第一篇：§1空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

江蘇省宿遷中學(xué)2011屆高三第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案編寫：栗旭審校：李愚

§1空間向量的坐標(biāo)表示及基本定理

二、教學(xué)目標(biāo)

1.了解空間向量的基本概念；

2.掌握空間向量的運(yùn)算及性質(zhì).三、重點(diǎn)：空間向量的運(yùn)算

難點(diǎn)：利用向量證明有關(guān)問題

四、知識導(dǎo)學(xué) ?????1.共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)

????2.空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個x,y使???????唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使p?xa?yb?zc{a,b,c}叫做空間的一個基

???底，a,b,c叫做基向量，可以知道，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x,y,z，使.3.空間向量的坐標(biāo)表示概念

??4.設(shè)a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),????若a、b為兩非零向量，則a?b??

五、課前自學(xué) 1．在下列命題中：①若、共線，則、所在的直線平行；②若、所在的直線是異面直線，則、一定不共面；③若、、三向量兩兩共面，則、、三向量一定也共面；④已知三向量、、，則空間任意一個向量p總可以唯一表示為?x?y?z．其中正確命題的個數(shù)為

2．在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為△ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，????????????????

BE＝3ED，以｛AB，AC，AD｝為基底，則GE＝．

????

3．向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，則a與b位置關(guān)系是． ??????4.m＝（8，3，a），n＝（2b,6,5），若m∥n，則a+b的值為． ????

5．a(chǎn)＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，則a與b的夾角為．

六、合作、探究、展示

例題OABC，其對角線OB,AC，M,N分別是對邊OA,BC的中點(diǎn)，????????????????

點(diǎn)G在線段MN上，且MG?2GN，用基底向量OA,OB,OC表示向量

例題2．已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)。

（1）求證：MN?AB,MN?CD;（2）求MN的長；

（3）求異面直線AN與CM所成角的余弦值。

B

例題3.如圖所示，平行六面體ABCD?A1BC11D1的底面ABCD是菱形，且

C

N

D

M

A

?C1CB??C1CD??BCD?60

（1）求證：C1C?BD；（2）當(dāng)

?

CD的值為多少時，能使AC?面C1BD？

1CC1

請給出說明。

七、當(dāng)堂檢測

1．已知＝（2，－1，3），＝（－1，4，－2），＝（7，5，λ），若、、三向 量共面，則實(shí)數(shù)λ等于

?

2.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y２，z2｝,則

向的條件

xyz

??是a與b同向或反x2y2z

2?

??

3.a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，則m的值為

????4．.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，則以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積

為.八、總結(jié)反思

第二篇：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 教案

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 教案

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能：

掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

2、過程與方法：

通過對共線向量坐標(biāo)關(guān)系的探究，提高分析問題、解決問題的能力。3情感態(tài)度與價值觀：

學(xué)會用坐標(biāo)進(jìn)行向量的相關(guān)運(yùn)算，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。

教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的準(zhǔn)確.三、教學(xué)設(shè)想

（一）導(dǎo)入新課

思路1.向量具有代數(shù)特征,與平面直角坐標(biāo)系緊密相聯(lián).那么我們在學(xué)習(xí)直線和圓的方程以及點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系時,直線與直線的平行是一種重要的關(guān)系.關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同時為零)何時所體現(xiàn)的兩條直線平行？向量的共線用代數(shù)運(yùn)算如何體現(xiàn)？

思路2.對于平面內(nèi)的任意向量a,過定點(diǎn)O作向量OA=a,則點(diǎn)A的位置被向量a的大小和方向所唯一確定.如果以定點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,那么點(diǎn)A的位置可通過其坐標(biāo)來反映,從而向量a也可以用坐標(biāo)來表示,這樣我就可以通過坐標(biāo)來研究向量問題了.事實(shí)上,向量的坐標(biāo)表示,實(shí)際是向量的代數(shù)表示.引入向量的坐標(biāo)表示可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來,這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后,向量的線性運(yùn)算可以通過坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn),那么向量的平行、垂直,是否也能通過坐標(biāo)來研究呢？

（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題

①我們研究了平面向量的坐標(biāo)表示,現(xiàn)在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐標(biāo)表示嗎? ②如圖1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎樣表示AB的坐標(biāo)？你能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為(x2-x1,y2-y1)的P點(diǎn)嗎?標(biāo)出點(diǎn)P后,你能總結(jié)出什么結(jié)論? 活動:教師讓學(xué)生通過向量的坐標(biāo)表示來進(jìn)行兩個向量的加、減運(yùn)算,教師可以讓學(xué)生到黑板去板書步驟.可得:

圖1 a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j, 即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教師和學(xué)生一起總結(jié),把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龇謩e為: 兩個向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差);實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).教師再引導(dǎo)學(xué)生找出點(diǎn)與向量的關(guān)系:將向量AB平移,使得點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,則平移后的B點(diǎn)位置就是P點(diǎn).向量AB的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn),點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量坐標(biāo)是相同的,這樣就建立了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系.學(xué)生通過平移也可以發(fā)現(xiàn):向量AB的模與向量OP的模是相等的.由此,我們可以得出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式: |AB|=|OP|=(x1?x2)2?(y1?y2)2.教師對總結(jié)完全的同學(xué)進(jìn)行表揚(yáng),并鼓勵學(xué)生,只要善于開動腦筋,勇于創(chuàng)新,展開思維的翅膀,就一定能獲得意想不到的收獲.討論結(jié)果:①能.②AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).結(jié)論:一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).提出問題

①如何用坐標(biāo)表示兩個共線向量? ②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么

y1y?2是向量a、b共線的什么條件? x1x2活動:教師引導(dǎo)學(xué)生類比直線平行的特點(diǎn)來推導(dǎo)向量共線時的關(guān)系.此處教師要對探究困難的學(xué)生給以必要的點(diǎn)撥:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我們知道,a、b共線,當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.如果用坐標(biāo)表示,可寫為(x1,y1)=λ(x2,y2), ??x??x2,即?1消去λ后得x1y2-x2y1=0.??y1??y2.這就是說,當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0時向量a、b(b≠0)共線.又我們知道x1y2-x2y1=0與x1y2=x2y1是等價的,但這與

y1y?2是不等價的.因x1x2為當(dāng)x1=x2=0時,x1y2-x2y1=0成立,但

y1yyy?2均無意義.因此1?2是向量a、bx1x2x1x2共線的充分不必要條件.由此也看出向量的應(yīng)用更具一般性,更簡捷、實(shí)用,讓學(xué)生仔細(xì)體會這點(diǎn).討論結(jié)果:①x1y2-x2y1=0時,向量a、b(b≠0)共線.②充分不必要條件.提出問題

a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù)λ使得a=λb, 那么這個充要條件如何用坐標(biāo)來表示呢？

活動:教師引導(dǎo)推證:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a，??x1??x2,由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)??消去λ,得x1y2-x2y1=0.??y1??y2.討論結(jié)果:a∥b(b≠0)的充要條件是x1y2-x2y1=0.教師應(yīng)向?qū)W生特別提醒感悟: 1°消去λ時不能兩式相除,∵y1、y2有可能為0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一個不為0.2°充要條件不能寫成y1y?2(∵x1、x2有可能為0).x1x2?a??b3°從而向量共線的充要條件有兩種形式:a∥b(b≠0)??

?x1y2?x2y1?0.（三）應(yīng)用示例

思路1 例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐標(biāo).活動:本例是向量代數(shù)運(yùn)算的簡單應(yīng)用,讓學(xué)生根據(jù)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行向量的和、差及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算,再根據(jù)向量的線性運(yùn)算律和向量的坐標(biāo)概念得出的結(jié)論.若已知表示向量的有向線段的始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo),那么終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)就是此向量的坐標(biāo),從而使得向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)化.可由學(xué)生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).點(diǎn)評:本例是平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的常規(guī)題,目的是熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式.變式訓(xùn)練

131.(2007海南高考,4)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量a?b

22等于()A.(-2,-1)

B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D 2.(2007全國高考,3)已知向量a=(-5,6),b=(6,5),則a與b?()

A.垂直

B.不垂直也不平行

C.平行且同向 D.平行且反向

答案:A 3

圖2 例2 如圖2,已知ABCD的三個頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).活動:本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.這里給出了兩種解法:解法一利用“兩個向量相等,則它們的坐標(biāo)相等”,解題過程中應(yīng)用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量OD的坐標(biāo),進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo).解題過程中,關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系),數(shù)形結(jié)合地思考,將頂點(diǎn)D的坐標(biāo)表示為已知點(diǎn)的坐標(biāo).解:方法一:如圖2,設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y).∵AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC=(3-x,4-y).由AB=DC,得?1?3?x,(1,2)=(3-x,4-y).∴?

2?4?x.??x?2,∴? ?y?2.∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).方法二:如圖2,由向量加法的平行四邊形法則,可知

BD?BA?AD?BA?BC=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而OD=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2), ∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).點(diǎn)評:本例的目的仍然是讓學(xué)生熟悉平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.變式訓(xùn)練

圖3 如圖3,已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個頂點(diǎn).解:當(dāng)平行四邊形為ABCD時,仿例二得:D1=(2,2);當(dāng)平行四邊形為ACDB時,仿例二得:D2=(4,6);當(dāng)平行四邊形為DACB時,仿上得:D3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的共線來判斷.首先要探究三個點(diǎn)組合成兩個向量,然后根據(jù)兩個向量共線的充要條件來判斷這兩個向量是否共線從而來判斷這三點(diǎn)是否共線.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解并熟練地運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)形式來判斷向量之間的關(guān)系.讓學(xué)生通過觀察圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式.解:在平面直角坐標(biāo)系中作出A、B、C三點(diǎn),觀察圖形,我們猜想A、B、C三點(diǎn)共線.下面給出證明.∵AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC=(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴AB∥AC,且直線AB、直線AC有公共點(diǎn)A, ∴A、B、C三點(diǎn)共線.點(diǎn)評:本例的解答給出了判斷三點(diǎn)共線的一種常用方法,其實(shí)質(zhì)是從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個向量共線,則這兩個向量的三個頂點(diǎn)共線.這是從平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法移植過來的.變式訓(xùn)練

已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y. 解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.∴y=3.思路2

例2 設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn),P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1,y1)、(x2,y2).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個三等分點(diǎn)時,求點(diǎn)P的坐標(biāo).活動:教師充分讓學(xué)生思考,并提出這一結(jié)論可以推廣嗎?即當(dāng)

P1P=λPP2時,點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么?師生共同討論,一起探究,可按照求中點(diǎn)坐標(biāo)的解題思路類比推廣,有學(xué)生可能提出如下推理方法: 由P1P=λPP2,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y)，?x1??x2x?,???x?x1??(x2?x)?1??即? ????y?y1??(y2?y)?y?y1??y2.?1???這就是線段的定比分點(diǎn)公式,教師要給予充分肯定,鼓勵學(xué)生的這種積極探索,這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要品質(zhì).時間允許的話,可以探索λ的取值符號對P點(diǎn)位置的影響,也可鼓勵學(xué)生課后探索.圖4 解:(1)如圖4,由向量的線性運(yùn)算可知

x?x2y1?y21,.).OP=(OP1+OP2)=(1222所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x1?x2y1?y2,.)22(2)如圖5,當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個三等分點(diǎn)時,有兩種情況,即

P1P1=或PP22P1P=2.PP2如果P1P1=,那么 PP22

圖5 PP=OPOP=OP1+11+

1P1P2 31=OP+(OP12-OP1)312=OP+OP12 33=(2x1?x22y1?y2,).332x1?x22y1?y2,).33即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(同理,如果

x?2x2y1?2y2P1P,.=2,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是133PP2點(diǎn)評:本例實(shí)際上給出了線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和線段的三等分點(diǎn)坐標(biāo)公式.變式訓(xùn)練

在△ABC中,已知點(diǎn)A(3,7)、B(-2,5).若線段AC、BC的中點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上,求點(diǎn)C的坐標(biāo).解:(1)若AC的中點(diǎn)在y軸上,則BC的中點(diǎn)在x軸上, 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得

3?xy?5?0,?0, 22∴x=-3,y=-5, 即C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5).(2)若AC的中點(diǎn)在x軸上,則BC的中點(diǎn)在y軸上,則同理可得C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-7).綜合(1)(2),知C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5)或(2,-7).例2 已知點(diǎn)A(1,2),B(4,5),O為坐標(biāo)原點(diǎn),OP=OA+tAB.若點(diǎn)P在第二象限,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.活動:教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的相等,把已知條件轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程(組)或不等式(組)再進(jìn)行求解.教師以提問的方式來了解學(xué)生組織步驟的能力,或者讓學(xué)生到黑板上去板書解題過程,并對思路清晰過程正確的同學(xué)進(jìn)行表揚(yáng),同時也要對組織步驟不完全的同學(xué)給與提示和鼓勵.教師要讓學(xué)生明白“化歸”思想的利用.不等式求變量取值范圍的基本觀點(diǎn)是,將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的不等式(組),那么變量的取值范圍就是這個不等式(組)的解集.解:由已知AB=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).?3t?1?021若點(diǎn)P在第二象限,則????t??

33?3t?2?021,?).33點(diǎn)評:此題通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算,將點(diǎn)P的坐標(biāo)用t表示,由點(diǎn)P在第二象限可得到一個關(guān)于t的不等式組,這個不等式組的解集就是t的取值范圍.變式訓(xùn)練 故t的取值范圍是(?已知OA=(cosθ,sinθ),OB=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求|AB|的取值范圍.解:∵AB=OB-OA=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).∴|AB|=(1+sinθ-cosθ)+(1+cosθ-sinθ)=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2 =2+2(sinθ-cosθ)2 =2+2(1-2sinθcosθ)=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.從而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故|AB|的取值范圍是［2,6］.222 7

（四）課堂小結(jié)

1.先由學(xué)生回顧本節(jié)都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識:平面向量的和、差、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算,兩個向量共線的坐標(biāo)表示.2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法,定義法、歸納、整理、概括的思想,強(qiáng)調(diào)在今后的學(xué)習(xí)中,要善于培養(yǎng)自己不斷探索、善于發(fā)現(xiàn)、勇于創(chuàng)新的科學(xué)態(tài)度和求實(shí)開拓的精神,為將來的發(fā)展打下良好基礎(chǔ).（五）作業(yè)

第三篇：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教案

“平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算”教學(xué)方案

教學(xué)目標(biāo)：

1.知識與技能：

理解平面向量坐標(biāo)的概念，掌握平面向量坐標(biāo)的運(yùn)算。2.過程與方法：

在對平面向量坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算的學(xué)習(xí)過程中使學(xué)生的演繹、歸納、猜想、類比的能力得到發(fā)展，利用圖形解決問題，也讓學(xué)生體會到數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的能力的重要性。3.情感、態(tài)度與價值觀：

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與實(shí)際生產(chǎn)、生活的密切聯(lián)系，體會客觀世界中事物之間普遍聯(lián)系的辯證唯物主義觀點(diǎn)。教學(xué)重點(diǎn)：

平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn)：

平面向量坐標(biāo)表示的意義。教學(xué)方法：

結(jié)合本節(jié)課的目標(biāo)要求、重難點(diǎn)的確定以及學(xué)生實(shí)際思維水平，教學(xué)設(shè)計(jì)中采取啟發(fā)引導(dǎo)、類比歸納、合作探究、實(shí)踐操作等教學(xué)方法。教學(xué)手段：

投影儀、多媒體軟件 教學(xué)過程 1.情境創(chuàng)設(shè)

教師借助多媒體動畫演示人站在高處拋擲硬物的過程作為本節(jié)課的問題情境引入課題，引導(dǎo)學(xué)生注意觀察硬物下落軌跡，提出問題：結(jié)合同學(xué)們的生活常識及物理學(xué)知識，想一想硬物的速度可做怎樣的分解？

學(xué)生回答：速度可按豎直和水平兩個方向進(jìn)行分解

設(shè)計(jì)目的：情境與生活聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，同時為下面展開的知識做

好鋪墊。

2.展開探究

問題一：平面向量的基本定理內(nèi)容是什么？ 教師請一學(xué)生回答，同時投影出示其內(nèi)容。問題二：向量能不能象平面坐標(biāo)系中點(diǎn)一樣給出坐標(biāo)表示呢？我們?nèi)绾伪硎靖?/p>

合理呢？

組織學(xué)生談?wù)?，給出各種想法，教師做點(diǎn)評歸納。投影展示：將一任意向量a置于直角坐標(biāo)系中，給出向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)，并 提出問題 問題三：既然向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)是確定的，那么向量也可以用一對實(shí)數(shù)來表示嗎？

設(shè)計(jì)目的：此問題引發(fā)學(xué)生聯(lián)想，對平面向量坐標(biāo)表示方法具有指導(dǎo)性作用。教師講授：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與 x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x,y，使得a=xi+yj ,我們把 叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，(x,y)式叫做向量的坐標(biāo)表示。

3.深化理解

一.平面向量坐標(biāo)表示的的理解 提出問題：

(1)、如果以原點(diǎn)O作為起點(diǎn)作一向量OA=a（投影動畫同步演示），那么點(diǎn)A的位置是否可以唯一確定呢？

(2)、點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量OA的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？(3)、兩個向量相等的充要條件利用坐標(biāo)如何進(jìn)行表示呢？

(4)、如果我們將一個平面向量在直角坐標(biāo)系中作任意平移（不該表大小和方向），那么它的坐標(biāo)會改變嗎？

組織學(xué)生以小組為單位展開探究交流活動，在討論后回答上述問題，可師生共同完善答案，歸納如下:

(1)、點(diǎn)A的位置受向量OA決定，唯一確定。

(2)、以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量OA的坐標(biāo)和終點(diǎn)A的坐標(biāo)事完全相同的。(3)、兩個平面向量相等的充要條件是兩個向量的坐標(biāo)相同。

(4)、在直角坐標(biāo)系中平面向量在大小和方向不變的前提下自由移動，它們的坐標(biāo)就是相同的。

設(shè)計(jì)目的：讓學(xué)生在合作探究中去主動學(xué)習(xí)，不僅鍛煉了解決問題的能力，還培養(yǎng)了探究協(xié)作的能力。

出示練習(xí)：用基底i、j分別表示向量a、b、c、d，并求出它們的坐標(biāo)（圖略）。教師讓學(xué)生獨(dú)立完成，之后借助投影讓 個別學(xué)生展示完成情況，教師點(diǎn)評。設(shè)計(jì)目的：增進(jìn)了所學(xué)新知的內(nèi)化。

二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

提出問題：通過以上研究，我們了解了平面向量的坐標(biāo)表示，向量是可以進(jìn)行運(yùn)

算的，如何運(yùn)用所學(xué)的知識進(jìn)行兩個向量的和與差的坐標(biāo)表示及實(shí)數(shù) 與向量積的坐標(biāo)表示呢？

投影出示：已知向量a=（s，t），b=(m,n)，求向量a+b，a-b, λa的坐標(biāo)

學(xué)生展開討論，可能給出多種推導(dǎo)方法，教師要耐心給與點(diǎn)評，并做最后歸納。（1）向量加減法的坐標(biāo)等于向量坐標(biāo)的加減法。

（2）實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于是屬于向量坐標(biāo)的積。

（3）一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo) 教師提問：設(shè)AB是表示向量a的有向線段，點(diǎn)A(s,t)，B(m,n)，那么向量a的坐標(biāo)如何表示？

學(xué)生結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算可得出答案，a=(m-s,n-t)，教師強(qiáng)調(diào)

一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)計(jì)目的 ：此環(huán)節(jié)教師充當(dāng)引導(dǎo)者，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生在討論思考中享受成功的快樂。

4.例題剖析

例

1、已知平行四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

變式：已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，使這四點(diǎn)成為平行四邊形的四個頂點(diǎn)。

教師給學(xué)生充足時間獨(dú)立思考，適當(dāng)時可提示作圖理解，而變式對學(xué)生來說

難度增大，要鼓勵學(xué)生大膽嘗試，獨(dú)立求解，并提示要考慮圖形的多種畫法。設(shè)計(jì)目的：通過例題和變式綜合考查學(xué)生對本節(jié)所學(xué)知識的理解和掌握程度，也促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用知識解決問題的能力。

5.課堂小結(jié)

請學(xué)生對本節(jié)課內(nèi)容作歸納，不足之處師生補(bǔ)充完善，最后教師作總結(jié)式說明。1.向量的坐標(biāo)表示是向量的另一種表示形式，也可以稱之為向量的代數(shù)表示，其背景是平面向量的基本定理。

2.向量的坐標(biāo)表示為我們進(jìn)行向量的運(yùn)算提供了方便。

3.向量的坐標(biāo)表示使得我們借助數(shù)的運(yùn)算對圖形的幾何性質(zhì)展開研究，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用。

前面我們還學(xué)習(xí)了這留待我們下一 節(jié)再來研究。

6.布置作業(yè)（1）.課后習(xí)題

（2）如何運(yùn)用向量坐標(biāo)來表示和判定共線向量呢？讓學(xué)生預(yù)習(xí)下節(jié)內(nèi)容。

7.板書設(shè)計(jì)

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.平面向量的坐標(biāo)

例1

變式 定義

解：

解：（1）

（2）

（3）

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

第四篇：《空間向量》專題3 非坐標(biāo)運(yùn)算 學(xué)案（Word版含答案）

《空間向量》專題3-1

非坐標(biāo)運(yùn)算

（4套，4頁，含答案）

知識點(diǎn)：

非坐標(biāo)運(yùn)算：

（1）加減與數(shù)乘運(yùn)算：

定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下

；；；

（2）運(yùn)算律：

⑴加法交換律：；

⑵加法結(jié)合律：；

⑶數(shù)乘分配律：；

（3）

用行路法分解向量，會比較簡單，容易理解。

具體操作方法：假設(shè)自己行路，繞路行，如果行路方向與向量方向一致，則向量為正，否則為負(fù)；把行

路經(jīng)過的向量相加即為該向量分解的結(jié)果。

（4）向量的數(shù)量積：

．

已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點(diǎn)在上的射影，作點(diǎn)在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影.可以證明的長度．

（5）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：

（1）．（2）．（3）．

（6）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：

（1）．

（2）（交換律）（3）（分配律）．

典型例題：

1.在空間四邊形OABC中，＋－等于（答案：C；

解析：?。絆－＝＋＝.)

A．

B．

C．

D．

2.如圖所示，已知平行六面體OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，′＝b，D是四邊形OABC的中心，則（答案：D；

解析：　＝＋＝＋＝＋(＋)＝a－b＋c.)

A.＝－a＋b＋c

B.＝－b－a－c

C.＝a－b－c

D.＝a－b＋c

3.如圖所示，已知正三棱錐A－BCD的側(cè)棱長和底面邊長都是a，點(diǎn)E，F(xiàn)，G是AB，AD，DC上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，求下列向量的數(shù)量積：

(1)A·D；(2)A·B；(3)G·A；(4)E·B.答案：－a2，0，－a2，a2；

解析：(1)|A|＝a，||＝a，〈A，D〉＝120°，所以A·D＝|||D|cos

120°＝－a2.(2)因?yàn)锽＝A－A，所以A·B＝A·(A－A)＝A·A－A·A，又因?yàn)閨A|＝a，||＝a，〈A，A〉＝〈A，A〉＝60°，所以A·B＝a2－a2＝0.(3)因?yàn)辄c(diǎn)F，G是AD，DC上的點(diǎn)，所以G＝＝－A，所以G·A＝－，因?yàn)椋絘2，所以G·A＝－a2.(4)因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD上的點(diǎn)，所以E＝B，所以E·B＝B·B，結(jié)合圖形可知〈B，B〉＝60°，所以E·B＝B·B＝×a×a×cos

60°＝a2.隨堂練習(xí)：

1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量的是（答案：D；

解析：?、?＋)＋＝＋＝；

②(＋)＋＝＋＝；

③(＋)＋＝＋＝；

④(＋)＋＝＋＝.)

①(＋)＋；

②(＋)＋；

③(＋)＋；

④(＋)＋.A．①③

B．②④

C．③④

D．①②③④

2.在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn)，若＝a，＝b，＝c.試用a，b，c表示向量.答案：a－b＋c；

解析：　＝(＋)＝(＋＋)

＝(－＋－－)

＝－＋

＝a－b＋c.3.在空間四邊形ABCD中，A·C＋B·A＋C·B＝___

答案：0；

解析：　設(shè)A＝b，A＝c，A＝d，則C＝d－c，B＝d－b，＝c－b.原式＝0._____.《空間向量》專題3-2

非坐標(biāo)運(yùn)算

1.在平行六面休ABCD－A′B′C′D′中，若＝x＋2y＋3z，則x＋y＋z等于（答案：B；

解析：　如圖，＝＋＋

＝＋－，所以x＝1，2y＝1，3z＝－1，所以x＝1，y＝，z＝－，因此x＋y＋z＝1＋－＝.)

A．1

B.C.D.2.如圖，空間四邊形OABC中，點(diǎn)M、N分別OA、BC上，OM=2MA，BN=CN，則MN=（答案：B；）

A．12OA?23OB+12OC

B．?23OA+12OB+12OC

C．12OA+12OB?12OC

D．23OA+23OB?12OC

3.如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，則AC1的長為（答案：D；

解析：　∵＝A＋A＋，∴||＝＝

∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴〈A，A〉＝90°，〈A，〉＝〈A，〉＝60°.∴|A|＝＝.)

A.B.C.D.《空間向量》專題3-3

非坐標(biāo)運(yùn)算

1.如圖所示，在平行六面體A1B1C1D1－ABCD中，M是AC與BD的交點(diǎn)，若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與

相等的向量是（答案：A；

解析：?。剑剑?＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.)

A．－a＋b＋c

B.a＋b＋c

C.a－b＋c

D．－a－b＋c

2.如圖所示，四棱錐P－OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)O＝a，O＝b，O＝c，E、F分別是PC和PB的中點(diǎn)，試用a，b，c表示：B、B、A、E.答案：B＝－a－b＋c，B＝－a－b＋c，A＝－a＋b＋c，E＝a；

解析：　連結(jié)BO，則B＝B＝(B＋O)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.B＝B＋C＝－a＋C＝－a＋(C＋O)＝－a－b＋c.A＝A＋P＝A＋O＋(P＋O)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.E＝C＝O＝a.3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，則＝____

答案：－a＋b－c；

解析：?。剑剑?＋)＝－a＋b－c.____.(用a，b，c表示)

《空間向量》專題3-4

非坐標(biāo)運(yùn)算

1.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，M、N分別為BC、PD的中點(diǎn)，求滿足M＝x＋y＋z的實(shí)數(shù)x，y，z的值．

答案：x＝－1，y＝0，z＝；

解析：?。剑剑剑?－)＝－＋，∴x＝－1，y＝0，z＝.2.如圖所示，已知ABCD－A1B1C1D1是平行六面體．

(1)化簡＋＋，并在圖上標(biāo)出結(jié)果；

(2)設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC1B1對角線BC1上的分點(diǎn)，設(shè)＝α＋β＋γ，試求α、β、γ的值．

答案：作圖略，α＝，β＝，γ＝；

解析：

(1)如圖所示，取AA1的中點(diǎn)E，在D1C1上取一點(diǎn)F，使得D1F＝2FC1，則＝＋＋.(2)＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋.∴α＝，β＝，γ＝.3.在正四面體ABCD中，棱長為a，M，N分別是棱AB，CD上的點(diǎn)，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.答案：a；

解析：　∵M(jìn)＝M＋B＋C＝A＋(A－A)＋(A－A)＝－A＋A＋A.∴M·M＝(－A＋A＋)·(－A＋A＋A)

＝－A·A－A·A＋A·A＋2＋

＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.故|M|＝＝a.即|MN|＝a.

第五篇：空間向量及其運(yùn)算第二課時

空間向量及其運(yùn)算第二課時——空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

復(fù)習(xí)：平面向量共線的充要條件是什么？如何判斷平面內(nèi)三點(diǎn)共線？

1.向量的數(shù)乘的定義：

2.數(shù)乘運(yùn)算滿足那些定律？

3.認(rèn)識一些特殊向量，何為共線向量，平面向量？

4.三個向量共面的充要條件是什么？如何判斷平面內(nèi)四點(diǎn)共面？

練習(xí)：

P89:1,2,3

P88例1