第一篇：2013高中文科平面向量習(xí)題精選

2013高中文科平面向量習(xí)題精選

一、證明三點共線

例1 如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別在BC、CD上，且BG : GC＝DH: HC＝1: 2.設(shè)EG和HF交于點P，求證P、A、C三點共線.?????????????????????????????

解設(shè)DA?a,DB?b,DC?c，則AC?DC?DA?c?a, F PFEF

3??，∴ PF?3FH ?????????????????????????1??????????????∴PA?3FH?DF?3DH?DF?DF?3?DC?DF??DF

?3?

???????????????????DC?2DF?DC?DA?c?a????????

∴ PA?AC且A為PA、AC公共點，故P、A、C三點共線

∵

??

B G

二、證明直線平行平面

D

A

M

A1??????????

向量a平行平面ABC的充要條件是a?xAB?yAC

例2 直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是AB1與BC1上的點，且

CN C

1AMBN，求證MN∥平面ABCD.?

11???????????????AMBN解 設(shè)AB?a,AD?b,AA1?c,???，則

AB1BC1

??????????????????????????????????????∵ MN?AN?AM?AB?BN?AM?a??BC1??AB1

????????????????????????

?a??BB1?B1C1??AA1?A1B1?a??c?b???c?a?

????

??1???a??1???b，且a與b不共線

??????

?????

∴ MN∥平面ABCD，而MN?平面ABCD，故MN∥平面ABCD.三、證明直線垂直直線（或直線垂直平面）????a?b?a?b?0

例3 如圖，在四面體ABCD中，M是AB的中點，N是CD的中點，求證：MN是異面直線AB，CD的公垂線的充要條件是：AC＝BD，BC＝AD.?????????????????

證明 設(shè)AM?a,MN?b,CN?c

????

b?0,b?c?0 必要性 若MN是異面直線AB，CD的公垂線，則a????????????????????????????????

∵AC?AM?MC?AM?MN?NC?a?b?c，N

?????????????????????

同樣的可得 BD??a?b?c，BC??a?b?c,AD?a?b?c ????2???∴ AC?a?b?c

??

?2?2?2?2????????

?a?b?c?2a?c，BD??a?b?c

??

?2?2?2??

?a?b?c?2a?c

因此，AC＝BD，同理BC＝AD.???

充分性 由AC＝BD，得a?b?c

???

?????a?b?c

?

?????a?b?b?c ①

???

由BC＝AD，得?a?b?c

???

????a?b?c

?

????

?a?b??b?c ②

??

b?0 故MN⊥AM，同理MN⊥CN，即 MN是異面直線AB，CD的公垂①＋②得 a?

線.四、求異面直線的夾角

例4 在正四面體ABCD中，M、P分別為棱AD、CD的中點，N、Q分別是面BCD、面ABC的中心，求MN與PQ的夾角.???????????????

解 設(shè)正四面體的棱長為2，O為BC中點，AB?a,AC?b,AD?c，則

?????????a?b?c?2，a?b?b?c?c?a?2，??????????????????????1????????1????1????

∵ MN?AN?AM?AO?ON?AD?AO?OD?AD

32????1????????1????2????1????1??1? ?AO?AD?AO?AD?AO?AD?a?b?c

QB????????????2????1????????1??1?

PQ?AQ?AP?AO?AC?AD?2a?b?c

O

M

????

????

?????2?1??1??2

∴ MN??a?b?c??1，即|MN|＝|PQ|＝1，6??3

??

?????????

???????????????????1??1???1??1??MN?PQ1

1MN?PQ??a?b?c???2a?b?c???，cosMN,PQ???

6??62?1818?3MNPQ

????

?1?因此，MN與PQ的夾角為arccos???

?18?

空間向量的基底的應(yīng)用恰恰是教學(xué)中的薄弱環(huán)節(jié),如果不注意及時補上這一課,久而久之,應(yīng)用向量的思維會鈍化,甚至?xí)壞厩篝~.向量回路與基底

例：如圖1，在平行四邊形ABCD中E，F(xiàn)分別為AD，CD中點，連接BE，BF交AC于點R，T，求證R，T分別為AC三等分點。

圖1

基底法證明：第一步，建立平面幾何與向量的關(guān)系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面

????????????????????

幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題：設(shè)AB?a，AD?b，AR?r，AT?t，則AC?a?b。

????????

第二步，通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系：由于AR與AC共線，所以，我們設(shè)

????????????????????1

r?n(a?b)，n?R，又因為EB?AB?AE?a?b，ER與EB共線，所以我們設(shè)

????????????????????111ER?mEB?m(a?b)。因為AR?AE?E，R所以r?b?m(a?b)。因此

222

11m?1

n(a?b)?b?m(a?b)，即(n?m)a?(n?b?0。由于向量a，b不共線，要

222

?n?m?0????1????????2????1?

使上式為0，必須?。解得n?m?。所以AR?AC，AT?AC。m?1

333n??0??2

第三步，把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系：AR?RT?TC。

???????????????????????????

回路法證明：由題意得AB?DC?2FC，即AT?TB?2FT?2TC。根據(jù)平面向量的基????????

本定理，可得AT?2TC，故點T為AC三等分點。同理點R為AC三等分點。

從學(xué)生已有的知識儲備來考慮，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過三角形相似，很容易證明?ATB??CTF，從而

ATAB

??2，而學(xué)了教材上的新方法反而更復(fù)雜了。CTCF

基底法常見的作法是：一上來就設(shè)基底，然后將其他向量用基底表示，接下來只要計算就行了。而回路法則是：先充分利用題目已知條件列出等式，再逐步轉(zhuǎn)化。

????????

譬如上面的例題，一遇到平行四邊形ABCD，基底法馬上就設(shè)“AB?a，AD?b”，根本????????

不管題目中的另外已知條件。這樣設(shè)基底，用處不大，通過“AB?a，AD?b”連AB、????????????

AD是平行四邊形ABCD的兩鄰邊都看不出來。而回路法的“AB?DC?2FC”，短短一行

式子，就將平行四邊形、中點兩個基本信息包含在內(nèi)了。解題，是從已知條件出發(fā)，利用推理規(guī)則，到達結(jié)論的彼岸。

面對一個題目，可用的方法、定理、公式，何其多矣，并不一定要用向量法，把大把可用的方法、定理、公式排除在外，結(jié)果只會是自我束縛，難以施展。

即使確定要用向量法，也沒必要一上來就設(shè)基底，因為平面上任意兩個不共線的向量都可以選擇成為基底，那么我們完全用不著事先設(shè)定，而是走著瞧，誰用著方便就選誰。而題目的已知條件則是必須用到的，一個題目如果不是條件冗余，那么解題者必須把每個

條件至少用上一遍，才有可能解答出來。既然已知條件是必須用上的，就好比我們在生活中的有些事是必須做的那樣，我們何不把這件事擺在首位呢？

向量回路法先充分利用題目條件列出等式，而不確定誰為基底，有點打游擊戰(zhàn)的感覺；筆者承認(rèn)，回路法是比基底法更靈活，但我們教學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不就是要教給學(xué)生靈活運用的能力么？回路法的靈活會激發(fā)學(xué)生的思考，遠(yuǎn)勝過基底法的生搬硬套帶來的繁瑣計算。數(shù)學(xué)教學(xué)，絕不是培養(yǎng)死套公式的解題機器。

解題不從題目已知條件出發(fā)，而總想生搬硬套。即使題目被解出來了，也缺少靈氣。

向量解題，選擇基底是必須的，就好比坐標(biāo)法需要建立坐標(biāo)系一樣，否則就沒法用平面向量基本定理，但筆者認(rèn)為向量法的好處就在于不必像坐標(biāo)法那樣首先建坐標(biāo)系。稍有經(jīng)驗的解題者就知道：坐標(biāo)系的選取不同很大程度上決定了接下來的運算是否輕松。

本文例題涉及交點分線段比例，解析法求交點相當(dāng)于解聯(lián)立方程，解題人思路往往被導(dǎo)向解方程，以致走向彎路。向量回路法處理涉及交點的問題，其訣竅在于從一個涉及解題目標(biāo)的回路等式出發(fā)，利用題設(shè)條件和回路等式代換盡量把等式中的向量都化到相交的線段上，從而應(yīng)用基本定理獲取關(guān)鍵信息。心中只要有了這個主見，相當(dāng)多的幾何問題可以迎刃而解。

平面向量基本定理同步訓(xùn)練題

1．下面給出三種說法，其中正確的說法是()

①一個平面只有一對不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；②一個平面內(nèi)有無數(shù)對不共線的向量可作為表示該平面所有向量的基底；③零向量不能作為基底中的向量．

A．①②B．②③C．①③D．①②③

2．如果e1,e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么，下列命題中正確的是()

A、若實數(shù)?1,?2使?e1??e2?0，則?1??2?0

B、空間任一向量a都可以表示為a??1e1??2e2，其中?

1、?2?R C、?1e1??2e2一定不在平面?內(nèi)，?

1、?2?R

D、對于平面?內(nèi)任一向量a,使a??1e1??2e2的實數(shù)?1?2有無數(shù)對

3、設(shè)點O是平行四邊形ABCD的兩對角線的交點，下列向量組：①AD與AB；②DA與BC；③CA與DC；④OD與OB，可作為該平面其他向量基底的是（）A、①②B、①③C、①④D、③④

4、已知e1,e2是平面內(nèi)兩不共線向量a?3e1?2e2,b??2e1?e2，若c?7e1?4e2，試用a和b表示c。

5、如圖2—3—1，平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點，已知AM?c,AN?d，試用c、d表示AB和AD。

6、若OP1?a,OP2?b,P1P??PP2，則OP?（）

A、a??b

B、?a?b

C、?a?(1??)b

D、1?a?b 1??1??

7、已知平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點E，O是平面內(nèi)任意一點。

8、如圖2—3—2，在△OAB中，延長BA到C，使AC=BA，在OB

上取

求證：OA?OB?OC?OD?4OE

點D，使DB?OB,DC與OA交于E,設(shè)OA?a,OB?b，用a、b表示向量、。

9、已知a與b不共線，實數(shù)x、y滿足等式3xa?(10?y)b?(4y?7)a?2xb，則

3x?__________，y=________。

10、如圖2—3—3在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN=2NC，AM與BN相交于點P，求AP：PM的值。

【參考答案】

1、B2、A3、B4、解：∵a,b不共線，設(shè)c?xa?yb，則

c?x(3e1?2e2)?y(?2e1?e2)

?(3x?2y)e1?(?2x?y)e

2又∵c?7e1?4e2，∴7e1?4e2?(3x?2y)e1?(?2x?y)e2 ∵e1,e2不共線，?3x?2y?7,∴?

?2x?y??4,??x?1∴?,?c?a?2b。

y??2?

5、解：設(shè)?a,?b，則由M、N分別為DC、BC的中點，可得BN?

從△ABN和△ADM中可得，1?a?b?d①??2 ?

1?b?a?c②?2?

1b，DM?a。

2(2d?c)。32

②?2?①，得b?(2c?d)。

即AB?(2d?c),AD?(2c?d)

3①?2?②，得a?

OP1??OP21?

?a?b。

1??1??1??

7、證明：∵在△OAC中，OE為中線，∴?(?)

21同理OE?(OB?OD)

∴????4。

8、解：∵A是BC中點，∴OA?(OB?OC)

即OC?2OA?OB?2a?b

5DC?OC?OD?OC?OB?2a?b?b?2a?b。

333?3x?4y?747169、點撥：? ,10?y?2x1111?

6、D 點撥：?

10、解：設(shè)?e1,?e2，則????3e2?e1,?2e1?e2，∵A、P、M和B、P、N分別共線，∴存在實數(shù)?、u，使AP??AM???e1?3?e2，?u?2ue1?ue2，而BA?BP?AP?(??2u)e1?(3??u)e2，又∵???2e1?3e2，4???

???2u?2??5∴? ,??

3??u?33??u?

?5?

∴?,?AP:PM?4:1

第二篇：平面向量復(fù)習(xí)題

平面 向 量

向量思想方法和平面向量問題是新考試大綱考查的重要部分，是新高考的熱點問題。題型多為選擇或填空題，數(shù)量為1-2題，均屬容易題，但是向量作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要工具在三角、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解幾、立幾等問題解決中處處閃光。最近幾年的考試中向量均出現(xiàn)在解析幾何題中，在解析幾何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的運算性質(zhì)、考查向量幾何意義的應(yīng)用，并直接與距離問題、角度問題、軌跡問題等相聯(lián)系。近年考綱又新增“平面向量在幾何中的應(yīng)用”試題進一步要求我們具備多角度、多方向地分析，去探索、去發(fā)現(xiàn)、去研究、去創(chuàng)新，而不是去做大量的模仿式的解題。一個問題解決后，不能匆匆而過，回顧與反思是非常有必要的，以充分發(fā)揮每一道題目的價值。除了要重視一題多解外，更要重視一題多變，主動探索：條件和結(jié)論換一種說法如何？變換一個條件如何？反過來又會怎么樣？等等。只有這樣才能做到舉一反三，以不變應(yīng)萬變。

一、高考考綱要求

1．理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．

2．掌握向量的加法與減法．

3．掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．

4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運算．

5．掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

6．掌握平面兩點間的距離公式，掌握線段的定比分點和中點公式，并且能熟練運用；掌握平移公式．

二、高考熱點分析

在高考試題中，對平面向量的考查主要有三個方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性質(zhì)和運算法則，理解和運用其直觀的幾何意義，并能正確地進行計算。其二考查向量坐標(biāo)表示，向量的線性運算。

其三是和其他知識結(jié)合在一起，在知識的交匯點設(shè)計試題，考查向量與學(xué)科知識間綜合運用能力。

數(shù)學(xué)高考命題注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交互滲透，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點設(shè)計試題．由于向量具有代數(shù)和幾何的雙重身份，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點，成為聯(lián)系多項知識的媒介．因此，平面向量與其他知識的結(jié)合特別是與解析幾何的交匯、融合仍將是高考命題的一大趨勢，同時它仍將是近幾年高考的熱點內(nèi)容．

附Ⅰ、平面向量知識結(jié)構(gòu)表

1.考查平面向量的基本概念和運算律

1此類題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，主要考查平面向量的有關(guān)概念與性質(zhì)，要求考生深刻理解平面向量的相關(guān)概念，能熟練進行向量的各種運算，熟悉常用公式及結(jié)論，理解并掌握兩向量共線、垂直的充要條件。1．(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

（）

2．(江西卷)已知向量

A．30°

?(1,2),(?2,?4),||?

B．60°,若(?)??

C．120°,則與的夾角為

2（）

D．150°

3．(重慶卷)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D為線段BC的中點，則

A．

與的夾角為（）

444

4B．a(chǎn)rccos C．a(chǎn)rccos(?)D．－arccos(?)

2555

5???????

4．(浙江卷)已知向量a≠e，|e|＝1，對任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則

?arccos

?

（）

??A．a(chǎn)⊥e ???B．a(chǎn)⊥(a－e)

?

???C．e⊥(a－e)????D．(a＋e)⊥(a－e)

????????．(上海卷)在△ABC中，若?C?90，AC?BC?4，則BA?BC? 2.考查向量的坐標(biāo)運算

1．(湖北卷)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超過5，則k的取值范圍是

A．[－4，6]

2．(重慶卷)設(shè)向量a=（－1，2），b=（2，－1），則（a·b）（a+b）等于

A．（1，1）

B．（－4，－4）

C．－4

D．（－2，－2）

()

（）

B．[－6，4]

C．[－6，2]

D．[－2，6]

（）

????

3．(浙江卷)已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構(gòu)成的集合是

A．{2，3}

B．{－1，6}

C．{2}

D．{6}

例4．(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(0,1)和點B(－3,4)，若點C在∠AOB的平分線上且||=2,則OC=。

????????????

5．(全國卷)已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三點共線，則k=.6．(湖北卷)已知向量a7．(廣東卷)已知向量a

?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超過5，則k的取值范圍是

?(2,3),b?(x,6),且a//b,則x.3.平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

????????

????????ABAC

?),??[0,??),則1.O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP?OA??(|AB||AC|

P的軌跡一定通過△ABC

A．外心的（）B．內(nèi)心

C．重心

D．垂心

????

2．（遼寧卷）已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（不包括端點A,C），則AP等于（）

????????????????A．?(AB?AD),??(0,1)

B.?(AB?BC),??(0,????????????????C.?(AB?AD),??(0,1)

D.?(AB?BC),??(0,??????

3．已知有公共端點的向量a，b不共線，|a|＝1，|b|=2,則與向量a，b的夾角平分線平行的單位向量是.????????????????

4．已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個定點A(?2,?1)、B(0,10)、C(8,0)，若動點P滿足：OP?OA?t(AB?AC),t?R，則點P的軌跡方程。

4.平面向量與三角函數(shù)、函數(shù)等知識的結(jié)合當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上，可以設(shè)計出有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題。此類題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：

①利用向量平行或垂直的充要條件，②利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).1．(江西卷)已知向量?(2cos

xx?x?x?,tan(?)),?(2sin(?),tan(?)),令f(x)??.224242

4求函數(shù)f(x)的最大值，最小正周期，并寫出f(x)在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間.2．(山東卷)已知向量

??

m?(cos?,sin?)

和

?n?

sin?,cos?,????,2??

?，且

???m?n?求

????

cos???的值.?28?

3．(上海卷)已知函數(shù)

f(x)?kx?b的圖象與x,y軸分別相交于點

A、B，?2?2（,分別是與x,y軸正半

軸同方向的單位向量），函數(shù)g(x)

?x2?x?6.f(x)?g(x)時，求函數(shù)

（1）求k,b的值；（2）當(dāng)x滿足

g(x)?

1的最小值.f(x)

【反思】這類問題主要是以平面向量的模、數(shù)量積、夾角等公式和相互知識為紐帶，促成與不等式知識的相互遷移，有效地考查平面向量有關(guān)知識、不等式的性質(zhì)、不等式的解法、不等式的應(yīng)用及綜合解題能力。

5.平面向量與解析幾何的交匯與融合由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶。而解析幾何也具有數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的特征，所以在向量與解析幾何知識的交匯處設(shè)計試題，已逐漸成為高考命題的一個新的亮點。

平面幾何與解析幾何的結(jié)合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標(biāo)化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運算；或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問題。主要包括以下三種題型：

1、運用向量共線的充要條件處理解幾中有關(guān)平行、共線等問題

運用向量共線的充要條件來處理解幾中有關(guān)平行、共線等問題思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分點公式研究這類問

題要簡捷的多。

2、運用向量的數(shù)量積處理解幾中有關(guān)長度、角度、垂直等問題

運用向量的數(shù)量積，可以把有關(guān)的長度、角度、垂直等幾何關(guān)系迅速轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而“計算”出所要求的結(jié)果。

3、運用平面向量綜合知識，探求動點軌跡方程，還可再進一步探求曲線的性質(zhì)。

1．(江西卷)以下同個關(guān)于圓錐曲線的命題中 ①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|

PA|?|PB|?k，則動點P的軌跡為雙曲線；

?

(?),則動點P的軌跡為橢圓； 2

②設(shè)定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標(biāo)原點，若③方程2x

?5x?2?0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

x2y2x2

??1與橢圓?y2?1有相同的焦點.④雙曲線

25935

其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）

???????????

2．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知A(3,1),B(?1,3)，若點C滿足OC??0A??OB，其中?,??R，且?

???1，則點C的軌跡方程為()

A.C.3x?2y?11?0B.(x?1)2?(y?2)2?5 2x?y?0D.x?2y?5?0

2．已知平面上一個定點C（－1，0）和一條定直線l：x＝－4，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，????????????????

（PQ＋2PC）?（PQ－2PC）＝0.（1）求點P的軌跡方程；

????????

PC的取值范圍．（2）求PQ·

第三篇：平面向量說課稿

平面向量說課稿

我說課的內(nèi)容是《平面向量的實際背景及基本概念》的教學(xué),所用的教材是人民教育出版社出版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修四,教學(xué)內(nèi)容為第74頁至76頁.下面我從教材分析, 重點難點突破,教學(xué)方法和教學(xué)過程設(shè)計四個方面來說明我對這節(jié)課的教學(xué)設(shè)想.一 教材分析

1地位和作用

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一,有著深刻的幾何背景,是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移),相似,垂直,勾股定理等就可以轉(zhuǎn)化為向量的加(減)法,數(shù)乘向量,數(shù)量積運算(運算率),從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算體系.向量是溝通代數(shù),幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實際背景,在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用.平面向量的基本概念是在學(xué)生了解了物理學(xué)中的有關(guān)力,位移等矢量的概念的基礎(chǔ)上進一步對向量的深入學(xué)習(xí).為學(xué)習(xí)向量的知識體系奠定了知識和方法基礎(chǔ).2教學(xué)結(jié)構(gòu)

課本在這一部分內(nèi)容的教學(xué)為一課時,首先從實際例子出發(fā),抽象出向量的概念,并重點說明了向量與數(shù)量的區(qū)別.然后介紹了向量的幾何表示,向量的長度,零向量,單位向量,平行向量,共線向量,相

等向量等基本概念.為使學(xué)生更好地掌握這些基本概念,同時深化其認(rèn)知過程和探究過程.在教學(xué)中我將這樣安排教學(xué):將本節(jié)教學(xué)中認(rèn)知過程的教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)集中,以突出這節(jié)課的主題;例題,習(xí)題部分主要由學(xué)生依照概念自行分析,獨立完成.3教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)本課教材的特點,新大綱對本節(jié)課的教學(xué)要求,學(xué)生身心發(fā)展的合理需要,我從三個方面確定了以下教學(xué)目標(biāo):(1)基礎(chǔ)知識目標(biāo):理解向量,零向量,單位向量,共線向量,平行向量,相等向量的概念,會用字母表示向量,能讀寫已知圖中的向量.會根據(jù)圖形判定向量是否平行,共線,相等.(2)能力訓(xùn)練目標(biāo)： 培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、類比、聯(lián)想等發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察問題,分析問題,解決問題的能力。(3)情感目標(biāo)：讓學(xué)生在民主、和諧的共同活動中感受學(xué)習(xí)的樂趣。

二

重點難點突破

由于本節(jié)課是本章內(nèi)容的第一節(jié)課，是學(xué)生學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ).為了本章后面知識的學(xué)習(xí)，首先必須掌握向量的概念，要抓住向量的本質(zhì):大小與方向.所以向量,相等向量的概念,向量的幾何表示是這節(jié)課的重點.本節(jié)課是為高一后半學(xué)期學(xué)生設(shè)計的,盡管此時的學(xué)生已經(jīng)有了一定的學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣,但根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗,多數(shù)學(xué)生對向量的認(rèn)識還比較單一,僅僅考慮其大小,忽略其方向,這對學(xué)生的理解能力要求比較高,所以我認(rèn)為向量概念也是這節(jié)課的難點.而解決這一難點的關(guān)鍵是多用復(fù)雜的幾何圖形中相等的有向線段讓學(xué)生進

行辨認(rèn),加深對向量的理解.三 教學(xué)方法

本節(jié)課我采用了“啟發(fā)探究式”的教學(xué)方法,根據(jù)本課教材的特點和學(xué)生的實際情況在教學(xué)中突出以下兩點:(1)由教材的特點確立類比思維為教學(xué)的主線.從教材內(nèi)容看平面向量無論從形式還是內(nèi)容都與物理學(xué)中的有向線段,矢量的概念類似.因此在教學(xué)中運用類比作為思維的主線進行教學(xué).讓學(xué)生充分體會數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科之間的聯(lián)系以及發(fā)生與發(fā)展的過程.(2)由學(xué)生的特點確立自主探索式的學(xué)習(xí)方法

通常學(xué)生對于概念課學(xué)起來很枯燥,不感興趣,因此要考慮學(xué)生的情感需要,找一些學(xué)生感興趣的題材來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,另外,學(xué)生都有表現(xiàn)自己的欲望,希望得到老師和其他同學(xué)的認(rèn)可,要多表揚,多肯定來激勵他們的學(xué)習(xí)熱情.考慮到學(xué)生思維較為活躍,對自主探索式的學(xué)習(xí)方法也有一定的認(rèn)識,所以在教學(xué)中我通過創(chuàng)設(shè)問題情境,啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生運用科學(xué)的思維方法進行自主探究.將學(xué)生的獨立思考,自主探究,交流討論等探索活動貫穿于課堂教學(xué)的全過程,突出學(xué)生的主體作用.四 教學(xué)過程設(shè)計

Ⅰ知識引入階段---提出學(xué)習(xí)課題,明確學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)創(chuàng)設(shè)情境——引入概念

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該與學(xué)生的生活融合起來，從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的

知識背景出發(fā)，讓他們在生活中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、認(rèn)識并掌握數(shù)學(xué)。

由生活中具體的向量的實例引入:大海中船只的航線,中國象棋中”馬”,”象”的走法等.這些符合高中學(xué)生思維活躍,想象力豐富的特點,有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.(2)觀察歸納——形成概念

由實例得出有向線段的概念,有向線段的三個要素:起點,方向,長度.明確知道了有向線段的起點,方向和長度,它的終點就唯一確定.再有目的的進行設(shè)計,引導(dǎo)學(xué)生概括總結(jié)出本課新的知識點：向量的概念及其幾何表示。(3)討論研究——深化概念

在得到概念后進行歸納,深化,之后向?qū)W生提出以下三個問題: ①向量的要素是什么? ②向量之間能否比較大小? ③向量與數(shù)量的區(qū)別是什么? 同時指出這就是本節(jié)課我們要研究和學(xué)習(xí)的主題.Ⅱ知識探索階段---探索平面向量的平行向量.相等向量等概念(1)總結(jié)反思——提高認(rèn)識

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共線向量，并且規(guī)定0與任一向量平行．長度相等且方向相同的向量叫相等向量，規(guī)定零向量與零向量相等．平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要條件.(2)即時訓(xùn)練—鞏固新知

為了使學(xué)生達到對知識的深化理解，從而達到鞏固提高的效果，我特地設(shè)計了一道即時訓(xùn)練題，通過學(xué)生的觀察嘗試，討論研究，教師引導(dǎo)來鞏固新知識。下列命題正確的是()

A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c也共線

B．任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點

C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量

D．有相同起點的兩個非零向量不平行 III 知識應(yīng)用階段---分析解決問題，歸納解題方法（1）分析解決問題

先引導(dǎo)學(xué)生分析解決問題.包括向量的概念,:向量相等的概念.抓住相等向量概念的實質(zhì):兩個向量只有當(dāng)它們的模相等,同時方向又相同時,才能稱它們相等.進而進行正確的辨認(rèn),直至最終解決問題.（2）歸納解題方法

主要引導(dǎo)學(xué)生歸納以下兩個問題:①零向量的方向是任意的,它只與零向量相等;②兩個向量只要它們的模相等,方向相同就是相等向量.一個向量只要不改變它的大小和方向,是可以任意平行移動的,即向量是自由的.Ⅳ 學(xué)習(xí),小結(jié)階段---歸納知識方法,布置課后作業(yè)

本階段通過學(xué)習(xí)小結(jié)進行課堂教學(xué)的反饋,組織和指導(dǎo)學(xué)生歸納知識,技能,方法的一般規(guī)律,為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).(1)知識方法小結(jié) 在知識層面上我首先引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容,提醒學(xué)生要抓住向量的本質(zhì):大小與方向,對它們進行類比,加深對每個概念的理解.在方法層面上我將帶領(lǐng)學(xué)生回顧探索過程中用到的思維方法和數(shù)學(xué)方法如:類比,數(shù)形結(jié)合,等價轉(zhuǎn)化等.(2)布置課后作業(yè)

整理課堂筆記,習(xí)題2.1第1,2,3題.

第四篇：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．課題：平面向量概念

二、教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生了解向量的物理實際背景，理解平面向量的一些基本概念，能正確進行平面向量的幾何表示。

2、讓學(xué)生經(jīng)歷類比方法學(xué)習(xí)向量及其幾何表示的過程，體驗對比理解向量基本概念的簡易性，從而養(yǎng)成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。

3、通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受向量的概念方法源于現(xiàn)實世界，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

三．教學(xué)類型：新知課

四、教學(xué)重點、難點

1、重點：向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、難點：向量的概念及對平行向量的理解。

五、教學(xué)過程

（一）、問題引入

1、在物理中，位移與距離是同一個概念嗎？為什么？

2、在物理中，我們學(xué)到位移是既有大小、又有方向的量，你還能舉出一些這樣的量嗎？

3、在物理中，像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。在數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，沒有方向的量叫數(shù)量。

（二）講授新課

1、向量的概念

練習(xí)1 對于下列各量：

①質(zhì)量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨體積 ⑩溫度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的幾何表示

請表示一個豎直向下、大小為5N的力，和一個水平向左、大小為8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理學(xué)科中是如何表示力這一向量的？

（1）有向線段及有向線段的三要素（2）向量的模

（4）零向量，記作＿＿＿＿；（5）單位向量

練習(xí)2 邊長為6的等邊△ABC中，＝＿＿，與 相等的還有哪些？

總結(jié)向量的表示方法： 1）、用有向線段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量與共線向量（1）相等向量的定義（2）共線向量的定義

六．教具：黑板 七．作業(yè) 八．教學(xué)后記

第五篇：平面向量教案

平面向量教案

課

件004km.cn

二、復(fù)習(xí)要求

、向量的概念;

2、向量的線性運算:即向量的加減法,實數(shù)與向量的乘積,兩個向量的數(shù)量積等的定義,運算律;

3、向量運算的運用

三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)。在向量的運算過程中,借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運算以直觀解釋,有時甚至更簡捷。

向量運算中的基本圖形:①向量加減法則:三角形或平行四邊形;②實數(shù)與向量乘積的幾何意義--共線;③定比分點基本圖形--起點相同的三個向量終點共線等。

2、向量的三種線性運算及運算的三種形式。

向量的加減法,實數(shù)與向量的乘積,兩個向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運算,前兩者的結(jié)果是向量,兩個向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運算都可以有三種表現(xiàn)形式:圖形、符號、坐標(biāo)語言。

主要內(nèi)容列表如下:

運算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言

加法與減法

=

-=

記=,=

則=

-==

實數(shù)與向量

的乘積

=λ

λ∈R記=

則λ=兩個向量

的數(shù)量積

·=||||

cos<,>

記=,=

則·=x1x2y1y2

3、運算律

加法:=,=

實數(shù)與向量的乘積:λ=λλ;=λμ,λ=

兩個向量的數(shù)量積:·=·;·=·=λ,·=··

說明:根據(jù)向量運算律可知,兩個向量之間的線性運算滿足實數(shù)多項式乘積的運算法則,正確遷移實數(shù)的運算性質(zhì)可以簡化向量的運算,例如2=

4、重要定理、公式

平面向量基本定理;如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于該平面內(nèi)任一向量,有且只有一對數(shù)數(shù)λ1,λ2,滿足=λ1λ2,稱λ1λλ2為,的線性組合。

根據(jù)平面向量基本定理,任一向量與有序數(shù)對一一對應(yīng),稱為在基底{,}下的坐標(biāo),當(dāng)取{,}為單位正交基底{,}時定義為向量的平面直角坐標(biāo)。

向量坐標(biāo)與點坐標(biāo)的關(guān)系:當(dāng)向量起點在原點時,定義向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo),即若A,則=;當(dāng)向量起點不在原點時,向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo),即若A,B,則=

兩個向量平行的充要條件

符號語言:若∥,≠,則=λ

坐標(biāo)語言為:設(shè)=,=,則∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0

在這里,實數(shù)λ是唯一存在的,當(dāng)與同向時,λ>0;當(dāng)與異向時,λ<0。

|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時,λ的符號與大小就確定了。這就是實數(shù)乘向量中λ的幾何意義。

兩個向量垂直的充要條件

符號語言:⊥·=0

坐標(biāo)語言:設(shè)=,=,則⊥x1x2y1y2=0

線段定比分點公式

如圖,設(shè)

則定比分點向量式:

定比分點坐標(biāo)式:設(shè)P,P1,P2

則

特例:當(dāng)λ=1時,就得到中點公式: ，實際上,對于起點相同,終點共線三個向量，,總有=uv,uv=1,即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量,且系數(shù)和為1。

平移公式:

①點平移公式,如果點P按=平移至P',則

分別稱,為舊、新坐標(biāo),為平移法則

在點P新、舊坐標(biāo)及平移法則三組坐標(biāo)中,已知兩組坐標(biāo),一定可以求第三組坐標(biāo)

②圖形平移:設(shè)曲線c:y=f按=平移,則平移后曲線c'對應(yīng)的解析式為y-k=f

當(dāng)h,k中有一個為零時,就是前面已經(jīng)研究過的左右及上下移

利用平移變換可以化簡函數(shù)解析式,從而便于研究曲線的幾何性質(zhì)

正弦定理,余弦定理

正弦定理:

余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA

b2=c2a2-2cacosB

c2=a2b2-2abcosc

定理變形:cosA=,cosB=,cosc=

正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過閱讀課本,理解用向量法推導(dǎo)正、余弦定理的重要思想方法。

5、向量既是重要的數(shù)學(xué)概念,也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直,線線平行,求夾角等,特別是直角坐標(biāo)系的引入,體現(xiàn)了向量解決問題的“程序性”特點。

四、典型例題

例

1、如圖，為單位向量,與夾角為1200,與的夾角為450,||=5,用,表示。

分析:

以,為鄰邊,為對角線構(gòu)造平行四邊形

把向量在,方向上進行分解,如圖,設(shè)=λ,=μ,λ>0,μ>0

則=λμ

∵||=||=1

∴λ=||,μ=||

△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:

∴

∴

說明:用若干個向量的線性組合表示一個向量,是向量中的基本而又重要的問題,通常通過構(gòu)造平行四邊形來處理

例

2、已知△ABc中,A,B,c,Bc邊上的高為AD,求點D和向量坐標(biāo)。

分析:

用解方程組思想

設(shè)D,則=

∵=,·=0

∴-6-3=0,即2xy-3=0①

∵=,∥

∴-6=-3,即x-2y1=0②

由①②得:

∴D,=

例

3、求與向量=,-1)和=夾角相等,且模為的向量的坐標(biāo)。

分析:

用解方程組思想

法一:設(shè)=,則·=x-y,·=xy

∵<,>=<,>

∴&nb ∴

即①

又||=

∴x2y2=2②

由①②得或

∴=

法二:從分析形的特征著手

∵||=||=2

·=0

∴△AoB為等腰直角三角形,如圖

∵||=,∠Aoc=∠Boc

∴c為AB中點

∴c

說明:數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法,分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡化計算。

例

4、在△oAB的邊oA、oB上分別取點m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,設(shè)線段AN與Bm交于點P,記=,=,用,表示向量。

分析:

∵B、P、m共線

∴記=s

∴①

同理,記

∴=②

∵,不共線

∴由①②得解之得:

∴

說明:從點共線轉(zhuǎn)化為向量共線,進而引入?yún)?shù)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于s,t的方程。

例

5、已知長方形ABcD,AB=3,Bc=2,E為Bc中點,P為AB上一點

利用向量知識判定點P在什么位置時,∠PED=450;

若∠PED=450,求證:P、D、c、E四點共圓。

分析:

利用坐標(biāo)系可以確定點P位置

如圖,建立平面直角坐標(biāo)系

則c,D,E

設(shè)P

∴=,=

∴

·=3y-1

代入cos450=

解之得,或y=2

∴點P為靠近點A的AB三等分處

當(dāng)∠PED=450時,由知P

∴=,=

∴·=0

∴∠DPE=900

又∠DcE=900

∴D、P、E、c四點共圓

說明:利用向量處理幾何問題一步要驟為:①建立平面直角坐標(biāo)系;②設(shè)點的坐標(biāo);③求出有關(guān)向量的坐標(biāo);④利用向量的運算計算結(jié)果;⑤得到結(jié)論。

同步練習(xí)

選擇題、平面內(nèi)三點A,B,c,若∥,則x的值為:

A、-5B、-1c、1D、5

2、平面上A,B,D,c點滿足,連Dc并延長至E,使||=||,則點E坐標(biāo)為:

A、B、c、D、或

2、點沿向量平移到,則點沿平移到:

3、A、B、c、D、4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,則此三角形是:

A、直角三角形B、等腰三角形c、等邊三角形D、以上均有可能

5、設(shè)，是任意的非零平面向量,且相互不共線,則:

①-=0

②||-||<|-|

③-不與垂直

④·=9||2-4|2中，真命題是:

A、①②B、②③c、③④D、②④

6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,則∠c度數(shù)是:

A、600B、450或1350c、1200D、300

7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,則點P在

A、∠AoB平分線所在直線上B、線段AB中垂線上

c、AB邊所在直線上D、AB邊的中線上

8、正方形PQRS對角線交點為m,坐標(biāo)原點o不在正方形內(nèi)部,且=,=,則=

A、B、c、D、填空題

9、已知{,|是平面上一個基底,若=λ,=-2λ-,若,共線,則λ=__________。

0、已知||=,||=1,·=-9,則與的夾角是________。

1、設(shè),是兩個單位向量,它們夾角為600，則·=____________。

2、把函數(shù)y=cosx圖象沿平移,得到函數(shù)___________的圖象。

解答題

3、設(shè)=,=,⊥,∥,試求滿足=的的坐

14、若=,-=,求、及與夾角θ的余弦值。

5、已知||=,||=3,和夾角為450,求當(dāng)向量λ與λ夾角為銳角時,λ的取值范圍。

參考答案

1、c2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、9、10、11、12、y=sinx1 13、4、=,=，5、λ<,或λ>且λ≠ 課

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