第一篇：平面向量基本定理及相關(guān)練習(xí)(含答案)

平面向量2 預(yù)習(xí)：

1.兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量a和b，作OA?a,OB?b，則?AOB??(0????)叫做向量a和b的夾角。

（1）??0時，a和b同向；（2）???時，a和b反向；（3）??時，a?b； 2（4）注意兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍是0????。2.兩向量共線的判定

設(shè)a?(x1,y1),b?(x2,y2)，其中b?0。3.我們都學(xué)過向量有關(guān)的哪些運算？ 4.力做的功：

W?|F|?|s|cos?,?是F與s的夾角。講授新課：

1.平面向量的數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：

已知兩個非零向量a和b，他們的夾角為?，我們把數(shù)量|a|?|b|cos?叫做a與b 的數(shù)量積（內(nèi)積）。

記為：a?b，即a?b?|a||b|cos?

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即a?0?0。2.投影的概念：

|b|co?s叫做b在a方向上的投影，投影也是一個數(shù)量，不是向量。3.向量數(shù)量積（內(nèi)積）的幾何意義：

數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos?的乘積。4.兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)a、b為兩個非零向量（1）a?b??a?b=0（2）當(dāng)a和b同向時，a?b=|a||b|

當(dāng)a和b反向時，a?b=-|a||b| ? 1

特別地，a?a?|a|2或|a|?a?a（3）|a?b|?|a||b|（4）cos??a?b|a||b|（5）平面向量數(shù)量積的運算律：

已知向量a、b、c和實數(shù)?，則

①a?b=b?a（交換律）

②(?a)?b??(a?b)?a?(?b)(數(shù)乘結(jié)合律)

③(a?b)?c?a?c?b?c(分配律)5.平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：

已知兩個非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)

兩個向量數(shù)量積等于他們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即a?b?x1y1?x2y2。6.平面內(nèi)兩點間的距離公式：

（1）設(shè)a?(x,y),則|a|2?x2?y2或|a|?x2?y2；

（2）如果表示向量a的有向線段的起點和終邊的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)，|a|?(x21?x2)2?(y1?y2)（平面間兩點的距離公式）。

7.向量垂直的判定：

設(shè)a?(x1,y1)，b?(x2,y2)則a?b??x1x2?y1y2?0 8.兩向量夾角的余弦：（0????）

cos??a?b1x2?y1y2|a||b|=xx2?y222

11x2?y2例1.已知A(1,2),B(2,3),C(?2,5),試判斷?ABC的形狀，并給出證明。

那么：

例2.在?ABC中，AB?(2,3),AC?(1,k)，且?ABC的一個內(nèi)角為直角，求k的值。

例3.已知a?(1,3),b?(3?1,3?1)，則a與b的夾角是多少？求與a垂直的單位向量的坐標(biāo)是多少？

1例4.已知A(3,2),B(?1,?1),若點P(x,?)在線段AB的中垂線上，則x?

2例

5、已知a?(2,?1),b?(m,m?1),若a與b的夾角為銳角，求實數(shù)m的取值范圍。

同步練習(xí)：

?3??3???

1、已知a?3,b?4,向量a?b與a?b的位置關(guān)系為（）

44?A．平行 B．垂直 C．夾角為 D．不平行也不垂直

32、在?ABC中，AB?(1,1),AC?(2,k)，若?ABC為直角三角形，求實數(shù)k的值。

???????????

3、已知a?1,b?2,(1)若a∥b,求a?b；(2)若a與b的夾角為60°，求a?b；(3)若a?b與a垂 3

??直，求a與b的夾角．

4、已知a?1,b?2,(a?b)?a，則a與b的夾角是

3b)?(4a?33b),(2a?3b)?(a?

5、已知(a?

??3b),a?0,b?0，求a與b的夾角。

????????????

6、已知四邊形ABCD中AB=(6,1), BC=(x,y)，CD=(-2,-3), ????????(1)若BC∥DA,試探究 x與y間的關(guān)系式；

????????(2)滿足(1)問的同時又有AC⊥BD,試求x,y的值及四邊形ABCD的面積.答案： 1.B 2.（-2或0）3.4.45度

5.(arccos66)6.（1）x?2y?0（2）16

第二篇：平面向量基本定理教案

§2.3.1平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計

教學(xué)目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法；（3）能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.教學(xué)重點：平面向量基本定理.教學(xué)難點：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.授課類型：新授課 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

??1．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作：λa

??（1）|λa|=|λ||a|；

?????（2）λ>0時λa與a方向相同；λ<0時λa與a方向相反；λ=0時λa=0

2．運算定律

??結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a ；

???????分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

??3.向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零??實數(shù)λ，使b=λa.二、講解新課：

1．提出問題：由平行四邊形想到：

（1）是不是每一個向量都可以分解成兩個不共線向量？且分解是唯一？（2）對于平面上兩個不共線向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來表示？

2．設(shè)e1，e2是不共線向量，a是平面內(nèi)任一向量，e1 a

MC

N B e2

O OA=e1，OM=λ

1e2； OB=e2，ON=λe2

21OC=a=OM+ON=λ

e1+λe2，2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對

??于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；

?(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量

3、兩個非零向量的夾角：

???????????? 如圖所示，已知兩個非零向量a,b，在平面上任取一點O，作OA?aO ,B?b，??則?AOB???0?????叫做向量a與b的夾角，ba BAO θbθ bAOB aa【說明】（1）研究兩個非零向量的夾角時，必須先將這兩個向量的起點移至同一個點；但是當(dāng)兩個向量的終點重合時，表示向量的這兩條線段所成的?0,??范圍內(nèi)的角也等于這兩個向量之間的夾角。（2）只有非零向量之間才存在夾角；

??（3）如果∠AOB=0°a與b同向；

????（4）如果∠AOB=90°，我們就說向量a與b垂直，記作：a?b；

??（5）如果∠AOB=180°a與b反向。

三、講解范例：

例1 已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2.作法：見教材

四、課堂練習(xí)：

1.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有()A.e1、e2一定平行

e2e1B.e1、e2的模相等

C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c =6e1-2e2的關(guān)系

A.不共線 B.共線 C.相等 D.無法確定

3.已知向量e1、e2不共線，實數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.2

五、小結(jié)：平面向量基本定理，其實質(zhì)在于：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合．

六、課后作業(yè)：課本：101頁1,2 板書設(shè)計：略

第三篇：《平面向量基本定理》教案

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.知識與技能：

了解平面向量基本定理及其意義, 理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示；能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底,使其他向量都能夠用基底來表示。

2.過程與方法：

讓學(xué)生經(jīng)歷平面向量基本定理的探索與發(fā)現(xiàn)的形成過程,體會由特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，初步掌握應(yīng)用平面向量基本定理分解向量的方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力。

3.情感、態(tài)度和價值觀

通過對平面向量基本定理的學(xué)習(xí),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動學(xué)習(xí)積極性,增強學(xué)生向量的應(yīng)用意識,并培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識及積極探索勇于發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)品質(zhì).二、教學(xué)重點：平面向量基本定理.三、教學(xué)難點：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.四、教學(xué)方法：探究發(fā)現(xiàn)、講練結(jié)合五、授課類型：新授課

六、教 具：電子白板、黑板和課件

七、教學(xué)過程：

（一）情境引課，板書課題

由導(dǎo)彈的發(fā)射情境，引出物理中矢量的分解，進而探究我們數(shù)學(xué)中的向量是不是也可以沿兩個不同方向的向量進行分解呢？

（二）復(fù)習(xí)鋪路，漸進新課

在共線向量定理的復(fù)習(xí)中，自然地、漸進地融入到平面向量基本定理的師生互動合作的探究與發(fā)現(xiàn)中去，感受著從特殊到一般、分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想碰撞的火花，體驗著學(xué)習(xí)的快樂。

（三）歸納總結(jié)，形成定理

讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程中歸納總結(jié)出平面向量基本定理，并給出基底的定義。

（四）反思定理，解讀要點

反思平面向量基本定理的實質(zhì)即向量分解，思考基底的不共線、不惟一和非零性及實數(shù)對的存在性和唯一性。

（五）跟蹤練習(xí)，反饋測試

及時跟蹤練習(xí)，反饋測試定理的理解程度。

（六）講練結(jié)合，鞏固理解

即講即練定理的應(yīng)用，講練結(jié)合，進一步鞏固理解平面向量基本定理。

（七）夾角概念，順勢得出

不共線向量的不同方向的位置關(guān)系怎么表示，夾角概念順勢得出。然后數(shù)形結(jié)合，講清本質(zhì)：夾角共起點。再結(jié)合例題鞏固加深。

（八）課堂小結(jié)，畫龍點睛

回顧本節(jié)的學(xué)習(xí)過程，小結(jié)學(xué)習(xí)要點及數(shù)學(xué)思想方法，老師的“教 ”與學(xué)生的“學(xué)”渾然一體，一氣呵成。

（九）作業(yè)布置，回味思考。

布置課后作業(yè)，檢驗教學(xué)效果?；匚端伎?，更加理解定理的實質(zhì)。

七、板書設(shè)計：

1.平面向量基本定理：如果

是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，使

.2.基底：

(1)不共線向量

叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

(2)基底：不共線，不唯一，非零

(3)基底給定，分解形式唯一，實數(shù)對

存在且唯一；

(4)基底不同，分解形式不唯一，實數(shù)對

可同可異。

例1 例2

3.夾角

：

（1）兩向量共起點；

（2）夾角范圍：

例3

4.小結(jié)

5.作業(yè)

第四篇：平面向量基本定理(教學(xué)設(shè)計)

平面向量基本定理

教學(xué)設(shè)計

平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計

一、教材分析

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了共線向量基本定理的前提下，進一步研究平面內(nèi)任一向量的表示，為今后平面向量的坐標(biāo)運算打下堅實的基礎(chǔ)。所以，本節(jié)在本章中起到承上啟下的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之間的基本關(guān)系，是向量解決問題的理論基礎(chǔ)。平面向量基本定理提供了一種重要的數(shù)學(xué)思想—轉(zhuǎn)化思想。

二、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能: 理解平面向量基本定理，學(xué)會利用平面向量基本定理解決問題，掌握基向量表示平面上的任一向量.過程與方法：通過學(xué)習(xí)習(xí)近平面向量基本定理，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力.情感態(tài)度與價值觀：通過學(xué)習(xí)習(xí)近平面向量基本定理，培養(yǎng)學(xué)生敢于實踐的創(chuàng)新精神，在解決問題中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。

教學(xué)重點：平面向量基本定理的應(yīng)用； 教學(xué)難點：平面向量基本定理的理解.三、教學(xué)教法

1.學(xué)情分析: 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的基本知識，并且對向量的物理背景有了初步的了解.2.教學(xué)方法：采用“問題導(dǎo)學(xué)—討論探究—展示演練”的教學(xué)方法，完成教學(xué)目標(biāo).3.教學(xué)手段：有效使用多媒體和視頻輔助教學(xué)，直觀形象.四、學(xué)法指導(dǎo)

1.導(dǎo)學(xué)：設(shè)置問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的求知欲，引發(fā)思考.2.探究：引導(dǎo)學(xué)生合作探究，解決問題，注重知識的形成過程.3.應(yīng)用：在解決問題中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識與學(xué)以致用的能力.五、教學(xué)過程

針對以上情況，結(jié)合我校“學(xué)本課堂”模式，我設(shè)計了如下教學(xué)過程，分為六個環(huán)節(jié)。第一環(huán)節(jié)：問題導(dǎo)學(xué) 自主學(xué)習(xí)

首先是課前預(yù)習(xí)，預(yù)習(xí)學(xué)案分為問題導(dǎo)學(xué)、典例精析、鞏固拓展三大部分。通過預(yù)習(xí)學(xué)案，可以幫助學(xué)生完成課前預(yù)習(xí)。設(shè)計意圖：通過預(yù)習(xí)學(xué)案讓學(xué)生預(yù)習(xí)新知識，發(fā)現(xiàn)問題，使學(xué)習(xí)更具針對性，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)與探索能力.第二環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境 導(dǎo)入課題

進入新課，引入課題采用問題情境的辦法。通過導(dǎo)彈的飛行方向和力的分解兩個實例，將問題類比，引入本節(jié)問題-向量的分解。為了幫助學(xué)生理解，提供了兩段直觀的視頻，直觀形象。設(shè)計意圖：借助實際與物理問題設(shè)置情境，引發(fā)學(xué)生思考與想象，將問題類比，引入本節(jié)課題。

第三環(huán)節(jié)：分組討論 合作探究

提出問題，進入探究階段。采用分組討論，合作探究的方法，先讓學(xué)生回顧知識-向量加法的平行四邊形法則。進入小組討論，共同討論兩個問題。

問題1：向量a與向量e1，e2共起點，向量a是同一平面內(nèi)任一向量，e1與e2不共線，探究向量a與e1，e2之間的關(guān)系.問題2：向量e1與e2是同一平面內(nèi)不共線的兩個向量，向量a是同一平面內(nèi)任一向量，探究向量a與e1，e2之間的關(guān)系.設(shè)計意圖：各小組成員討論交流，合作學(xué)習(xí)，共同探討問題，尋求結(jié)果，展示結(jié)果.第四環(huán)節(jié)：成果展示 歸納總結(jié)

小組討論完畢，由幾個小組展示研究成果。結(jié)合小組展示成果，借助多媒體展示，由師生共同探究向量的分解。展示過程中，要重點強調(diào)平移共起點，借助平行四邊形法則解說分解過程，加深學(xué)生的直觀映像，完成向量的分解。通過向量的分解，由學(xué)生小組討論，共同歸納本節(jié)的核心知識—平面向量基本定理。在定理中重點補充強調(diào)以下幾點說明：（1）基底e1,e2不共線，零向量不能做基底；（2）定理中向量a是任一向量，實數(shù)?1，?2唯一；（3）?1e1??e2叫做向量a關(guān)于基底e1,e2的分解式.第五環(huán)節(jié)：問題解決 鞏固訓(xùn)練

引入定理后，應(yīng)用定理解決學(xué)案例題與練習(xí)。例題1重在考查基底的概念，引導(dǎo)學(xué)生思考向量作為基底的條件，將問題轉(zhuǎn)化為兩個向量的共線問題。講解完例題1之后，通過一個練習(xí)，鞏固所學(xué)。通過兩個問題，讓學(xué)生認(rèn)識理解基底的概念，把握基底的本質(zhì)，突出重點——平面向量基本定理的應(yīng)用。在例題2中繼續(xù)強化對基底概念的理解，采用分組討論，合作探究的教學(xué)方法，共同探討解法，并由小組板演解題過程，最后強調(diào)解題步驟；此后，給出例2的一個變式題，讓學(xué)生進一步深刻理解基底，體會基底的重要作用。解決本節(jié)難點——平面向量基本定理的理解，通過例題3對平面向量基本定理綜合應(yīng)用，解決三點共線問題。采用先啟發(fā)引導(dǎo)后學(xué)生探究的方法，解決學(xué)生的困惑。例題講解完畢后，對本題結(jié)論適當(dāng)拓展，得到“當(dāng)t?11，點P是AB的中點，OP=（OA?OB）”的重要結(jié)論。通過探究22本題，可以使學(xué)生深化對平面向量基本定理的理解，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力.為了加強對定理的應(yīng)用，在學(xué)案中設(shè)計了幾個鞏固練習(xí)，在課堂上當(dāng)場完成，并及時糾錯，鞏固本節(jié)所學(xué)。

第六環(huán)節(jié)：拓展演練 反饋檢測

為了攻克難點，檢測效果，最后設(shè)計了幾道課后習(xí)題進行拓展延伸，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力。通過這些設(shè)計，可以增強教學(xué)的針對性，提高教學(xué)效果。在本節(jié)尾聲，讓學(xué)生回顧本節(jié)主要內(nèi)容，完成小結(jié)，并在小結(jié)中強調(diào)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及方法。最后是布置課后作業(yè)及時間分配與板書設(shè)計。

六、評價感悟

本節(jié)教學(xué)設(shè)計在“學(xué)本課堂”的教學(xué)模式下，采用“問題導(dǎo)學(xué)—討論探究—展示演練”的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)問題，小組討論，合作探究，解決問題。在教學(xué)過程中，學(xué)生處于主體地位，教師充分發(fā)揮學(xué)生的積極性，力求打造高效課堂。

以平面向量基本定理為主題，從預(yù)習(xí)知識到探究定理，學(xué)生始終參與學(xué)習(xí)，參與探究，主觀性與積極性得到了充分發(fā)揮，學(xué)習(xí)與探求知識的能力得到了極大的提升；應(yīng)用定理解決問題，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識；通過學(xué)習(xí)定理，讓學(xué)生體會了轉(zhuǎn)化思想，提高了學(xué)習(xí)的綜合能力。

第五篇：2.3.1平面向量基本定理教案

2.3.1平面向量的基本定理

教學(xué)目的：

要求學(xué)生掌握平面向量的基本定理，能用兩個不共線向量表示一個向量；或一個向量分解為兩個向量．

教學(xué)重點：

平面向量的基本定理及其應(yīng)用．

教學(xué)難點：

平面向量的基本定理．

教學(xué)過程：

一．復(fù)習(xí)引入：

1．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作：λa

（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時λa與a方向相同；λ<0時λa與a方向相反；λ=0時λ

?????????a=0

2．運算定律

?????????結(jié)合律：λ(μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb

??3.向量共線定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，??使b=λa.二、新課：

1．提出問題：由平行四邊形想到：

（1）是不是每一個向量都可以分解成兩個不共線向量？且分解是唯一？（2）對于平面上兩個不共線向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它們來表示？ 2．新課

e1，e2是不共線向量，a是平面內(nèi)任一向量，e1 a

MC

N

1e2

1O B 2OA=e1，OM=λe2，OC=a=OM+ON=λe1+λe2，e2． OB=e2，ON=λ

2得平面向量基本定理：

如果1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使a＝λ

1ee1+λe2．

2注意幾個問題：

（1）e1,e2必須不共線，且它是這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；（2）這個定理也叫共面向量定理；

（3）λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數(shù)量． 例1

已知向量e1,e2，求作向量?2.5e1+3e2． 作法：（1）取點O，作OA=?2.5e1，OB=3e2，（2）作平行四邊形OACB，OC即為所求．

已知兩個非零向量a、b，作OA?a，OB?b，則∠AOB＝θ（0°?θ?180°），叫做向量a與b的夾角．

當(dāng)θ＝0°，a與b同向；當(dāng)θ＝180°時，a與b反向，如果a與b的夾角為90°，我們說a與b垂直，記作：a⊥b．

三、小結(jié)：

平面向量基本定理，其實質(zhì)在于：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合．

e2 e1