第一篇：高代下試卷1

高代下試卷1

一、填空：（每空2分，計(jì)16分）

1、Fn中n個(gè)向量線性無關(guān)的充要條件是（）。

2、F3中，?1?(1,?1,0),?2?(?1,1,3),?3?(4,0,0),?4?(1,5,5)，W?L(?1,?,?4)，則dimW=（）。

3、設(shè)?是n維向量空間V的線性變換，且?1,?2,?,?n是V的基，則Im(?)=（）。

4、A是n階正交矩陣，則det(kA)=（）。

225、二次型q(x1,x2,x3)?x12?x2，慣性指標(biāo)為（）。?2x3?2x1x2?4x2x3的秩為（）

Art6、設(shè)?1,?2,?,?n是n階矩陣A的全部特征根，則detA=（），=（）。

二、判斷：（每題2分，計(jì)14分）

1、若?1,?,?m與?1,?,?n均線性無關(guān)，則?1,?,?m，?1,?,?n線性無關(guān)。（）

2、同一向量在不同基下的坐標(biāo)一定不同，不同向量在同一基下的坐標(biāo)可能相同。（）

3、若??L(V)，則ker(?)?ker(?2)?ker(?3)??。（）

4、設(shè)?1,?2是線性變換?的兩個(gè)不同的本征值，而?1,?2是分別屬于?1,?2的本征向量，則?1??2是?的本征向量。（）

5、n(n?0)維的歐氏空間一定有規(guī)范正交基。（）

6、行列式大于零的實(shí)對稱矩陣必為正定矩陣。（）

7、保持兩個(gè)向量距離不變的線性變換是對稱變換。（）

三、解答與證明：（70分）

1、設(shè)?1?(1,?2,4,1),?2?(2,?3,9,?1)，?3?(1,0,5,?5),?4?(2,?5,7,5)，W1?L(?1,?2),W2?L(?3,?4)，求W1?W2的基和維數(shù)。（12分）

?5

?

2、設(shè)R上三維向量空間的線性變換?關(guān)于基?1,?2,?3的矩陣為A??0

?0?

03?2

0??

?2?，問?是否可以對角化，3??

若可以，給出相應(yīng)的基。（12分）

3、證明：向量??0生成的子空間在?之下不變的充要條件是?為?的一個(gè)本征向量。（12分）

4、在歐氏空間Rn中，令?(?)?U?，其中U是一個(gè)n階正交矩陣，?是Rn中任意列向量。證明：?是Rn的正交變換。（12分）

2225、判定二次型q(x1,x2,x3)?x1?5x2?6x3?4x1x2?4x2x3是否正定，并求其標(biāo)準(zhǔn)形及相應(yīng)的線性變換。（12

分）

?06、證明：W?{??b

?

?

?|a,b?F}為F上的向量空間。（10分）a?b??a

第二篇：高代試題(下)

2008-2009 高等代數(shù)（II）期中試題

姓名班級學(xué)號

一、判斷題（正確的結(jié)論打“√”，否則打“×”。10個(gè)小題，每小題1分，共10分）

１、（）設(shè)A為n階正定矩陣，則A?1也是正定矩陣；２、（X）實(shí)二次型f(x1,?,xn)的正、負(fù)慣性指數(shù)的和等于n；

３、（X）設(shè)?是M?Z到M'?Z?的映射，?n?Z，?(n)?|n|?1，則?是單射；４、（）設(shè)V1,V2是線性空間V的兩個(gè)子空間，則V1?V2也是V的子空間；５、（）在R3中，?(x1,x2,x3)?(2x1,x2,x2?x3)是線性變換；

６、（）設(shè)A?Pn?n，?是A的特征值，則k?(k?P)是kA的特征值； ７、（）在n維歐氏空間中，?是正交變換的充要條件是：?保持向量的長度不變； ８、（）實(shí)對稱矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù)； ９、（X）同一個(gè)雙線性函數(shù)在任何一組基下的度量矩陣都是相同的；

10、（X）L(V,P)的維數(shù)等于V的維數(shù)。

二、填空題（10個(gè)小題，每小題2分，共20分）

１、實(shí)二次型的矩陣都是矩陣； ２、如果實(shí)對稱矩陣A正定，則它主對角線上的元素； ３、子空間V1，V2的和V1?V2? ４、如果向量空間V的維數(shù)是n，那么，V中任意n?1個(gè)向量都是 線性相關(guān)； ５、線性空間V上的線性變換?的零度指的是； ６、屬于特征值?0的特征向量有個(gè)； ７、在歐氏空間中，長度為0的向量有個(gè)； ８、標(biāo)準(zhǔn)正交基的度量矩陣是； ９、線性空間V上的雙線性函數(shù)f(?,?)稱為非退化的是指：；

10、線性空間V也可看成V*的線性函數(shù)空間。

三、計(jì)算題（3個(gè)小題，每小題10分，共30分）

１、設(shè)?1?(1,2,1,0)，?2?(?1,1,1,1)；?1?(2,?1,0,1)，?2?(1,?1,3,7)，試求L(?1,?2)與L(?1,?2)交空間的基和維數(shù)。

２、已知線性變換在某一組基下的矩陣

66??3

??A??020?

??3?12?6???可以對角化，試寫出相應(yīng)的基變換的過度矩陣T，并驗(yàn)算T?1AT。３、在R[x]4中定義內(nèi)積為(f(x),g(x))?

?

?1

f(x)g(x)dx，求R[x]4的一組正交基。

四、證明題（４個(gè)小題，每小題10分，共４0分）

１、設(shè)A?C，A?A'，證明：存在B?C，使A?B'B。

２、把復(fù)數(shù)域C看成是實(shí)數(shù)域R上的線性空間，試用兩種方法證明C與R2同構(gòu)。

３、證明：在線性空間V中，如果線性變換?以V中每一個(gè)非零向量作為它的特征向量，則?是數(shù)乘變換。

４、證明：歐氏空間中的任意正交向量組都是線性無關(guān)的。

n?n

n?n

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第三篇：高代提綱

(一)實(shí)數(shù)集與函數(shù)

1、實(shí)數(shù)：實(shí)數(shù)的概念；實(shí)數(shù)的性質(zhì)；絕對值不等式。

2、函數(shù)：函數(shù)的概念；函數(shù)的定義域和值域；復(fù)合函數(shù)；反函數(shù)。

3、函數(shù)的幾何特性：單調(diào)性；奇偶性；周期性。

要求：理解和掌握絕對值不等式的性質(zhì)，會求解絕對值不等式；掌握函數(shù)的概念和表示方法，會求函數(shù)的定義域和值域，會證明具體函數(shù)的幾何特性。

(二)數(shù)列極限

1、數(shù)列極限的概念（??N定義）。

2、數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性；有界性；保號性。

3、數(shù)列極限存在的條件：單調(diào)有界準(zhǔn)則；兩邊夾法則。

要求：理解和掌握數(shù)列極限的概念，會使用??N語言證明數(shù)列的極限；掌握數(shù)列極限的基本性質(zhì)、運(yùn)算法則以及數(shù)列極限的存在條件(單調(diào)有界原理和兩邊夾法則)，并能運(yùn)用它們求數(shù)列極限；了解無窮小量和無窮大量的概念性質(zhì)和運(yùn)算法則，會比較無窮小量與無窮大量的階。(三)函數(shù)極限

1、函數(shù)極限的概念（???定義、??X定義）；單側(cè)極限的概念。

2、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性；局部有界性；局部保號性。

3、函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系。

4、兩個(gè)重要極限。

要求：理解和掌握函數(shù)極限的概念，會使用???語言以及??X語言證明函數(shù)的極限；掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)、運(yùn)算法則，會使用海涅歸結(jié)原理證明函數(shù)極限不存在；掌握兩個(gè)重要極限并能利用它們來求極限；了解單側(cè)極限的概念以及求法。

(四)函數(shù)連續(xù)

1、函數(shù)連續(xù)的概念：一點(diǎn)連續(xù)的定義；區(qū)間連續(xù)的定義；單側(cè)連續(xù)的定義；間斷點(diǎn)的分類。

2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部性質(zhì)及運(yùn)算；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性）；復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性；反函數(shù)的連續(xù)性。

3、初等函數(shù)的連續(xù)性。

要求：理解與掌握函數(shù)連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義以及它們的區(qū)別和聯(lián)系，會證明具體函數(shù)的連續(xù)以及一致連續(xù)性；理解與掌握函數(shù)間斷點(diǎn)的分類；能正確敘述并簡單應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)以及初等函數(shù)的連續(xù)性。

（五）實(shí)數(shù)系六大基本定理及應(yīng)用

1、實(shí)數(shù)系六大基本定理：確界存在定理；單調(diào)有界定理；閉區(qū)間套定理；致密性定理；柯西收斂準(zhǔn)則；有限覆蓋定理。

2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明：有界性定理的證明；最值性定理的證明；介值性定理的證明；一致連續(xù)性定理的證明。

要求：理解和掌握上、下確界的定義，會求具體數(shù)集的上、下確界；理解和掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)及其證明；能正確敘述實(shí)數(shù)系六大基本定理的內(nèi)容及其證明思想，會使用開覆蓋以及二分法構(gòu)造區(qū)間套進(jìn)行簡單證明。

（六）導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義；單側(cè)導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

2、求導(dǎo)法則：初等函數(shù)的求導(dǎo)；反函數(shù)的求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)；隱函數(shù)的求導(dǎo)；參數(shù)方程的求導(dǎo)；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(四則運(yùn)算)。

3、微分：微分的定義；微分的運(yùn)算法則；微分的應(yīng)用。

4、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。

要求：能熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求具體函數(shù)的（高階）導(dǎo)數(shù)和微分；理解和掌握可導(dǎo)與可微、可導(dǎo)與連續(xù)的概念及其相互關(guān)系；掌握左、右導(dǎo)數(shù)的概念以及分段函數(shù)求導(dǎo)方法，了解導(dǎo)函數(shù)的介值定理。

（七）微分學(xué)基本定理

1、中值定理：羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理。

2、泰勒公式。

要求：理解和掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；了解泰勒公式及在近似計(jì)算中的應(yīng)用，能夠把某些函數(shù)按泰勒公式展開

（八）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、函數(shù)的單調(diào)性與極值。

2、函數(shù)凹凸性與拐點(diǎn)。

3、幾種特殊類型的未定式極限與洛必達(dá)法則。

要求：理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性，會使用這些性質(zhì)求函數(shù)的極值點(diǎn)以及拐點(diǎn)；能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線等進(jìn)行作圖；能熟練地運(yùn)用洛必達(dá)法則求未定式的極限。

（九）不定積分

1、不定積分概念。

2、換元積分法與分部積分法。

3、有理函數(shù)的積分。

要求：理解和掌握原函數(shù)和不定積分概念以及它們的關(guān)系；熟記不定積分基本公式，掌握換元積分法、分部積分法，會求初等函數(shù)、有理函數(shù)、三角函數(shù)的不定積分。

（十）定積分

1、定積分的概念；定積分的幾何意義。

2、定積分存在的條件：可積的必要條件和充要條件；達(dá)布上和與達(dá)布下和；可積函數(shù)類(連續(xù)函數(shù)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù))。

3、定積分的性質(zhì)：四則運(yùn)算；絕對值性質(zhì)；區(qū)間可加性；不等式性質(zhì)；積分中值定理。

4、定積分的計(jì)算：變上限積分函數(shù)；牛頓-萊布尼茲公式；換元公式；分部積分公式。要求：理解和掌握定積分概念、可積的條件以及可積函數(shù)類；熟練掌握和運(yùn)用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法求定積分。

（十一）定積分的應(yīng)用

1、定積分的幾何應(yīng)用：微元法；求平面圖形的面積；求平面曲線的弧長；求已知截面面積的立體或者旋轉(zhuǎn)體的體積；求旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

2、定積分的物理應(yīng)用：求質(zhì)心；求功；求液體壓力。

要求：理解和掌握“微元法”；掌握定積分的幾何應(yīng)用；了解定積分的物理應(yīng)用。十二）數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1、預(yù)備知識：上、下極限；無窮級數(shù)收斂、發(fā)散的概念；收斂級數(shù)的基本性質(zhì)；柯西收斂原理。

2、正項(xiàng)級數(shù)：比較判別法；達(dá)朗貝爾判別法；柯西判別法；積分判別法。

3、任意項(xiàng)級數(shù)：絕對收斂與條件收斂的概念及其性質(zhì)；交錯(cuò)級數(shù)與萊布尼茲判別法；

阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

要求：理解和掌握正項(xiàng)級數(shù)的收斂判別法以及交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲判別法；掌握一般項(xiàng)級數(shù)的阿貝爾判別法與狄利克雷判別法；了解上、下極限的概念和性質(zhì)以及絕對收斂和條件收斂的概念和性質(zhì)。

（十三）反常積分

1、無窮限的反常積分：無窮限的反常積分的概念；無窮限的反常積分的斂散性判別法。

2、無界函數(shù)的反常積分：無界函數(shù)的反常積分的概念；無界函數(shù)的反常積分的斂散性判別法。

要求：理解和掌握反常積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂、條件收斂的概念；掌握反常積分的柯西收斂準(zhǔn)則，會判斷某些反常積分的斂散性。

（十四）函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1、一致收斂的概念。

2、一致收斂的性質(zhì)：連續(xù)性定理；可積性定理；可導(dǎo)性定理。

3、一致收斂的判別法；M-判別法；阿貝爾判別法；狄利克雷判別法。

要求：理解和掌握一致收斂的概念、性質(zhì)及其證明；能夠熟練地運(yùn)用M-判別法判斷一些函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性。

（十五）冪級數(shù)

1、冪級數(shù)的概念以及冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域。

2、冪級數(shù)的性質(zhì)。

3、函數(shù)展開成冪級數(shù)。

要求：理解和掌握冪級數(shù)的概念，會求冪級數(shù)的和函數(shù)以及它的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域；掌握冪級數(shù)的性質(zhì)以及兩種將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法，會把一些函數(shù)直接或者間接展開成冪級數(shù)。

十六）傅里葉級數(shù)

1、傅里葉級數(shù)：三角函數(shù)系的正交性；傅里葉系數(shù)。

2、以2?為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)。

3、以2L為周期的傅里葉級數(shù)。

4、收斂定理的證明。

5、傅里葉變換。

要求：理解和掌握三角函數(shù)系的正交性與傅里葉級數(shù)的概念；掌握傅里葉級數(shù)收斂性判別法；能將一些函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)；了解收斂定理的證明以及傅里葉變換的概念和性質(zhì)。十七）多元函數(shù)極限與連續(xù)

1、平面點(diǎn)集與多元函數(shù)的概念。

2、二元函數(shù)的二重極限、二次極限。

3、二元函數(shù)的連續(xù)性。

要求：理解和掌握二元函數(shù)的二重極限、二次極限的概念以及它們之間的關(guān)系，會計(jì)算一些簡單的二元函數(shù)的二重極限和二次極限；掌握平面點(diǎn)集、聚點(diǎn)的概念；了解平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本定理以及閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（十八）多元函數(shù)的微分學(xué)

1、偏導(dǎo)數(shù)與全微分：偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念；可微與可偏導(dǎo)、可微與連續(xù)、可偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

2、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)以及隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。

3、空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線。

4、方向?qū)?shù)與梯度。

5、多元函數(shù)的泰勒公式。

6、極值和條件極值

要求：理解和掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、梯度的概念及其計(jì)算；掌握多元函數(shù)可微、可偏導(dǎo)和連續(xù)之間的關(guān)系；會求空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線；會求函數(shù)的極值、最值；了解多元泰勒公式。（十九）隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)

1、隱函數(shù)：隱函數(shù)存在定理；反函數(shù)存在定理；雅克比行列式。

2、函數(shù)相關(guān)。

要求：了解隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)存在定理，會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；了解函數(shù)行列式的性質(zhì)以及函數(shù)相關(guān)。

（二十）含參變量積分以及反常積分

1、含參變量積分：積分與極限交換次序；積分與求導(dǎo)交換次序；兩個(gè)積分號交換次序。

2、含參變量反常積分：含參變量反常積分的一致收斂性；一致收斂的判別法；歐拉積分、?函數(shù)、?函數(shù)。

要求：理解和掌握積分號下求導(dǎo)的方法；掌握?函數(shù)、?函數(shù)的性質(zhì)及其相互關(guān)系；了解含參變量反常積分的一致收斂性以及一致收斂的判別法。

（二十一）重積分

1、重積分概念：重積分的概念；重積分的性質(zhì)。

2、二重積分的計(jì)算：用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分；用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；用一般變換計(jì)算二重積分。

3、三重積分計(jì)算：用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分；用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分；用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分。

4、重積分應(yīng)用：求物體的質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；求立體體積，曲面的面積；求引力。要求：理解和掌握二重、三重積分的各種積分方法和特點(diǎn)，會選擇最合適的方法進(jìn)行積分；掌握并合理運(yùn)用重積分的對稱性簡化計(jì)算；了解柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)積分元素的推導(dǎo)。（二十二）曲線積分與曲面積分

1、第一類曲線積分：第一類曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算；第一類曲線積分的對稱性。

2、第二類曲線積分：第二類曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算；兩類曲線積分的聯(lián)系。

3、第一類曲面積分：第一類曲面積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算；第一類曲面積分的對稱性。

4、第二類曲面積分：曲面的側(cè)；第二類曲面積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算；兩類曲面積分的聯(lián)系。

5、格林公式：曲線積分與路徑的無關(guān)的四種等價(jià)敘述。

6、高斯公式。

7、斯托克斯公式。

8、場論初步：梯度；散度；旋度。

要求：理解和掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算，會使用對稱性簡化第一類曲線以及曲面積分；熟練掌握格林公式、高斯公式的證明并能利用它們求一些曲線積分和曲面積分；了解兩類曲線積分及曲面積分的區(qū)別和聯(lián)系；了解斯托克斯公式和場論初步。

《高等代數(shù)》復(fù)習(xí)參考提綱

（一）多項(xiàng)式

數(shù)域，整除的概念與性質(zhì)，最大公因式，因式分解，重因式，多項(xiàng)式函數(shù)，有理系數(shù)多項(xiàng)式，多元多項(xiàng)式，對稱多項(xiàng)式。

（二）行列式

排列，n階行列式的概念，n階行列式的性質(zhì)，行列式的計(jì)算，行列式按一行（列）展開，拉普拉斯（Lap lace）定理，克蘭姆法則。

(三)線性方程組

消元法，矩陣，矩陣的秩，線性方程組的初等變換等概念及性質(zhì)，線性方程組有解判別定理。n維向量的概念及運(yùn)算；向量組的線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念；向量組的線性相關(guān)性的判定；兩個(gè)向量組的等價(jià)；向量組的極大無關(guān)組、秩的概念及性質(zhì)；向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系。線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

(四)矩陣

矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊矩陣的初等變換及應(yīng)用。

(五)二次型

二次型的矩陣表示，標(biāo)準(zhǔn)形，唯一性，慣性定律，正定二次型。

（六）線性空間

線性空間的概念與性質(zhì)，維數(shù)，基，坐標(biāo)，基變換，坐標(biāo)變換，子空間，子空間的和與交，子空間的直和，線性空間的同構(gòu)。

（七）線性變換

線性變換的概念與性質(zhì)，線性變換的運(yùn)算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，矩陣相似對角矩陣的各種條件，線性變換的值域和核，不變子空間，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，最小多項(xiàng)式。

（八）?-矩陣

?-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，行列式因子，不變因子，初等因子，矩陣相似的條件，矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形。

（九）歐幾里得空間

歐幾里得空間的概念與性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，歐幾里得空間的子空間與同構(gòu)，正交變換與對稱變換，Schimidt正交化方法，實(shí)對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，最小二乘法，酉空間。

（十）雙線性函數(shù)

線性函數(shù)，對偶空間，雙線性函數(shù)。

第四篇：高代考研大綱[定稿]

《高等代數(shù)》復(fù)習(xí)參考提綱

課程考試內(nèi)容

（一）多項(xiàng)式

數(shù)域，整除的概念與性質(zhì)，最大公因式，因式分解，重因式，多項(xiàng)式函數(shù)，有理系數(shù)多項(xiàng)式，多元多項(xiàng)式，對稱多項(xiàng)式。

（二）行列式

排列，n階行列式的概念，n階行列式的性質(zhì)，行列式的計(jì)算，行列式按一行（列）展開，拉普拉斯（Lap lace）定理，克蘭姆法則。

(三)線性方程組

消元法，矩陣，矩陣的秩，線性方程組的初等變換等概念及性質(zhì)，線性方程組有解判別定理。n維向量的概念及運(yùn)算；向量組的線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念；向量組的線性相關(guān)性的判定；兩個(gè)向量組的等價(jià)；向量組的極大無關(guān)組、秩的概念及性質(zhì)；向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系。線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

(四)矩陣

矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊矩陣的初等變換及應(yīng)用。

(五)二次型

二次型的矩陣表示，標(biāo)準(zhǔn)形，唯一性，慣性定律，正定二次型。

（六）線性空間

線性空間的概念與性質(zhì)，維數(shù)，基，坐標(biāo)，基變換，坐標(biāo)變換，子空間，子空間的和與交，子空間的直和，線性空間的同構(gòu)。

（七）線性變換

線性變換的概念與性質(zhì)，線性變換的運(yùn)算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，矩陣相似對角矩陣的各種條件，線性變換的值域和核，不變子空間，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，最小多項(xiàng)式。

（八）?-矩陣

?-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，行列式因子，不變因子，初等因子，矩陣相似的條件，矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形。

（九）歐幾里得空間

歐幾里得空間的概念與性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，歐幾里得空間的子空間與同構(gòu)，正交變換與對稱變換，Schimidt正交化方法，實(shí)對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，最小二乘法，酉空間。

（十）雙線性函數(shù)

線性函數(shù)，對偶空間，雙線性函數(shù)。

考試形式與試題結(jié)構(gòu)

1、試卷分值：150分

2、考試時(shí)間：180分鐘

3、考試形式：閉卷

4、題型結(jié)構(gòu)：填空題，計(jì)算題，證明題。

參考書目

1、北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，《高等代數(shù)》（第三版），北京，高等教育出版社。

2、張禾瑞，郝鈵新，《高等代數(shù)》（第四版），北京，高等教育出版社。

3、李師正等，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，北京，高等教育出版社。

第五篇：高代習(xí)題

1、在P2?2?10?中，令W?{B?P2?2|AB?BA}，其中A??.??32?

（1）證明：W是P2?2的一個(gè)子空間；

（2）求W的維數(shù)及一組基。

2、設(shè)n階實(shí)方陣A滿足矩陣方程：A?4A?3E?0.證明：B?(2E?A)T(2E?A)2

是正定矩陣。

3、設(shè)n階實(shí)方陣A是可逆的，試證明：A的逆矩陣A?1與伴隨矩陣A*都可表示為A的多項(xiàng)式。

4、已知?1,?2,?3是線性空間V3的一組基，線性變換?在該組基下的矩陣為：

?122??A??212??，??221??

且?1??1??2??3,?2???1??2,?3???2??3.（1）證明：?1,?2,?3也是V3的一組基；

（2）求?在基?1,?2,?3下的矩陣。

?32?1???

5、設(shè)3階方陣A???2?22?.（1）證明：A可對角化；（2）試求兩個(gè)可逆

??36?1??

?1?1,PP?PPAP?P矩陣P且，使得1212112AP2??為對角形矩陣。

6、設(shè)3階方陣A的三個(gè)特征值分別為0，1，－1，其對應(yīng)的特征向量依次為：

?0??1??2??,X??1?,X??4?X1??1??2??3??,????2????1???0??

試求A100.