第一篇：平行線的性質(zhì)與判定綜合提高題（模版）

二、填空題

1．如圖，C島在A島的北偏東50o方向，C島在B島的北偏西40o方向，則從C島看A，B兩島的視角∠ACB

等于．

C

A

E 3題圖

B

D

2．如右上圖將兩張矩形紙片如圖所示擺放，使其中一張矩形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)恰好落在另一張矩形紙片的一條邊上，則∠1+∠2=_____________。

3．如下圖，已知直線AB//CD，直線EF與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，且有∠1=70°，則∠2=.4．如圖，已知∠C=100°，若增加一個(gè)條件，使得AB//CD，試寫出符合要求的一個(gè)條件：。

l3 3 P

l2l

1（第5題）

5．如圖，直線l1∥l2被直線l3所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°，則∠3=.三、(1)如圖，AB∥DE ∥ CF，你能找到∠BCE.∠B和 ∠E之間的關(guān)系嗎？

(2)如圖，AB∥DE，你能找到∠BCE.∠B和 ∠E 之間的關(guān)系嗎？(3)如圖，AB∥DE，你能找到∠1.∠2和 ∠3 ∠4之間的關(guān)系嗎？

(4)如圖，AB∥DE，你能找到∠1.∠2.∠3 ∠4.∠5.∠6 ∠7之間的關(guān)系嗎？B

A A B B

F

D DD

E EB

E

四、互助探索之旅

(1)如圖，MA1∥NA2，則∠A1＋∠A2＝________度.(2)如圖，MA1∥NA3，則∠A1＋∠A2＋∠A3＝________度.MA1 M

A

1A

2A

3N

A2N

(3)如圖10，MA1∥NA4，則∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝_______度.(4)如圖11，MA1∥NA5，則 ∠A1＋∠A2＋∠

A3＋∠A4＋∠A5＝_______度.M

A1

A2

M

A1

M

0A1

A2 A3

A3

A2 A3 A4 A5 A6

N

A

4N

A4 A

5N

An

(5)從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？如圖，MA1∥NAn，則∠A1＋∠A2＋∠A3＋……＋∠An＝

______度.五、達(dá)標(biāo)測試

1.推理填空.（基本題）⑴∵ ∠A=______(已知), ∴AC∥ED().⑵∵ ∠2=______(已知), ∴AC∥ED().⑶∵ ∠A+_____ =1800(已知), ∴AB∥FD().圖 X ⑷∵ ∠2+_____ =1800(已知), ∴AC∥DE().2.（中檔題）如圖15，已知AB∥CD，∠1?30，∠2?90，則∠3等于_______ 3.（能力挑戰(zhàn)題）

如圖，AB∥CD，∠A =110°∠C =60°那么∠P =______

?

?

北

P

AC

BD

5０Ｂ

圖1

5Ａ

南

4．如右上圖，在Ａ，Ｂ兩地之間要修一條筆直的公路，從Ｂ測得公路的走向是北偏東５０度，那么從Ａ點(diǎn)測得公路的走向是南偏西_______度。

5.一條公路兩次拐彎后和原來的方向相同,即拐彎前、?后的兩條路平行, 若第一次拐角是150°,則第二次拐角為________.6．如圖，用吸管吮吸易拉罐內(nèi)的飲料時(shí)，吸管與易拉罐上部夾角∠1＝74°，那么吸管與易拉罐下部夾角∠2＝______度．

六、開放性題目探究

1.已知：AB‖CD，要使∠B = ∠D，還需要補(bǔ)充一個(gè)什么條件？

O

B

A

C

E

2.已知① ∠B＋∠D＝ 180°

② AB‖CD ③ CD‖DE

將其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)做為由此得到的結(jié)論，你能寫出幾種情況？試一試。

第二篇：平行線性質(zhì)判定提高講義

【例題精講】

例1.如圖，AB∥CD，∠1=∠2，∠E=37°，求：∠F

例2.如圖，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA

例3．如圖，直線AD與AB、CD相交于A、D兩點(diǎn)，EC、BF與AB、CD相交于E、C、B、F，如果∠1=∠2，∠B=∠C．求證：∠A=∠D．

E F

D

例4.如圖９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求證：ED∥CF．

A

B

例5.已知，如圖，CD⊥AB，GF⊥AB，∠B=∠ADE，試說明∠1=∠2．

例6.如圖，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．證明：β=2α。

例7.如圖，AB∥EF，∠C=90°，則α、β、γ有何關(guān)系。

例8.如圖，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°。求征：AB∥EF．

例9.探究：

（1）如圖a，若AB∥CD，則∠B+∠D=∠E，你能說明為什么嗎？

（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直線AB與CD有什么位置關(guān)系？請證明；

（3）若將點(diǎn)E移至圖b所示位置，此時(shí)∠B、∠D、∠E之間有什么關(guān)系？請證明；（4）若將E點(diǎn)移至圖c所示位置，情況又如何？

（5）在圖d中，AB∥CD，∠E+∠G與∠B+∠F+∠D又有何關(guān)系？（6）在圖e中，若AB∥CD，又得到什么結(jié)論？

【跟蹤練習(xí)】

1.如圖，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求證：∠F =∠G．

2.如圖，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC＝65°，求∠BCD度數(shù)．

4．已知如圖?BHD??BACA

C F

D

E

5.若直線AB∥ED

第三篇：平行線及其判定與性質(zhì)練習(xí)題

?平行線及其判定

1、基礎(chǔ)知識(shí)

(1)在同一平面內(nèi)，______的兩條直線叫做平行線．若直線a與直線b平行，則記作______．(2)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有______、______．(3）平行公理是：。

(4)平行公理的推論是如果兩條直線都與______，那么這兩條直線也______．即三條直線a、b、c，若a∥b，b∥c，則______．

(5)兩條直線平行的條件(除平行線定義和平行公理推論外)：

①兩條直線被第三條直線所截，如果______，那么這兩條直線平行，這個(gè)判定方法1可簡述為：______，兩直線平行．

②兩條直線被第三條直線所截，如果__ _，那么，這個(gè)判定方法2可簡述為： ______，______． ③兩條直線被第三條直線所截，如果_ _____那么______，這個(gè)判定方法3可簡述為：

2、已知：如圖，請分別依據(jù)所給出的條件，判定相應(yīng)的哪兩條直線平行?并寫出推理的根據(jù)．(1)如果∠2＝∠3，那么____________.(____________，____________)(2)如果∠2＝∠5，那么____________.(____________，____________)(3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________.(____________，____________)(4)如果∠5＝∠3，那么____________.(____________，____________)(5)如果∠4＋∠6＝180°，那么____________.(____________，____________)(6)如果∠6＝∠3，那么____________.(____________，____________)

3、已知：如圖，請分別根據(jù)已知條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．(1)∵∠B＝∠3(已知)，∴______∥______.(______，______)(2)∵∠1＝∠D(已知)，∴______∥______.(______，______)(3)∵∠2＝∠A(已知)，∴______∥______.(______，______)(4)∵∠B＋∠BCE＝180°(已知)，∴______∥______.(______，______)

4、作圖：已知：三角形ABC及BC邊的中點(diǎn)D，過D點(diǎn)作DF∥CA交AB于M，再過D點(diǎn)作DE∥AB交AC于N點(diǎn)．

5、已知：如圖，∠1＝∠2，求證：AB∥CD．（嘗試用三種方法）

6、已知：如圖，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1＝∠2，試確定射線DF與AE的位置關(guān)系，并說明你的理由．(1)問題的結(jié)論：DF______AE．

(2)證明思路分析：欲證DF______AE，只要證∠3＝______．(3)證明過程：

證明：∵CD⊥DA，DA⊥AB，()∴∠CDA＝∠DAB＝______°．(垂直定義)又∠1＝∠2，()從而∠CDA－∠1＝______－______，(等式的性質(zhì))即∠3＝______.∴DF______AE．(___________，___________)

7、已知：如圖，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1＝∠3．求證：AB∥DC． 證明∵∠ABC＝∠ADC，11?ABC??ADC.2∴2()又∵BF、DE分別平分∠ABC與∠ADC，∴?1?11?ABC,?2??ADC.22()∵∠______＝∠______.()∵∠1＝∠3，()∴∠2＝______．()∴______∥______.()

8、已知：如圖，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，試確定直線a與直線c的位置關(guān)系，并說明你的理由．(1)問題的結(jié)論：a______c．

(2)證明思路分析：欲證a______c，只要證______∥______．(3)證明過程：

證明：∵∠1＝∠2，()∴a∥______，(_________，_________)① ∵∠3＋∠4＝180°

∴c∥______，(_________，_________)② 由①、②，因?yàn)閍∥______，c∥______，∴a______c.(_________，_________)

9、將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，下列結(jié)論：(1)∠1＝∠2；(2)∠3＝∠4；(3)∠2＋∠4＝90°；(4)∠4＋∠5＝180°其中正確的個(gè)數(shù)是（）(A)1(B)2(C)3(D)4

10、下列說法中，正確的是()．(A)不相交的兩條直線是平行線．

(B)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．

(C)從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到這條直線的距離．

(D)在同一平面內(nèi)，一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則與另一條也垂直．

11、如圖5，將一張長方形紙片的一角斜折過去，頂點(diǎn)A落在A′處，BC為折痕，再將BE翻折過去與BA′重合，BD為折痕，那么兩條折痕的夾角∠CBD＝ 度．

圖6

12、圖（6）是由五個(gè)同樣的三角形組成的圖案，三角形的三個(gè)角分別為36°、72°、72°，則圖中共有＿＿＿ 對平行線。

13、下列說法正確的是()（A）有且只有一條直線與已知直線垂直

（B）經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已經(jīng)直線垂直（C）連結(jié)兩點(diǎn)的線段叫做這兩點(diǎn)間的距離

（D）過點(diǎn)A作直線l的垂線段，則這條垂線段叫做點(diǎn)A到直線l的距離

14、同一平面內(nèi)的四條直線滿足a⊥b，b⊥c，c⊥d，則下列式子成立的是（）A．a(chǎn)∥b B．b⊥d C．a(chǎn)⊥d D．b∥c

?平行線的性質(zhì) 1．基礎(chǔ)知識(shí)

(1)平行線具有如下性質(zhì)

①性質(zhì)1：______被第三條直線所截，同位角______．這個(gè)性質(zhì)可簡述為兩直線______，同位角______． ②性質(zhì)2：兩條平行線______，______相等．這個(gè)性質(zhì)可簡述為____________，______． ③性質(zhì)3：____________，同旁內(nèi)角______．這個(gè)性質(zhì)可簡述為____________，______．

(2)同時(shí)______兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的____________叫做這兩條平行線的距離． 2．已知：如圖，請分別根據(jù)已知條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．(1)如果AB∥EF，那么∠2＝______，理由是_____________________________________.(2)如果AB∥DC，那么∠3＝______，理由是____________________________________.(3)如果AF∥BE，那么∠1＋∠2＝______，理由是_______________________________.(4)如果AF∥BE，∠4＝120°，那么∠5＝______，理由是________________________.3．已知：如圖，DE∥AB．請根據(jù)已知條件進(jìn)行推理，分別得出結(jié)論，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．(1)∵DE∥AB，()∴∠2＝______.(___________________)(2)∵DE∥AB，()∴∠3＝______.(___________________)(3)∵DE∥AB()，∴∠1＋______＝180°．(____________________)4．已知：如圖，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4． 解題思路分析：欲求∠4，需先證明______//______.解：∵∠1＝∠2，()∴______//______.(__________________)∴∠4＝_____＝_____°.(__________________)5．已知：如圖，∠1＋∠2＝180°，求證：∠3＝∠4． 證明思路分析：欲證∠3＝∠4，只要證______//______.證明：∵∠1＋∠2＝180°，()∴______//______.(_________________)∴∠3＝∠4．(_________，_________)6．已知：如圖，∠A＝∠C，求證：∠B＝∠D．

證明思路分析：欲證∠B＝∠D，只要證______//______.證明：∵∠A＝∠C，()∴______//______.(_________，_________)∴∠B＝∠D．(_________，_________)7．已知：如圖，AB∥CD，∠1＝∠B，求證：CD是∠BCE的平分線．

證明思路分析：欲證CD是∠BCE的平分線，只要證______//______.證明：∵AB∥CD，()∴∠2＝______.(_________，_________)但∠1＝∠B，()∴______＝______.(等量代換)即CD是____ ________.8．已知：如圖，AB∥CD，∠B＝35°，∠1＝75°，求∠A的度數(shù)． 解題思路分析：欲求∠A，只要求∠ACD的大?。?解：∵CD∥AB，∠B＝35°，()∴∠2＝∠______=______°(_________，_________)而∠1＝75°，∴∠ACD＝∠1＋∠2＝______。∵CD∥AB，()∴∠A＋______＝180°．(_________，_________)∴∠A＝______=______.9．已知：如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝50°．求∠D的度數(shù)． 分析：可利用∠DCE作為中間量過渡． 解：∵AB∥CD，∠B＝50°，()∴∠DCE＝∠______=______°(_________，_________)又∵AD∥BC，()∴∠D＝∠______=______°(_________，_________)想一想：如果以∠A作為中間量，如何求解? 解法2：∵AD∥BC，∠B＝50°，()∴∠A＋∠B＝______.(_________，_________)即∠A＝______-______=______°-______°=______.∵DC∥AB，()∴∠D＋∠A＝______.(_________，_________)即∠D＝______-______=______°-______°=______.10．已知：如圖，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度數(shù)． 解：過P點(diǎn)作PM∥AB交AC于點(diǎn)M． ∵AB∥CD，()∴∠BAC＋∠______＝180°()∵PM∥AB，∴∠1＝∠______，()且PM∥______。(平行于同一直線的兩直線也互相平行)∴∠3＝∠______。(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，()??1?11?______,?4??______?22()11?BAC??ACD?90?22()??1??4?∴∠APC＝∠2＋∠3＝∠1＋∠4＝90°()總結(jié)：兩直線平行時(shí)，同旁內(nèi)角的角平分線______。

11．已知：如圖，已知DE∥BC，∠D∶∠DBC＝2∶1，∠1＝∠2，求∠E的度數(shù)．

12．問題探究：(1)如果一個(gè)角的兩條邊與另一個(gè)角的兩條邊分別平行，那么這兩個(gè)角的大小有何關(guān)系?舉例說明．

(2)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角的大小有何關(guān)系?舉例說明．

13．已知：如圖，AB∥CD，試猜想∠A＋∠AEC＋∠C＝?為什么?說明理由．

14．如下圖，AB∥DE，那么∠BCD＝()．(A)∠2－∠1(B)∠1＋∠2(C)180°＋∠1－∠2(D)180°＋∠2－2∠1 15．如圖直線l1∥l2，AB⊥CD，∠1＝34°，那么∠2的度數(shù)是______．

（15題）（16題）

16．如圖，若AB∥CD，EF與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，EP與∠EFD的平分線相交于點(diǎn)P，且∠EFD＝60°，EP⊥FP，則∠BEP＝______度．

17．王強(qiáng)從A處沿北偏東60°的方向到達(dá)B處，又從B處沿南偏西25°的方向到達(dá)C處，則王強(qiáng)兩次行進(jìn)路線的夾角為______度．

18．已知：如圖，AE⊥BC于E，∠1＝∠2．求證：DC⊥BC．

19．如圖，AB∥CD，F(xiàn)G⊥CD于N，∠EMB＝，則∠EFG等于()．(A)180°－(B)90°＋(C)180°＋(D)270°－

20．已知：如圖，CD⊥AB于D，DE∥BC，EF⊥AB于F，求證：∠FED＝∠BCD．

21．以下五個(gè)條件中，能得到互相垂直關(guān)系的有()． ①對頂角的平分線 ②鄰補(bǔ)角的平分線 ③平行線截得的一組同位角的平分線 ④平行線截得的一組內(nèi)錯(cuò)角的平分線 ⑤平行線截得的一組同旁內(nèi)角的平分線(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(4)4個(gè)

22．如圖，AB∥CD，若EM平分∠BEF，F(xiàn)M平分∠EFD，EN平分∠AEF，則與∠BEM互余的角有()．(A)6個(gè)(B)5個(gè)

(C)4個(gè)(D)3個(gè)

23．把一張對邊互相平行的紙條折成如圖所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，則下列結(jié)論正確的有()．

(1)∠C′EF＝32°(2)∠AEC＝148°

(3)∠BGE＝64°(4)∠BFD＝116°(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)

24．如圖，AB∥CD，BC∥ED，則∠B＋∠D＝______．

25．如圖，DC∥EF∥AB，EH∥DB，則圖中與∠AHE相等的角有__________________.26．如圖，BA⊥FC于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作DE∥BC，若∠EAF＝125°，則∠B＝______.（24題）

（25題）

（26題）27．已知：如圖，AC∥BD，折線AMB夾在兩條平行線間．

圖1 圖2(1)判斷∠M，∠A，∠B的關(guān)系；

(2)請你嘗試改變問題中的某些條件，探索相應(yīng)的結(jié)論。建議：①折線中折線段數(shù)量增加到n條(n＝3，4……)②可如圖1，圖2，或M點(diǎn)在平行線外側(cè)．

28．已知：如圖，∠B＝∠C，AE∥BC，求證：AE平分∠CAD． 證明：

26．已知：如圖，AB∥DE，CM平分∠BCE，CN⊥CM．求證：∠B＝2∠DCN．

27．已知：如圖，∠FED＝∠AHD，∠HAQ＝15°，∠ACB＝70°，∠CAQ＝55．求證：BD∥GE∥AH．

28．已知：如圖，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，AF平分∠BAD，CE平分∠BCD．求證：AF∥EC．

29．已知：如圖，CD⊥AB于D，DE∥BC，∠1＝∠2．求證：FG⊥AB．

30．已知：如圖，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D．判斷BE與DE的位置關(guān)系并說明理由．

31．已知：如圖，△ABC．求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°．

第四篇：平行線的性質(zhì)和判定綜合練習(xí)

初一數(shù)學(xué)通用版平行線的性質(zhì)和判定綜合練習(xí)

（答題時(shí)間：60分鐘）

一、選擇題

1.點(diǎn)到直線的距離是指

A.從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線

B.從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段

C.從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線的長度

D.從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度

2.下圖中，用數(shù)字表示的?

1、?

2、?

3、?4各角中，錯(cuò)誤的判斷是

A.若將AC作為第三條直線，則?1和?3是同位角

B.若將AC作為第三條直線，則?2和?4是內(nèi)錯(cuò)角

C.若將BD作為第三條直線，則?2和?4是內(nèi)錯(cuò)角

D.若將CD作為第三條直線，則?3和?4是同旁內(nèi)角

3.如果角的兩邊有一邊在同一條直線上，另一邊互相平行，則這兩個(gè)角

A.相等B.互補(bǔ)

C.相等且互補(bǔ)D.相等或互補(bǔ)

4.下列說法中正確的是

A.在所有連結(jié)兩點(diǎn)的線中，直線最短

B.經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線

C.內(nèi)錯(cuò)角互補(bǔ)，則兩直線平行

D.如果一條直線和兩條直線中的一條垂直，那么這條直線也和另一條垂直

二、填空題

1.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，若∠1＝28°，則∠2＝_______。

2.已知直線AB∥CD，∠ABE?60，∠CDE?20，則∠BED?度。

??

3.如圖，已知AB∥CD，EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，∠1＝60°，則∠2＝______度。

4.如圖，直線MA∥NB，∠A＝70°，∠B＝40°，則∠P＝。

MN

P

AB

5.設(shè)a、b、c為平面上三條不同直線，（1）若a//b,b//c，則a與c的位置關(guān)系是_________；（2（若a?b,b?c，則a與c的位置關(guān)系是_________；（3）若a//b，b?c，則a與c的位置關(guān)系是________。6.如圖，填空：

⑴∵?1??A（已知）∴_____________（）⑵∵?2??B（已知）∴_____________（）⑶∵?1??D（已知）∴______________（）

三、解答題：

1.已知：如圖，?AOC與?BOD為對頂角，OE平分? AOC，OF平分? BOD。請說明：OE、OF互為反向延長線。

2.已知：如圖AB // CD，AD // BC。請說明：?A＝?C，?B＝?

D

3.已知；如圖AB∥ED請說明：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°。

初一數(shù)學(xué)通用版平行線的性質(zhì)和判定綜合練習(xí)參考答案

一、選擇題

1.D2.B3.D4.B

二、填空題 1.28°2.803.60°4.30°5.平行平行垂直 6.AB∥DE內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行AB∥DE同位角相等，兩直線平行AC∥DF內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

三、解答題

1.分析：要證OE、OF互為反向延長線，只要證明OE、OF在同一條直線上，也就是證明? EOF為180°即可。

解：∵?AOC與?BOD為對頂角（已知）∴ ? AOC＝?BOD（對頂角相等）∵ OE平分?AOC（已知）

∴ ?1＝?AOC（角平分線定義）

21同理?2＝?BOD

∴ ?1＝?2（等量的一半相等）∵ AB為直線（已知）

∴ ?AOF＋?2＝180°（平角定義）有?AOF＋?1＝180°（等量代換）即?EOF＝180°

∴OE、OF互為反向延長線。

說明：這是證明共線的常用方法。

2.分析：利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由已知條件可推出?A與?B互補(bǔ)，?C與?B互補(bǔ)，于是?A＝?C，同理可證?B＝?

D

解：

∵AB//CD ∴?C＋?B＝180°（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵AD //BC（已知）

∴?A＋?B ＝180°（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∴?A＝?C（同角的補(bǔ)角相等）

同理?B＝?D

3.分析一：欲求三個(gè)角的和為360°須將三個(gè)角的和分解出兩對平行線的同旁內(nèi)角，現(xiàn)只有一對平行線（這是已知條件），再添加一條直線即可構(gòu)造出兩對平行線。關(guān)鍵是這條線在哪里作更合適。再看求證三個(gè)角的三個(gè)頂點(diǎn)的位置，得到方法一：

解：方法一：過C點(diǎn)作

CF//AB

∵AB//ED（已知）∴FC//ED（平行于同一直線的兩直線平行）?B＋?BCF＝180°（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）?FCD ＋?D ＝180°（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∴?B＋?BCF＋∠FCD＋?D＝360°（等量加等量和相等）即?B＋?BCD＋?D＝360°

分析二：欲證三個(gè)角之和為360°，已知周角是360°，故須將這三個(gè)角轉(zhuǎn)化為周角。方法二：過C點(diǎn)作

CF // AB

∴?ABC ＝?BCF（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）∵ED//AB（已知）

∴ED//CF（平行于同一直線的兩直線平行）∴?EDC＝?DCF（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）∵?DCB＋?BCF ＋?FCD＝360°（周角定義）∴?DCB ＋?ABC＋?CDE＝360°（等量代換）即?BCD＋?B＋?D＝360°

分析三：欲證三個(gè)角之和為360°，若轉(zhuǎn)化為兩個(gè)鄰補(bǔ)角之和也是360°，這兩個(gè)鄰角要和三個(gè)角有緊密的聯(lián)系才能解決問題。

方法三：延長AB、ED，過C點(diǎn)作

CF//AB

∴?3＝?4（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB // ED（已知）

∴ED // CF（平行于同一直線的兩直線平行）∴?1＝?2（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵?1＋?EDC＝180°（平角定義）?4＋?ABC＝180°（平角定義）

∴?1＋?4＋?EDC＋?ABC＝360°（等量加等量和相等）?2＋?3＋?EDC＋?ABC＝360°（等量代換）即?DCB＋?D＋?B＝360°

說明：一題多解可以很好地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維能力，同學(xué)們在做題過程中應(yīng)主動(dòng)訓(xùn)練自己一題多解的能力。

第五篇：平行線的判定和性質(zhì)(綜合篇)

北 京 四 中

編 稿：史衛(wèi)紅

審 稿：張 楊

責(zé) 編：姚一民

平行線的判定和性質(zhì)（綜合篇）

一、重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：平行線的判定性質(zhì)。

難點(diǎn)：①平行線的性質(zhì)與平行線的判定的區(qū)分 ②掌握推理論證的格式。

二、例題：

這部分內(nèi)容所涉及的題目主要是從已知圖形中辨認(rèn)出對頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角。解答這類題目的前提是熟練地掌握這些角的概念，關(guān)鍵是把握住這些角的基本圖形特征，有時(shí)還需添加必要的輔助線，用以突出基本圖形的特征。

上述類型題目大致可分為兩大類。

一類題目是判斷兩個(gè)角相等或互補(bǔ)及與之有關(guān)的一些角的運(yùn)算問題。其方法是“由線定角”，即運(yùn)用平行線的性質(zhì)來推出兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

另一類題目主要是“由角定線”，也就是根據(jù)某些角的相等或互補(bǔ)關(guān)系來判斷兩直線平行，解此類題目必須要掌握好平行線的判定方法。

例1．如圖，已知直線a,b,c被直線d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求證：∠1=∠7

分析：運(yùn)用綜合法，證明此題的思路是由已知角的關(guān)系推證出兩直線平行，然后再由兩直線平行解決其它角的關(guān)系。∠1與∠7是直線a和c被d所截得的同位角。須證a//c。

法

（一）證明：∵d是直線（已知）

∴∠1+∠4=180°（平角定義）

∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠3=∠4（等角的補(bǔ)角相等）

∴a//c（同位角相等，兩直線平行）

∴∠1=∠7（兩直線平行，同位角相等）

法

（二）證明：∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠1+∠3=180°（等量代換）

∵∠5=∠1，∠6=∠3（對頂角相等）

∴∠5+∠6=180°（等量代換）

∴a//c（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

∴∠1=∠7（兩直線平行，同位角相等）。

例2．已知如圖，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求證：BC平分∠DBE。

分析：只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC，從而推出AE//FC，從而推出∠C=∠EBC而

∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。因此又可得AD//BC，最后再運(yùn)用平行線性質(zhì)和已知條件便可推出∠EBC=∠DBC。

證明：∵∠2+∠BDC=180°（平角定義）

又∵∠2+∠1=180°（已知）

∴∠BDC=∠1（同角的補(bǔ)角相等）

∴AE//FC（同位角相等兩直線平行）

∴∠EBC=∠C（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）

又∵∠A=∠C（已知）

∴∠EBC=∠A（等量代換）

∴AD//BC（同位角相等，兩直線平行）

∴∠ADB=∠CBD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∠ADF=∠C（兩直線平行，同位角相等）

又∵DA平分∠BDF（已知）

∴∠ADB=∠ADF（角平分線定義）

∴∠EBC=∠DBC（等量代換）

∴BC平分∠DBE（角平分線定義）

說明：這道題反復(fù)應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)，這是以后在證題過程中經(jīng)常使用的方法，見到“平行”應(yīng)想到有關(guān)的角相等，見到有關(guān)的角相等，就應(yīng)想到能否判斷直線間的平行關(guān)系。

把平行線的判定與性質(zhì)緊密地結(jié)合在一起也就是使直線平行和角相等聯(lián)系在一起，這樣解題能得心應(yīng)手，靈活自如。

三、小結(jié)：證明角相等的基本方法

1、第一章、第二章中已學(xué)過的關(guān)于兩個(gè)角相等的命題：

（1）同角（或等角）的余角相等；

（2）同角（或等角）的補(bǔ)角相等；

（3）對頂角相等；

（4）兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

以上四個(gè)命題是我們目前論證兩個(gè)角相等的武器，但是何時(shí)用這些武器，用什么武器，怎樣使用，這是遇到的一個(gè)具體問題，需要認(rèn)真進(jìn)行分析。首先必須分析，在題設(shè)中給出了哪些條件，與其相關(guān)的圖形是什么！其次再分析一下要證明的兩個(gè)角在圖形的具體位置，與已知條件有什么關(guān)聯(lián)，怎樣運(yùn)用一次推理或幾個(gè)一次推理的組合而來完成題設(shè)到結(jié)論的過渡。

例3，如圖∠1=∠2=∠C，求證∠B=∠C。

分析：題設(shè)中給出三個(gè)相等的角，其中∠2和∠C是直線DE和BC被AC所截構(gòu)成的同位角，由∠2=∠C則DE//BC。再看題中要證明的結(jié)論是∠B=∠C，由于∠C=∠1，所以只要證明∠1=∠B，而∠1與∠B是兩條平行直線DE，BC被直線AB所截構(gòu)成的同位角，∠1=∠B是很顯然的，這樣我們就理順了從已知到求證的途徑：

證明：∵∠2=∠C（已知），∴DE//BC（同位角相等，兩直線平行），∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），又∵∠1=∠C（已知），∴∠B=∠C（等量代換）。

例

4、已知如圖，AB//CD，AD//BC，求證：∠A=∠C，∠B=∠D。

分析：要證明∠A=∠C，∠B=∠D，從這四個(gè)角在圖中的位置來看，每一組既不構(gòu)成同位角，也不是內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，由此不可能利用題設(shè)中的平行關(guān)系，經(jīng)過一次推理得到結(jié)論，仍然如同例10一樣通過等角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從題設(shè)條件出發(fā)，由AB//CD，且AB與CD被直線BC所截，構(gòu)成了一對同旁內(nèi)角，∠B、∠C，因此∠B+∠C=180o，同時(shí)∠B又是另一對平行線AD、BC被直線AB所截，構(gòu)成的一對同旁內(nèi)角∠B、∠A，∠B+∠A=180o，通過∠B的中介，就可以證明得∠A=∠C。同理，也可得到∠B=∠D，整個(gè)思路為：

證明：AD//BC（已知），∴∠A+∠B=180o（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵AB//CD（已知），∴∠B+∠C=180o（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴∠A=∠C（同角的補(bǔ)角相等），同理可證∠B=∠D。

例

5、已知如圖，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3，求證：∠1=∠2。

分析：要證明∠1=∠2，而從圖中所示的∠1和∠2的位置來看，根據(jù)題設(shè)或?qū)W過的定義、公理、定理無法直接證明這兩個(gè)角相等，因我們可將視野再拓廣一下，尋找一下∠

1、∠2與周邊各角的關(guān)系，我們看到直線AD與GE被直線AE所截，形成同位角∠

1、∠E；被AB所截，形成內(nèi)錯(cuò)角∠

2、∠3；而題設(shè)明確告訴我們∠3=∠E，于是目標(biāo)集中到證明AD//GE，根據(jù)題設(shè)中AD⊥BC，EG⊥BC，我們很容易辦到這一點(diǎn)，總結(jié)一下思路，就可以得到以下推理程序：

證明：∵ AD⊥BC于D（已知），∴∠ADC=90o（垂直定義），∵EG⊥BC于G（已知），∴∠EGD=90o（垂直定義），∴∠ADC=∠EGD（等量代換），∴EG//AD（同位角相等，兩直線平行），∴∠1=∠E（兩直線平行同位角相等），∠2=∠3（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵∠E=∠3（已知），∴∠1=∠2（等量代換）。

四、兩條直線位置關(guān)系的論證。

兩條直線位置關(guān)系的論證包括：證明兩條直線平行，證明兩條直線垂直，證明三點(diǎn)在同一直線上。

1、學(xué)過證明兩條直線平行的方法有兩大類

（一）利用角；

（1）同位角相等，兩條直線平行；

（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行；

（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行。

（二）利用直線間位置關(guān)系：

（1）平行于同一條直線的兩條直線平行；

*（2）垂直于同一條直線的兩條直線平行。

例

6、如圖，已知BE//CF，∠1=∠2，求證：AB//CD。

分析：要證明AB//CD，由圖中角的位置可看出AB與CD被BC所截得一對內(nèi)錯(cuò)角∠ABC和∠DCB，只要證明這對內(nèi)錯(cuò)角相等，而圖中的直線位置關(guān)系顯示，∠ABC=∠1+∠EBC，∠BCD=∠2+∠FCB，條件中又已知∠1=∠2，于是只要證明∠EBC=∠BCF。

證明：∵ BE//CF（已知），∴∠EBC=∠FCB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵∠1=∠2（已知），∴∠1+∠EBC=∠2+FCB（等量加等量其和相等），即∠ABC=∠BCD（等式性質(zhì)），∴AB//CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。

例

7、如圖CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求證：DG//BC。

分析：要證明DG//BC，只需證明∠1=∠DCB，由于∠1=∠2，只需證明∠2=∠DCB，∠2與∠DCB又是同位角，只需證明CD//EF。根據(jù)題設(shè)CD⊥AB，EF⊥AB，CD//EF，很容易證得，這樣整個(gè)推理過程分成三個(gè)層次。

（1）（平行線的判定）

（2）CD//EF∠2=∠DCB（平行線的性質(zhì)）

（3）∠1=∠DCBDG//BC（平行線判定）

在這三個(gè)推理的環(huán)節(jié)中，平行線的判定和性質(zhì)交替使用，層次分明。

證明：∵CD⊥AB于D（已知），∴∠CDB=90o（垂直定義），∵EF⊥AB于F（已知），∴∠EFB=90o（垂直定義），∴∠CDB=∠EFB（等量代換），∴CD//EF（同位角相等，兩直線平行），∴∠2=∠DCB（兩直線平行，同位角相等）

又∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠DCB（等量代換），∴DG//BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。

說明：從以上幾例我們可以發(fā)現(xiàn)，證明兩條直線平行，必須緊扣兩直線平行的條件，往往歸結(jié)于求證有關(guān)兩個(gè)角相等，根據(jù)圖形找出兩直線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，設(shè)法證明這一組同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)。而證明兩角相等，又經(jīng)常歸于證明兩直線平行。因此，交替使用平行線的判定方法和平行線的性質(zhì)就成為證明兩直線平行的常用思路。

2、已經(jīng)學(xué)過的證明兩直線垂直的方法有如下二個(gè)：

（1）兩直線垂直的定義

（2）一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直。（即證明兩條直線的夾角等于90o而得到。）

例

8、如圖，已知EF⊥AB，∠3=∠B，∠1=∠2，求證：CD⊥AB。

分析：這是一個(gè)與例14同樣結(jié)構(gòu)的圖形，但證明的目標(biāo)卻是兩條直線垂直。證明CD⊥AB，根據(jù)“一條直線垂直于兩條平行線中的一條，必垂直于另一條?！庇钟捎谝阎獥l件EF⊥AB，只要證明EF//CD，要證EF//CD，結(jié)合圖形，只要證明∠2=∠DCB，因?yàn)椤?=∠2，只需證明∠DCB=∠1，而∠DCB與∠1是一對內(nèi)錯(cuò)角，因而根據(jù)平行線的性質(zhì)，就需證明DG//BC，要證明DG//BC根據(jù)平行線的判定方法只需證明∠3=∠B，而這正是題設(shè)給出的條件，整個(gè)推理過程經(jīng)過以下幾個(gè)層次：

∠3=∠BDG//BC∠DCB=∠2

（1）平行線判定

（2）平行線性質(zhì)

CD⊥AB

（3）平行線判定性質(zhì)（4）垂直定義

證明：∵∠3=∠B（已知），∴DG//BC（同位角相等，兩直線平行）

∴∠1=∠DCB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠1=∠2（已知），∴∠DCB=∠2（等量代換），∴DC//EF（同位角相等，兩直線平行），有括號(hào)部分的五步也可以用以下證法：

接DC//EF（同位角相等，兩直線平行），又∵EF⊥AB（已知），∴CD⊥AB（一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直。）

3、已經(jīng)學(xué)過的證明三點(diǎn)共線的方法在前面的幾講中已分析過，若證明E、O、F三點(diǎn)共線，通常采用

∠EOF=180o，利用平角的定義完成三點(diǎn)共線證明。此方法不再舉例。

五、一題多解。

例

9、已知如圖，∠BED=∠B+∠D。求證：AB//CD。

法

（一）分析：要證明AB//CD，從題設(shè)中條件和圖形出發(fā)考慮，圖形中既不存在“三線八角”，又不存在與AB、CD同時(shí)平行的第三條直線或與AB、CD同時(shí)垂直的直線，這樣就無法利用平行線公理的推理或平行線的判定方法來證明兩條直線平行。能不能為此創(chuàng)造條件呢？如果我們能夠在圖中添置一條直線，使這條直線和AB、CD中的一條平行，那么我們就有可能證明它也平行于另一條，從而得到AB//CD。根據(jù)平行公理，經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，所以這樣的直線是存在的。接下來的問題是：過哪一點(diǎn)作這條平行線，考慮題設(shè)中的已知條件，三個(gè)角的關(guān)系圍繞著E點(diǎn)展開的，因而選擇E點(diǎn)作AB的平行線是較為理想的位置。

證明：過點(diǎn)E作EF//AB，∴∠B=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠BED=∠1+∠2（全量等于部分之和），∴∠2=∠BED-∠1（等式性質(zhì)），又∵∠BED=∠B+∠D（已知），∴∠D=∠BED-∠B（等式性質(zhì)）

∴∠2=∠D（等量代換）

∴EF//CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∵EF//AB（作圖），∴AB//CD（平行于同一直線的兩直線平行）。

說明：在光憑題設(shè)條件無法直接證得結(jié)論時(shí)，在圖中添置新的線，以構(gòu)成一個(gè)條件充分的圖形，從而得出所求證的結(jié)論，像這樣添置的線叫做輔助線，在畫圖時(shí)，輔助線用虛線畫出。

法

（二）分析：如果在E點(diǎn)的另一側(cè)添置AB的平行線（如圖），同樣可以憑此證得結(jié)論，但是由于所取的角的位置不同，推理的依據(jù)過程也有所不同。

證明：過點(diǎn)E作EF//AB（如圖），∴∠B+∠1=180o（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵∠1+∠2+∠BED=360o（周角定義），∠BED=∠B+∠D（已知），∴∠B+∠D+∠1+∠2=360o（等量代換），∴∠D+∠2=360o-（∠B+∠1）（等式性質(zhì)）

=360o-180o（等量代換）

=180o

∴EF//CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），∵EF//AB（作圖），∴AB//CD（平行于同一直線的兩條直線平行）。

注意：在添置輔助線EF時(shí)，只能過E點(diǎn)作直線EF平行于直線AB、CD中的一條，而不能同時(shí)平行于AB和CD。

從另一個(gè)方面考慮這個(gè)命題，仍然是這個(gè)圖形如果我們交換題設(shè)和結(jié)論部分：即已知AB//CD，能否得到∠BED=∠B+∠D的結(jié)論，仍然像例16法

（一）那樣添置AB的平行線EF，可得到∠B=∠BEF，又由于AB//CD，則EF//CD。于是又有∠D=∠DEF，很顯然∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠BED?？芍?，交換原命題的題設(shè)和結(jié)論部分，仍然得到一個(gè)真命題。

北 京 四 中

池塘中的水浮蓮

有一種水生植物水浮蓮，生長速度很快，每晝夜能長一個(gè)新的水浮蓮。就是說，一晝夜能一變二，兩晝夜后，就成4棵，這樣一天一天地增多。有一個(gè)小的池塘，放進(jìn)1棵水浮蓮，20天后，就長滿了整個(gè)池塘。如果開始時(shí)放進(jìn)2棵水浮蓮，幾天可以長滿池塘？是10天嗎？

想一想，你會(huì)得出正確答案的！

答案：19天．因?yàn)樗∩彽姆敝乘俣仁墙?jīng)過一天，就一變二，放進(jìn)1棵，第二天就變成了2棵。現(xiàn)在第一天放進(jìn)2棵，就相當(dāng)于放1棵經(jīng)過一晝夜繁殖后池塘中的棵數(shù)。經(jīng)過19天后，池溏也同樣滿了。放進(jìn)1棵到池塘，其生長狀況是：1，2，4，8，16，32，64，…，放進(jìn)2棵后的生長狀況是2，4，8，16，32，64，128，…，從比較可以看出，放進(jìn)2棵，只相當(dāng)于提早了一天。

北 京 四 中

平行線的性質(zhì)

考點(diǎn)掃描:

會(huì)用一直線截兩平行線所得的同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)等性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算．

名師精講:

平行線的性質(zhì)是指在兩條直線平行的前提條件下，能夠得到的與圖形有關(guān)的位置及數(shù)量關(guān)系．平行線的性質(zhì)有：

（1）平行線永遠(yuǎn)不相交（定義）；

（2）兩直線平行，同位角相等（性質(zhì)公理）；

（3）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（性質(zhì)定理1）；

（4）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（性質(zhì)定理2）．

平行線的判定和平行線的性質(zhì)不能混淆，應(yīng)分清定理（或公理）的條件結(jié)論：

（1）判定定理說的是滿足了什么條件（性質(zhì)）的兩條直線是互相平行的．

（2）性質(zhì)定理說的是如果兩條直線平行，它具有什么性質(zhì)．

由此可見，判定定理與性質(zhì)定理是因果關(guān)系倒置的兩類定理（稱為“互逆”定理）．

中考典例:

1．（北京海淀區(qū)）已知：如圖，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝110°，則∠ECD的度數(shù)等于（）

A、110°

B、70°

C、55°

D、35°

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)，角平分線

評(píng)析：因?yàn)椤螦與∠ACD是同旁內(nèi)角，又AB∥CD，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可知

∠A+∠ACD=180°．當(dāng)∠A＝110°時(shí)，∠ACD=70°．又CE平分∠ACD，所以∠ACE=∠ECD=∠ACD=35°，故應(yīng)選D．

2．（福建福州）如圖，已知：l1//l2，∠1=100°，則∠2=

．

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

評(píng)析：∠1與∠3是同位角，根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”的性質(zhì)：可知∠1=∠3=100°．又∠2與∠3是鄰補(bǔ)角，所以∠2=180°–100°=80°

真題專練:

1．（山西?。┤鐖D，直線a、b被直線c所截，且a//b，若∠1=118°，則∠2的度數(shù)為_________．

⑴

2．（龍巖市）如圖AB∥CD，若∠ACD=69°，則∠CAB= __________

3．（蘇州市）如圖AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，ED平分∠BEF, 若∠1=72°，則∠2=_______

（3）

4．（仙桃市）如圖直線L1∥L2、L3分別與L1，L2相交,則∠1與∠2的關(guān)系為（）

（4）

A、∠1=∠B、∠1+∠2=180°

C、∠1+∠2=90°

D、∠1+∠2=360°

5．（鎮(zhèn)江市）如圖l1∥l2, ∠α是∠β的2倍, 則∠α等于（）

A：60°

B：90°

C：120°

D：150°

6．（臨沂市）如圖AB∥CD，那么∠1+∠2+∠3=（）

A、180°

B、360°

C、540°

D、720°

7．（呼和浩特市）如圖DE∥BC，EF∥AB，圖中與∠BFE互補(bǔ)的角共有（A、3個(gè)

B、2個(gè)

C、5個(gè)

D、4個(gè)

答案： 1、62°2、111°3、54°

4、B5、C）

6、B（提示：過E作EF∥AB（或連結(jié)AC）

利用平行線間的同旁內(nèi)角互補(bǔ)可知∠1+∠AEF=180°∠3+∠CEF=180°

∴∠1+∠2+∠3=360°；

7、D（提示：圖中∠

1、∠

2、∠

3、∠4都與∠BFE互補(bǔ)）．