第一篇：講義---平面向量與三角形四心的交匯

講義---平面向量與三角形四心的交匯 一、四心的概念介紹

（1）重心——中線的交點(diǎn)：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心——高線的交點(diǎn)：高線與對應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心——角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心——中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合

（1）OA?OB?OC?0?O是?ABC的重心.證法1：設(shè)O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1?x2?x3?x???(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?3?? ?OOA?OB?OC?0??y?y?y23?(y1?y)?(y2?y)?(y3?y)?0?y?1?3?是?ABC的重心.證法2：如圖

A?OA?OB?OC ?OA?2OD?0

?AO?2OD

?A、O、D三點(diǎn)共線，且O分AD

為2：1

OE?O是?ABC的重心

（2）OA?OB?OB?OC證明：如圖所示O是三角形

BDC?OC?OA?O為?ABC的垂心.ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.OA?OB?OB?OC?OB(OA?OC)?OB?CA?0

A?OB?AC

E同理OA?BC，OC?AB

BO?O為?ABC的垂心

（3）設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長，O是?ABC的內(nèi)心

aOA?bOB?cOC?0?O為?ABC的內(nèi)心.ABAC、分別為AB、AC方向上的單位向量，cbABAC?平分?BAC, ?cbABACbc?)，令?? ?AO??(a?b?ccb證明：?DC?AO?ABACbc?（）a?b?ccb化簡得(a?b?c)OA?bAB?cAC?0

?aOA?bOB?cOC?0

（4）OA?OB?OC?O為?ABC的外心。

三、典型例題：

例1：O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足OP?OA??(AB?AC)，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

例2：（03全國理4）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)

P滿足OP?OA??(ABAB?ACAC)，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

例3：1)O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)

P滿足OP?OA??(ABABcoBs?ACACcoCs)，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

2)已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足????????????????ABAC??OP?OA??(???????),??[0,??), 則動點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的()|AB|sinB|AC|sinCA.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心

3)已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足????????????????????OB?OCABAC??OP???(???????), ??[0,??), 則動點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的()2|AB|cosB|AC|cosCA.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心

?????????????????????????????????????例

4、已知向量OP12P31,OP2,OP3滿足條件OP1?OP2?OP3?0，|OP1|?|OP2|?|OP3|?1，求證：△PP是正三角形．

?????????????????ABC例

5、的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m = OH?m(OA?OB?OC)，．

例

6、點(diǎn)）． O是三角形ABC

????????????????????????所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OA?OB?OB?OC?OC?OA，則點(diǎn)

O是?ABC的（A．三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) C．三條中線的交點(diǎn)

B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)

例7

在△ABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使

AP2?BP2?CP2最小．

????2????2????2????2????2????2例8已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足|OA|?|BC|?|OB|?|CA|?|OC|?|AB|，則O為△ABC的 心．

????????????????????????例9．.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若OA?OB?OB?OC?OC?OA，則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

????2????2????2????2????2????2例10 已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足|OA|?|BC|?|OB|?|CA|=|OC|?|AB|，則O點(diǎn)是△ABC的()A.垂心 B.重心 C.內(nèi)心 D.外心

????????????????????????????????????例11已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若(OA?OB)?AB=(OB?OC)?BC=(OC?OA)?CA= 0，則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

????????????例12：已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若aOA?bOB?cOC= 0，則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

????????????????aPA?bPB?cPC例13：已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若PO?(其中P是△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn))，a?b?c則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

四、配套練習(xí)：

1．已知?ABC三個頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)

P，滿足

PA?PB?PC?0，若實(shí)數(shù)?滿足：AB?AC??AP，則?的值為（）

A．2 B．32 C．3 D．6 3

2．若?ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，OA?OB?OCA．

?0，則OA?OB?()12 B．0 C．1 D．?1 23．點(diǎn)O在?ABC內(nèi)部且滿足OA?2OB?2OC?0，則?ABC面積與凹四邊形A．0 B．

ABOC面積之比是（）

C．

D．

是?ABC的（）4．?ABC的外接圓的圓心為O，若OH?OA?OB?OC，則HA．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

5．O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，若OA?BC?OB222

?CA?OC?AB222，則O是?ABC的（）

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 6．?ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，OH則實(shí)數(shù)m =

17．（06陜西）已知非零向量與滿足(+)〃=0且〃= , 則△ABC為()

2A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形 8．已知?ABC三個頂點(diǎn)

?m(OA?OB?OC)，A、B、C，若AB?AB?AC?AB?CB?BC?CA，則?ABC為（）

2A．等腰三角形 B．等腰直角三角形

C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形

????????????????9.已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足OP?OA??(AB?AC), ??[0,??).則P點(diǎn)的軌跡一定通過△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

????????????10.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若OA?OB?OC= 0, 則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

????1????????????11.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若PO?(PA?PB?PC)(其中P為平面上任意一點(diǎn)), 則O點(diǎn)是△ABC

3的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

第二篇：平面向量中的三角形四心問題（定稿）

平面向量中的三角形四心問題

向量是高中數(shù)學(xué)中引入的重要概念，是解決幾何問題的重要工具。本文就平面向量與三角形四心的聯(lián)系做一個歸納總結(jié)。在給出結(jié)論及證明結(jié)論的過程中，可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對稱性與推論的相互關(guān)系。

一、重心（barycenter)

三角形重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)。重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。在重心確定上，有著名的帕普斯定理。

結(jié)論1：若G為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則GA?GB?GC?0?G是三角形的重心證明：設(shè)BC中點(diǎn)為D，則2GD?GB?GCGA?GB?GC?0??GA?GB?GC??GA?2GD,這表明，G在中線AD上同理可得G在中線BE,CF上故G為?ABC的重心

結(jié)論2：

1若P為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則PG?(PA?PB?PC)3?G是?ABC的重心1證明：PG?(PA?PB?PC)?(PG?PA)?(PG?PB)?(PG?PC)?03?GA?GB?GC?0?G是?ABC的重心

二、垂心(orthocenter)三角形的三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。

結(jié)論3：

若H為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則HA?HB?HB?HC?HC?HA?H是?ABC的垂心

證明：HA?HB?HB?HC?HB?(HA?HC)?0?HB?AC?0?HB?AC同理，有HA?CB,HC?AB故H為三角形垂心

結(jié)論4：

若H為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則HA?BC?HB?AC?HC?AB?H是?ABC的垂心證明：由HA?BC?HB?CA得，HA?(HB?HC)?HB?(HC?HA)2?HB?HC?HC?HA同理可證得，HA?HB?HB?HC?HC?HA由結(jié)論3可知命題成立2222222222222

三、外心(circumcenter)三角形三條邊的垂直平分線（中垂線）的相交點(diǎn)。用這個點(diǎn)做圓心可以畫三角形的外接圓。

結(jié)論5：

若O是?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則OA?OB?OC?O是?ABC的外心 證明：由外心定義可知命題成立

結(jié)論6：

若O是?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（OA?OB)?BA?(OB?OC)?CB?(OC?OA)?AC ?O是?ABC的外心 3

證明：?(OA?OB)?BA?(OA?OB)(OA?OB)?OA?OB?(OB?OC)?CB?OB?OC(OC?OA)?AC?OC?OA222222222故OA?OB?OB?OC?OC?OA?OA?OB?OC故O為?ABC的外心

222

四、內(nèi)心(incenter)

三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心。即內(nèi)切圓的圓心。

結(jié)論7：

若P為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則???????ABAC??BABC??CACB?OP?OA??1??????OB??2???OC??3??(??0)?ABAC??BABC??CACB????????P是?ABC的內(nèi)心

證明：記AB，AC方向上的單位向量分別為e1,e2???ABAC?OP?OA??1????AP??1(e1?e2)?ABAC???由平行四邊形法則知，(e1?e2)在AB,AC邊夾角平分線上 即P在?A平分線上同理可得，P在?B,?C的平分線上故P為?ABC的內(nèi)心

結(jié)論8：

若P是?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則aPA?bPB?cPC?0?P是?ABC的內(nèi)心證明：不妨設(shè)PD??PC

aPA?bPB?cPC?0?a(PD?DA)?b(PD?DB)?cPC?0?(?a??b?c)PC?(aDA?bDB)?0由于PC與DA,DB不共線，則?a??b?c?0,aDA?bDB?0b即?DBa由角平分線定理，CD是?ACB的平分線同理可得其他的兩條也是平分線故P是?ABC的內(nèi)心DA

第三篇：向量與三角形四心的一些結(jié)論

【一些結(jié)論】：以下皆是向量 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0 2 若P是△ABC的垂心 PA?PB=PB?PC=PA?PC(內(nèi)積）3 若P是△ABC的內(nèi)心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三邊）若P是△ABC的外心 |PA|2=|PB|2=|PC|2（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞)則直線AP經(jīng)過△ABC內(nèi)心6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞)經(jīng)過垂心 7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞)經(jīng)過重心

8.若aOA=bOB+cOC,則0為∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分線的交點(diǎn)

【以下是一些結(jié)論的有關(guān)證明】

1.O是三角形內(nèi)心的充要條件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延長CO交AB于D，根據(jù)向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,因?yàn)镺D與OC共線，所以可設(shè)OD=kOC,上式可化為(ka+kb+c)OC+(aDA+bDB)=0向量,向量DA與DB共線，向量OC與向量DA、DB不共線，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA與DB的長度之比為b/a,所以CD為∠ACB的平分線，同理可證其它的兩條也是角平分線。必要性：已知O是三角形內(nèi)心,設(shè)BO與AC相交于E，CO與AB相交于F，∵O是內(nèi)心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE過A作CO的平行線，與BO的延長線相交于N，過A作BO的平行線，與CO的延長線相交于M，所以四邊形OMAN是平行四邊形根據(jù)平行四邊形法則，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC 為斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一個定點(diǎn),動點(diǎn)P滿足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求P點(diǎn)軌跡過三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},AP?BC=入{(AB?BC /|AB|＾2*sin2B)+AC?BC /(|AC|＾2*sin2C)},AP?BC=入{|AB|?|BC|cos(180°-B)/(|AB|＾2*sin2B)+|AC|?|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP?BC=入{-|AB|?|BC| cos B/(|AB|＾2*2sinB cos B)+|AC|?|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP?BC=入{-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)},根據(jù)正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC∴-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)=0，即AP?BC=0，P點(diǎn)軌跡過三角形的垂心3.OP=OA+λ

(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))

OP-OA=

λλ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP與AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共線根據(jù)正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP與AB+AC共線AB+AC過BC中點(diǎn)D，所以P點(diǎn)的軌跡也過中點(diǎn)D，∴點(diǎn)P過

三

角

形

重

心。

4.OP=OA+

λλ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)OP=OA+(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)AP?BC=λ(AB?BC cosC/|AB|+AC?BC cosB/|AC|)=λ([|AB|?|BC|cos(180°-B)cosC/|AB|+|AC|?|BC| cosC cosB/|AC|]=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]=0，所以向量AP與向量BC垂直，P點(diǎn)的軌跡過垂心。5.OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)AB/|AB|、AC/|AC|各為AB、AC方向上的單位長度向量，向量AB與AC的單位向量的和向量，因?yàn)槭菃挝幌蛄?，模長都相等，構(gòu)成菱形，向量AB與AC的單位向量的和向量為菱形對角線，易知是角平分線，所以P點(diǎn)的軌跡經(jīng)過內(nèi)心

第四篇：三角形四心的向量表示

從動和靜兩個角度看三角形中四“心”的向量表示

平面幾何中中三角形的四“心”,即三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心。在引入向量這個工具后，我們可以從動和靜兩個角度看三角形中的四“心”的向量表示，其一可以使我們對三角形中的四“心”有全新的認(rèn)識；其二使我們對向量形式的多樣性和向量運(yùn)算的靈活性有更清楚的認(rèn)識。

一．從靜止的角度看向量的四“心”

?????????????1．已知點(diǎn)O是三角形ABC所在平面上一點(diǎn)，若OA?OB?OC?0，則O是三角形ABC的（）

（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

?????????????????????????????????分析：若OA?OB?OC?0，則OA?OB??OC，設(shè)以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形為OAC?B,OC與??????????????????????AB交于點(diǎn)D,則D為AB的中點(diǎn),由OA?OB?OC?得,OC??OC?,即C、O、D、C?四點(diǎn)共線,故CD為?ABC的中線,所以O(shè)在邊AB的中線上,同理可證, O在邊AC的中線上, O在邊BC的中線上所以O(shè)是三角形ABC的重心.???????????????????????? 2.已知點(diǎn)O是三角形所在平面上一點(diǎn)，若OA?OB?OB?OC?OC?OA,則O是三角形ABC的（）

（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????????????????????????分析:由OA?OB?OB?OC得,OB?(OA?OC)?0,即OB?CA?0,所以O(shè)B?C,A同理可證:OC?AB,OA?BC,所以O(shè)是?ABC的垂心.????????????3.已知點(diǎn)O是三角形所在平面上一點(diǎn)，若aOA?bOB?cOC?0,則O是三角形ABC的（）

（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????????????????????????????????????分析::若aOA?bOB?cOC?0,又因?yàn)镺B?OA?AB,OC?OA?AC,則(a?b?c)OA?bAB?cAC?0.所????以AO???????????????????????????bcABACABAC???????,因?yàn)????與????分別表示AB和AC方向上的單位向量,設(shè)????a?b?c?|AB||AC|?|AB||AC|????????????????????????????????ABAC?+????,則AP平分?BAC.又AO、AP????AP共線，BO平分?BAC，知AO平分?BAC。同理可證，|AB||AC|????CO平分?BAC。從而O是?ABC的內(nèi)心。

????2????2????24．已知點(diǎn)O是三角形所在平面上一點(diǎn)，若OA?OB?OC，則O是三角形ABC的（）

（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????2????2????2????2????2????2分析：因?yàn)镺A?OB?OC，所以O(shè)A?OB?OC，即OA?OB?OC，所以O(shè)是?ABC的外心。

二．從運(yùn)動的角度看三角形的四“心”

1．已知點(diǎn)O是平面上一個定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足????????????????OP?OA??(AB?AC),??R，則動點(diǎn)P一定通過?ABC的（）

（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心 ????????????????????????????????????????????解:OP?OA??(AB?AC),可得AP??(AB?AC),由于AB?AC表示以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的對角線,所以點(diǎn)P在邊BC的中線所在直線上，故動點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的重心.2．已知點(diǎn)O是平面上一個定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足?????????????????ABAC??+???? OP?OA???????,??R，則動點(diǎn)P一定通過?ABC的（）?|AB||AC|?（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

?????????????????????????????????????AB?????ABACACABAC?+???? ?得，AP???????+???? ?。由于?????+???? ?表分析：由OP?OA???????|AB||AC|??|AB||AC|??|AB||AC|?示?BAC的平分線所在的方向向量。故當(dāng)??R時，動點(diǎn)則動點(diǎn)P一定通過?ABC的內(nèi)心。

3已知點(diǎn)O是平面上一個定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足??????????????????ABAC????????+ ? ,??R，則動點(diǎn)P一定通過?ABC的（）OP?OA???|AB|cosB|AC|coCs??（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????????????????????ABACABAC??+???? ?得，AP??????+???? ?。分析: 由OP?OA???????|AB|cosB|AC|cosC??|AB|cosB|AC|cosC??????????????????????????????????ABAC??ABB?CA?C???BC?????????+???? ?B C????B?C?B,C0由于????所以?cosAB|B|coAsC|C|cos?|AB|coBsA|C?|C????????。即點(diǎn)P的軌跡是過點(diǎn)A且垂直于BC的直線，故動點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的垂心。AP?B?0C4.已知O平面上一個定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足????????????OB?OCOP???2??????????ABAC????????+ ,??R，則動點(diǎn)P一定通過?ABC的（）??sA|C|coC?|AB|coB?s（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

??????????ABAC????????+ ??|AB|cosB|AC|cosC??????????????????????????ABACABAC??+???? ?,當(dāng)??R時, ?????+???? ?表示垂直于可得DP???????|AB|cosB|AC|cosC??|AB|cosB|AC|cosC?????????????????????????OB?OCOB?OC分析:設(shè)BC的中點(diǎn)為為D,則???OD,所以由OP?22????BC的向量,所以DP為線段BC的垂直平分線,故動點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的外心.上面通過動和靜兩個角度看三角形的四”心”的向量表示,得出了椒優(yōu)美的結(jié)論,使我們對向量的四心有了新的認(rèn)識,更好的體會到辯證的和諧的統(tǒng)一.

第五篇：高中數(shù)學(xué)：關(guān)于三角形的“四心”與平面向量的結(jié)合教案 蘇教版必修5

關(guān)于三角形的“四心”與平面向量的結(jié)合

[關(guān)鍵字]高中|數(shù)學(xué)|平面向量|內(nèi)心|外心|重心|垂心

[內(nèi)容摘要]每年全國各地高考試卷中,都有不少習(xí)題與三角形的“四心”有關(guān)，學(xué)生在解決這些問題時錯誤率較高，甚至是無從下手.筆者搜集了部分資料，結(jié)合本人積累的一些高三知識，就高中新課標(biāo)向量的相關(guān)知識進(jìn)行闡述，對有關(guān)三角形的“四心”的相關(guān)知識進(jìn)行復(fù)習(xí).特別體現(xiàn)出它們之間的結(jié)合,不當(dāng)疏漏之處,懇請讀者批評指正.一、基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)

1.定義：我們把三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心,即三角形內(nèi)切圓圓心;三角形三條邊上的中垂線的交點(diǎn)叫做三角形的外心,即三角形外接圓圓心;三角形三條邊上的中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心;三角形三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心.我們將三角形的“內(nèi)心”、“外心”、“重心”、“垂心”合稱為三角形的“四心”.2.應(yīng)用:三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等;三角形的外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等;三角形的重心到三角形的頂點(diǎn)的距離是相應(yīng)中線長的三分之二;三角形的垂心與頂點(diǎn)的連線垂直于該頂點(diǎn)的對邊.3.注意點(diǎn):三角形的“四心”與平面向量知識的結(jié)合.二、典型例題分析 [例]已知點(diǎn)G是?ABC內(nèi)任意一點(diǎn),點(diǎn) M是?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn).試根據(jù)下列條件判斷G點(diǎn)可能通過?ABC的__________心.(填“內(nèi)心”或“外心”或“重心”或“垂心”).[提出問題]

?????????????AB(1)若存在常數(shù)?,滿足MG?MA??(?????AB?ABC????AC????)(??0)AC,則點(diǎn)G可能通過的__________.D是?ABC(2)若點(diǎn)的底邊

????????????????BC上的中點(diǎn),滿足GD?GB?GD?GC,則點(diǎn)

G可能通過?ABC的__________.?????????????????ABAC(3)若存在常數(shù)?,滿足MG?MA??(?????????)(??0)AB?sinBAC?sinC,則點(diǎn)

G可能通過?ABC的__________.?????????????????ABAC(4)若存在常數(shù)?,滿足MG?MA??(?????????)(??0),則點(diǎn)

AB?cosBAC?cosCG可能通過?ABC的__________.[思路分析]以上四個問題的解決要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性質(zhì),同時更要熟悉平面向量的性質(zhì),對于平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合也要相當(dāng)熟悉.[解答過程](1)記?????????????ABAC?????e1,?????e2ABAC?????????,則AG??(e1?e2).由平面向量的平行四邊形或三角形法則知,點(diǎn)G是角平分線上的點(diǎn),故應(yīng)填內(nèi)心.(2)簡單的變形后發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G是BC邊中垂線上的點(diǎn),故應(yīng)填外心.????????????????(3)?AB?sinB?AC?sinC,?記AB?sinB?AC?sinC?h?????????????'則AG??(AB?AC)(?'?)h，.由平面向量的平行四邊形或三角形法則知,點(diǎn)G是BC邊的中線上的點(diǎn),故應(yīng)填重心.(4)分析后發(fā)現(xiàn),本題學(xué)生難以找到解決問題的突破口,主要在于平面向量的數(shù)

量

積的, 充

分

利

用

.由?????????????????ABACMG?MA??(????????)(??0)?AB?cosBAC?cosC????????????ABAC得AG??(?????????)(??0), AB?cosBAC?cosC????????????????????ABAC(關(guān)鍵點(diǎn))AG?BC??(?????????)?BC(??0)

AB?cosBAC?cosC????????????????????????AB?BCAC?BCAG?BC??(????????)(??0)?AB?cosBAC?cosC于是.??????????????????（BC?cos(?-B)?BC?cosB）=?(?BC?BC)?0????????從而AG?BC,點(diǎn)G是高線上的點(diǎn),故應(yīng)填垂心.[教師點(diǎn)評]以上四個問題處理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性質(zhì)在解答問題時的作用.特別注意第四問兩邊同乘以某個表達(dá)式的技巧.三、綜合運(yùn)用

[提出問題]若O點(diǎn)是?ABC的外心, H點(diǎn)是?ABC的垂心, ????????????????且OH?m(OA?OB?OC),求實(shí)數(shù)

m的值.[思路分析]許多學(xué)生在解答此類題時，只能用特殊值的方法解決.要求學(xué)生能夠充分利用本節(jié)提到的一些基礎(chǔ)知識及相關(guān)性質(zhì)解題.????????????????????????????????????????[解答過程]由OH?m(OA?OB?OC),得OH?OA?m(OA?OB?OC)?OA????????????????于是HA?(m?1)?OA?m(OB?OC), ,(關(guān)鍵點(diǎn))HA?BC?????????????????????????????(m?1)OA?BC?m(OB?OC)?BC

????????????????????????????????即HA?BC?(m?1)OA?BC?m(OB?OC)?(OC?OB), ????????????????????????????????由題意,知HA?BC?0,及(OB?OC)?(OC?OB)?0,從而(m?1)OA?BC?0, ????????其中OA?BC?0,因此m?1?0,即m?1.[教師點(diǎn)評]請讀者特別注意解題中的關(guān)鍵點(diǎn),解這類問題時的技巧也應(yīng)熟練掌握.[舉一反三]通過上述例題及解答,我們可以總結(jié)出關(guān)于三角形“四心”的向量表達(dá)式.若P點(diǎn)為?ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，若P點(diǎn)滿足: ?????????????ABACAP??(?????????),??0?ABAC???P為?ABC的內(nèi)心1．?????????????BABC?BP?t(?????????)，t?0?BABC??;2.D、E兩點(diǎn)分別是?ABC的邊BC、CA上的中點(diǎn),且

??????????????????DP?PB?DP?PC??????????????P為?ABC的外心??????EP?PC?EP?PA;?1????????????AP?(AB?AC),??33.?????P為?ABC的重心?1?????????BP?(BA?BC)，?3???????????AP?BC?0?P為?ABC的垂心4.???????????BP?AC?0;.