第一篇：初二幾何證明經(jīng)典難題

初二幾何證明經(jīng)典難題

1、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，∠PAD＝∠PDA＝150．

A求證：△PBC是正三角形．

B

如下圖做△DGC使與△ADP全等，可得△PDG為等邊△，從而可得

△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150

所以∠DCP=300，從而得出△PBC是正三角形

D C2、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交MN于E、F． 求證：∠DEN＝∠F．

B

如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q，連接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，從而得出∠DEN＝∠F。

1、如圖，分別以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．

求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半．

F

3.過E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG，CI，F(xiàn)H?？傻肞Q=

AI+BIAB

=，從而得證。

2EG+FH

。2

由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。從而可得PQ=、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F． 求證：CE＝CF．

順時針旋轉(zhuǎn)△ADE，到△ABG，連接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350

從而可得B，G，D在一條直線上，可得△AGB≌△CGB。推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC為等邊三角形?！螦GB=300，既得∠EAC=300，從而可得∠A EC=750。又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可證：CE=CF。

5、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長線于F．

求證：AE＝AF．

連接BD作CH⊥DE

由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，E

從而可知道∠F=150，從而得出AE=AF。

6、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

求證：PA＝PF．

作FG⊥CD，F(xiàn)E⊥BE，可以得出GFEC為正方形。令A(yù)B=Y，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X。tan∠BAP=tan∠EPF=

XZ

=，可得YZ=XY-X2+XZ，YY-X+Z

即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得證。

第二篇：初二幾何證明

24．（1）如圖(1)，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，且BD?CE，連接AE、CD相交于點(diǎn)P.請你補(bǔ)全圖形，并直接寫出∠APD的度數(shù)；=

（2）如圖（2）,Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分別是AB、BC上的點(diǎn)，且AM?BC,BM?CN，連接AN、CM相交于點(diǎn)P.請你猜想∠APM=°，并寫出你的推理過程.24．如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合．三角板的一邊交CD于點(diǎn)F，另一邊交CB的延長線于點(diǎn)G.（1）求證：EF?EG；

（2）如圖2，移動三角板，使頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)B，其他條件不變，若AB?a，BC?b，求

EF的值． EG

24.問題1：如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，點(diǎn)M，N分別在AD，CD上，若∠MBN=1∠ABC，試探究線段MN，AM，CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不用證明；

21∠ABC仍然成立，請你進(jìn)一步探究線段MN，AM，CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出2問題2：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，點(diǎn)M，N分別在DA，CD的延長線上，若∠MBN=

你的猜想，并給予證明.5.（豐臺區(qū)）在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)O放在斜邊AC上，將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)O為AC中點(diǎn)時，①如圖1，三角板的兩直角邊分別交AB，BC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，猜想線段AE、CF與EF之間存在的等量關(guān)系（無需證明）；

②如圖2，三角板的兩直角邊分別交AB，BC延長線于E、F兩點(diǎn)，連接EF，判斷①中的猜想是否成立．若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)O不是AC中點(diǎn)時，如圖3,，三角板的兩直角邊分別交AB，BC于E、F兩點(diǎn)，若AO?1，AC

4求OE的值．

OF

E

B F C 圖1 圖2 圖3 F B F CA A

24． 已知：四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在CD邊上，點(diǎn)F在AD邊上，且AF＝DE．

（1）如圖1，判斷AE與BF有怎樣的位置關(guān)系？寫出你的結(jié)果，并加以證明；

（2）如圖2，對角線AC與BD交于點(diǎn)O． BD，AC分別與AE，BF交于點(diǎn)G，點(diǎn)H．

①求證：OG＝OH；

②連接OP，若AP＝4，OP

AB的長．

圖

1（1）答：

證明：

9.（房山區(qū)）（1）如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，且滿足BE=CF，聯(lián)結(jié)AE、BF交于點(diǎn)H..請直接寫出線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

（2）如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BF，過點(diǎn)E作EG⊥BF于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)G，試判斷線段BF與GE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）如圖3，在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)GF、HD.求證：①FG+BE

②∠HGF=∠HDF.圖2 B AGDG

B

第24題圖1 FB

E第24題圖2 F

B

E第21題圖3 F

第三篇：中考數(shù)學(xué)幾何證明經(jīng)典難題

經(jīng)典難題

（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求證：CD＝GF．（初二）

E

A BD O F2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，∠PAD＝∠PDA＝150．

A D求證：△PBC是正三角形．（初二）

C B3、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點(diǎn)． D

求證：四邊形A2B2C2D2是正方形．（初二）DAA

11C B2

2C4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交MN于E、F． 求證：∠DEN＝∠F．

B第 1 頁

1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），O

（1）求證：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．（初二）

2、設(shè)MN是圓O外一直線，過O作OA⊥MN于A，自A及D、E，直線EB

及CD分別交MN于P、Q． 求證：AP＝AQ．（初二）

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：

設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MN

于P、Q．

求證：AP＝AQ．（初二）

4、如圖，分別以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形

CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．

求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半．

第 2 頁

F1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．

求證：CE＝CF．（初二）

2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長線于F．

求證：AE＝AF．（初二）

3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

求證：PA＝PF．（初二）

4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于

B、D．求證：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

第 3 頁

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求：∠APB的度數(shù)．（初二）

2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且∠PBA＝∠PDA． 求證：∠PAB＝∠PCB．（初二）

3、Ptolemy（托勒密）定理：設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）

4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P，且 AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．（初二）

第 4 頁

經(jīng)典難題

（五）1、設(shè)P是邊長為1的正△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，l＝PA＋PB＋PC，求證：

≤l＜2．

2、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的邊長．

4、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度數(shù)．

第 5 頁

第四篇：初二幾何證明單元測試

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初二幾何證明單元測試

班級_______姓名__________

一、填空

1.定理“和一條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上”的逆命題

是：_____________________________________________________________________,它是_____命題（填“真”、“假”）。

2.在Rt△ABC中，∠C= 90度，AB=2BC，則∠A =______度。

3.直角三角形的兩個銳角的度數(shù)之比是2:3，那么這個三角形中最小的內(nèi)角是______度。

4.在Rt△ABC中，∠C=90度，D為AB的中點(diǎn)，且CD=3cm，則AB=_____cm。

5.如圖（1），∠BAC=90度，AD⊥

BC，則圖中和∠C

互余的角有_________________, 若∠C=30度，則

(1)CD=____BD。

6.直角三角形的一個銳角為

20度，那么這個三 角形斜邊上的 高與中線 所夾 的角 等于

_______度。

7.如圖（2），在Rt△ABC中，∠C=90度，BC=24cm，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,BD:DC=5:3，則點(diǎn)D到AB的距離為

(2)_______cm。

8.等腰三角形底邊上的高為10cm，腰長為20cm，則頂角為______度。

9.如圖（3），在等腰三角形ABC中，腰AB的垂直平

(3)分線MN 交另一腰AC于點(diǎn)D，若∠ABD= 40度，則 ∠ABC=______度； 若AB=8cm，△BDC的 周長是20cm，則BC=_____cm。

10.如圖（4），在等邊△ABC的三邊上各取一點(diǎn)M、N、P，且有MN⊥AC，NP⊥AB，PM⊥BC，AB=9cm，則CM的長為_______cm。

11.如圖（5），在矩形ABCD中，AB:AD=1:2，將點(diǎn)A沿折痕DE對折，使點(diǎn)A落在BC

上的F點(diǎn)，則∠ADE=_____度。

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二、不定項(xiàng)選擇題

1.下列說法正確的是()

A.任何定理都有逆定理B命題的逆命題不一定是真命題；

C．定理“同圓的半徑相等”有逆定理；

D.“角平分線上的點(diǎn)到該角兩邊的距離相等”的逆命題是真命題。

2.到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是（）

A．三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)；B.三角形三邊中線的交點(diǎn)；

C．三角形三邊高的交點(diǎn)；D.三角形三邊中垂線的交點(diǎn)。

3.在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，CE是斜邊AB上的中線，那么下列結(jié)論中，正確的是：()

∠ACD=∠BB.∠ECB=∠DCE

C.∠ACD=∠ECBD.∠ECB=∠A-

∠ECD

4.如圖，⊙o外一點(diǎn)P，直線PAB、PCD分別交⊙o于A、B和C、D，添加下列哪個條件，就能證得AB=CD：（）

A．點(diǎn)O既在AB的垂直平分線上，又在CD的垂直平分線上

B．OP平分∠BPDPC．PA=PB

D．不用添也能證出

三、作圖（寫出簡略作法）

要在A、B、C三地之間建一個郵局P，要求郵局P到A、C兩地的距離相等，且到公路AB、BC的距離相等。

四、幾何計(jì)算和證明

1.已知：△ABC中，∠A=60度，CD⊥AB于D，BC=2CD，AD=3，求AB的長

2．如圖，∠ABC=∠ADC=90度，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)。求證:EF⊥BD.3．如圖，在△ABC中，∠C=90度，AC=BC，AD平分∠CAB，AB=20cm.求AC+CD的長

五、幾何證明

已知：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的中垂線交BC的延長線于點(diǎn)E。求證：∠B=∠EAC

第五篇：初二幾何證明2

18.2（5）證明舉例(5)

教學(xué)目標(biāo)

1、通過證明舉例的學(xué)習(xí)和實(shí)踐，懂得演繹推理的一般規(guī)則，初步掌握規(guī)范的表達(dá)格式；了解證明之前進(jìn)行分析的基本思路;

2、能利用全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)來證明有關(guān)線段相等、角相等的簡單問題;

3、了解添置輔助線的基本方法，會添置常見的輔助線；

4、了解文字語言、圖形語言、符號語言三種數(shù)學(xué)語言形態(tài).教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

重點(diǎn)：分析基本思路，掌握規(guī)范的表達(dá)格式.難點(diǎn)：輔助線的添加.教學(xué)用具準(zhǔn)備

黑板、粉筆、學(xué)生準(zhǔn)備課堂練習(xí)本.教學(xué)流程設(shè)計(jì)

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1． 例題講解

例題9 已知:如圖,在△ABC與△A’B’C’中, AB=A’B’,BC= B’C’,CA=C’A’.求證: △ABC≌△A’B’C’.證明:設(shè)邊BC最長.如圖，把△ABC與△A’B’C’拼在一起，使邊BC與B’C’重合，并使點(diǎn)A、A’在B’C’的兩側(cè)；再聯(lián)結(jié)A’A.∵AB=A’B’,AC=A’C’(已知),∴∠1=∠2, ∠3=∠4(等邊對等角).∴∠1+∠3=∠2+∠4(等式性質(zhì)).即∠B’A’C’=∠BAC.在△ABC與△A’B’ C’中,AB=A’B’(已知)

∠B’A’C’=∠BAC(已證)

AC=A’C’(已知),∴△ABC≌△A’B’C’(S.A.S).【說明】本例是補(bǔ)證“邊邊邊”定理，證明的思路是通過圖形的運(yùn)動把一些分散的元素集中在一個圖形中，然后利用已有的“邊角邊”定理，證明兩個三角形全等.這種利用圖形的運(yùn)動的方法，學(xué)生以前從未遇到，在后面的例題11中還會用到，要注意分析和引導(dǎo).例題10 已知：如圖17-14,四邊形ABCD中,AB=DC, ∠B=∠C.求證: ∠A=∠D.證明:分別聯(lián)結(jié)AC、DB(如圖17-15).在△ABC與△DCB中,AB=DC(已知)

∠ABC=∠DCB(已證)

BC=CB(已知),∴△ABC≌△DCB(S.A.S)

得AC=DB(全等三角形的對應(yīng)邊相等).在△ABD與△DCA中,DB=AC(已知)

AB=DC(已知)

AD=DA(公共邊),∴△ABD≌△DCA(S.S.S)

∴∠BAD=∠CDA(全等三角形的對應(yīng)角相等).【說明】 本例是證明兩個角相等，比較自然

地會想到利用三角形全等.但通過分析，發(fā)現(xiàn)需要

證兩次三角形全等，有一定難度.對本例還介紹了

通過構(gòu)造等腰三角形來進(jìn)行證明的第二種方法.兩種方法都需要添加輔助線構(gòu)造三角形，第一種

方法的證明過程相對復(fù)雜些，但較第二種方法容

易想到．

怎樣添置輔助線要在以后的學(xué)習(xí)中不斷實(shí)踐、探索、領(lǐng)悟，要重視圖形的運(yùn)動對添線的啟示，而構(gòu)造基本圖形以及補(bǔ)全圖形是常用的添線方法.2．反饋練習(xí)，鞏固知識

(1)已知：如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC=BD，AD=BC.求證：OA=OB.（第1題）B D E C（第2題）

(2)已知：如圖，點(diǎn)D、E在BC上，AB=AC，AD=AE.求證：BD=CE.3、課堂小結(jié)

你能講一講，證明角相等，一般可以采用什么方法嗎？

4、布置作業(yè)

練習(xí)冊.