第一篇：向量與三角形的重心

向量與三角形的重心

????????????例1 已知A，B，C是不共線的三點(diǎn)，G是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若GA?GB?GC?0．求

證：G是△ABC的重心．

????????????????????????證明：如圖1所示，因?yàn)镚A?GB?GC?0，所以GA??(GB?GC)．

????????????????????以GB，GC為鄰邊作平行四邊形BGCD，則有GD?GB?GC，????????所以GD??GA．

????????又因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜝GCD中，BC交GD于點(diǎn)E，所以BE?EC，????????????????GE?ED．所以AE是△ABC的邊BC的中線，且GA?2GE．

故G是△ABC的重心．

點(diǎn)評：①解此題要聯(lián)系重心的性質(zhì)和向量加法的意義；②把平面幾何知識和向量知識結(jié)合起來解決問題是解此類問題的常用方法．

變式引申：已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，AC，AB的中點(diǎn)．求證： ????????????AD?BE?CF?0．

證明：如圖2的所示，????????????????????????????????????????????AD?AC?CD????????????????2AD?AC?AB?CD?BD，即2AD?AC?AB． AD?AB?BD??

????????????????????????同理2BE?BA?BC，2CF?CA?CB．

?????????????2A(D?BE?C)F?A?C

????????????0?C?F?AD?BE． ????????????????．?AB?BA?B0C? CA?CB????????

點(diǎn)評：該例考查了三角形法則和向量的加法．

例2 如圖3所示，△ABC的重心為G，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，????????????????OA?a，OB?b，OC?c，試用a，b，c表示OG．

解：設(shè)AG交BC于點(diǎn)M，則M是BC的中點(diǎn)，????????????b?aAB?AC?BC?c?b．則，c?a，?????1??????1??1?AM?ABb?C?a?(c?b)?(c?b?2a)． 22

2??????21????AGA(c?b?2a．)3

3????????????11故OG?OA?AG?a?(c?b?2a)?(a?b?c)． 33

點(diǎn)評：重心問題是三角形的一個重要知識點(diǎn)，充分利用重心性質(zhì)及向量加、減運(yùn)算的幾何意義是解決此類題的關(guān)鍵．

變式引申：如圖4，平行四邊形ABCD的中心為O，????1????????????????P為該平面上任意一點(diǎn)，則PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

?????????????????????????????????????PO?PA?AO，PO?PB?BO，PO?PC?CO，證法1：

????????????PO?PD?DO，?????????????????P?BP?C PD?4PO?PA，???? ????1????????????????即PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

????1????????????1????????證法2：?PO?(PA?PC)，PO?(PB?PD)，22

????1?????????????????PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

點(diǎn)評：（1）證法1運(yùn)用了向量加法的三角形法則，證法2運(yùn)用了向量加法的平行四邊形法則．

????????????????（2）若P與O重合，則上式變?yōu)镺A?OB?OC?OD?0．

第二篇：向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識

向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識的交匯一、四心的概念介紹

（1）重心——中線的交點(diǎn)：重心將中線長度分成2：1；

（2）垂心——高線的交點(diǎn)：高線與對應(yīng)邊垂直；

（3）內(nèi)心——角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；

（4）外心——中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。

二、四心與向量的結(jié)合（1）????O是?ABC的重心.證法1：設(shè)O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1?x2?x3?x???(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?3????? ?O是?ABC??(y?y)?(y?y)?(y?y)?0y?y?y23?123?y?1?3?的重心.證法2：如圖 ?OA?OB?OC

?OA?2OD?0

?AO?2OD

?A、O、D三點(diǎn)共線，且O分AD為2：

1?O是?ABC的重心（2）??????O為?ABC的垂心.????(?)???0 BDC證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.?? 同理?，? ?O為?ABC的垂心

（3）設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長，O是?ABC的內(nèi)

aOA?bOB?cOC?0?O為?ABC的內(nèi)心.證明：?BD

C心 AC方向上的單位向量，分別為AB、cb?ABAC?平分?BAC, cb

?AO??(bc?)，令?? cba?b?c

??ABACbc?（）cba?b?c化簡得(a?b?c)OA?bAB?cAC?0

（4）???O為?ABC的外心。?aOA?bOB?cOC?

典型例題：

例1：O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足???(?)，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

分析：如圖所示?ABC，D、E分別為邊BC、AC的中點(diǎn).???2 ???2?

???

BD

C

?AP?2?AD

?//

?點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的重心，即選C.例2：（03全國理4）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P

滿足????，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（B）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

分析：方向上的單位向量，分別為平分?BAC, ??點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的內(nèi)心，即選B.例3：O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿

足????，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足

.??

?

?

C

=

=0

?點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的垂心，即選D.練習(xí)：

1．已知?ABC三個頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，滿足???，若實(shí)數(shù)?滿足：AB?AC??AP，則?的值為（）

A．2B．

32C．3D．6

2．若?ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，???，則OA?OB?()

A．

12B．0C．1D．?1

3．點(diǎn)O在?ABC內(nèi)部且滿足OA?2OB?2OC?0，則?ABC面積與凹四邊形ABOC面積之比是（A．0B．3

2C．

544D．3

4．?ABC的外接圓的圓心為O，若???，則H是?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

5．O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，若2?2?

2?CA2?OC2?AB2，則O是?ABC的（）

A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

6．?ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，?m(??)，則實(shí)數(shù)m =

7．（06陜西）已知非零向量AB→與AC→滿足(AB→

|AB→|+AC→

|AC→|)·BC→=0且AB→

|AB→|·AC→

|AC→|=12 , 則△ABC為()

A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形

C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形

8．已知?ABC三個頂點(diǎn)A、B、C，若AB2?AB?AC?AB?CB?BC?CA，則?ABC為（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形

練習(xí)答案：C、D、C、D、D、1、D、C

3）

第三篇：三角形外心內(nèi)心重心垂心與向量性質(zhì)

三 角 形 的“四 心”

所謂三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及內(nèi)心。當(dāng)三角形是正三角形時，四心重合為一點(diǎn)，統(tǒng)稱為三角形的中心。一、三角形的外心

定

義：三角形三條中垂線的交點(diǎn)叫外心，即外接圓圓心。?ABC的重心一般用字母O表示。性

質(zhì)：

1.外心到三頂點(diǎn)等距，即OA?OB?OC。

2.外心與三角形邊的中點(diǎn)的連線垂直于三角形的這一邊，即OD?BC,OE?AC,OF?AB.3.向量性質(zhì)：若點(diǎn)O為?ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足(OA?OB)?BA?(OB?OC)?CB?(OC?OA)?AC，則點(diǎn)O為?ABC的外心。二、三角形的內(nèi)心

定

義：三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，即內(nèi)切圓圓心。?ABC的內(nèi)心一般用字母I表示，它具有如下性質(zhì)： 性

質(zhì)：

1.內(nèi)心到三角形三邊等距，且頂點(diǎn)與內(nèi)心的連線平分頂角。2.三角形的面積＝1?三角形的周長?內(nèi)切圓的半徑． 23.向量性質(zhì)：設(shè)???0,???，則向量AP??(點(diǎn)P的軌跡過?ABC的內(nèi)心。

AB|AB||AC|?AC)，則動 三、三角形的垂心

定

義：三角形三條高的交點(diǎn)叫重心。?ABC的重心一般用字母H表示。性

質(zhì)：

1.頂點(diǎn)與垂心連線必垂直對邊，即AH?BC,BH?AC,CH?AB。2.向量性質(zhì)：

結(jié)論1：若點(diǎn)O為?ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OA?OB?OB?OC?OC?OA，則點(diǎn)O為?ABC的垂心。

結(jié)論2：若點(diǎn)O為△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OA?BC?OB?CA?OC?AB，則點(diǎn)O為?ABC的垂心。

22222

2四、三角形的“重心”：

定

義：三角形三條中線的交點(diǎn)叫重心。?ABC的重心一般用字母G表示。

性

質(zhì)：

1.頂點(diǎn)與重心G的連線必平分對邊。

2.重心定理：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對邊中點(diǎn)的距離的2倍。

即GA?2GD,GB?2GE,GC?2GF 3.重心的坐標(biāo)是三頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均值． 即xG?xA?xB?xCy?yB?yC,yG?A.334.向量性質(zhì)：（1）GA?GB?GC?0；（2）PG?

1(PA?PB?PC)。3 2

第四篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ABC，P為平面上的點(diǎn)，則

(1)P為外心

(2)P為重心

(3)P為垂心

證明(1)如P為△ABC的外心(圖1)，則 PA=PB=PC，(2)如P為△ABC的重心，如圖2，延長AP至D，使PD=PA，設(shè)AD與BC相交于E點(diǎn)．

由重心性質(zhì)

∴ 四邊形PBDC為平行四邊形．

BC和PD之中點(diǎn)．

心．

(3)如圖3，P為△ABC的垂心

同理PA⊥AC，故P為△ABC之垂心．

由上不難得出這三個結(jié)論之間的相互關(guān)系：

∴ △ABC為正三角形．

∴ △ABC為正三角形，且O為其中心．

第五篇：三角形重心

重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，三線交一可用燕尾定理證明，十分簡單。證明過程又是塞瓦定理的特例。

已知：△ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，AD與BE交于O，CO延長線交AB于F。求證：F為AB中點(diǎn)。

證明：根據(jù)燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再應(yīng)用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。

重心的幾條性質(zhì)：

1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

2、重心和三角形3個頂點(diǎn)組成的3個三角形面積相等。

3、重心到三角形3個頂點(diǎn)距離的平方和最小。

4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為

((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（z1+z2+z3）/35、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。

指三角形三條邊的垂直平分線的相交點(diǎn)。用這個點(diǎn)做圓心可以畫三角形的外接圓。指三角形外接圓的圓心，一般叫三角形的外心。

三角形的外心是三邊中垂線的交點(diǎn),且這點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等。

外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，即外接圓的圓心。

外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的外心。

注意到外心到三角形的三個頂點(diǎn)距離相等，結(jié)合垂直平分線定義，外心定理其實(shí)極好證。計(jì)算外心的重心坐標(biāo)是一件麻煩的事。先計(jì)算下列臨時變量：

d1,d2,d3分別是三角形三個頂點(diǎn)連向另外兩個頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐標(biāo)：((c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。