第一篇：平面向量中的三角形四心問題（定稿）

平面向量中的三角形四心問題

向量是高中數(shù)學(xué)中引入的重要概念，是解決幾何問題的重要工具。本文就平面向量與三角形四心的聯(lián)系做一個歸納總結(jié)。在給出結(jié)論及證明結(jié)論的過程中，可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對稱性與推論的相互關(guān)系。

一、重心（barycenter)

三角形重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)。重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。在重心確定上，有著名的帕普斯定理。

結(jié)論1：若G為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則GA?GB?GC?0?G是三角形的重心證明：設(shè)BC中點(diǎn)為D，則2GD?GB?GCGA?GB?GC?0??GA?GB?GC??GA?2GD,這表明，G在中線AD上同理可得G在中線BE,CF上故G為?ABC的重心

結(jié)論2：

1若P為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則PG?(PA?PB?PC)3?G是?ABC的重心1證明：PG?(PA?PB?PC)?(PG?PA)?(PG?PB)?(PG?PC)?03?GA?GB?GC?0?G是?ABC的重心

二、垂心(orthocenter)三角形的三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。

結(jié)論3：

若H為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則HA?HB?HB?HC?HC?HA?H是?ABC的垂心

證明：HA?HB?HB?HC?HB?(HA?HC)?0?HB?AC?0?HB?AC同理，有HA?CB,HC?AB故H為三角形垂心

結(jié)論4：

若H為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則HA?BC?HB?AC?HC?AB?H是?ABC的垂心證明：由HA?BC?HB?CA得，HA?(HB?HC)?HB?(HC?HA)2?HB?HC?HC?HA同理可證得，HA?HB?HB?HC?HC?HA由結(jié)論3可知命題成立2222222222222

三、外心(circumcenter)三角形三條邊的垂直平分線（中垂線）的相交點(diǎn)。用這個點(diǎn)做圓心可以畫三角形的外接圓。

結(jié)論5：

若O是?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則OA?OB?OC?O是?ABC的外心 證明：由外心定義可知命題成立

結(jié)論6：

若O是?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（OA?OB)?BA?(OB?OC)?CB?(OC?OA)?AC ?O是?ABC的外心 3

證明：?(OA?OB)?BA?(OA?OB)(OA?OB)?OA?OB?(OB?OC)?CB?OB?OC(OC?OA)?AC?OC?OA222222222故OA?OB?OB?OC?OC?OA?OA?OB?OC故O為?ABC的外心

222

四、內(nèi)心(incenter)

三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心。即內(nèi)切圓的圓心。

結(jié)論7：

若P為?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則???????ABAC??BABC??CACB?OP?OA??1??????OB??2???OC??3??(??0)?ABAC??BABC??CACB????????P是?ABC的內(nèi)心

證明：記AB，AC方向上的單位向量分別為e1,e2???ABAC?OP?OA??1????AP??1(e1?e2)?ABAC???由平行四邊形法則知，(e1?e2)在AB,AC邊夾角平分線上 即P在?A平分線上同理可得，P在?B,?C的平分線上故P為?ABC的內(nèi)心

結(jié)論8：

若P是?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則aPA?bPB?cPC?0?P是?ABC的內(nèi)心證明：不妨設(shè)PD??PC

aPA?bPB?cPC?0?a(PD?DA)?b(PD?DB)?cPC?0?(?a??b?c)PC?(aDA?bDB)?0由于PC與DA,DB不共線，則?a??b?c?0,aDA?bDB?0b即?DBa由角平分線定理，CD是?ACB的平分線同理可得其他的兩條也是平分線故P是?ABC的內(nèi)心DA

第二篇：講義---平面向量與三角形四心的交匯

講義---平面向量與三角形四心的交匯 一、四心的概念介紹

（1）重心——中線的交點(diǎn)：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心——高線的交點(diǎn)：高線與對應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心——角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心——中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合

（1）OA?OB?OC?0?O是?ABC的重心.證法1：設(shè)O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1?x2?x3?x???(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?3?? ?OOA?OB?OC?0??y?y?y23?(y1?y)?(y2?y)?(y3?y)?0?y?1?3?是?ABC的重心.證法2：如圖

A?OA?OB?OC ?OA?2OD?0

?AO?2OD

?A、O、D三點(diǎn)共線，且O分AD

為2：1

OE?O是?ABC的重心

（2）OA?OB?OB?OC證明：如圖所示O是三角形

BDC?OC?OA?O為?ABC的垂心.ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.OA?OB?OB?OC?OB(OA?OC)?OB?CA?0

A?OB?AC

E同理OA?BC，OC?AB

BO?O為?ABC的垂心

（3）設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長，O是?ABC的內(nèi)心

aOA?bOB?cOC?0?O為?ABC的內(nèi)心.ABAC、分別為AB、AC方向上的單位向量，cbABAC?平分?BAC, ?cbABACbc?)，令?? ?AO??(a?b?ccb證明：?DC?AO?ABACbc?（）a?b?ccb化簡得(a?b?c)OA?bAB?cAC?0

?aOA?bOB?cOC?0

（4）OA?OB?OC?O為?ABC的外心。

三、典型例題：

例1：O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足OP?OA??(AB?AC)，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

例2：（03全國理4）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)

P滿足OP?OA??(ABAB?ACAC)，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

例3：1)O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)

P滿足OP?OA??(ABABcoBs?ACACcoCs)，???0,???，則點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的（）

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

2)已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足????????????????ABAC??OP?OA??(???????),??[0,??), 則動點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的()|AB|sinB|AC|sinCA.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心

3)已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足????????????????????OB?OCABAC??OP???(???????), ??[0,??), 則動點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的()2|AB|cosB|AC|cosCA.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心

?????????????????????????????????????例

4、已知向量OP12P31,OP2,OP3滿足條件OP1?OP2?OP3?0，|OP1|?|OP2|?|OP3|?1，求證：△PP是正三角形．

?????????????????ABC例

5、的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m = OH?m(OA?OB?OC)，．

例

6、點(diǎn)）． O是三角形ABC

????????????????????????所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OA?OB?OB?OC?OC?OA，則點(diǎn)

O是?ABC的（A．三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) C．三條中線的交點(diǎn)

B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)

例7

在△ABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使

AP2?BP2?CP2最?。?/p>

????2????2????2????2????2????2例8已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足|OA|?|BC|?|OB|?|CA|?|OC|?|AB|，則O為△ABC的 心．

????????????????????????例9．.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若OA?OB?OB?OC?OC?OA，則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

????2????2????2????2????2????2例10 已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足|OA|?|BC|?|OB|?|CA|=|OC|?|AB|，則O點(diǎn)是△ABC的()A.垂心 B.重心 C.內(nèi)心 D.外心

????????????????????????????????????例11已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若(OA?OB)?AB=(OB?OC)?BC=(OC?OA)?CA= 0，則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

????????????例12：已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若aOA?bOB?cOC= 0，則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

????????????????aPA?bPB?cPC例13：已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若PO?(其中P是△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn))，a?b?c則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

四、配套練習(xí)：

1．已知?ABC三個頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)

P，滿足

PA?PB?PC?0，若實(shí)數(shù)?滿足：AB?AC??AP，則?的值為（）

A．2 B．32 C．3 D．6 3

2．若?ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，OA?OB?OCA．

?0，則OA?OB?()12 B．0 C．1 D．?1 23．點(diǎn)O在?ABC內(nèi)部且滿足OA?2OB?2OC?0，則?ABC面積與凹四邊形A．0 B．

ABOC面積之比是（）

C．

D．

是?ABC的（）4．?ABC的外接圓的圓心為O，若OH?OA?OB?OC，則HA．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

5．O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，若OA?BC?OB222

?CA?OC?AB222，則O是?ABC的（）

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 6．?ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，OH則實(shí)數(shù)m =

17．（06陜西）已知非零向量與滿足(+)〃=0且〃= , 則△ABC為()

2A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形 8．已知?ABC三個頂點(diǎn)

?m(OA?OB?OC)，A、B、C，若AB?AB?AC?AB?CB?BC?CA，則?ABC為（）

2A．等腰三角形 B．等腰直角三角形

C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形

????????????????9.已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足OP?OA??(AB?AC), ??[0,??).則P點(diǎn)的軌跡一定通過△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

????????????10.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若OA?OB?OC= 0, 則O點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

????1????????????11.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若PO?(PA?PB?PC)(其中P為平面上任意一點(diǎn)), 則O點(diǎn)是△ABC

3的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

第三篇：平面向量復(fù)習(xí)題

平面 向 量

向量思想方法和平面向量問題是新考試大綱考查的重要部分，是新高考的熱點(diǎn)問題。題型多為選擇或填空題，數(shù)量為1-2題，均屬容易題，但是向量作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要工具在三角、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解幾、立幾等問題解決中處處閃光。最近幾年的考試中向量均出現(xiàn)在解析幾何題中，在解析幾何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的運(yùn)算性質(zhì)、考查向量幾何意義的應(yīng)用，并直接與距離問題、角度問題、軌跡問題等相聯(lián)系。近年考綱又新增“平面向量在幾何中的應(yīng)用”試題進(jìn)一步要求我們具備多角度、多方向地分析，去探索、去發(fā)現(xiàn)、去研究、去創(chuàng)新，而不是去做大量的模仿式的解題。一個問題解決后，不能匆匆而過，回顧與反思是非常有必要的，以充分發(fā)揮每一道題目的價值。除了要重視一題多解外，更要重視一題多變，主動探索：條件和結(jié)論換一種說法如何？變換一個條件如何？反過來又會怎么樣？等等。只有這樣才能做到舉一反三，以不變應(yīng)萬變。

一、高考考綱要求

1．理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．

2．掌握向量的加法與減法．

3．掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．

4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．

5．掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

6．掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)公式，并且能熟練運(yùn)用；掌握平移公式．

二、高考熱點(diǎn)分析

在高考試題中，對平面向量的考查主要有三個方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則，理解和運(yùn)用其直觀的幾何意義，并能正確地進(jìn)行計算。其二考查向量坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算。

其三是和其他知識結(jié)合在一起，在知識的交匯點(diǎn)設(shè)計試題，考查向量與學(xué)科知識間綜合運(yùn)用能力。

數(shù)學(xué)高考命題注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交互滲透，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)設(shè)計試題．由于向量具有代數(shù)和幾何的雙重身份，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)知識的媒介．因此，平面向量與其他知識的結(jié)合特別是與解析幾何的交匯、融合仍將是高考命題的一大趨勢，同時它仍將是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容．

附Ⅰ、平面向量知識結(jié)構(gòu)表

1.考查平面向量的基本概念和運(yùn)算律

1此類題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，主要考查平面向量的有關(guān)概念與性質(zhì)，要求考生深刻理解平面向量的相關(guān)概念，能熟練進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，熟悉常用公式及結(jié)論，理解并掌握兩向量共線、垂直的充要條件。1．(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

（）

2．(江西卷)已知向量

A．30°

?(1,2),(?2,?4),||?

B．60°,若(?)??

C．120°,則與的夾角為

2（）

D．150°

3．(重慶卷)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D為線段BC的中點(diǎn)，則

A．

與的夾角為（）

444

4B．a(chǎn)rccos C．a(chǎn)rccos(?)D．－arccos(?)

2555

5???????

4．(浙江卷)已知向量a≠e，|e|＝1，對任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則

?arccos

?

（）

??A．a(chǎn)⊥e ???B．a(chǎn)⊥(a－e)

?

???C．e⊥(a－e)????D．(a＋e)⊥(a－e)

????????．(上海卷)在△ABC中，若?C?90，AC?BC?4，則BA?BC? 2.考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1．(湖北卷)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超過5，則k的取值范圍是

A．[－4，6]

2．(重慶卷)設(shè)向量a=（－1，2），b=（2，－1），則（a·b）（a+b）等于

A．（1，1）

B．（－4，－4）

C．－4

D．（－2，－2）

()

（）

B．[－6，4]

C．[－6，2]

D．[－2，6]

（）

????

3．(浙江卷)已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構(gòu)成的集合是

A．{2，3}

B．{－1，6}

C．{2}

D．{6}

例4．(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(－3,4)，若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上且||=2,則OC=。

????????????

5．(全國卷)已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三點(diǎn)共線，則k=.6．(湖北卷)已知向量a7．(廣東卷)已知向量a

?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超過5，則k的取值范圍是

?(2,3),b?(x,6),且a//b,則x.3.平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

????????

????????ABAC

?),??[0,??),則1.O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足OP?OA??(|AB||AC|

P的軌跡一定通過△ABC

A．外心的（）B．內(nèi)心

C．重心

D．垂心

????

2．（遼寧卷）已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對角線AC上（不包括端點(diǎn)A,C），則AP等于（）

????????????????A．?(AB?AD),??(0,1)

B.?(AB?BC),??(0,????????????????C.?(AB?AD),??(0,1)

D.?(AB?BC),??(0,??????

3．已知有公共端點(diǎn)的向量a，b不共線，|a|＝1，|b|=2,則與向量a，b的夾角平分線平行的單位向量是.????????????????

4．已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個定點(diǎn)A(?2,?1)、B(0,10)、C(8,0)，若動點(diǎn)P滿足：OP?OA?t(AB?AC),t?R，則點(diǎn)P的軌跡方程。

4.平面向量與三角函數(shù)、函數(shù)等知識的結(jié)合當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上，可以設(shè)計出有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題。此類題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：

①利用向量平行或垂直的充要條件，②利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).1．(江西卷)已知向量?(2cos

xx?x?x?,tan(?)),?(2sin(?),tan(?)),令f(x)??.224242

4求函數(shù)f(x)的最大值，最小正周期，并寫出f(x)在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間.2．(山東卷)已知向量

??

m?(cos?,sin?)

和

?n?

sin?,cos?,????,2??

?，且

???m?n?求

????

cos???的值.?28?

3．(上海卷)已知函數(shù)

f(x)?kx?b的圖象與x,y軸分別相交于點(diǎn)

A、B，?2?2（,分別是與x,y軸正半

軸同方向的單位向量），函數(shù)g(x)

?x2?x?6.f(x)?g(x)時，求函數(shù)

（1）求k,b的值；（2）當(dāng)x滿足

g(x)?

1的最小值.f(x)

【反思】這類問題主要是以平面向量的模、數(shù)量積、夾角等公式和相互知識為紐帶，促成與不等式知識的相互遷移，有效地考查平面向量有關(guān)知識、不等式的性質(zhì)、不等式的解法、不等式的應(yīng)用及綜合解題能力。

5.平面向量與解析幾何的交匯與融合由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運(yùn)算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶。而解析幾何也具有數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的特征，所以在向量與解析幾何知識的交匯處設(shè)計試題，已逐漸成為高考命題的一個新的亮點(diǎn)。

平面幾何與解析幾何的結(jié)合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標(biāo)化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算；或者考慮向量運(yùn)算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問題。主要包括以下三種題型：

1、運(yùn)用向量共線的充要條件處理解幾中有關(guān)平行、共線等問題

運(yùn)用向量共線的充要條件來處理解幾中有關(guān)平行、共線等問題思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分點(diǎn)公式研究這類問

題要簡捷的多。

2、運(yùn)用向量的數(shù)量積處理解幾中有關(guān)長度、角度、垂直等問題

運(yùn)用向量的數(shù)量積，可以把有關(guān)的長度、角度、垂直等幾何關(guān)系迅速轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而“計算”出所要求的結(jié)果。

3、運(yùn)用平面向量綜合知識，探求動點(diǎn)軌跡方程，還可再進(jìn)一步探求曲線的性質(zhì)。

1．(江西卷)以下同個關(guān)于圓錐曲線的命題中 ①設(shè)A、B為兩個定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA|?|PB|?k，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；

?

(?),則動點(diǎn)P的軌跡為橢圓； 2

②設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若③方程2x

?5x?2?0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

x2y2x2

??1與橢圓?y2?1有相同的焦點(diǎn).④雙曲線

25935

其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）

???????????

2．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A(3,1),B(?1,3)，若點(diǎn)C滿足OC??0A??OB，其中?,??R，且?

???1，則點(diǎn)C的軌跡方程為()

A.C.3x?2y?11?0B.(x?1)2?(y?2)2?5 2x?y?0D.x?2y?5?0

2．已知平面上一個定點(diǎn)C（－1，0）和一條定直線l：x＝－4，P為該平面上一動點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，????????????????

（PQ＋2PC）?（PQ－2PC）＝0.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；

????????

PC的取值范圍．（2）求PQ·

第四篇：平面向量共線問題的深入研究

庫爾勒市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)組編寫人：史蕾

平面向量共線問題的深入研究

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、掌握三點(diǎn)共線的證明方法。

2、兩向量共線時，能根據(jù)題意選擇合適的方法解決問題。

【前置研究】

1探究

一、假設(shè)A（1,5），B（，4），C（0,3），你能想出幾種方法能證明它們?nèi)?

點(diǎn)共線？哪種方法最簡便？

探究

二、只讀題，不做題?？纯聪旅鎯深}三問各有幾種方法解答。

1、已知a=(1,2),b=(-3,2),① 當(dāng)k為何值時，ka+b與a-3b平行？

②平行時它們是同向還是反向？

2、已知a=(3,2-m)與b=(m,-m)平行，求m的值。

【我的例題】請根據(jù)以上兩個探究的發(fā)現(xiàn)，自擬一道類似的題目并解答。

第五篇：平面向量圖形結(jié)合問題

高中復(fù)習(xí)-平面向量

1．（2016?濰坊一模）在△ABC中，PQ分別是AB，BC的三等分點(diǎn)，且AP=AB，BQ=BC，若則A．

2．（2016?朔州模擬）點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足則=（），設(shè)△OBC與△ABC的面積分別為S1、S2，=（）+ B．﹣+ C．

﹣

D．﹣

﹣

=，=，A． B． C． D．

按向量=（2009，4，27）平移，3．（2009春?成都期中）已知點(diǎn)A（2008，5，12），B（14，2，8），將向量所得到的向量坐標(biāo)是（）A．（1994，3，4）B．（﹣1994，﹣3，﹣4）C．（15，1，23）D．（4003，7，31）

4．（2013秋?和平區(qū)期末）已知向量則向量為（）A．（﹣3，2）B．（4，3）C．（3，﹣2）

D．（2，﹣5）

（1＜x＜4）的圖象如圖所示，A為圖象與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)A+）?

=（），若存在向量，使得，5．（2016?吉林三模）函數(shù)的直線l與函數(shù)的圖象交于B，C兩點(diǎn)，則（A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 6．（2016?商洛模擬）在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，則A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8

=（）

7．（2015?房山區(qū)一模）向量=（2，0），=（x，y），若與﹣的夾角等于，則||的最大值為（）

A．4 B．2 C．2 D．

8．（2016?合肥二模）點(diǎn)G為△ABC的重心，設(shè)A．

9．（2016?眉山模擬）如圖，在△OAB中，點(diǎn)P在邊AB上，且AP：PB=3：2．則

=（）﹣B．C．﹣2D．=，=，則

=（）

A． B．C．

D．

10．（2016春?東營校級期中）點(diǎn)O是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

11．（2016?河南模擬）如圖，在△ABC中，已知，則

++=，則點(diǎn)O為△ABC的（）

=（）

A． B．C．

D．，P是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值12．（2016?衡水模擬）如圖，在△ABC中，為（）

A．B．C．1 D．3

13．（2016?焦作二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量=（1，2），﹣∥，則x=（）

=（3，1），=（x，3），若（2+）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1

14．（2016?嘉峪關(guān)校級模擬）已知向量A．

15．（2016?南昌校級模擬）△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則?B．C．D．

為非零向量，則

夾角為（）的取值范圍是（）

A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]

16．（2016?潮南區(qū)模擬）已知平面向量與的夾角為，且||=1，|+2|=2，則||=（A．1 B．C．3 D．2

17．（2016?西寧校級模擬）已知||=1，||=，且⊥（﹣），則向量與向量的夾角為（A．B．C．D．

鞏固與練習(xí)：

1．（2011?豐臺區(qū)一模）已知平面向量，的夾角為60°，||=4，||=3，則|+|等于（）A．37 B． C．13 D．

2．（2016?河南模擬）如圖，在△ABC中，已知，則

=（）））

A． B． C．

D．

3．（2016春?成都校級月考）如圖，在△ABC中，線段BE，CF交于點(diǎn)P，設(shè)向量，則向量可以表示為（）

A． B． C．

D．

4．（2016?撫順一模）已知向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，則向量與向量的夾角θ的值為（A． B． C． D．

5．（2015春?臨沂期末）如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A．+=B．﹣=C．

+

=

D．

﹣

=

6．（2015?婁星區(qū)模擬）如圖，正方形中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個三等分點(diǎn)．那么

=（A．B．

C．

D．，））

7．（2016?湖南模擬）已知，，點(diǎn)C在AB上，∠AOC=30°．則向量

等于（）

A．B．C．

D．

8．（2016?重慶校級模擬）若||=2，||=4且（+）⊥，則與的夾角是（）A．

9．（2015春?昆明校級期中）如圖，點(diǎn)M是△ABC的重心，則

為（）B．C．D．﹣

A．B．4B．

10．（2015秋?廈門校級期中）已知平行四邊形ABCD的對角線分別為AC，BD，且D的四等分點(diǎn)，則（）

=2，點(diǎn)F是BD上靠近C．4D．4

A．C．

11．（2015?廈門校級模擬）如圖，，，若m=，那么n=（）=﹣=﹣﹣B．D．==﹣

﹣﹣

A． B．C．D．

12．（2016?嘉興一模）如圖，B、D是以AC為直徑的圓上的兩點(diǎn)，其中AB=，AD=，則

=（）

A．1 B．2 C．t D．2t

答案：

1．（2016?濰坊一模）在△ABC中，PQ分別是AB，BC的三等分點(diǎn)，且AP=AB，BQ=BC，若則A．=（）+ B．﹣+ =C．．

﹣

D．﹣

﹣

=，=，【解答】解：

∵AP=AB，BQ=BC，∴∴故選：A．

2．（2016?朔州模擬）點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足則=（），設(shè)△OBC與△ABC的面積分別為S1、S2，=． =

=，=

=

．

A． B． C． D．

【解答】解：延長OC到D，使OD=4OC，延長CO交AB與E，∵O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∴=，∴O為△DABC重心，E為AB中點(diǎn)，∴OD：OE=2：1，∴OC：OE=1：2，∴CE：OE=3：2，∴S△AEC=S△BEC，S△BOE=2S△BOC，∵△OBC與△ABC的面積分別為S1、S2，∴=．

故選：B．

3．（2009春?成都期中）已知點(diǎn)A（2008，5，12），B（14，2，8），將向量

按向量=（2009，4，27）平移，所得到的向量坐標(biāo)是（）A．（1994，3，4）B．（﹣1994，﹣3，﹣4）C．（15，1，23）D．（4003，7，31）【解答】解：∵A（2008，5，12），B（14，2，8），∴又∵=（﹣1994，﹣3，﹣4），按向量平移后不發(fā)生變化

=（﹣1994，﹣3，﹣4），∴平移后故選B

4．（2013秋?和平區(qū)期末）已知向量則向量為（）A．（﹣3，2）【解答】解：設(shè)∵B．（4，3）C．（3，﹣2），，D．（2，﹣5），若存在向量，使得，∴，解得x=3，y=﹣2，∴=（3，﹣2）． 故選：C．

5．（2016?吉林三模）函數(shù)的直線l與函數(shù)的圖象交于B，C兩點(diǎn)，則（（1＜x＜4）的圖象如圖所示，A為圖象與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)A+）?

=（）

A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8 【解答】解：由題意可知 B、C兩點(diǎn)的中點(diǎn)為點(diǎn)A（2，0），設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則x1+x2=4，y1+y2=0 ∴（+）?=（（x1，y1）+（x2，y2））?（2，0）=（x1+x2，y1+y2）?（2，0）=（4，0）?（2，0）=8 故選D．

6．（2016?商洛模擬）在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，則A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8

=

cosB=|BC|=8．

2=（）

【解答】解：在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，則故選：D．

7．（2015?房山區(qū)一模）向量=（2，0），=（x，y），若與﹣的夾角等于A．4 B．2 C．2 D．，則||的最大值為（）

【解答】解：由向量加減法的幾何意義可得，（如圖），=，=∠OBA 故點(diǎn)B始終在以O(shè)A為弦，∠OBA=為圓周角的圓弧上運(yùn)動，且等于弦OB的長，由于在圓中弦長的最大值為該圓的直徑2R，在三角形AOB中，OA==2，∠OBA=

由正弦定理得，解得2R=4，即||的最大值為4 故選A

8．（2016?合肥二模）點(diǎn)G為△ABC的重心，設(shè)=，=，則

=（A．﹣B．C．﹣2D．【解答】解：由題意知，+=，即+=，故=﹣2=﹣2，故選C．）

9．（2016?眉山模擬）如圖，在△OAB中，點(diǎn)P在邊AB上，且AP：PB=3：2．則

=（）

A．B．C．，D．

【解答】解：∵AP：PB=3：2，∴又∴===+，=，+

故選：B．

10．（2016春?東營校級期中）點(diǎn)O是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足

+

+

=，則點(diǎn)O為△ABC的（）

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

【解答】解：作BD∥OC，CD∥OB，連結(jié)OD，OD與BC相交于G，則BG=CG，（平行四邊形對角線互相平分），∴又∵∴++=﹣=+，=，可得：+

=﹣，∴A，O，G在一條直線上，可得AG是BC邊上的中線，同理：BO，CO的延長線也為△ABC的中線． ∴O為三角形ABC的重心．

故選：C．

11．（2016?河南模擬）如圖，在△ABC中，已知，則

=（）

A．B．=，得+，=3（C．）D．

【解答】解：∵∴由已知化簡=故選：C

12．（2016?衡水模擬）如圖，在△ABC中，為（），P是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值

A．B．C．1 D．3 【解答】解：∵∴設(shè)=λ，（λ＞0）得且==

+

，∴m=故選：A，解之得λ=8，m=

13．（2016?焦作二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量=（1，2），﹣∥，則x=（）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1 【解答】解：由=（1，2），﹣

=（3，1），得

=（3，1），=（x，3），若（2+）=（1，2）﹣（3，1）=（﹣2，1），則，∴2+=（2，4）+（﹣4，2）=（﹣2，6），又（2+）∥，∴6x+6=0，得x=﹣1． 故選：D．

14．（2016?嘉峪關(guān)校級模擬）已知向量A．B．C．D．

；，；

； ；

=

；

；

為非零向量，則

夾角為（）

【解答】解：∴∴∴∴∴∴夾角為．

故選：B．

15．（2016?南昌校級模擬）△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的取值范圍是（）

A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]

【解答】解：∵D是邊BC上的一點(diǎn)（包括端點(diǎn)），∴可設(shè)∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴∴=?=[+﹣+]?

=

+

（0≤λ≤1）．

=2×1×cos120°=﹣1．

=﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ =﹣7λ+2． ∵0≤λ≤1，∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]． ∴?的取值范圍是[﹣5，2]．

故選：D．

16．（2016?潮南區(qū)模擬）已知平面向量與的夾角為A．1 B．C．3 D．2 2，且||=1，|+2|=2，則||=（）

【解答】解：由已知，|+2|=12，即故選D．

17．（2016?西寧校級模擬）已知||=1，||=A．B．C．D． ；，所以||+4||||×+4=12，所以||=2；

2，且⊥（﹣），則向量與向量的夾角為（）

【解答】解：∵；

∴∴∴向量與的夾角為故選B． ； ． ；

鞏固與練習(xí)：

1．（2011?豐臺區(qū)一模）已知平面向量，的夾角為60°，||=4，||=3，則|+|等于（）A．37 B． C．13 D．

【解答】解：由題意得 ?=||?||cos60°=4×3×=6，∴||==

=

=，故選B．

2．（2016?河南模擬）如圖，在△ABC中，已知，則

=（）

A． B．=，得+，=3（C．）

D．

【解答】解：∵∴由已知化簡=故選：C

3．（2016春?成都校級月考）如圖，在△ABC中，線段BE，CF交于點(diǎn)P，設(shè)向量，則向量可以表示為（），A． B． C．

D．

【解答】解：因?yàn)镕，P，C三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使由已知同理，=，所以=，，∴解得

所以故選C．

；

4．（2016?撫順一模）已知向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，則向量與向量的夾角θ的值為（）A． B． C． D．

【解答】解：向量||=4，||=3，且（+2）（﹣）=4，∴﹣2+?=4，即16﹣2×9+4×3×cosθ=4，解得cosθ=； 又θ∈[0，π]，∴θ=；

即向量與向量的夾角θ的值為．

故選：B．

5．（2015春?臨沂期末）如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A．+=B．﹣=C．

+

=

D．

﹣

=

【解答】解：由已知及圖形得到，故A錯誤；

；故B錯誤；

；故C 正確；

故D 錯誤；

故選C．

6．（2015?婁星區(qū)模擬）如圖，正方形中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個三等分點(diǎn)．那么=（）

A．B．

C．

D．

【解答】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴==，∵=，∵，∴=

． 故選D．

7．（2016?湖南模擬）已知，，點(diǎn)C在AB上，∠AOC=30°．則向量

等于（A．B．C．

D．

【解答】解：過點(diǎn)c做CE∥OA CF∥OB 設(shè)OC長度為a 有△CEB∽△AFC ∴（1）

∵∠AOC=30° 則CF==OE OF=CE=）

∴BE=2﹣AF=2﹣

=OB，代入（1）中化簡整理可解：a=OF=∴故選B．

==OA

OE=8．（2016?重慶校級模擬）若||=2，||=4且（+）⊥，則與的夾角是（）A．B．C．D．﹣

【解答】解：設(shè)與的夾角是θ． ∵||=2，||=4且（+）⊥，∴（+）?=∴cosθ=．

． =2+2×4cosθ=0，2∵θ∈[0，π]，∴故選：A．

9．（2015春?昆明校級期中）如圖，點(diǎn)M是△ABC的重心，則為（）

A．B．4C．4D．4

【解答】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為F ∵點(diǎn)M是△ABC的重心 ∴故為C

10．（2015秋?廈門校級期中）已知平行四邊形ABCD的對角線分別為AC，BD，且D的四等分點(diǎn)，則（）

=2，點(diǎn)F是BD上靠近

．

A．=﹣﹣B．=﹣ C．=﹣D．=﹣

﹣

【解答】解：∵=2，點(diǎn)F是BD上靠近D的四等分點(diǎn)，∴=，=，∴==+，∵，∴=+

=﹣．

故選：C．

11．（2015?廈門校級模擬）如圖，，，若m=，那么n=（A．B．C．D． 【解答】解：∵，故C為線段AB的中點(diǎn)，故==2，∴=，由，∴，∴=，∵M(jìn)，P，N三點(diǎn)共線，故=1，當(dāng)m=時，n=，故選：C）

12．（2016?嘉興一模）如圖，B、D是以AC為直徑的圓上的兩點(diǎn)，其中AB=，AD=，則

=（）

A．1 B．2 C．t D．2t 【解答】解：連結(jié)BC，CD．則AD⊥CD，AB⊥BC． ∴=AB×AC×cos∠BAC=AB=t+1． =AD×AC×cos∠CAD=AD=t+2．

∵∴?=，=

=1． 22故選：A．