第一篇：第四節(jié) 利用空間向量求二面角及證明面面垂直

第四節(jié) 利用空間向量求二面角及證明面面垂直一、二面角

二面角??l??，若?的一個(gè)法向量為m，?的一個(gè)法向量為n，則cos?,??，二面角的大小為?m,n?或???m,n?

例1．如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1中，E為BB1的中點(diǎn)，AA1?A1B1，求平面A1EC與平面A1B1C1所成銳角的大小。

例2．（05年全國(guó)）如圖，在四棱錐V-ABCD

VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（1）證明AB⊥平面VAD；

（2）求面VAD與面VBD所成的二面角的大?。?/p>

練習(xí)：如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體 ABCD?A1B1C1D1中，E是CC1的中點(diǎn)，求二面角B?B

1E?D的余弦值。

2二．證面面垂直

若平面?的一個(gè)法向量為，平面?的一個(gè)法向量為，且?，則???。

例3．在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD是正三角形，且與底面ABCD垂直，已知底面是面積為23的菱形，?ADC?600，M是PB的中點(diǎn)。

（1）求證：PA?CD

（2）求二面角P?AB?D的度數(shù)；（3）求證：平面PAB?平面CDM。

練習(xí)：（04年遼寧）已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，?DAB?60?,PD?平面ABCD，PD=AD，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為 PD的中點(diǎn)。

（1）證明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值.作業(yè)：

1．（04年廣東）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB?4,AD?3,AA1?2,E,F分別是線段AB,BC上的點(diǎn)，且EB?FB?1。（Ⅰ）求二面角C-DE-C1的正切值；

（Ⅱ）求直線EC1與FD1所成角的余弦值。

32．（05年全國(guó)）已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA=AD=DC=

AB=1，M是PB的中點(diǎn)。2

（1）證明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC與PB所成的角；

（3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

3．已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱PA?底面ABCD，PA＝2，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，MQ?PD于Q

（1）求證：平面PMN?平面PAD；

（2）求PM與平面PCD所成角的正弦值；（3）求二面角P?MN?Q的余弦值。

4．（06年全國(guó)）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分別為BB1、AC1的中點(diǎn)．

（1）證明：ED為異面直線BB1與AC1的公垂線；（2）設(shè)AA1＝AC＝2AB，求二面角A1－AD－C1的大?。?/p>

C

B1 D

E

C

A

B

5．（04年浙江）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互

相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)。

（1）求證：AM//平面BDE；（2）求二面角A?DF?B的大?。?/p>

（3）試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與BC所成的角是60?。

6．（05年湖南）如圖1，已知ABCD是上．下底邊長(zhǎng)分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OO1折成直二面角，如圖2.（1）證明：AC⊥BO1；

（2）求二面角O-AC-O1的大小。

7．（06年山東）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為 等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn) P在底面上的射影恰為點(diǎn)O，又BO=2,PO=,PB⊥PD.(1)求異面直線PD與BC所成角的余弦值；(2)求二面角P-AB-C的大??；(3)設(shè)點(diǎn)M在棱PC上，且PC⊥平面BMD.15

PM

??,問(wèn)?為何值時(shí)，MC

第二篇：線面垂直面面垂直及二面角專題練習(xí)

線面垂直專題練習(xí)

一、定理填空：

1.直線和平面垂直

如果一條直線和，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直.2.線面垂直判定定理和性質(zhì)定理 線面垂直判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.判定定理1：如果兩條平行線中的一條于一個(gè)平面，那么判定定理2：一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么.性質(zhì)定理3：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線.二、精選習(xí)題：

1.設(shè)M表示平面，a、b表示直線，給出下列四個(gè)命題：

①a//b?a?M?a?M?a//M???b∥M④??b?M②??a//b③??b⊥M.a?b?a?M?b?M?a?b?

其中正確的命題是()

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn).現(xiàn)在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P.那么，在四面體P—DEF中，必有()

第3題圖

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

3.設(shè)a、b是異面直線，下列命題正確的是()

A.過(guò)不在a、b上的一點(diǎn)P一定可以作一條直線和a、b都相交

B.過(guò)不在a、b上的一點(diǎn)P一定可以作一個(gè)平面和a、b都垂直

C.過(guò)a一定可以作一個(gè)平面與b垂直

D.過(guò)a一定可以作一個(gè)平面與b平行

4.如果直線l,m與平面α,β,γ滿足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有()

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

5.有三個(gè)命題：

①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；

②過(guò)平面α的一條斜線l有且僅有一個(gè)平面與α垂直；

③異面直線a、b不垂直，那么過(guò)a的任一個(gè)平面與b都不垂直

其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.36.設(shè)l、m為直線，α為平面，且l⊥α，給出下列命題

① 若m⊥α，則m∥l；②若m⊥l，則m∥α；③若m∥α，則m⊥l；④若m∥l，則m⊥α，其中真命題的序號(hào)是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

7.如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH⊥側(cè)面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC邊上的高.求證:VC⊥AB;

8.如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中點(diǎn)，求證：AB1⊥A1M．

10.如圖所示，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a，M是AD的中點(diǎn)，N是BD′上一點(diǎn)，且D′N∶NB＝1∶2，MC與BD交于P.(1)求證：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC與平面CC′D′D所成的角.面面垂直專題練習(xí)

一、定理填空

面面垂直的判定定理：

二、精選習(xí)題

1、正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角后，AB與CD所成的角等于

2、三棱錐P?ABC的三條側(cè)棱相等，則點(diǎn)P在平面ABC上的射影是△ABC的____心.3、一條直線與兩個(gè)平面所成角相等，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系為______________

4、在正三棱錐中，相鄰兩面所成二面角的取值范圍為___________________

5、已知??l??是直二面角，A??,B??,A、B?l，設(shè)直線AB與?成30角，AB=2，B

?

到A在l上的射影N，則AB與?所成角為______________.6、在直二面角??AB??棱AB上取一點(diǎn)P，過(guò)P分別在?,?平面內(nèi)作與棱成 45°角的斜線PC、PD，則∠CPD的大小是_____________

7、正四面體中相鄰兩側(cè)面所成的二面角的余弦值為___________________.二、解答題：

8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中.求證：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1D

B1

C1

C

A

B10、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求證：平面PAC⊥平面PBC．

BAC11、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．問(wèn)△ABC是否為直角三角形，若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)舉出反例．

BA

C

二面角練習(xí)1210

1.正方體ABCD－A1B1C1D1中,二面角A－BD1－C的大小是（）A.5?2???B.C.D.632

32.邊長(zhǎng)為a的正三角形中，AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B－AD－C后，BC=

a，這時(shí)二

2面角B－AD－C的大小為（）A.30°B.45°C.60°D.90°

3.以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高為折痕，將△ABC折起，若折起后的三角形ABC為等邊三角形，則二面角C－AD－B的大小為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

4在空間四邊形ABCD中，AB=CB，AD=CD，E、F、G分別 是AC、AD、CA的中點(diǎn)。求證：平面BEF

^平面BEG。

性質(zhì)定理：若兩個(gè)平面互相垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.。

二面角的基本求法

(1)定義法：在棱上取點(diǎn)，直。

9．SA^平面ABC，AB^BC，SA=AB=BC，（1）求證：SB^BC；（2）求二面角S-BC-A和C-SA-B的大??；

（3）求異面直線SC與AB所成角的余弦值。

10.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求（1）二面角A-B1C-A1的大??；（2）平面A1DC1與平面ADD1A1所成角的正切值。

11.正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P是AD的中點(diǎn)，求二面角A-BD1-P的大小。

(2)．三垂線法

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平垂直。

12．平面ABCD^平面ABEF，ABCD是 矩形且AF=

AD=a，G是EF2

A

平面AGC^平面BGC；（2）求GBB

角的正弦值；

（3）求二面角B-AC-G的大小。

13．點(diǎn)P在平面ABC外，?ABC是等腰直角三角形，?ABC

（1）求證：平面PAB^平面APA^BC。?PAB是正三角形，（2）求二面角P-AC-B的大小。

（3）．垂面法

14.將一副三角板如圖拼接，并沿BC折起成直二面角，設(shè)AB=AC=a, ∠BAC=∠DCB=90°,∠DBC=30°,求二面角B－AD－C的大小 及二面角C－AB－D的正切值。

C

第三篇：如何證明面面垂直

如何證明面面垂直

設(shè)p是三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，p到A,B,C三點(diǎn)的距離相等,角BAC為直角，求證：平面pCB垂直平面ABC

過(guò)p作pQ⊥面ABC于Q，則Q為p在面ABC的投影，因?yàn)閜到A，B，C的距離相等，所以有QA=QB=QC，即Q為三角形ABC的中心，因?yàn)榻荁AC為直，所以Q在線段BC上，所以在面pCB上有線段pQ⊥平面ABC，故平面pCB⊥平面ABC

2證明一個(gè)面上的一條線垂直另一個(gè)面;首先可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)平面的垂線在另一個(gè)平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個(gè)平面

然后轉(zhuǎn)化成一條直線垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運(yùn)用兩個(gè)面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無(wú)公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。

第四篇：怎么證明面面垂直

怎么證明面面垂直證明一個(gè)面上的一條線垂直另一個(gè)面;首先可以轉(zhuǎn)化成 一個(gè)平面的垂線在另一個(gè)平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個(gè)平面 然后轉(zhuǎn)化成

一條直線垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線 也可以運(yùn)用兩個(gè)面的法向量互相垂直。這是解析幾何的方法。

證:連接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD為正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD內(nèi)的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC屬于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法 兩條直線的方向向量數(shù)量積為0 2斜率 兩條直線斜率積為-1 3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊 4三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理 如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無(wú)公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。

第五篇：面面垂直證明例題

數(shù)學(xué)面面垂直例題

例4答案：

例8答案：取AC的中點(diǎn)為O，連接OP、OB。AO=OC,PA=PC,故PO垂直

AC