第一篇：幾何證明知識點（范文模版）

幾何證明知識點

命題和證明

1、判斷一件事情的句子，叫做命題。判斷為正確的命題叫做真命題；判斷為錯誤的命題叫做假命題。

2、數(shù)學(xué)命題通常由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項。因此命題可以寫成“如果······，那么······”的形式。

3、人們從長期實踐中總結(jié)出來的真命題叫做公理，它們可以作為判斷其他命題真假的原始數(shù)據(jù)。

4、有些命題是從公理或其他真命題出發(fā)，用推理的方法證明為正確的，并進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理。

證明舉例

1、由題設(shè)、定義以及已被確定的公理、定理等，經(jīng)過邏輯推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明。

2、真命題的證明一般包括“畫圖、寫已知求證、證明”三個基本步驟?！爱媹D和已知求證”通常是告訴大家的，因此不必書寫。

3、幾何證明沒有固定的方法可循，因此只能在訓(xùn)練的過程中，積累一般分析方法和思維方法。例如：證明線段、角相等的一般途徑有哪些？證明兩直線平行、垂直的一般途徑有哪些？常用的添加輔助線的方法有哪幾種？等等。

逆命題和逆定理

1、在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。

2、如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫做另一個的逆定理。

3、每個命題都有逆命題，但每個定理不一定都有逆定理。

線段的垂直平分線

1、定理：線段垂直平分線上任意一點到這條線段兩個端點的距離相等。

2、逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

3、線段垂直平分線可以看作和一條線段兩個端點距離相等的點的集合。

角的平分線

1、角的平分線的概念：從角的頂點出發(fā)，等分這個角的射線，叫做這個角的平分線。

2、角是軸對稱圖形，它的對稱軸是這個角的平分線所在的直線。

3、角的平分線性質(zhì)：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

4、角的平分線性質(zhì)的逆定理：在一個角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

5、角的平分線可以看作這個角的內(nèi)部（包括頂點）到角的兩邊距離相等的點的集合。

軌跡

1、點的軌跡：符合某些條件的所有的點的集合叫做點的軌跡。

2、基本軌跡

（1）和線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線。

（2）在一個角的內(nèi)部（包括頂點）且到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線。

（3）到定點的距離等于定長的點的軌跡是以這個定點為圓心、定長為半徑的圓。

3、交軌法：先找出符合一部分作圖要求的點的軌跡，再找出符合另一部分作圖要求的點的軌跡，然后得出這兩個軌跡的交點。這種利用軌跡相交進(jìn)行作圖的方法叫做交軌法。

直角三角形全等的判定

1、直角三角形是特殊的三角形，對于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都適用。

2、直角三角形全等的判定定理

定理：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記為H.L.）。

直角三角形的性質(zhì)

直角三角形的性質(zhì)，可以從它的角、邊以及特殊線段之間構(gòu)成的各種關(guān)系的特征去理解。

1、定理1：直角三角形的兩個銳角互余。

2、定理2：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

推論1：在直角三角形中，如果一個銳角等于30?，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30?。

勾股定理

1、在直角三角形中，斜邊大于直角邊。

2、勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形。

4、勾股定理及其逆定理在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用。

兩點的距離公式

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)：

1、x軸或平行于x軸的直線上的兩點P1(x1,y)，P2(x2,y)間的距離P1P2?x1?x2。

2、y軸或平行于y軸的直線上的兩點Q1(x,y1)，Q2(x,y2)間的距離

Q1Q2?y1?y2。

22PQ?x?yy3、在x軸上一點P與在軸上一點之間的距離(x,0)Q(0,y)111111114、任意兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)之間的距離公式是AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2

第二篇：幾何證明選講--知識點1

幾 何 證 明 選 講

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段___.推論1: 經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必______________。

推論2: 經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線________________。

2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段____________。

3.相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于_______；相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于_________________； 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項；

兩直角邊分別是它們在斜邊上_______與_________的比例中項。

5.圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的____________的一半。

圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于_______________的度數(shù)。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧_______。

o推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是_______；90的圓周角所對的弦是________。

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的______________。

6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理：

圓的內(nèi)接四邊形的對角_______；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的_________。

如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點__________；

如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點_________。

7.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的__________。

推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過________；經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過______。切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的__________。

8.相交弦定理：圓內(nèi)兩條相交弦，________________________________的積相等。

割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，________________________________的兩條線段長的積相等。切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是________________________________的比例中項。切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長_____;圓心和這點的連線平分_______的夾角。

補充：垂徑定理：垂直弦等價于平分弦

補充1 同一個線段對的兩個角相等，則四點共圓

補充2 角的平分線分對邊的比等于該角臨邊的比值

ABBD4．在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，求證：.ACDC

第三篇：幾何證明

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段_________.推論1: 經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經(jīng)過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段___________.3.相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于______；相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于

_________________；

相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上_______與_________的比例中項.5.圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的____________的一半.圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于_______________的度數(shù).推論1：同弧或等弧所對的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧_______.o推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是____；90的圓周角所對的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的______________.6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理：

圓的內(nèi)接四邊形的對角______；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的_____.如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點______；如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點_________.7.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的__________.推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過_______；經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過______.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內(nèi)兩條相交弦，_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線，_____________的兩條線段長的積相等.切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是__________的比例中項.切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長____；

圓心和這點的連線平分_____的夾角.

第四篇：幾何證明

龍文教育浦東分校學(xué)生個性化教案

學(xué)生：錢寒松教師：周亞新時間：2010-11-27

學(xué)生評價◇特別滿意◇滿意◇一般◇不滿意

【教材研學(xué)】

一、命題

1．概念：對事情進(jìn)行判斷的句子叫做命題．

2．組成部分：命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成．每個命題都可以寫成“如果??，那么??”的形式，“如果”的內(nèi)容部分是題設(shè)，“那么”的內(nèi)容部分是結(jié)論．

3．分類：命題分為真命題和假命題兩種．判斷正確的命題稱為真命題，反之稱為假命題．驗證一個命題是真命題，要經(jīng)過證明；驗證一個命題是假命題，可以舉出一個反例．

二、互逆命題

1．概念：在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個

命題的結(jié)論是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個叫做原命題，則另一個就叫做它的逆命題．

2．說明：

（1）任何一個命題都有逆命題，它們互為逆命題，“互逆”是指兩個命題之間的關(guān)系；

（2）把一個命題的題設(shè)和結(jié)論交換，就得到它的逆命題；

（3）原命題成立，它的逆命題不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一個定理的逆命題也是定理（即真命題），那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理．

2．說明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“對頂角相等”的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”，這是一個假命題，所以“對頂角相等”沒有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命題的關(guān)系：互逆定理首先是互逆命題，是互逆命題中要求更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊活?，即互逆命題包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【點石成金】

例1． 指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并寫出它們的逆命題．

（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；

（2）直角三角形的兩個銳角互余；

（3）對頂角相等．

分析：解題的關(guān)鍵是找出原命題的題設(shè)和結(jié)論，然后再利用互逆命題的特征寫出它們的逆命題．

（1）題設(shè)是“兩條平行線被第三條直線所截”，結(jié)論是“同旁內(nèi)角互補”；逆命題是“如果兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行”．

（2）題設(shè)是“如果一個三角形是直角三角形”，結(jié)論是“那么這個三角形的兩個銳角互余”；逆命題是“如果一個三角形中兩個銳角互余，那么這個三角形是直角三角形”．

（3）題設(shè)是“如果兩個角是對頂角”，結(jié)論是“那么這兩個角相等”；逆命題是“如果有兩個角相等，那么它們是課題：幾何證明

對頂角”．

名師點金：當(dāng)一個命題的逆命題不容易寫時，可以先把這個命題寫成“如果??，那么??”的形式，然后再把題設(shè)和結(jié)論倒過來即可．

例2．某同學(xué)寫出命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是“如果一個三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”，你認(rèn)為他寫得對嗎?

分析：寫出一個命題的逆命題，是把原命題的題設(shè)和結(jié)論互換，但有時需要適當(dāng)?shù)淖兺?，例如“等腰三角形的兩底角相等”的逆命題不能寫成“兩底角相等的三角形是等腰三角形”，因為我們還沒有判斷出是等腰三角形，所以不能有“底角”這個概念．

解：上面的寫法不對．原命題條件是直角三角形，斜邊是直角三角形的邊的特有稱呼，該同學(xué)寫的逆命題的條件中提到了斜邊，就已經(jīng)承認(rèn)了直角三角形，就不需要再得這個結(jié)論了．因此，逆命題應(yīng)寫成“如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”．

名師點金：在寫一個命題的逆命題時，千萬要注意一些專用詞的用法．

例3．如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．請你以其中三個等式作為題設(shè)，余下的作為結(jié)論，寫出一個真命題(要求寫出已知，求證及證明過程)

解：選①②③作為題設(shè)，④作為結(jié)論．

已知：如圖19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求證：BD=CE,證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名師點金：本題考查的是證明三角形的全等，但條件較為開放．當(dāng)然，此題的條件還可以任選其他三個．

【練習(xí)】

1．“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”的題設(shè)是____________________，結(jié)論是_________________________

2．判斷：（1）任何一個命題都有逆命題．()

（2）任何一個定理都有逆定理．()

【升級演練】

一、基礎(chǔ)鞏固

1．下列語言是命題的是()

A．畫兩條相等的線段B．等于同一個角的兩個角相等嗎

C．延長線段AD到C，使OC=OAD．兩直線平行，內(nèi)錯角相等

2．下列命題的逆命題是真命題的是()

A．直角都相等B．鈍角都小于180。

龍文教育浦東分校個性化教案ABDEC.cn

C．如果x+y=0，那么x=y=0D．對頂角相等

3．下列說法中，正確的是()

A．一個定理的逆命題是正確的B．命題“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命題是正確的C．任何命題都有逆命題

D．定理、公理都應(yīng)經(jīng)過證明后才能用

4．下列這些真命題中，其逆命題也真的是()

A．全等三角形的對應(yīng)角相等

B．兩個圖形關(guān)于軸對稱，則這兩個圖形是全等形

C．等邊三角形是銳角三角形

D．直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

5．證明一個命題是假命題的方法有__________．

6．將命題“所有直角都相等”改寫成“如果??那么?”的形式為___________。

7．舉例說明“兩個銳角的和是銳角”是假命題。

二、探究提高

8．下列說法中，正確的是()

A．每個命題不一定都有逆命題B．每個定理都有逆定理

c．真命題的逆命題仍是真命題D．假命題的逆命題未必是假命題

9．下列定理中，沒有逆定理的是()

A．內(nèi)錯角相等，兩直線平行B．直角三角形中兩銳角互余

c．相反數(shù)的絕對值相等D．同位角相等，兩直線平行

三、拓展延伸

10．下列命題中的真命題是()

A．銳角大于它的余角B．銳角大于它的補角

c．鈍角大于它的補角D．銳角與鈍角之和等于平角

11．已知下列命題：①相等的角是對頂角；②互補的角就是平角；③互補的兩個角一定是一個銳角，另一個為鈍角；④平行于同一條直線的兩直線平行；⑤鄰補角的平分線互相垂直．其中，正確命題的個數(shù)為()

A．0個B．1個C．2個D．3個

龍文教育浦東分校個性化教案

第五篇：幾何證明

幾何證明

1.如圖，AD是∠EAC的平分線，AD∥BC，∠B=30 o，求∠EAD、∠DAC、∠C的度數(shù)

2.已知∠BED=∠B+∠D，試說明AB與CD的位置關(guān)系

3.如圖，EB∥DC，∠C=∠E，請你說出∠A=∠ADE的理由。

4.如圖，已知AB//CD，AE//CF，求證：?BAE??DCF

AEFCD B

5.如圖，AB//CD，AE平分?BAD，CD與AE相交于F,?CFE??E。求證：

AD//BC。

6.如圖，已知AB//CD，?B?40，CN是?BCE的平分線，?

A

D

F

B

C

E

CM?CN，求?BCM的度數(shù)。

7.如圖若FD//BE，求?1??2??3的度數(shù)

A

N

M

C

D

E

第三題

o

8.如圖已知?C??AOC，OC平分?AOD，OC?OE?C?63求?D，?BOF的度

數(shù)

第四題

9.已知如圖DB//FG//EC，若?ABD?60，?ACE?36AP平分?BAC求?PAG的度數(shù)

第五題

10.，已知如圖AC//DE，DC//FE，CD平分?BCA，那么EF平分?BED？為什么？

B

11.1）已知三角形三邊長分別是4,5,6-x,求x的取值范圍

（2）已知三角形三邊長分別是m，m-1，m+1，求m的取值范圍

oo

12.在?ABC中，?B?70?BAC:?BCA?3:2，CD?AD垂足為D且?ACD?35

oo

求?BAE的度數(shù)

?A?50o?D?44 13.已知AC，BD交與O，BE，CE分別平分?ABD,?ACD且交與E，o

求?E的度數(shù)。

E

o

14.?ACE?90AC=CE，B為AE上的一點，ED?CB于D，AF?CB交CB的延長

線于F，求證：AF=CD

第22題

15，已知AB=CD，BC=DA，E，F(xiàn)為AC上的兩個點，且AE=CF，求證BF//DE

第23題

16.AD，BC交于D，BE?AD于E,DF?BC于F且AO=CO,BE=DF,求證 ＡＢ＝ＣＤ

o

17.中AB=AC，?BAC?90分別過BC做過A點的直線的垂線，垂足為D,E,求證DE=BD+CE

第25題