第一篇：空間向量課后反思[模版]

課后反思:

這次上課是 2節(jié)課連起來上的，是新的一章空間向量的學(xué)習(xí)，因為平面向量有些知識可以直接類比到空間向量，所以我將原本3節(jié)課的內(nèi)容壓縮到2節(jié)課里來上，第1節(jié)主要是知識點的梳理，第2節(jié)則是通過習(xí)題來加強(qiáng)對知識點的掌握。

這節(jié)課的一開始我讓學(xué)生先進(jìn)行回憶，想一下在高一的時候我們學(xué)了平面向量的哪些知識。然后我讓學(xué)生板書寫，下面的學(xué)生自己寫在進(jìn)行補(bǔ)充和分類。則個還節(jié)的設(shè)計能夠充分調(diào)動學(xué)生的積極性并讓學(xué)生能夠加深新舊知識之間的聯(lián)系，形成知識之間的結(jié)構(gòu)體系。但是在具體實行的時候因為學(xué)生回憶的知識很雜亂，而且很多的知識沒有想起來，就導(dǎo)致了我在這個環(huán)節(jié)上耗費了太多的時間且效果沒有預(yù)期的好，這個主要是自己的知識掌握不夠?qū)挿汉徒?jīng)驗不足，不能夠很好的講放出去的話題收回來，相信在以后的不斷實踐中能夠得到提高。接下來學(xué)習(xí)共面向量定理和基本定理時也是通過類比平面向量進(jìn)行的，并且對基本定理進(jìn)行了證明以加深學(xué)生的印象。這個環(huán)節(jié)上進(jìn)行的比較流暢但是在定理證明的過程中暴露出了一個問題是我對證明過程的講解不能和學(xué)生進(jìn)行很好的互動，基本上是我一個人在自說自話，這個也是缺乏經(jīng)驗的體現(xiàn)。

這節(jié)課總的來說還可以，教學(xué)任務(wù)能夠完成，但是還有一些不足的地方需要引起我的注意，在以后授課的過程要不斷的改進(jìn)并在課后不斷的充實自己的知識面和在每節(jié)課后都要進(jìn)行反思，爭取早一天步入成功教師的行列。

第二篇：空間向量的運算反思

教學(xué)反思

本節(jié)課我講了選修2-1第二章《空間向量的運算》這一節(jié)，這是本章第二節(jié)的內(nèi)容，主要學(xué)習(xí)的是空間向量的加法、減法、數(shù)乘以及數(shù)量積的運算及應(yīng)用。根據(jù)大綱，要求學(xué)生能熟練應(yīng)用空間向量的運算解決簡單的立體幾何問題，這也是本節(jié)課的難點。突破難點的方法是讓學(xué)生會用已知向量表示相關(guān)向量，就是利用三角形法則或多邊形法則把未知向量表示出來，進(jìn)而再求兩個向量的數(shù)量積、夾角等。

本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計上，注重與學(xué)生已有知識的聯(lián)系，因為本節(jié)知識是向量由二維向三維的推廣，所以預(yù)習(xí)近平面向量的運算起了一定的作用，使學(xué)生體會知識的形成過程和數(shù)學(xué)中的類比學(xué)習(xí)方法。另外，多媒體演示和傳統(tǒng)板書教學(xué)有效結(jié)合，較好地輔助了教學(xué)。本節(jié)課的核心理念是體現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體性。但是我覺得自己在這方面做的不太理想，意圖是好的，可是沒有完全調(diào)動起學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)積極性，所在老師在課堂上又變成了主角，背離了新課程理念，這是我以后應(yīng)該注意的問題。在教學(xué)過程中，學(xué)生的思維活躍，積極討論問題，自主解決例題。

不足之處：在創(chuàng)設(shè)情境時，我用的是知識性引課，不夠引人入勝，要是能想出更好的引課方式，在一開始就抓住學(xué)生的眼球，調(diào)動起學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，應(yīng)該效果會更好。其次，在課堂中沒有充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，老師由引導(dǎo)者又漸漸變成了主導(dǎo)者。另外，難點突破應(yīng)該在兩個例題上，可是前邊耽誤了時間，導(dǎo)致重點地方?jīng)]有足夠的時間解決，沒達(dá)到最初的意圖。還有，在課堂上，如果時間充分，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、分析，總結(jié)問題的求解方法，更有助于他們掌握解決此類問題方法。

以上是我對《空間向量的運算》的教學(xué)反思，還有很多不足之處，懇請各位老師批評、指正。

2013年11月20日

第三篇：向量空間證明

向量空間證明解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當(dāng)?shù)狞c和直線方向建立空間直角坐標(biāo)系 中 2)若問題中沒有給出坐標(biāo)計算單位，可選擇合適的線段設(shè)置長度單位;3)計算有關(guān)點的坐標(biāo)值，求出相關(guān)向量的坐標(biāo);4)求解給定問題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量，分別與已知直線向量求數(shù)積，只要分別為零，即可說明結(jié)論。

證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉(zhuǎn)化為證明二個向量平行的問題，只要說明一個向量是另一向量的m(實數(shù))倍，即可 只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會從中悟出經(jīng)驗和方法 2 解：

因為x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z為任意實數(shù)

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數(shù)為2(不用寫為什么是2)步驟1 記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接著得到正弦定理 其他 步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。

第四篇：向量空間證明

向量空間證明

解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當(dāng)?shù)狞c和直線方向建立空間直角坐標(biāo)系中

2)若問題中沒有給出坐標(biāo)計算單位，可選擇合適的線段設(shè)置長度單位;

3)計算有關(guān)點的坐標(biāo)值，求出相關(guān)向量的坐標(biāo);

4)求解給定問題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量，分別與已知直線向量求數(shù)積，只要分別為零，即可說明結(jié)論。

證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉(zhuǎn)化為證明二個向量平行的問題，只要說明一個向量是另一向量的m(實數(shù))倍，即可

只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會從中悟出經(jīng)驗和方法

解：

因為x+y+z=0

x=-y-z

y=y+0*z

z=0*y+z

(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z

y,z為任意實數(shù)

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數(shù)為2(不用寫為什么是2)

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

設(shè)向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過A做AG‖DC交EF于p點

由三角形中位線定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質(zhì))

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設(shè)兩條中線AD,BE交與p點

連接Cp,取AB中點F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線，pF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問結(jié)論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以O(shè)A+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第五篇：空間向量復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)選修2—1空間向量 期末復(fù)習(xí)

（基本知識點與典型題舉例）

為右手直角坐標(biāo)系（立體幾何中建立的均為右手系）。

2、空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)運算：

一、空間向量的線性運算：

1、空間向量的概念：

空間向量的概念包括空間向量、相等向量、零向量、向量的長度（模）、共線向量等．

2、空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算：

平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則同樣適用于空間向量的加（減）法運算． 三個不共面的向量的和等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體的對角線所表示的向量．

3、加法和數(shù)乘運算滿足運算律：

①交換律，即a+b=b+a；②結(jié)合律，即(a(a+b)?c?a?(b+c)；

③分配律，即(???)a=?a+?a及?(a+b)??a??b（其中?，?均為實數(shù)）．

4、空間向量的基本定理：

（1）共線向量定理：對空間向量a，b(b?0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)?，使a=?b．（2）共面向量定理：如果空間向量a，b不共線，則向量c與向量a,b共面的充要條件是，存在惟一的一對實數(shù)x，y，使c=xa+yb。

推論：①空間一點?位于平面??C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使???????x???????y????C?；

②空間一點?位于平面??C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y或?qū)臻g任一定點?，有??????????????x???????y????C?；

③若四點?，?，?，C共面，則???????x???????y???????z????C?

? x?y?z?1?。

（3）空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組

x，y，z，使p=xa+yb+zc．其中{a，b，c}是空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量，該定理可簡述為：空間任一向量p都可以用一個基底{a，b，c}惟一線性表示（線性組合）。

5、兩個向量的數(shù)量積：

（1）兩個向量的數(shù)量積是a?

b=abcos?a，b?，數(shù)量積有如下性質(zhì)：①a?e=acos?a，e?（e為單位向量）；②a⊥b?a?b=0；③a?a=a

2；④a?b≤ab。

（2）數(shù)量積運算滿足運算律：①交換律，即a?b=b?a；②與數(shù)乘的結(jié)合律，即(?a)?

b=?(a?b)；③分配律，即(a+b)?c=a?c+b?c．

二、空間向量的直角坐標(biāo)運算：

1、空間直角坐標(biāo)系：

若一個基底的三個基向量是互相垂直的單位向量，叫單位正交基底，用{i，jk}表示；在空間

選定一點O和一個單位正交基底{i，jk}，可建立一個空間直角坐標(biāo)系O?xyz，作空間直角 坐標(biāo)系O?xyz時，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°；在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，稱這個坐標(biāo)系

（1）定義：給定空間直角坐標(biāo)系O－xyz和向量a，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組使a=a1i+a2j+a3k，則(a1，a2，a3)叫作向量a在空間的坐標(biāo)，記作a=(a1，a2，a對空間任一點A，存在惟一的???3)。

OA?

?xi+yj+zk，點Ａ的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，x，y，z 分別叫Ａ的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)。

（2）若A(x????

1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB?(x2?x1，y2?y1，z2?z1)；

（3）空間兩點的距離公式：

d???????

???

3、空間向量的直角坐標(biāo)運算律：已知a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則：a+b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)，a?b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)；

?a?(?a1，?a2，?a3)，a?b=(a1b1，a2b?

2，?a3b3)；

a∥b?a1??b1，a

2??bcos???a?b

ab2，a3a?,b???b3|a|?|b|?1?212a2b2?a3b3222?0；

空間兩個向量的夾角公式：

a1?a2?a3?b12?b2?b

3。

4、直線的方向向量與向量方程：

（1）位置向量：已知向量a，在空間固定一個基點O，作向量???OA?

?a，則點A在空間的位置被a

所

惟一確定，a稱為位置向量。

（2）方向向量與向量方程：給定一個定點???Ａ和一個向量a，再任給一個實數(shù)t，以A為起點作向量

AP?

?ta，則此方程為直線l上點P對應(yīng)的向量方程，向量a稱為直線l的方向向量。

5、平面的法向量：

（1）如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面?，則稱這個向量垂直于平面?

（記作a⊥?），向量a叫做平面?的法向量。法向量有兩個相反的方向。

三、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：

1、空間向量在位置關(guān)系證明中的具體應(yīng)用：

1）空間的線線、線面、面面垂直關(guān)系，都可以轉(zhuǎn)化為空間兩個向量的垂直問題來解決：①設(shè)a、b分別為直線a，b的一個方向向量，那么a⊥b?a⊥b?a?b=0；②設(shè)a、b分別為平面?，?的一個法向量，那么?⊥??a⊥b?a?b=0；③設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為b，那么l⊥??a∥b。

2）空間直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行，都可以用向量方法來研究：①設(shè)a、b是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為a、b，那么a∥b?a∥b；②直線與平面平行可轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量垂直，也可用共面向量定理來

證明線面平行問題；

③平面與平面平行可轉(zhuǎn)化為兩個平面的法向量平行。

2、空間向量在立體幾何的計算問題中的應(yīng)用：

1）空間角的計算：

①線線角：異面直線所成角轉(zhuǎn)化為兩條直線所在向量的夾角；

②線面角：直線AB與平面?所成角為，其中n是平面?的法向量；

③面面角：二面角的大小為，其中m，n是兩個半平面的法向量。2）距離的計算：

①點面距：設(shè)n是平面?的法向量，A??，則B到?的距離為；

②線線距：設(shè)n是兩條異面直線l1，l2的公垂線的向量，若A，B分別是在l1，l2上的任意一點，則l1，l2的距離為；

③線面距、面面距，與前面求法相同。

四、例題分析：

例

1、如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD

為正方形，PD=DC，E、F分別是AB，PB的中點.（1）求證：EF⊥CD；（2）在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.（3）求DB與平面DEF所成角的大小。

例

2、如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中

AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1，（1）求BF的長；（2）求點C到平面AEC1F的距離。

例

3、已知四棱錐P?ABCD的底面為直角梯形，AB//DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA?AD?D

1，AB?1，M是PB的中點。

（1）證明：面PAD?面PCD；（2）求AC與PB所成的角；

（3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

例

4、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD?底面ABCD，E是AB上

一點，PF?EC.已知PD?

2,CD?2,AE?

2, 求（Ⅰ）異面直線PD與EC的距離；（Ⅱ）二面角E?PC?D的大小。

例

2、如圖4，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，點E在棱AB上移動，問AE等于何值時，二面角D1?EC?D的大小為

π

4．19．（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 為正方形，PD=DC，E、F分別 是AB，PB的中點.（1）求證：EF⊥CD；

（2）在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.（3）求DB與平面DEF所成角的大小.19．以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AD=a，則

D(0?,?0?,?0)?,?A(a?,?0?,?0)，B(a?,a?,?0)?,C?

(0?,?a?,?0)?,E?

(a?,a

?,?0)?,F?(a2

2?,a2?,a2)?,P?(0?,?0?,a)

（1）??????a

a?2?,?0?,2??

?,?(0?,?a?,?0)?0?,?

∴EF

?DC?.（2）設(shè)G(x?,?0?,?z)，則G∈平面PAD.FG??

?aaa??

x?2?,??2?,?z?2??，????a?x?2,???a2?,?z?a?2???(a?,?0?,?0)?a??a?a?

x?2???0，則x?2； ???

?a?

x?2?,??a2?,?z?a?2???(0?,??a?,?a)?a2a2?a(z?2)?0，則z=0.∴G是坐標(biāo)為（a，0，0），即G為AD的中點.（3）（只理科做）設(shè)平面DEF的法向量為n?(x?,y?,z)?.??由??n??0?,?(x,?y,?z)???a,?a?,a?

??0?,?得??DE?0???222??n.???(x?,y,?z)?(a,?a,??0)?0?.?a

(x?y?z)?即??0?,?2取x=1，則y=-2，z=1, ???ax?a2

y?0?.∴ n=(1，-2，1).cos〈BD?,?n〉a3

?

2a?6

?

?, ∴DB與平面DEF所成角大小為

?2?arccos3

（即arcsin3

6）.19．如圖4，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，點E在棱AB上移動，問AE等于何值時，二面角D1?EC?D的大小為

π4

． 解：設(shè)AE?x，以D為原點，直線DA，DC，DD1所在直線

分別為

x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1，01)，D1(0，01)，E(1，x，0)A(1，0，0)C(0，2，0)． ∴???CE??(1，x?2，0)????D?1)，????DD?1C?(0，2，?1?(0，0，1)．

設(shè)平面D1EC的法向量為n?(a，b，c)，??????·D1C?0，?2b?c?0，?n

??由???? ?

a?b(x?2)?0，·CE?0???n

?????

又CC1?(0，0，3)，設(shè)CC1與n1的夾角為?，?????

CC1·n則cos??． 1?

CC1n

令b?1，∴c?2，a?2?x．

∴n?(2?x，1，2)．

?????n·DD1π依題意cos?．

??

4nDD1．

∴

x?2x?2∴AE?2．

????? ∴C到平面AEC1F的距離d?CC1cos??

20．如圖5所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB?4，BC?2，CC1?3，BE?1．

????

（1）求BF；

（2）求點C到平面AEC1F的距離．

解：（1）以D為原點，DAF，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，D(0，0，0)B(2，4，0)A(2，0，0)C(0，4，0)E(2，41)，C1(0，4，3)，設(shè)F(0，0，z)． ?????????

由AF?EC1，得(?2，0，z)?(?2，0，2)，∴z?2．

????∴F(0，0，2)BF?(?2，?4，2)．

????

∴BF?

?????·AE?0，?n1

（2）設(shè)n1為平面AEC1F的法向量，n1?(x，y，1)，由?????

·AF?0，??n1，?x?1

?4y?1?0，?得?∴?1

?2x?2?0．y??．???4