第一篇：空間向量解題時數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用

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空間向量解題時數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用

作者：胡彬

來源：《數(shù)理化學(xué)習(xí)·高一二版》2013年第08期

用空間向量來解決空間立體幾何問題非常得心應(yīng)手，比如證明平行、垂直以及求角、求距離等.但是，我們不能把眼光僅僅限制于這些問題的證明與求解.在運(yùn)用空間向量解決問題時，也包含著許多數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于其中.一、方程思想求值

例1 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點.在直線CC1上是否存在一點N，使得MN⊥AB1？若存在，請你求出它的位置；若不存在，請說明理由.

第二篇：數(shù)學(xué)空間向量

一.空間向量的基本概念、運(yùn)算、定理

1.空間向量的基本概念

由于我們所講的向量可以自由移動，是自由向量，因此對于一個向量、兩個向量都是共面的，他們的基本概念與平面向量完全一樣。包括：向量的定義、向量的表示方法、向量的模、零向量、單位向量、向量的平行與共線、相等向量與相反向量等等

2.空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算

兩個空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算法則及其運(yùn)算律都與平面向量的知識相同。但空間不共面的三個向量的和應(yīng)該滿足“平行六面體”法則。

即：平行六面體ABCD-A＇B＇C＇D

＇中，3.空間向量的數(shù)量積

空間兩個向量的數(shù)量積與平面兩個向量的數(shù)量積的概念及法則都是一致的。

定義

：

性質(zhì)與運(yùn)算律：

①

4.空間向量中的基本定理

共線向量定理：對于

作用：證明直線與直線平行。

推論：P、A、B

三點共線的充要條件：

實數(shù)。

作用：證明三點共線。

共面向量定理（平面向量的基本定理）：兩個向量的充要條件是存在實數(shù)對x、y

使

作用：證明直線與平面平行。

推論：P、A、B、C四點共面的充要條件：

x、y、z為實數(shù)，且x+y+z=1。

作用：證明四點共面。

空間向量的基本定理：如果三個向量

不共面，那么對于空間任意向量，存在一，其中O為任意一點。不共線，向量共面，其中O為任意一點，t為任意空間向

量;

②;

③;

④;

⑤的夾角（起點重合），規(guī)

定。

個唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z

使做空間的一組基底。

作用：空間向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)。

二.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.空間直角坐標(biāo)系。、、叫做基向量，叫

我們在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上增加一個與平面垂直的方向，構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系，即：伸出右手使拇指、食指、中指兩兩垂直，拇指、食指、中指分別指向x、y、z軸的正方向，空間任意一點可用一組有序?qū)崝?shù)確定，即：A（x，y，z）。

2.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

．

二、空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算

（1）空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與

平面向量的運(yùn)算一樣：

（2）、空間向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算律：

=（指向被減向量），加法交換律：

加法結(jié)合律：

數(shù)乘分配律：

注：空間向量加法的運(yùn)算律要注意以下幾點：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向

量，即：

⑵首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：

⑶兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立．

因此，求始點相同的兩個向量之和時，可以考慮用平行四邊形法則．

三、共線向量與共面向量

1、共線向量定理：對空間任意兩個向量

（1）推論：

如圖所示，如果l為經(jīng)過已知點A

且平行于已知向量 的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式

量)．直線l上的點和實數(shù)t是一一對應(yīng)關(guān)系.（2）空間直線的向量參數(shù)方程：

在l

上取 則（其中 是直線l的方向向,存在唯一實數(shù) ；因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；

特別地，當(dāng)

點）

時，得線段AB中點坐標(biāo)公式：（其中P是AB中

2、共面向量定理：如果兩個向

量, 使

.不共線，則向

量 與向

量 共

面

推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對x、y，使；

進(jìn)而對空間任一定點O，有

實數(shù)對(x,y)是唯一的，①式叫做平面MAB的向量表達(dá)式.四、空間向量基本定理、若

其中

2、將上述唯一分解定理換成以任一點O為起點：O、A、B、C不共面，則對空間任意一點P，存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x,y,z∈R，使

五、兩個空間向量的數(shù)量積、向量

2、向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

(1)

(2)

(3)

性質(zhì)(2)可證明線線垂直；

性質(zhì)(3)可用來求線段長.3、向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律：

（1）

（2）

（3）（交換律）（分配律）。為單位向量)的數(shù)量積：

不共面，則對任意向量 稱空間的一個基底，, 存在唯一x,y,z∈R，使①，在平面MAB內(nèi)，點P對應(yīng)的 都叫基向量?？臻g任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底.性質(zhì)(1)可用來求角；

第三篇：高考數(shù)學(xué)難點突破難點—— 運(yùn)用向量法解題

難點3 運(yùn)用向量法解題

平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題.●難點磁場

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線 AM的長；(2)∠CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值.●案例探究

［例1］如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求證：C1C⊥BD.(2)當(dāng)CD的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明.CC1命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力.知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單.錯解分析：本題難點是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.技巧與方法：利用a⊥b?a·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可.(1)證明：設(shè)CD=a, CB=b,CC1=c,依題意，|a|=|b|，CD、CB、CC1中兩兩所成夾角為θ，于是BD?CD?DB=a－b，CC1?BD=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由CA1?C1D?(CA?AA1)?(CD?CC1)

=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得 當(dāng)|a|=|c|時，A1C⊥DC1，同理可證當(dāng)|a|=|c|時，A1C⊥BD，∴CD=1時，A1C⊥平面C1BD.CC1［例2］如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點.(1)求BN的長；

I(2)求cos的值；

(3)求證：A1B⊥C1M.命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來解決立體幾何問題.屬 ★★★★級題目.知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O－xyz,進(jìn)而找到點的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo).錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標(biāo).技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來找出其他的點的坐標(biāo).(1)解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)∴|BN|=(1?0)2?(0?1)2?(1?0)2?3.(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).∴BA1=(1,?1,2),CB1=(0，1，2)BA1?CB1=1×0+(－1)×1+2×2=3 |BA1|=(1?0)2?(0?1)2?(2?0)2?6

|CB1|?(0?0)2?(1?0)2?(2?0)2?5 ?cos?BA1,CB1??BA1?CB1|BC1|?|CB1|?36?5?30.10(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M(，2)

112211C1M?(，0),A1B?(?1,1,?2)

2211∴A1B?C1M?(?1)??1??(?2)?0?0,?A1B?C1M，22∴A1B⊥C1M.●錦囊妙計

1.解決關(guān)于向量問題時，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對向量的本質(zhì)的認(rèn)識.二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題.II 3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進(jìn)行思考：(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？

(4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？ ●殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)設(shè)A、B、C、D四點坐標(biāo)依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為（）A.正方形

B.矩形 C.菱形

D.平行四邊形

2.(★★★★)已知△ABC中，AB=a，a·b<0，S△ABC=AC=b，15,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是（）4A.30°

B.－150°

C.150°

D.30°或150°

二、填空題

3.(★★★★★)將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x－5的圖象只有一個公共點(3，1)，則向量a=_________.4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_________.三、解答題

5.(★★★★★)如圖，在△ABC中，設(shè)AB=a，AC =b，AP =c, AD=λa,(0<λ<1),AE =μb(0<μ<1),試用向量a，b表示c.6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為2a.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出A、B、A1、C1的坐標(biāo)；(2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.7.(★★★★★)已知兩點M(－1，0)，N(1，0)，且點P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差數(shù)列.(1)點P的軌跡是什么曲線？

(2)若點P坐標(biāo)為(x0,y0),Q為PM與PN的夾角，求tanθ.8.(★★★★★)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點.(1)用向量法證明E、F、G、H四點共面；(2)用向量法證明：BD∥平面EFGH；

III(3)設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有OM? 參考答案

難點磁場

解：(1)點M的坐標(biāo)為xM=

1(OA?OB?OC?OD).4?1?17?299?0;yM??,?M(0,)2222221.29?|AM|?(5?0)2?(?1?)2?2(2)|AB|?(5?1)2?(?1?7)2?10,|AC|?(5?1)2?(?1?2)2?5

D點分BC的比為2.∴xD=?1?2?117?2?211?,yD??

1?231?2311114|AD|?(5?)2?(?1?)2?2.333(3)∠ABC是BA與BC的夾角，而BA=(6，8），BC=(2，－5）.?cosABC?BA?BC|BA|?|BC|?6?2?(?8)?(?5)62?(?8)2?22?(?5)2?521029?2629 145殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB=DC，∴AB∥DC，又線段AB與線段DC無公共點，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四邊形，又|AB|=5，AC =(5，3），|AC|=34，∴|AB|≠|(zhì)AC},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又BC=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB不垂直于BC，∴ABCD也不是矩形，故選D.答案：D 2.解析：∵1511?·3·5sinα得sinα=,則α=30°或α=150°.242又∵a·b＜0,∴α=150°.答案：C

二、3.(2,0)4.13 cm

IV

三、5.解：∵BP與BE共線，∴BP=mBE=m(AE－AB)=m(μb－a), ∴AP=AB+BP=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb

①

又CP與CD共線，∴CP=nCD=n(AD－AC)=n(λa－b), ∴AP=AC+CP=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b 由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b.②

?1?m??a??n?m?1?0∵a與b不共線，∴?

即??m?1?nn??m?1?0??解方程組③得：m=

③

1??1??1,n?代入①式得c=(1－m)a+mμb=［λ(1－μ)a+μ(1－1???1???1???λ)b］.6.解：(1)以點A為坐標(biāo)原點O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,2a),C1(－

3aa，222a).3a,0,0）, 2(2)取A1B1的中點M，于是有M(0，,2a），連AM，MC1，有MC1=(－且AB=(0，a,0）,AA1=(0,02a)

a2由于MC1·AB=0，MC1·AA1=0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.∵AC1=(?3aaa，2a),AM?(0，2a), 222a29?AC1?AM?0??2a2?a

443212a232而|AC1|?a?a?2a?3a,|AM|??2a?a

444292a34? 323a?a2?cos?AC1,AM??所以AC1與AM所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°.V 7.解：(1)設(shè)P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得，PM =－MP=(－1－x,－y）,PN??NP =(1－x,－y),MN =－NM=(2,0),∴MP·MN=2(1+x), PM·PN=x2+y2－1,NM?NP =2(1－x).于是，MP?MN,PM?PN,NM?NP是公差小于零的等差數(shù)列，等價于

1?22?x2?y?3?x?y?1?[2(1?x)?2(1?x)] 即? 2??x?0??2(1?x)?2(1?x)?0所以，點P的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的右半圓.(2)點P的坐標(biāo)為(x0,y0)PM?PN?x0?y0?1?2,|PM|?|PN|?(1?x)2?y0?(1?x0)2?y0?(4?2x0)(4?2x0)?24?x0?cos??PM?PN|PM|?PN?14?x0222222

1??0?x0?3,??cos??1,0???,23?sin??1?cos2??1?1sin?2,?tan???3?x?|y0| 02cos?4?x08.證明：(1）連結(jié)BG，則EG?EB?BG?EB?(BC?BD)?EB?BF?EH?EF?EH 由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面，(其中(2）因為EH?AH?AE?121BD=EH）21111AD?AB?(AD?AB)?BD.2222所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD?面EFGH

所以BD∥平面EFGH.(3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG 由(2）知EH?被M平分，所以 11BD，同理FG?BD，所以EH?FG，EH22FG,所以EG、FH交于一點M且 VI OM??1(OA?OB?OC?OD).41111111(OE?OG)?OE?OG?[(OA?OB)]?[(OC?OD)]2222222.VII

第四篇：2013年高考數(shù)學(xué)重點難點突破運(yùn)用向量法解題

2013年新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)之運(yùn)用向量法解題

平面向量是新課標(biāo)教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題.●難點磁場

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線 AM的長；(2)∠CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值.●案例探究

［例1］如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求證：C1C⊥BD.(2)當(dāng)CDCC1的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明.命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力.知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單.錯解分析：本題難點是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.技巧與方法：利用a⊥b?a·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可.(1)證明：設(shè)CD=a, CB=b,CC1=c,依題意，|a|=|b|，CD、CB、CC1中兩兩所成夾角為θ，于是BD?CD?DB=a－b，CC1?BD=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由CA1?C1D?(CA?AA1)?(CD?CC1)

=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得 當(dāng)|a|=|c|時，A1C⊥DC1，同理可證當(dāng)|a|=|c|時，A1C⊥BD，∴CDCC1=1時，A1C⊥平面C1BD.I ［例2］如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點.(1)求BN的長；

(2)求cos的值；

(3)求證：A1B⊥C1M.命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來解決立體幾何問題.屬

★★★★級題目.知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O－xyz,進(jìn)而找到點的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo).錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標(biāo).技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來找出其他的點的坐標(biāo).(1)解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)∴|BN|=(1?0)2?(0?1)2?(1?0)2?3.(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).∴BA1=(1,?1,2),CB1=(0，1，2)BA1?CB1=1×0+(－1)×1+2×2=3 |BA1|=(1?0)2?(0?1)2?(2?0)2?|CB1|?(0?0)?(1?0)?(2?0)BA1?CB1|BC1|?|CB1|2226 5 36?53010??cos?BA1,CB1????.(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M(，2)

22C1M?(11，0),A1B?(?1,1,?2)2212?1?12?(?2)?0?0,?A1B?C1M，11∴A1B?C1M?(?1)?∴A1B⊥C1M.●錦囊妙計

1.解決關(guān)于向量問題時，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的

II 各種運(yùn)算，加深對向量的本質(zhì)的認(rèn)識.二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題.3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進(jìn)行思考：

(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？

(4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？

●殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)設(shè)A、B、C、D四點坐標(biāo)依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為（）A.正方形 C.菱形

B.矩形

D.平行四邊形

1542.(★★★★)已知△ABC中，AB=a，a·b<0，S△ABC=AC=b，A.30° B.－150°

C.150° ,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是（）

D.30°或150°

二、填空題

3.(★★★★★)將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x－5的圖象只有一個公共點(3，1)，則向量a=_________.4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_________.三、解答題

5.(★★★★★)如圖，在△ABC中，設(shè)AB=a，AC =b，AP =c, AD=λa,(0<λ<1),AE =μb(0<μ<1),試用向量a，b表示c.6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為2a.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出A、B、A1、C1的坐標(biāo)；(2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.7.(★★★★★)已知兩點M(－1，0)，N(1，0)，且點P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差數(shù)列.(1)點P的軌跡是什么曲線？

(2)若點P坐標(biāo)為(x0,y0),Q為PM與PN的夾角，求tanθ.III 8.(★★★★★)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點.(1)用向量法證明E、F、G、H四點共面；(2)用向量法證明：BD∥平面EFGH；

(3)設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有OM?

參考答案

難點磁場

解：(1)點M的坐標(biāo)為xM=?1?12?0;yM?7?22?99,?M(0,)2214(OA?OB?OC?OD).?|AM|?(5?0)?(?1?292)2?2212.(2)|AB|?(5?1)?(?1?7)22?10,|AC|?(5?1)?(?1?2)22?5

D點分BC的比為2.∴xD=?1?2?11?2?13,yD?7?2?21?2?113

|AD|?(5?13)?(?1?2113)2?1432.(3)∠ABC是BA與BC的夾角，而BA=(6，8），BC=(2，－5）.?cosABC?BA?BC|BA|?|BC|?6?2?(?8)?(?5)6?(?8)?2?(?5)2222?521029?2629145

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB=DC，∴AB∥DC，又線段AB與線段DC無公共點，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四邊形，又|AB|=5，AC =(5，3），|AC|=34，∴|AB|≠|(zhì)AC},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又BC=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB不垂直于BC，∴ABCD也不是矩形，故選D.答案：D 2.解析：∵ 154?12·3·5sinα得sinα=

12,則α=30°或α=150°.IV 又∵a·b＜0,∴α=150°.答案：C

二、3.(2,0)4.13 cm

三、5.解：∵BP與BE共線，∴BP=mBE=m(AE－AB)=m(μb－a), ∴AP=AB+BP=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb

①

又CP與CD共線，∴CP=nCD=n(AD－AC)=n(λa－b), ∴AP=AC+CP=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b 由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b.∵a與b不共線，∴?解方程組③得：m=?1?m??a??n?m?1?0

即??m?1?nn??m?1?0??1??1???,n?1??1???

②

1③

代入①式得c=(1－m)a+mμb=

1???［λ(1－μ)a+μ(1－λ)b］.6.解：(1)以點A為坐標(biāo)原點O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,2a),C1(－

a32a,a2,2a).32(2)取A1B1的中點M，于是有M(0，,2a），連AM，MC1，有MC1=(－

2a,0,0）, 且AB=(0，a,0）,AA1=(0,02a)由于MC1·AB=0，MC1·AA1=0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.∵AC1=(?32a,a2a,22a),AM?(0,?2a2a2,2a)，?AC1?AM?0?4?942a

2而|AC1|?34a?214a?2a2?3a,|AM|?a4?2a?32a

V 9?cos?AC1,AM??4a23a?32?a32

所以AC1與AM所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°.7.解：(1)設(shè)P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得，PM =－MP=(－1－x,－y）,PN??NP =(1－x,－y),MN =－NM=(2,0),∴MP·MN=2(1+x), PM·PN=x2+y2－1,NM?NP =2(1－x).于是，MP?MN,PM?PN,NM?NP是公差小于零的等差數(shù)列，等價于

1?22?x2?y?3?x?y?1?[2(1?x)?2(1?x)] 即? 2?x?0??2(1?x)?2(1?x)?0?所以，點P的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的右半圓.(2)點P的坐標(biāo)為(x0,y0)PM?PN?x0?y0?1?2,|PM|?|PN|??(4?2x0)(4?2x0)?24?x0PM?PN|PM|?PN?0?x0?3,?12222(1?x)?y0?22(1?x0)?y0222?cos???14?x02

?3?cos??1,0???,?sin??1?cos??1?14?x02,?tan??sin?cos??3?x02?|y0|

8.證明：(1）連結(jié)BG，則EG?EB?BG?EB?12(BC?BD)?EB?BF?EH?EF?EH

12BD=EH）由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面，(其中(2）因為EH?AH?AE?12AD?12AB?12(AD?AB)?12BD.所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD?面EFGH 所以BD∥平面EFGH.(3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG

VI 由(2）知EH?被M平分，所以

OM??141212BD，同理FG?12BD，所以EH?FG，EHFG,所以EG、FH交于一點M且(OE?OG)?12OE?12OG?1111[(OA?OB)]?[(OC?OD)]2222.(OA?OB?OC?OD).VII

第五篇：妙用向量解題

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妙用向量解題

作者：姜利麗

來源：《數(shù)理化學(xué)習(xí)·高一二版》2013年第08期

向量作為一種新型的解題工具，在眾多數(shù)學(xué)問題中有十分廣泛的應(yīng)用.除了在空間立體幾何的廣泛應(yīng)用外，筆者也發(fā)現(xiàn)在解析幾何，不等式，代數(shù)中，也能找到它的影子.一、用向量證明三點共線

例1 在平行四邊形ABCD中，M是AB的中點，N是BD上一點，BN=13BD.求證：M、N、C三點共線.