第一篇：向量在高中階段解題的巧用

向量在高中階段解題的應(yīng)用

(一)向量對(duì)圓錐曲線的應(yīng)用.圓錐曲線是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容?？疾榈膬?nèi)容包括圓錐曲線的概

念和性質(zhì)。但直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，很多時(shí)也要結(jié)合向量的知識(shí)來(lái)簡(jiǎn)便解題。

例1：證明：等軸雙曲線上任一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距

離的等比中項(xiàng)。

證明：設(shè)P（x?，y?）是等軸雙曲線x2-y2=a2右支上任一點(diǎn)

∴x?2-y?2=a2

則||2=x?2+y?2=x?2+x?2-a2=2x?2-a2 | PF1|2=x?+a,| PF2|=2x?-a

∴|PF1|·|PF2|=(2x?+a)(2x?-a)=2x?2-a2 ∴|PO|2=|PF1|·|PF2|

同理,當(dāng)P(x?,y?)是左支點(diǎn)上也成立.(二)向量對(duì)立體幾何題的應(yīng)用.由于立體幾何涉及空間幾何圖形，許多考生望而生畏，認(rèn)為這很

抽象，但只要掌握好向量的相關(guān)知識(shí)，把立體幾何圖形的各線段轉(zhuǎn)換

成向量,那解題便簡(jiǎn)便得多了.例1：如圖,在正方體ABCD--A?B?C?D?中，E、F、G、分別是AB，B B?，BC的中點(diǎn)。

證明：B D?⊥平面EFG。

分析：應(yīng)通過(guò)建立空間坐標(biāo)系，通過(guò)

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明。

證明：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a并以D為原點(diǎn)，DA為X軸，DC為Y軸，DD?為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

D?（0，0，2a），B（2a，2a，0），F(xiàn)（2a，2a，a），E（2a，a，0），G（a，2a，0）

∴BD1=（-2a，-2a，2a），=（0，a，a），=（-a，-a，0），=-2a·∴BD1·0-2a· a+2a·a=0? BD1⊥

BD1·（-a）+（-2a）·（-a）+2a·0=0? BD1⊥ =-2a·

∴B D?⊥平面EFG

點(diǎn)評(píng)：此題運(yùn)用了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明。

（三）向量在平面解析幾何圖形的應(yīng)用

由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)都可以用向量方法解決平面幾何中的一些問(wèn)題，現(xiàn)在由我們共同探討向量方法在平面幾何中的應(yīng)用。

例1：在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，設(shè)=, =, =,求|-+|

解：如圖，作DC的延長(zhǎng)線，截MC=CD=1，連結(jié)BM.又∵=, =, =

∴|a-b+c|=|AB-AD+AC|=|DB+AC|

又∵=BM

∴|-+|=||=

2點(diǎn)評(píng)：本題利用了向量加減法的幾何意義計(jì)算線段的長(zhǎng)度，把復(fù)習(xí)的平面幾何圖形簡(jiǎn)單化，可見(jiàn)其簡(jiǎn)便之處。

（四）向量在證明不等式中的應(yīng)用

例1：設(shè)а≠b，а>0，b>0，求證：

（a+b）（a+ b）>（a+ b）

證明：構(gòu)造向量 =(a, b), =(a,b),則：

332222cos2θ EF)=| AB|·（a+ b）=(AB·|EF|·224422332

≤||·||=(a+ b)·（a+ b）

∵a>0,b>0,a≠b

∴θ≠0

∴cosθ≠

1∴(a+ b)·（a+ b）>（a+ b）

點(diǎn)評(píng):在解不等式或證明時(shí),除了掌握其基本不等式外還要把握題目的特點(diǎn)尋找簡(jiǎn)便的方法,而本題就是運(yùn)用向量解題的簡(jiǎn)便方法.（五）向量在證明平行題的應(yīng)用

例1:已知AC、BD是梯形ABCD的對(duì)角線。E、F分別為BD、AC4422332222442

2的中點(diǎn)。

求證：EF∥BC

證明：設(shè)=, = ∵AD∥BC ∴=k=k 則=-=b-a

∵E為BD的中點(diǎn) ∴=?=?(-)

∵F為AC的中點(diǎn) ∴=+=+?=+?(-)=?(+)=?(-)=?(k-)∴EF=BF-BE=?(kb-a)-?(b-a)=(?k-?)b=[(?k-?)·1/k] BC ∴∥,即EF∥BC

點(diǎn)評(píng)：這類(lèi)題應(yīng)掌握好向量的三角形定則，認(rèn)識(shí)向量平行的充要條件。

（六）向量在三角函數(shù)的應(yīng)用。

例1:在直角坐標(biāo)系X0Y中,已知P(2 cosа+1,2 cosа+2)和點(diǎn)Q(cosа,－1),其中а?[0,?

解:由于OP⊥OQ = cosа（2cosа+1）-（2cosа+2）=0——① ∴·].且OP⊥OQ,求X的值。

又∵cos 2а=2cosа-1————————②

由①和②，得2cosа-cosа=0? cosа=0或0.5 2

∵а?[0,?]

∴а=?/2或?/

3點(diǎn)評(píng)：本題利用向量的知識(shí)解答，使過(guò)程簡(jiǎn)便許多。

（七）向量在解物理題的應(yīng)用。

例1：平面上有兩個(gè)向量e1=（1，0），e2=（0，1），今有動(dòng)點(diǎn)P從P?(-1,2)開(kāi)始沿著向量e1+e2相同的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為|e1+e2|；另一動(dòng)點(diǎn)Q從Q?(-2,-1)出發(fā)，沿與向量3e1+2e2相同的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度的大小為|3e1+2e2|，設(shè)P、Q在時(shí)刻t=0秒時(shí)，分別在P?、Q?處，則當(dāng)PQ⊥P?Q?時(shí)，時(shí)

間t為多少秒？

解：依題意P?(-1,2),Q?(-2,-1)則POQO=(-2,-1)-(-1,2)=(-1,-3)

e1+e2=(-1,0)+(0,1)=(1,1)|e1+e2|=2 3e1+2e2=3×(1,0)+2×(0,1)=(3,2)|3e1+2e2|=

∴當(dāng)t時(shí)刻P點(diǎn)位置為（-1，2）+t（1，1）=（-1+t，2+t），點(diǎn)Q位置為（-2，1）+t（3，2）=（-2+3t，-1+2t）∴=(-2+3t,-1+2t)－(-1+t,2+t)=(-1+2t,-3+t)又⊥POQO

∴(-1+2t)·(-1)+(-3+t)·(-3)=0解得t=2 ∴當(dāng)⊥POQO時(shí)，時(shí)間t為2秒。

第二篇：妙用向量解題

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妙用向量解題

作者：姜利麗

來(lái)源：《數(shù)理化學(xué)習(xí)·高一二版》2013年第08期

向量作為一種新型的解題工具，在眾多數(shù)學(xué)問(wèn)題中有十分廣泛的應(yīng)用.除了在空間立體幾何的廣泛應(yīng)用外，筆者也發(fā)現(xiàn)在解析幾何，不等式，代數(shù)中，也能找到它的影子.一、用向量證明三點(diǎn)共線

例1 在平行四邊形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，N是BD上一點(diǎn)，BN=13BD.求證：M、N、C三點(diǎn)共線.

第三篇：巧用配方法解題 2

春季專(zhuān)題六：巧用配方法解題

配方法是一元二次方程解法中非常重要的一種方法，其實(shí)質(zhì)是一種恒等變形，它通過(guò)加上并且減去相同的項(xiàng)，把算式的某些項(xiàng)配成完全n次方的形式，通常是指配成完全平方式．

配方法的在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，主要有以下幾個(gè)方面．

一、用配方法解方程

例1解方程：2x2－3x+1=0．

二、用配方法分解因式

例2把x2+4x—1分解因式．

三、用配方法求代數(shù)式的值

例3已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足條件：a2+4b2—a+4b+

四、用配方法求代數(shù)式的最大（?。┲?/p>

例4代數(shù)式2x—3x—1有最大值或最小值嗎？求出此值．

．

-254=0，求—ab的平方根．

五、用配方比較兩個(gè)代數(shù)式的大小

例5對(duì)于任意史實(shí)數(shù)x，試比較兩個(gè)代數(shù)式3x3—2x2—4x+1與3x3+4x+10的值的大?。?/p>

六、用配方法證明等式和不等式

例6已知方程中(a+b)x—2b(a+c)x+b+c=0中字母a，b，c都是實(shí)數(shù)． 求證：

cb=ba=x.代數(shù)幾何綜合題

1．國(guó)家電力總工司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過(guò)高的現(xiàn)狀，目前，正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，蓮花村六組有四個(gè)村莊A、B、C、D正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖中的實(shí)線部分，請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線．（以下數(shù)據(jù)可供參考：

2＝1．414，3＝1．732，5＝2．236）

圖1圖2圖3圖

42．如圖，△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝BC＝1，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α。

(0o＜α＜90o)得到△A1B1C1，連結(jié)BB1.設(shè)CB1交AB于D，AlB1分別交AB、AC于E、F.(1)在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請(qǐng)你找出一對(duì)全等的三角形，并加以證明

(△ABC與△A1B1C1全等除外)；

(2)當(dāng)△BB1D是等腰三角形時(shí)，求α；(3)當(dāng)α＝60o時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

3、已知Rt△ABC中，?ACB?90?，CA?CB，有一個(gè)圓心角為45?，半徑的長(zhǎng)等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線AB交于點(diǎn)M，N．

（1）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在?ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖①，求證：MN（2）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖②的位置時(shí)，關(guān)系式MN若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

?AM

?BN；

?AM

?BN

是否仍然成立？

A M

N 圖①

B

M

N F 圖②

B4、如圖（1），（2），（3）中，點(diǎn)E，D分別是正三角形ABC，正四邊形ABCM，正五邊形ABCMN中以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，一邊延長(zhǎng)線和另一邊反向延線上的點(diǎn)，且BE?CD,DB延

長(zhǎng)線交AE于F。S

AM

F

C C BE

D

（1）

（2）

（3）

（4）

C D

（1）求圖（1）中，?AFB的度數(shù)；

（2）圖（2）中，?AFB的度數(shù)為；圖（3）中?AFB的度數(shù)為。（3）根據(jù)前面探索，請(qǐng)你將本題推廣到一般的正n邊形情況。

5、如圖（1），OP是?MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形。

O

N

請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題。

C

M

P

F

D

F

D B

C

（1）如圖（2），在?ABC中，?ACB是直角，?B?60?，AD，CE分別是?BAC,?BCA的平分線，AD，CE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系。（2）如圖（3），在?ABC中，如果?ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變。

請(qǐng)問(wèn)，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

第四篇：巧用配方法解題

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巧用配方法解題

配方法是一元二次方程解法中非常重要的一種方法，其實(shí)質(zhì)是一種恒等變形，它通過(guò)加上并且減去相同的項(xiàng)，把算式的某些項(xiàng)配成完全n次方的形式，通常是指配成完全平方式．

配方法的在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，主要有以下幾個(gè)方面．

一、用配方法解方程

例1 解方程：2x－3x+1=0．

分析：用配方法解一元二次方程的一般步驟是： 1． 將二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；

2．移項(xiàng)，使含未知數(shù)的項(xiàng)在左邊，常數(shù)項(xiàng)在右邊； 3．配方，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方； 4．將方程化為(x+m)2=n的形式；

5．用直接開(kāi)平方法進(jìn)行求解（n<0無(wú)解）． 解：方程兩邊都除以2，得x—22

231x+=0.2231移項(xiàng)，得x—x=—.223321322配方，得x—x+()=—+()，242431(x—)2=，4163131即x—=或x—=—.44441所以x1=1，x2=.2二、用配方法分解因式 例2 把x2+4x—1分解因式．

分析：在原式中加上4的同時(shí)又減去4． 解：原式=x2+4x+4—4—1=x2+4x+4—5 =(x+2)2—(5)2=(x+2+5)(x+2—5).三、用配方法求代數(shù)式的值

5例3 已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足條件：a+4b—a+4b+=0，求—ab的平方根．

422-1

004km.cn 求證：cb==x.ba分析：一個(gè)方程含有四個(gè)未知數(shù)，看似無(wú)法求出a，b，c，x．但仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，方程左邊可以分成兩組分別配方，正好得到兩個(gè)完全平方式的和為0，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出a，b，c，x之間的關(guān)系．

證明：原方程坐標(biāo)拆成兩個(gè)二次三項(xiàng)式為：(a2x2—2abx+b2)+(b2x2—2bcx+c2)=0，∴(ax—b)2+(bx—c)2=0． ∵a，b，c，x都是實(shí)數(shù)，∴(ax—b)2≥0,(bx—c)2

≥0．∴ax—b=0,bx—c=0． ∴cbb=a=x.-

第五篇：高中數(shù)列解題方法

數(shù)

1.公式法：

等差數(shù)列求和公式:Sn?

n(a1?an)n(n-1)?na1?d 2

2Sn?na1(q?1)

等比數(shù)列求和公式：a1(1-qn)(a1-anq)Sn??(q?1)1?q1?q

等差數(shù)列通項(xiàng)公式：an?a1?(n?1)d

等比數(shù)列通項(xiàng)公式：an?a1qn?

12.錯(cuò)位相減法

適用題型：適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式 和等差等比數(shù)列相乘{(lán)an},{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.Sn?a1b1?a2b2?a3b3?...?anbn

例題：

已知an?a1?(n?1)d,bn?a1qn?1,cn?anbn,求{cn}的前n項(xiàng)和Sn

3.倒序相加法

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(a1?an)

例題：已知等差數(shù)列{an}，求該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn

4.分組法

有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.5.裂項(xiàng)法

適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式，即然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng)。

常用公式：

111??n(n?1)nn?1

1111(2)?(?)(2n?1)(2n?1)22n?12n?1 11(3)?(a?)a?ba?(1)

例題：求數(shù)列an?1的前n項(xiàng)和S

n n(n?1)

小結(jié)：此類(lèi)變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。

注意： 余下的項(xiàng)具有如下的特點(diǎn)

1余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱(chēng)的。

2余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。

6.數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟：

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n的第一個(gè)值，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

例題：求證： 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3)= n(n?1)(n?2)(n?3)(n?4)5

7.通項(xiàng)化歸

先將通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行求和。

8.（備用）a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)

a?b?(a?b)(a?ab?b)3322