第一篇：三角形內(nèi)心的向量表示形式

三角形內(nèi)心的向量表示形式

有這樣一個(gè)高考題：

已知O，N，P在?ABC所在平面內(nèi)，且OA?OB?OC,NA?NB?NC?0，且PA?PB?P?BP?C，則點(diǎn)P?CPAO，N，P依次是?ABC的（）

（A）重心 外心 垂心

（B）重心 外心 內(nèi)心

（C）外心 重心 垂心

（D）外心 重心 內(nèi)心

答案為C，即分別為外心、重心、垂心，通過(guò)此題我們可以發(fā)現(xiàn)三角形的這三個(gè)“心”的向量表示形式非常和諧美觀。而三角形的“心”常見(jiàn)的有四個(gè)，我們不僅會(huì)想三角形內(nèi)心的向量表示形式是什么呢？

內(nèi)心的向量表示有三種常見(jiàn)的形式，網(wǎng)絡(luò)以及資料上面，對(duì)于它們的證明往往不完整，下面我把內(nèi)心的向量表示形式及其驗(yàn)證的完整過(guò)程給讀者介紹一下．

（１）點(diǎn)I是?ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，I是?ABC內(nèi)心的充要條件是

??????????????CACB??????BI????????????CI?0

??CACB????????????????????ABAC分析：此條件直觀意義較強(qiáng)，如?????????即分別為與AB、AC同

ABAC???????????AI??????????????ABAC?????????ABAC????????BCBA?????????BCBA??????????????向的單位向量AM、AN的差向量MN，由條件可得MN與AI垂直，而MN為等腰?AMN的底邊，故AI為?A的角平分線，同理可得BI、CI亦為角平分線，即I是?ABC內(nèi)心．

上面的條件直觀意義較易發(fā)現(xiàn)，然而形式較為復(fù)雜，下面介紹一個(gè)較為簡(jiǎn)單的充要條件，你能做出證明嗎？

（2）如圖，?ABC的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,點(diǎn)I是?ABC所在平面內(nèi)一

??????????點(diǎn)，I是?ABC內(nèi)心的充要條件是aIA?bIB?cIC?0

證明：已知點(diǎn)I為?ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)AI交BC于點(diǎn)D，則BDcBDcac?，所以?，BD? DCbBCb?cb?cAIABAIb?ccb?c??? ?，所以

acIDBDADa?b?cab?c連接BI,則有??????????b?c????b?c???b?c???c???AD=(AB?BD)?(AB?BC)因此，AI?a?b?ca?b?ca?b?cb?c???b?c???c???????b?cb???c?????(AB?(AC?AB))?(AB?AC)a?b?cb?ca?b?cb?cb?c?????????bcb?c?b???c?????AB?AC ?AB?AC???a?b?ca?b?ca?b?c?b?cb?c?????????????(a?b?c)AI?bAB?cAC

????????????????????????aAI?(bAB?bAI)?(cAC?cAI)?bIB?cIC

???????????aIA?bIB?cIC?0

??????????反之，當(dāng)aIA?bIB?cIC?0時(shí)，可得點(diǎn)I為?ABC的角平分線的交點(diǎn)，即為三角形的內(nèi)心．

此題的證明需要利用角平分線的性質(zhì)定理與比例的性質(zhì)，在化簡(jiǎn)變形的過(guò)程中要特別注意．（２）若0為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則點(diǎn)I為?ABC的內(nèi)心的充要條件為????????????abcOA?OB?OC

a?b?ca?b?ca?b?c??????????證明：由（1）知aIA?bIB?cIC?0 ???OI??????????????????????? ?a(OI?OA)?b(OI?OB)?c(OI?OC)?0 ??????????????? ?(a?b?c)OI?aOA?bOB?cOC

??? 從而有OI?????????????abcOA?OB?OC

a?b?ca?b?ca?b?c上面我們提到的三角形的四個(gè)“心”非常奇妙，這一點(diǎn)從它們的向量表示形式上也能夠體現(xiàn)出來(lái)，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注意體會(huì)；同時(shí)向量法是研究幾何圖形性質(zhì)的重要方法，而上面的證明過(guò)程也告訴我們把幾何圖形中的幾何量用向量表示出來(lái)后，靈活運(yùn)用平面幾何中的比例關(guān)系及比例的性質(zhì)是再進(jìn)行向量運(yùn)算的“先行軍”．

第二篇：三角形四心的向量表示

從動(dòng)和靜兩個(gè)角度看三角形中四“心”的向量表示

平面幾何中中三角形的四“心”,即三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心。在引入向量這個(gè)工具后，我們可以從動(dòng)和靜兩個(gè)角度看三角形中的四“心”的向量表示，其一可以使我們對(duì)三角形中的四“心”有全新的認(rèn)識(shí)；其二使我們對(duì)向量形式的多樣性和向量運(yùn)算的靈活性有更清楚的認(rèn)識(shí)。

一．從靜止的角度看向量的四“心”

?????????????1．已知點(diǎn)O是三角形ABC所在平面上一點(diǎn)，若OA?OB?OC?0，則O是三角形ABC的（）

（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

?????????????????????????????????分析：若OA?OB?OC?0，則OA?OB??OC，設(shè)以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形為OAC?B,OC與??????????????????????AB交于點(diǎn)D,則D為AB的中點(diǎn),由OA?OB?OC?得,OC??OC?,即C、O、D、C?四點(diǎn)共線,故CD為?ABC的中線,所以O(shè)在邊AB的中線上,同理可證, O在邊AC的中線上, O在邊BC的中線上所以O(shè)是三角形ABC的重心.???????????????????????? 2.已知點(diǎn)O是三角形所在平面上一點(diǎn)，若OA?OB?OB?OC?OC?OA,則O是三角形ABC的（）

（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????????????????????????分析:由OA?OB?OB?OC得,OB?(OA?OC)?0,即OB?CA?0,所以O(shè)B?C,A同理可證:OC?AB,OA?BC,所以O(shè)是?ABC的垂心.????????????3.已知點(diǎn)O是三角形所在平面上一點(diǎn)，若aOA?bOB?cOC?0,則O是三角形ABC的（）

（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????????????????????????????????????分析::若aOA?bOB?cOC?0,又因?yàn)镺B?OA?AB,OC?OA?AC,則(a?b?c)OA?bAB?cAC?0.所????以AO???????????????????????????bcABACABAC???????,因?yàn)????與????分別表示AB和AC方向上的單位向量,設(shè)????a?b?c?|AB||AC|?|AB||AC|????????????????????????????????ABAC?+????,則AP平分?BAC.又AO、AP????AP共線，BO平分?BAC，知AO平分?BAC。同理可證，|AB||AC|????CO平分?BAC。從而O是?ABC的內(nèi)心。

????2????2????24．已知點(diǎn)O是三角形所在平面上一點(diǎn)，若OA?OB?OC，則O是三角形ABC的（）

（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????2????2????2????2????2????2分析：因?yàn)镺A?OB?OC，所以O(shè)A?OB?OC，即OA?OB?OC，所以O(shè)是?ABC的外心。

二．從運(yùn)動(dòng)的角度看三角形的四“心”

1．已知點(diǎn)O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足????????????????OP?OA??(AB?AC),??R，則動(dòng)點(diǎn)P一定通過(guò)?ABC的（）

（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心 ????????????????????????????????????????????解:OP?OA??(AB?AC),可得AP??(AB?AC),由于AB?AC表示以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,所以點(diǎn)P在邊BC的中線所在直線上，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)?ABC的重心.2．已知點(diǎn)O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足?????????????????ABAC??+???? OP?OA???????,??R，則動(dòng)點(diǎn)P一定通過(guò)?ABC的（）?|AB||AC|?（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

?????????????????????????????????????AB?????ABACACABAC?+???? ?得，AP???????+???? ?。由于?????+???? ?表分析：由OP?OA???????|AB||AC|??|AB||AC|??|AB||AC|?示?BAC的平分線所在的方向向量。故當(dāng)??R時(shí)，動(dòng)點(diǎn)則動(dòng)點(diǎn)P一定通過(guò)?ABC的內(nèi)心。

3已知點(diǎn)O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足??????????????????ABAC????????+ ? ,??R，則動(dòng)點(diǎn)P一定通過(guò)?ABC的（）OP?OA???|AB|cosB|AC|coCs??（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????????????????????ABACABAC??+???? ?得，AP??????+???? ?。分析: 由OP?OA???????|AB|cosB|AC|cosC??|AB|cosB|AC|cosC??????????????????????????????????ABAC??ABB?CA?C???BC?????????+???? ?B C????B?C?B,C0由于????所以?cosAB|B|coAsC|C|cos?|AB|coBsA|C?|C????????。即點(diǎn)P的軌跡是過(guò)點(diǎn)A且垂直于BC的直線，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)?ABC的垂心。AP?B?0C4.已知O平面上一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足????????????OB?OCOP???2??????????ABAC????????+ ,??R，則動(dòng)點(diǎn)P一定通過(guò)?ABC的（）??sA|C|coC?|AB|coB?s（A）內(nèi)心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

??????????ABAC????????+ ??|AB|cosB|AC|cosC??????????????????????????ABACABAC??+???? ?,當(dāng)??R時(shí), ?????+???? ?表示垂直于可得DP???????|AB|cosB|AC|cosC??|AB|cosB|AC|cosC?????????????????????????OB?OCOB?OC分析:設(shè)BC的中點(diǎn)為為D,則???OD,所以由OP?22????BC的向量,所以DP為線段BC的垂直平分線,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)?ABC的外心.上面通過(guò)動(dòng)和靜兩個(gè)角度看三角形的四”心”的向量表示,得出了椒優(yōu)美的結(jié)論,使我們對(duì)向量的四心有了新的認(rèn)識(shí),更好的體會(huì)到辯證的和諧的統(tǒng)一.

第三篇：三角形“五心”的充要條件的向量表示

三角形“五心”的充要條件的向量表示

江蘇省姜堰中學(xué)

張圣官（225500）

讓我們先來(lái)賞析一道頗有趣的向量題：

命題1：在ΔABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，證明：SA?OA?SB?OB?SC?OC?0 ?①（其中SA、SB、SC分別表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面積）。

解：記OA,OB,OC方向上的單位向量依次為e1,e2,e3，并記∠BOC、∠COA、∠AOB依次為α

1、α

2、α3，則

SA? SB? SC?121212|OB|?|OC|sin?1，|OC|?|OA|sin?2，（圖1）|OA|?|OB|sin?3。

所以，①式等價(jià)于e1sin?1?e2sin?2?e3sin?3?0 ?②

如圖1，在OA上取點(diǎn)D，使OD?e1sin?1，過(guò)D作DE∥OB交CO延長(zhǎng)線于E，則 在ΔODE中，DE?sin?2,OE?sin?3，∴DE?e2sin?2,EO?e3sin?3，于是，e1sin?

1、e2sin?

2、e3sin?3恰好構(gòu)成一個(gè)三角形，它們的和為零向量。故命題得證。

評(píng)注：如果把②式放到力學(xué)背景中，將e1,e2,e3看作是大小為1個(gè)單位的力，那么②式正好等價(jià)于三個(gè)共點(diǎn)力e1sin?

1、e2sin?

2、e3sin?3平衡，我們還可以從物理學(xué)的角度給出其證明。根據(jù)圖2可知，e1sin?

1、e2sin?2在e3sin?3 反方向上的分量分別為sin?1cos(180??2)??sin?1cos?2和

（圖2）

0sin?2cos(1800??1)??sin?2cos?1；在垂直于e3sin?3方向上的分量分別為

由于?1??2??3?2?，故?ssin?1sin?2和sin?2sin?1。in?1cos?2?sin?2cos?1

??sin(?1??2)?sin?3，而sin?1sin?2=sin?2sin?1顯然成立，因此三個(gè)共點(diǎn)的力確實(shí)平衡，這樣從物理學(xué)的角度知命題獲證。

這真是一道向量題橫跨數(shù)理天地！然而且慢，該題另有玄機(jī)！聯(lián)系到不少刊物上紛紛將三角形“五心”用各種形式的向量來(lái)表示，其實(shí)由以上結(jié)論出發(fā)倒可以很簡(jiǎn)便地得到三角形“五心”的一種向量表示。真是“踏破鐵鞋無(wú)覓處，得來(lái)全不費(fèi)功夫”?。∶}1中的點(diǎn)O是ΔABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，并且在ΔABC內(nèi)部，其實(shí)，若O在ΔABC的周界上時(shí)結(jié)論也成立。當(dāng)點(diǎn)O在ΔABC形外時(shí)，類似地還可以得到：

命題2：若點(diǎn)O是ΔABC的形外一點(diǎn)且與點(diǎn)A位于直線BC的兩側(cè)，則有結(jié)論?SA?OA?SB?OB?SC?OC?0 ?②（其中SA、SB、SC分別表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面積）。（證明略）

只要將以上兩個(gè)結(jié)論中的點(diǎn)O逐一看作為ΔABC的“五心”，就可以得到三角形“五心”充要條件的向量表示。

命題3：設(shè)O是ΔABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則

（Ⅰ）O是ΔABC的重心?OA?OB?OC?0 ；

（Ⅱ）O是ΔABC的外心?sin2A?OA?sin2B?OB?sin2C?OC?0 ；（Ⅲ）O是ΔABC的內(nèi)心?sinA?OA?sinB?OB?sinC?OC?0 ；（Ⅳ）O是斜ΔABC的垂心?tanA?OA?tanB?OB?tanC?OC?0 ；（Ⅴ）O是ΔABC的旁心??sinA?OA?sinB?OB?siCn?OC?0或sinA?OA?sinB?OB?sinC?OC?0或sinA?OA?sinB?OB?sinC?OC?0。

利用三角形面積公式和等式①、②，容易證明上面五個(gè)結(jié)論成立。由于ΔABC的外心可以在三角形內(nèi)部，也可以在外部或一邊上，情形較多，以下就選結(jié)論（Ⅱ）給出其證明，其余幾個(gè)結(jié)論請(qǐng)讀者自證。

證明：設(shè)O是ΔABC的外心，先證必要性，對(duì)ΔABC分兩類情形討論。

（1）若ΔABC是銳角三角形或直角三角形，則外心O在形內(nèi)或周界上，此時(shí)，222，SB?1，SC?1，根據(jù)命題1中的等式①易得結(jié)SA?12Rsin2A2Rsin2B2Rsin2C論sin2A?OA?sin2B?OB?sin2C?OC?0成立；

（2）若ΔABC是鈍角三角形，不妨設(shè)A>900，則外心O在ΔABC形外且與A位于

2221直線BC的兩側(cè)，此時(shí)，SA?1，SB?1，2Rsin2(??A)??2Rsin2A2Rsin2B2，代入命題2中的②得sin2A?OA?sin2B?OB?sin2C?OC?0成立。SC?12Rsin2C現(xiàn)在再來(lái)證明充分性。若ΔABC

所在平面內(nèi)一點(diǎn)O?滿足si2nA?O?A?si2nB?O?B?si2nC?O?C?0，則由以上證明知，ΔABC的外心O一定滿足等式si2An?OA?si2Bn?OB?si2Cn?OC?0，而

在。兩式相減，Δ

ABC

中

得，(sin2A?sin2B?sin2C)?O?O?0s2Ai?sn2Bi?sn2Ci?2snAsiBsniCni?0，故nO?O?0，即點(diǎn)O?與外心O重合，也就是說(shuō)，點(diǎn)O?即為ΔABC的外心。從而，O是ΔABC的外心的充要條件是sin2A?OA?sin2B?OB?sin2C?OC?0。

第四篇：三角形的四心的向量表示

????2????2????2（1）O為?ABC的外心?OA?OB?OC.外心（三條邊垂直平分線交點(diǎn)）?????????????（2）O為?ABC的重心?OA?OB?OC?0.重心（三條邊中線交點(diǎn)）????????????????????????（3）O為?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.垂心（高線交點(diǎn)）?????????????（4）O為?ABC的內(nèi)心?aOA?bOB?cOC?0.內(nèi)心（角平分線交點(diǎn)）

方向上的單位分別為證明：前三個(gè)心的性質(zhì)都好證明，下面給出問(wèn)題（4）的證明：?cb

?向量，?平分?BAC, cb

?)，???(c???b?????????BCBA同理：BO?u(?)a???c??????????????????????????u?????ABACBCBA?11???AB?AO?OB??(?)?u(?)?[?(?)u]AB?(?)AC cbaccacab

??11?(?)u?1?a?11bc?cacu???(?)u?1??得代入解得，?bcaca?b?c?u???0??ab三角形的四心的向量表示 設(shè)O為?ABC所在平面上一點(diǎn)，角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c，則

bc???（）a?b?ccb

化簡(jiǎn)得(a?b?c)?b?c?，?a?b?c?

第五篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ABC，P為平面上的點(diǎn)，則

(1)P為外心

(2)P為重心

(3)P為垂心

證明(1)如P為△ABC的外心(圖1)，則 PA=PB=PC，(2)如P為△ABC的重心，如圖2，延長(zhǎng)AP至D，使PD=PA，設(shè)AD與BC相交于E點(diǎn)．

由重心性質(zhì)

∴ 四邊形PBDC為平行四邊形．

BC和PD之中點(diǎn)．

心．

(3)如圖3，P為△ABC的垂心

同理PA⊥AC，故P為△ABC之垂心．

由上不難得出這三個(gè)結(jié)論之間的相互關(guān)系：

∴ △ABC為正三角形．

∴ △ABC為正三角形，且O為其中心．