第一篇：妙用向量解題

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妙用向量解題

作者：姜利麗

來源：《數(shù)理化學(xué)習(xí)·高一二版》2013年第08期

向量作為一種新型的解題工具，在眾多數(shù)學(xué)問題中有十分廣泛的應(yīng)用.除了在空間立體幾何的廣泛應(yīng)用外，筆者也發(fā)現(xiàn)在解析幾何，不等式，代數(shù)中，也能找到它的影子.一、用向量證明三點(diǎn)共線

例1 在平行四邊形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，N是BD上一點(diǎn)，BN=13BD.求證：M、N、C三點(diǎn)共線.

第二篇：妙用公倍數(shù)解題數(shù)學(xué)日記

星期天，也是母親節(jié)，我溜進(jìn)書房，想做一張賀卡，媽媽聲音響起：“嗯，不錯(cuò)，知道學(xué)習(xí)了，你做幾道奧數(shù)題吧!”沒辦法，我只好翻開了《舉一反三》。

“嗯，今天該做這幾個(gè)題了”。只見題上寫道：“從小亮家到學(xué)校，原來隔50米豎一根電線桿，連兩端的兩根一共有55根電線桿，現(xiàn)在要改成每隔60米豎一根電線桿，除兩端的兩根不需要移動(dòng)外，中途還有幾根不必要移動(dòng)?”

看完題后，我丈二和尚摸不著頭腦，該用什么方法去解呢，我冥思苦想;對(duì)了，我們最近剛學(xué)過“最小公倍數(shù)”這種題是否適用呢?我決定試一試。算這種題需先求出整條路的長，因?yàn)槭敲扛?0米一根電線桿，連兩端共55根，所以路長應(yīng)是50×(55-1)=2700米，全長2700米，原來是每隔50米豎一根，現(xiàn)在是隔60米，也就是說正好處在50和60的公倍數(shù)處的電線桿不必移動(dòng)，那求50和60的最小公倍數(shù)就是了!用短除，正好300，接著用全長路段除以50和60的最小公倍數(shù)，2700除以300等于9，因?yàn)槠瘘c(diǎn)那根是一定的，去掉最后一根剩8根，即中途有8根不必移動(dòng)。

算完后，我將信將疑到底對(duì)不對(duì)呢?我去問媽媽，媽媽檢查后夸我真聰明，說這是她母親節(jié)收到的最好的禮物。我高興極了。通過解這道題讓我明白了：今后不論遇到什麼難題都應(yīng)該勤動(dòng)腦多動(dòng)手，要舉一反三去思考，不怕困難，這樣才能不斷打敗學(xué)習(xí)路上的攔路虎，才能使自己不斷進(jìn)步。

第三篇：向量在高中階段解題的巧用

向量在高中階段解題的應(yīng)用

(一)向量對(duì)圓錐曲線的應(yīng)用.圓錐曲線是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容?？疾榈膬?nèi)容包括圓錐曲線的概

念和性質(zhì)。但直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，很多時(shí)也要結(jié)合向量的知識(shí)來簡便解題。

例1：證明：等軸雙曲線上任一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距

離的等比中項(xiàng)。

證明：設(shè)P（x?，y?）是等軸雙曲線x2-y2=a2右支上任一點(diǎn)

∴x?2-y?2=a2

則||2=x?2+y?2=x?2+x?2-a2=2x?2-a2 | PF1|2=x?+a,| PF2|=2x?-a

∴|PF1|·|PF2|=(2x?+a)(2x?-a)=2x?2-a2 ∴|PO|2=|PF1|·|PF2|

同理,當(dāng)P(x?,y?)是左支點(diǎn)上也成立.(二)向量對(duì)立體幾何題的應(yīng)用.由于立體幾何涉及空間幾何圖形，許多考生望而生畏，認(rèn)為這很

抽象，但只要掌握好向量的相關(guān)知識(shí)，把立體幾何圖形的各線段轉(zhuǎn)換

成向量,那解題便簡便得多了.例1：如圖,在正方體ABCD--A?B?C?D?中，E、F、G、分別是AB，B B?，BC的中點(diǎn)。

證明：B D?⊥平面EFG。

分析：應(yīng)通過建立空間坐標(biāo)系，通過

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來證明。

證明：設(shè)正方體的棱長為2a并以D為原點(diǎn)，DA為X軸，DC為Y軸，DD?為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

D?（0，0，2a），B（2a，2a，0），F(xiàn)（2a，2a，a），E（2a，a，0），G（a，2a，0）

∴BD1=（-2a，-2a，2a），=（0，a，a），=（-a，-a，0），=-2a·∴BD1·0-2a· a+2a·a=0? BD1⊥

BD1·（-a）+（-2a）·（-a）+2a·0=0? BD1⊥ =-2a·

∴B D?⊥平面EFG

點(diǎn)評(píng)：此題運(yùn)用了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來證明。

（三）向量在平面解析幾何圖形的應(yīng)用

由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)都可以用向量方法解決平面幾何中的一些問題，現(xiàn)在由我們共同探討向量方法在平面幾何中的應(yīng)用。

例1：在邊長為1的正方形ABCD中，設(shè)=, =, =,求|-+|

解：如圖，作DC的延長線，截MC=CD=1，連結(jié)BM.又∵=, =, =

∴|a-b+c|=|AB-AD+AC|=|DB+AC|

又∵=BM

∴|-+|=||=

2點(diǎn)評(píng)：本題利用了向量加減法的幾何意義計(jì)算線段的長度，把復(fù)習(xí)的平面幾何圖形簡單化，可見其簡便之處。

（四）向量在證明不等式中的應(yīng)用

例1：設(shè)а≠b，а>0，b>0，求證：

（a+b）（a+ b）>（a+ b）

證明：構(gòu)造向量 =(a, b), =(a,b),則：

332222cos2θ EF)=| AB|·（a+ b）=(AB·|EF|·224422332

≤||·||=(a+ b)·（a+ b）

∵a>0,b>0,a≠b

∴θ≠0

∴cosθ≠

1∴(a+ b)·（a+ b）>（a+ b）

點(diǎn)評(píng):在解不等式或證明時(shí),除了掌握其基本不等式外還要把握題目的特點(diǎn)尋找簡便的方法,而本題就是運(yùn)用向量解題的簡便方法.（五）向量在證明平行題的應(yīng)用

例1:已知AC、BD是梯形ABCD的對(duì)角線。E、F分別為BD、AC4422332222442

2的中點(diǎn)。

求證：EF∥BC

證明：設(shè)=, = ∵AD∥BC ∴=k=k 則=-=b-a

∵E為BD的中點(diǎn) ∴=?=?(-)

∵F為AC的中點(diǎn) ∴=+=+?=+?(-)=?(+)=?(-)=?(k-)∴EF=BF-BE=?(kb-a)-?(b-a)=(?k-?)b=[(?k-?)·1/k] BC ∴∥,即EF∥BC

點(diǎn)評(píng)：這類題應(yīng)掌握好向量的三角形定則，認(rèn)識(shí)向量平行的充要條件。

（六）向量在三角函數(shù)的應(yīng)用。

例1:在直角坐標(biāo)系X0Y中,已知P(2 cosа+1,2 cosа+2)和點(diǎn)Q(cosа,－1),其中а?[0,?

解:由于OP⊥OQ = cosа（2cosа+1）-（2cosа+2）=0——① ∴·].且OP⊥OQ,求X的值。

又∵cos 2а=2cosа-1————————②

由①和②，得2cosа-cosа=0? cosа=0或0.5 2

∵а?[0,?]

∴а=?/2或?/

3點(diǎn)評(píng)：本題利用向量的知識(shí)解答，使過程簡便許多。

（七）向量在解物理題的應(yīng)用。

例1：平面上有兩個(gè)向量e1=（1，0），e2=（0，1），今有動(dòng)點(diǎn)P從P?(-1,2)開始沿著向量e1+e2相同的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為|e1+e2|；另一動(dòng)點(diǎn)Q從Q?(-2,-1)出發(fā)，沿與向量3e1+2e2相同的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度的大小為|3e1+2e2|，設(shè)P、Q在時(shí)刻t=0秒時(shí)，分別在P?、Q?處，則當(dāng)PQ⊥P?Q?時(shí)，時(shí)

間t為多少秒？

解：依題意P?(-1,2),Q?(-2,-1)則POQO=(-2,-1)-(-1,2)=(-1,-3)

e1+e2=(-1,0)+(0,1)=(1,1)|e1+e2|=2 3e1+2e2=3×(1,0)+2×(0,1)=(3,2)|3e1+2e2|=

∴當(dāng)t時(shí)刻P點(diǎn)位置為（-1，2）+t（1，1）=（-1+t，2+t），點(diǎn)Q位置為（-2，1）+t（3，2）=（-2+3t，-1+2t）∴=(-2+3t,-1+2t)－(-1+t,2+t)=(-1+2t,-3+t)又⊥POQO

∴(-1+2t)·(-1)+(-3+t)·(-3)=0解得t=2 ∴當(dāng)⊥POQO時(shí)，時(shí)間t為2秒。

第四篇：高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破難點(diǎn)—— 運(yùn)用向量法解題

難點(diǎn)3 運(yùn)用向量法解題

平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對(duì)這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題.●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線 AM的長；(2)∠CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值.●案例探究

［例1］如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求證：C1C⊥BD.(2)當(dāng)CD的值為多少時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD？請(qǐng)給出證明.CC1命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對(duì)立體幾何圖形的解讀能力.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單.錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.技巧與方法：利用a⊥b?a·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可.(1)證明：設(shè)CD=a, CB=b,CC1=c,依題意，|a|=|b|，CD、CB、CC1中兩兩所成夾角為θ，于是BD?CD?DB=a－b，CC1?BD=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由CA1?C1D?(CA?AA1)?(CD?CC1)

=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得 當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥DC1，同理可證當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥BD，∴CD=1時(shí)，A1C⊥平面C1BD.CC1［例2］如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).(1)求BN的長；

I(2)求cos的值；

(3)求證：A1B⊥C1M.命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來解決立體幾何問題.屬 ★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O－xyz,進(jìn)而找到點(diǎn)的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo).錯(cuò)解分析：本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo).技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來找出其他的點(diǎn)的坐標(biāo).(1)解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)∴|BN|=(1?0)2?(0?1)2?(1?0)2?3.(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).∴BA1=(1,?1,2),CB1=(0，1，2)BA1?CB1=1×0+(－1)×1+2×2=3 |BA1|=(1?0)2?(0?1)2?(2?0)2?6

|CB1|?(0?0)2?(1?0)2?(2?0)2?5 ?cos?BA1,CB1??BA1?CB1|BC1|?|CB1|?36?5?30.10(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M(，2)

112211C1M?(，0),A1B?(?1,1,?2)

2211∴A1B?C1M?(?1)??1??(?2)?0?0,?A1B?C1M，22∴A1B⊥C1M.●錦囊妙計(jì)

1.解決關(guān)于向量問題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí).二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問題.II 3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進(jìn)行思考：(1)要解決的問題可用什么向量知識(shí)來解決？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？

(4)怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？ ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為（）A.正方形

B.矩形 C.菱形

D.平行四邊形

2.(★★★★)已知△ABC中，AB=a，a·b<0，S△ABC=AC=b，15,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是（）4A.30°

B.－150°

C.150°

D.30°或150°

二、填空題

3.(★★★★★)將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x－5的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)(3，1)，則向量a=_________.4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_________.三、解答題

5.(★★★★★)如圖，在△ABC中，設(shè)AB=a，AC =b，AP =c, AD=λa,(0<λ<1),AE =μb(0<μ<1),試用向量a，b表示c.6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為2a.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出A、B、A1、C1的坐標(biāo)；(2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.7.(★★★★★)已知兩點(diǎn)M(－1，0)，N(1，0)，且點(diǎn)P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差數(shù)列.(1)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？

(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),Q為PM與PN的夾角，求tanθ.8.(★★★★★)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).(1)用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)用向量法證明：BD∥平面EFGH；

III(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有OM? 參考答案

難點(diǎn)磁場(chǎng)

解：(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為xM=

1(OA?OB?OC?OD).4?1?17?299?0;yM??,?M(0,)2222221.29?|AM|?(5?0)2?(?1?)2?2(2)|AB|?(5?1)2?(?1?7)2?10,|AC|?(5?1)2?(?1?2)2?5

D點(diǎn)分BC的比為2.∴xD=?1?2?117?2?211?,yD??

1?231?2311114|AD|?(5?)2?(?1?)2?2.333(3)∠ABC是BA與BC的夾角，而BA=(6，8），BC=(2，－5）.?cosABC?BA?BC|BA|?|BC|?6?2?(?8)?(?5)62?(?8)2?22?(?5)2?521029?2629 145殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB=DC，∴AB∥DC，又線段AB與線段DC無公共點(diǎn)，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四邊形，又|AB|=5，AC =(5，3），|AC|=34，∴|AB|≠|(zhì)AC},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又BC=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB不垂直于BC，∴ABCD也不是矩形，故選D.答案：D 2.解析：∵1511?·3·5sinα得sinα=,則α=30°或α=150°.242又∵a·b＜0,∴α=150°.答案：C

二、3.(2,0)4.13 cm

IV

三、5.解：∵BP與BE共線，∴BP=mBE=m(AE－AB)=m(μb－a), ∴AP=AB+BP=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb

①

又CP與CD共線，∴CP=nCD=n(AD－AC)=n(λa－b), ∴AP=AC+CP=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b 由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b.②

?1?m??a??n?m?1?0∵a與b不共線，∴?

即??m?1?nn??m?1?0??解方程組③得：m=

③

1??1??1,n?代入①式得c=(1－m)a+mμb=［λ(1－μ)a+μ(1－1???1???1???λ)b］.6.解：(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點(diǎn)且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,2a),C1(－

3aa，222a).3a,0,0）, 2(2)取A1B1的中點(diǎn)M，于是有M(0，,2a），連AM，MC1，有MC1=(－且AB=(0，a,0）,AA1=(0,02a)

a2由于MC1·AB=0，MC1·AA1=0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.∵AC1=(?3aaa，2a),AM?(0，2a), 222a29?AC1?AM?0??2a2?a

443212a232而|AC1|?a?a?2a?3a,|AM|??2a?a

444292a34? 323a?a2?cos?AC1,AM??所以AC1與AM所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°.V 7.解：(1)設(shè)P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得，PM =－MP=(－1－x,－y）,PN??NP =(1－x,－y),MN =－NM=(2,0),∴MP·MN=2(1+x), PM·PN=x2+y2－1,NM?NP =2(1－x).于是，MP?MN,PM?PN,NM?NP是公差小于零的等差數(shù)列，等價(jià)于

1?22?x2?y?3?x?y?1?[2(1?x)?2(1?x)] 即? 2??x?0??2(1?x)?2(1?x)?0所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的右半圓.(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)PM?PN?x0?y0?1?2,|PM|?|PN|?(1?x)2?y0?(1?x0)2?y0?(4?2x0)(4?2x0)?24?x0?cos??PM?PN|PM|?PN?14?x0222222

1??0?x0?3,??cos??1,0???,23?sin??1?cos2??1?1sin?2,?tan???3?x?|y0| 02cos?4?x08.證明：(1）連結(jié)BG，則EG?EB?BG?EB?(BC?BD)?EB?BF?EH?EF?EH 由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面，(其中(2）因?yàn)镋H?AH?AE?121BD=EH）21111AD?AB?(AD?AB)?BD.2222所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD?面EFGH

所以BD∥平面EFGH.(3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG 由(2）知EH?被M平分，所以 11BD，同理FG?BD，所以EH?FG，EH22FG,所以EG、FH交于一點(diǎn)M且 VI OM??1(OA?OB?OC?OD).41111111(OE?OG)?OE?OG?[(OA?OB)]?[(OC?OD)]2222222.VII

第五篇：空間向量解題時(shí)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用

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空間向量解題時(shí)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用

作者：胡彬

來源：《數(shù)理化學(xué)習(xí)·高一二版》2013年第08期

用空間向量來解決空間立體幾何問題非常得心應(yīng)手，比如證明平行、垂直以及求角、求距離等.但是，我們不能把眼光僅僅限制于這些問題的證明與求解.在運(yùn)用空間向量解決問題時(shí)，也包含著許多數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于其中.一、方程思想求值

例1 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點(diǎn).在直線CC1上是否存在一點(diǎn)N，使得MN⊥AB1？若存在，請(qǐng)你求出它的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.