q,使得PQ?QD,則正實數(shù)a的取值范圍是8如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以?ABC為直角的等腰三角形，AC?2a,BB1?3a,D是A1C1的中點，點E在棱AA1上，要使CE?平面B1DE，則AE? 9.設A,B,C,D為空間不共面的四點，且滿足

????????????????????????AB?AC?0,AB?AD?0,AC?AD?0,則?BCD是何三角形

11.若a,b均為單位向量，且?a,b??60?,則|a?3b|? 多少

12.如圖所示，邊長為a的正方形ABC是D和正方形ABEF相交于AB,?E

BD,AE上的動點，且AN?DM,試用向量解決：（1）證明：

求|MN|的最小值。

答案

例1.(1)P

與A、B、C共面。(2)P與A、B、C三點不共面

例2.1/3 例3

例4.連接AC，AC交BD于G，連接EG。

依題意得?！叩酌鍭BCD是正方形?！郍是此正方形的中心，故點G的坐標為，∴則

【堂中精練】5.A6.D7.C8.C 【反饋測評】1.C.2.A3.A4.B.5.6.C(,0,).7.a?(2,??).8.?AE?a或2a。

9.銳角三角形

12.(1)

由

C|a?3b|?(a?3b)?1?3?9?13.題意，設

BBD

?

MEA

E

?x(?x?0

N

則1),?????????????????????????????????BM?xBD?x(BA?BC),EN?xEA?x(BA?BE),???????????????????????MN?BN?BM?BE?EN?BM?

?????????????????????????????????

.B(?Ex?B)A(B?Ex?)?B(A1?xB)BCE?xBC

?MN//面EBC，?MN?面EBC，?MN//面EBC。

(2)|MN|max?asin

?

2.?????

第三篇：平面向量基本定理教案

§2.3.1平面向量基本定理教學設計

教學目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；（3）能夠在具體問題中適當?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.教學重點：平面向量基本定理.教學難點：平面向量基本定理的理解與應用.授課類型：新授課 教學過程：

一、復習引入：

??1．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作：λa

??（1）|λa|=|λ||a|；

?????（2）λ>0時λa與a方向相同；λ<0時λa與a方向相反；λ=0時λa=0

2．運算定律

??結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a ；

???????分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

??3.向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零??實數(shù)λ，使b=λa.二、講解新課：

1．提出問題：由平行四邊形想到：

（1）是不是每一個向量都可以分解成兩個不共線向量？且分解是唯一？（2）對于平面上兩個不共線向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來表示？

2．設e1，e2是不共線向量，a是平面內(nèi)任一向量，e1 a

MC

N B e2

O OA=e1，OM=λ

1e2； OB=e2，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對

??于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；

?(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量

3、兩個非零向量的夾角：

???????????? 如圖所示，已知兩個非零向量a,b，在平面上任取一點O，作OA?aO ,B?b，??則?AOB???0?????叫做向量a與b的夾角，ba BAO θbθ bAOB aa【說明】（1）研究兩個非零向量的夾角時，必須先將這兩個向量的起點移至同一個點；但是當兩個向量的終點重合時，表示向量的這兩條線段所成的?0,??范圍內(nèi)的角也等于這兩個向量之間的夾角。（2）只有非零向量之間才存在夾角；

??（3）如果∠AOB=0°a與b同向；

????（4）如果∠AOB=90°，我們就說向量a與b垂直，記作：a?b；

??（5）如果∠AOB=180°a與b反向。

三、講解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2.作法：見教材

四、課堂練習：

1.設e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有()A.e1、e2一定平行

e2e1B.e1、e2的模相等

C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c =6e1-2e2的關系

A.不共線 B.共線 C.相等 D.無法確定

3.已知向量e1、e2不共線，實數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小結(jié)：平面向量基本定理，其實質(zhì)在于：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合．

六、課后作業(yè)：課本：101頁1,2 板書設計：略

第四篇：《平面向量基本定理》教案

一、教學目標：

1.知識與技能：

了解平面向量基本定理及其意義, 理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示；能夠在具體問題中適當?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來表示。

2.過程與方法：

讓學生經(jīng)歷平面向量基本定理的探索與發(fā)現(xiàn)的形成過程,體會由特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，初步掌握應用平面向量基本定理分解向量的方法，培養(yǎng)學生分析問題與解決問題的能力。

3.情感、態(tài)度和價值觀

通過對平面向量基本定理的學習,激發(fā)學生的學習興趣,調(diào)動學習積極性,增強學生向量的應用意識,并培養(yǎng)學生合作交流的意識及積極探索勇于發(fā)現(xiàn)的學習品質(zhì).二、教學重點：平面向量基本定理.三、教學難點：平面向量基本定理的理解與應用.四、教學方法：探究發(fā)現(xiàn)、講練結(jié)合五、授課類型：新授課

六、教 具：電子白板、黑板和課件

七、教學過程：

（一）情境引課，板書課題

由導彈的發(fā)射情境，引出物理中矢量的分解，進而探究我們數(shù)學中的向量是不是也可以沿兩個不同方向的向量進行分解呢？

（二）復習鋪路，漸進新課

在共線向量定理的復習中，自然地、漸進地融入到平面向量基本定理的師生互動合作的探究與發(fā)現(xiàn)中去，感受著從特殊到一般、分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想碰撞的火花，體驗著學習的快樂。

（三）歸納總結(jié)，形成定理

讓學生在發(fā)現(xiàn)學習的過程中歸納總結(jié)出平面向量基本定理，并給出基底的定義。

（四）反思定理，解讀要點

反思平面向量基本定理的實質(zhì)即向量分解，思考基底的不共線、不惟一和非零性及實數(shù)對的存在性和唯一性。

（五）跟蹤練習，反饋測試

及時跟蹤練習，反饋測試定理的理解程度。

（六）講練結(jié)合，鞏固理解

即講即練定理的應用，講練結(jié)合，進一步鞏固理解平面向量基本定理。

（七）夾角概念，順勢得出

不共線向量的不同方向的位置關系怎么表示，夾角概念順勢得出。然后數(shù)形結(jié)合，講清本質(zhì)：夾角共起點。再結(jié)合例題鞏固加深。

（八）課堂小結(jié)，畫龍點睛

回顧本節(jié)的學習過程，小結(jié)學習要點及數(shù)學思想方法，老師的“教 ”與學生的“學”渾然一體，一氣呵成。

（九）作業(yè)布置，回味思考。

布置課后作業(yè)，檢驗教學效果?；匚端伎?，更加理解定理的實質(zhì)。

七、板書設計：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，使

.2.基底：

(1)不共線向量

叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

(2)基底：不共線，不唯一，非零

(3)基底給定，分解形式唯一，實數(shù)對

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，實數(shù)對

可同可異。

例1 例2

3.夾角

：

（1）兩向量共起點；

（2）夾角范圍：

例3

4.小結(jié)

5.作業(yè)

第五篇：平面向量基本定理(教學設計)

平面向量基本定理

教學設計

平面向量基本定理教學設計

一、教材分析

本節(jié)課是在學習了共線向量基本定理的前提下，進一步研究平面內(nèi)任一向量的表示，為今后平面向量的坐標運算打下堅實的基礎。所以，本節(jié)在本章中起到承上啟下的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之間的基本關系，是向量解決問題的理論基礎。平面向量基本定理提供了一種重要的數(shù)學思想—轉(zhuǎn)化思想。

二、教學目標

知識與技能: 理解平面向量基本定理，學會利用平面向量基本定理解決問題，掌握基向量表示平面上的任一向量.過程與方法：通過學習習近平面向量基本定理，讓學生體驗數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力.情感態(tài)度與價值觀：通過學習習近平面向量基本定理，培養(yǎng)學生敢于實踐的創(chuàng)新精神，在解決問題中培養(yǎng)學生的應用意識。

教學重點：平面向量基本定理的應用； 教學難點：平面向量基本定理的理解.三、教學教法

1.學情分析: 學生已經(jīng)學習了向量的基本知識，并且對向量的物理背景有了初步的了解.2.教學方法：采用“問題導學—討論探究—展示演練”的教學方法，完成教學目標.3.教學手段：有效使用多媒體和視頻輔助教學，直觀形象.四、學法指導

1.導學：設置問題情境，激發(fā)學生學習的求知欲，引發(fā)思考.2.探究：引導學生合作探究，解決問題，注重知識的形成過程.3.應用：在解決問題中培養(yǎng)學生的應用意識與學以致用的能力.五、教學過程

針對以上情況，結(jié)合我?！皩W本課堂”模式，我設計了如下教學過程，分為六個環(huán)節(jié)。第一環(huán)節(jié)：問題導學 自主學習

首先是課前預習，預習學案分為問題導學、典例精析、鞏固拓展三大部分。通過預習學案，可以幫助學生完成課前預習。設計意圖：通過預習學案讓學生預習新知識，發(fā)現(xiàn)問題，使學習更具針對性，培養(yǎng)學生的自學與探索能力.第二環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境 導入課題

進入新課，引入課題采用問題情境的辦法。通過導彈的飛行方向和力的分解兩個實例，將問題類比，引入本節(jié)問題-向量的分解。為了幫助學生理解，提供了兩段直觀的視頻，直觀形象。設計意圖：借助實際與物理問題設置情境，引發(fā)學生思考與想象，將問題類比，引入本節(jié)課題。

第三環(huán)節(jié)：分組討論 合作探究

提出問題，進入探究階段。采用分組討論，合作探究的方法，先讓學生回顧知識-向量加法的平行四邊形法則。進入小組討論，共同討論兩個問題。

問題1：向量a與向量e1，e2共起點，向量a是同一平面內(nèi)任一向量，e1與e2不共線，探究向量a與e1，e2之間的關系.問題2：向量e1與e2是同一平面內(nèi)不共線的兩個向量，向量a是同一平面內(nèi)任一向量，探究向量a與e1，e2之間的關系.設計意圖：各小組成員討論交流，合作學習，共同探討問題，尋求結(jié)果，展示結(jié)果.第四環(huán)節(jié)：成果展示 歸納總結(jié)

小組討論完畢，由幾個小組展示研究成果。結(jié)合小組展示成果，借助多媒體展示，由師生共同探究向量的分解。展示過程中，要重點強調(diào)平移共起點，借助平行四邊形法則解說分解過程，加深學生的直觀映像，完成向量的分解。通過向量的分解，由學生小組討論，共同歸納本節(jié)的核心知識—平面向量基本定理。在定理中重點補充強調(diào)以下幾點說明：（1）基底e1,e2不共線，零向量不能做基底；（2）定理中向量a是任一向量，實數(shù)?1，?2唯一；（3）?1e1??e2叫做向量a關于基底e1,e2的分解式.第五環(huán)節(jié)：問題解決 鞏固訓練

引入定理后，應用定理解決學案例題與練習。例題1重在考查基底的概念，引導學生思考向量作為基底的條件，將問題轉(zhuǎn)化為兩個向量的共線問題。講解完例題1之后，通過一個練習，鞏固所學。通過兩個問題，讓學生認識理解基底的概念，把握基底的本質(zhì)，突出重點——平面向量基本定理的應用。在例題2中繼續(xù)強化對基底概念的理解，采用分組討論，合作探究的教學方法，共同探討解法，并由小組板演解題過程，最后強調(diào)解題步驟；此后，給出例2的一個變式題，讓學生進一步深刻理解基底，體會基底的重要作用。解決本節(jié)難點——平面向量基本定理的理解，通過例題3對平面向量基本定理綜合應用，解決三點共線問題。采用先啟發(fā)引導后學生探究的方法，解決學生的困惑。例題講解完畢后，對本題結(jié)論適當拓展，得到“當t?11，點P是AB的中點，OP=（OA?OB）”的重要結(jié)論。通過探究22本題，可以使學生深化對平面向量基本定理的理解，培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力.為了加強對定理的應用，在學案中設計了幾個鞏固練習，在課堂上當場完成，并及時糾錯，鞏固本節(jié)所學。

第六環(huán)節(jié)：拓展演練 反饋檢測

為了攻克難點，檢測效果，最后設計了幾道課后習題進行拓展延伸，培養(yǎng)學生的綜合能力。通過這些設計，可以增強教學的針對性，提高教學效果。在本節(jié)尾聲，讓學生回顧本節(jié)主要內(nèi)容，完成小結(jié)，并在小結(jié)中強調(diào)轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想及方法。最后是布置課后作業(yè)及時間分配與板書設計。

六、評價感悟

本節(jié)教學設計在“學本課堂”的教學模式下，采用“問題導學—討論探究—展示演練”的教學方法，引導學生自主學習，發(fā)現(xiàn)問題，小組討論，合作探究，解決問題。在教學過程中，學生處于主體地位，教師充分發(fā)揮學生的積極性，力求打造高效課堂。

以平面向量基本定理為主題，從預習知識到探究定理，學生始終參與學習，參與探究，主觀性與積極性得到了充分發(fā)揮，學習與探求知識的能力得到了極大的提升；應用定理解決問題，培養(yǎng)了學生的應用意識；通過學習定理，讓學生體會了轉(zhuǎn)化思想，提高了學習的綜合能力。