第一篇：高中空間向量試題

上杭二中2006—2007學年第二學期

高二數(shù)學單元試題

（考試時間：120分鐘滿分：150分）

一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b與2 a－b互相垂直，則k的值是（）

137A．1B．C．D．55

52．已知?3?2?,???2,則5與3數(shù)量積等于

A．－15 B．－5 C．－3（）D．－

13．已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，下列條件中能確定點M與點A、B、C一定共面的是

（）A．??? B．?2??

11111?D．OM??? 2333

34．已知向量a＝（0，2，1），b＝（－1，1，－2），則a與b的夾角為（）C．OM??

A．0°B．45°C．90°D．180°

5．已知△ABC的三個頂點為A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），則BC邊上的中線長為

A．2（）B．3C．4D．

56．在下列命題中：①若a、b共線，則a、b所在的直線平行；②若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；③若a、b、c三向量兩兩共面，則a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，則空間任意一個向量p總可以唯一表示為p＝xa＋yb＋zc．其中正確命題的個數(shù)為（）

A． 0B．1C． 2D．

3?????1???7．已知空間四邊形ABCD，M、G分別是BC、CD的中點，連結(jié)AM、AG、MG，則AB+(BD?BC)等于（2???）

???

A．AGB． CGC． BCD．2BC?????????????????8．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA?a，CB?b，CC1?c，則A1B?（）?????????

高二數(shù)學共 6 頁第 1 頁

??????????

9．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、D1C、A1C

1A．有相同起點的向量C．共面向量

A． a?b?cB．a(chǎn)?b?cC． ?a?b?cD． ?a?b?c

是（）

B．等長向量D．不共面向量

10．已知點A（4，1，3），B（2，－5，1），C為線段AB上一點，且()

????????

3|AC|?|AB|,則點的坐標是

715310757

3A．(,?,)B．(,?3,2)C．(,?1,)D．(,?,)

22283322

211．設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足AB?AC?0,AB?AD?0,AC?AD?0，則△BCD是（）

A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．不確定 12．（文科）在棱長為1的正方體ABCD—

A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值是（）A．?

223B．CD

55510

（理科）已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，則點B到平面EFG的距離為（）A．

32B．C．D．

151011

二．填空題（本大題4小題，每小題4分，共16分）

13．已知向量a=(?+1,0,2?)，b=(6,2?-1,2),若a∥b,則?與?的值分別．

14．已知a,b,c是空間兩兩垂直且長度相等的基底，m=a+b,n=b-c,則m，n的夾角為 ．

b?c)?a，15．已知向量a和c不共線，向量b≠0，且(a?b)?c?(d＝a＋c，則?d,b?．

16．（如圖）一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點A

為端點的三條棱長都等于1，且它們彼此的夾角都是

60?，那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長。

上杭二中2006—2007學年第二學期

高二數(shù)學單元測試答題卷

13．________、_________

15．_________________．90°16．_____________________．6

11．14．____________________．60°

52三．解答題（本大題6小題，共74分）

17．（本小題滿分12分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中點，取如圖所示的空間直角坐標系．（1）寫出A、B1、E、D1的坐標；（2）求AB1與D1E所成的角的余弦值．

解：(1)A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)

→→→→

(2)∵ AB1 ＝(0,-2, 2)，ED1 ＝(0, 1, 2)∴ AB|1 |＝ 22，ED|

1→→

|5，AB1 ED· 1 ＝ 0－2＋4＝2, →→

→→ABED·210

∴ cos ?AB1，ED1 ?＝＝＝∴→→10．

5AB|1 |·ED| 1 | AB1與ED1所成的角的余弦值10 ． 10

18．（本小題滿分12分）

在正方體ABC，如圖Ｅ、Ｆ分別是BB1，ＣＤ的中點，D?A1B1C1D1中（1）求證：D1F?平面ADE；（2）

解：建立如圖所示的直角坐標系，（1）不妨設(shè)正方體的棱長為1，則D（0，0，0），A（1，0，0），D1（0，0，1），E（1，1，），F(xiàn)（0，0），則D1＝（0，－1），DA＝（1，0，0），21

＝（0，1，），則D1?＝0，x

D1?＝0，?D1?，D1?.?D1F?平面ADE.12，－

（２）B1（1，1，1），C（0，1，0），故CB1＝（1，0，1），＝（－1，－

12），??CB1＝－1＋0－

＝－

?，??1?1?

3?

2，則

??

3?22

??

3.?150?

19．（本小題滿分12分）

BCD中如圖，在四棱錐P?A，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD?底面ABCD，PD?DC，E是PC的中點，作EF?PB交PB于點F.DB；（1）證明 PA∥平面E

（2）證明PB?平面EFD． 解：

解：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點.設(shè)DC(1)證明：連結(jié)AC，AC交BD于G.連結(jié)EG.?a.,0,0),依題意得A(a(0,0P,),(0a，E)

aa

?底面ABCD是正方形，?G是此正方形的中心，aa????????

故點G的坐標為(，0)且PA?(a,0,?a),EG?(a,0,?a).2222

????????

?PA?2EG.這表明PA∥EG.而EG

?平面EDB且PA?平面EDB，?PA∥平面EDB。

????????aa

0,(2)證明：依題意得B(a,a,0),PB?(a,a,?a)。又DE?（22?PB?DE, 由已知EF?PB，且EF

a2a2

故??0???0

?DE?E,所以PB?平面EFD.20．（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD．（1）求SC與平面ASD所成的角余弦；（2）求平面SAB

和平面SCD所成角的余弦． 解

：

（1

C

（2

21．（本小題滿分12分）如圖，在底面是菱形的四棱錐P—

ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=2a,點E在PD上，且PE:ED=2:1.（1）證明PA⊥平面ABCD；（2）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角?的大小

（1）證明因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，2222由PA+AB=2a=PB知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（2）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角?的平面角.又PE : ED=2 :

121，所以EG?a,AG?a,GH?AGsin60??a.333

??從而tan

EG?,??30?.GH3

22．（本小題滿分14分）

????????

P是平面ABCD外的點，四邊形ABCD是平行四邊形，AB??2,?1,4?,?AD??4,2,0,????

AP???1,2,?1?.（1）求證：PA?平面ABCD.?

??（2）對于向量a?(x1,y1,z1),b(?x,2y,2z)2，定義一種運算：

???

(a?b)?c?x1y2z3?x2y3z1?x3y1z2?x1y3z2?x2y1z3?x3y2z1，試計算

????????????

(AB?AD)?AP

????????????(AB?AD)?AP的絕對值;說明其與幾何體P-的絕對值的幾何意義（幾何體P-

ABCD的體積關(guān)系，并由此猜想向量這種運算

ABCD叫四棱錐，錐體體積公式：V=?底面積?高）.解：

????????（1）AP?AB?(2,?1,?4)?(?1,2,?1)??2?(?2)?4?0 ?????????AP?AB 即AP?AB

????????AP?AD?(? 1,2,?1)?(4,2,0)???4?4?0

????????

?AP?AD即PA?AD?AD?面ABCD

????????????????????（2）AB?AD?AP?48,又cosAB?AD?

?

?

?????????????????1???AB?AD?sinAB?AD?AP?16 V3????????????B?ADA?P猜測：A在幾何上可表示以AB,AD,AP為棱的平等六面體的體積（或以AB,AD,AP為棱的四棱柱

??的體積）

第二篇：向量空間證明

向量空間證明解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當?shù)狞c和直線方向建立空間直角坐標系 中 2)若問題中沒有給出坐標計算單位，可選擇合適的線段設(shè)置長度單位;3)計算有關(guān)點的坐標值，求出相關(guān)向量的坐標;4)求解給定問題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量，分別與已知直線向量求數(shù)積，只要分別為零，即可說明結(jié)論。

證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉(zhuǎn)化為證明二個向量平行的問題，只要說明一個向量是另一向量的m(實數(shù))倍，即可 只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會從中悟出經(jīng)驗和方法 2 解：

因為x+y+z=0 x=-y-z y=y+0*z z=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z y,z為任意實數(shù)

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數(shù)為2(不用寫為什么是2)步驟1 記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 接著得到正弦定理 其他 步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。

第三篇：向量空間證明

向量空間證明

解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當?shù)狞c和直線方向建立空間直角坐標系中

2)若問題中沒有給出坐標計算單位，可選擇合適的線段設(shè)置長度單位;

3)計算有關(guān)點的坐標值，求出相關(guān)向量的坐標;

4)求解給定問題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量，分別與已知直線向量求數(shù)積，只要分別為零，即可說明結(jié)論。

證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉(zhuǎn)化為證明二個向量平行的問題，只要說明一個向量是另一向量的m(實數(shù))倍，即可

只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會從中悟出經(jīng)驗和方法

解：

因為x+y+z=0

x=-y-z

y=y+0*z

z=0*y+z

(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z

y,z為任意實數(shù)

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數(shù)為2(不用寫為什么是2)

步驟1

記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步驟3.證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.作直徑BD交⊙O于D.連接DA.因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

設(shè)向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過A做AG‖DC交EF于p點

由三角形中位線定理有：

向量Ep=?向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質(zhì))

∴向量pF=?(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=?(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=?(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

先假設(shè)兩條中線AD,BE交與p點

連接Cp,取AB中點F連接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共線，pF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點p

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一問結(jié)論

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以O(shè)A+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第四篇：空間向量復(fù)習

高中數(shù)學選修2—1空間向量 期末復(fù)習

（基本知識點與典型題舉例）

為右手直角坐標系（立體幾何中建立的均為右手系）。

2、空間直角坐標系中的坐標運算：

一、空間向量的線性運算：

1、空間向量的概念：

空間向量的概念包括空間向量、相等向量、零向量、向量的長度（模）、共線向量等．

2、空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算：

平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則同樣適用于空間向量的加（減）法運算． 三個不共面的向量的和等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體的對角線所表示的向量．

3、加法和數(shù)乘運算滿足運算律：

①交換律，即a+b=b+a；②結(jié)合律，即(a(a+b)?c?a?(b+c)；

③分配律，即(???)a=?a+?a及?(a+b)??a??b（其中?，?均為實數(shù)）．

4、空間向量的基本定理：

（1）共線向量定理：對空間向量a，b(b?0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)?，使a=?b．（2）共面向量定理：如果空間向量a，b不共線，則向量c與向量a,b共面的充要條件是，存在惟一的一對實數(shù)x，y，使c=xa+yb。

推論：①空間一點?位于平面??C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使???????x???????y????C?；

②空間一點?位于平面??C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y或?qū)臻g任一定點?，有??????????????x???????y????C?；

③若四點?，?，?，C共面，則???????x???????y???????z????C?

? x?y?z?1?。

（3）空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組

x，y，z，使p=xa+yb+zc．其中{a，b，c}是空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量，該定理可簡述為：空間任一向量p都可以用一個基底{a，b，c}惟一線性表示（線性組合）。

5、兩個向量的數(shù)量積：

（1）兩個向量的數(shù)量積是a?

b=abcos?a，b?，數(shù)量積有如下性質(zhì)：①a?e=acos?a，e?（e為單位向量）；②a⊥b?a?b=0；③a?a=a

2；④a?b≤ab。

（2）數(shù)量積運算滿足運算律：①交換律，即a?b=b?a；②與數(shù)乘的結(jié)合律，即(?a)?

b=?(a?b)；③分配律，即(a+b)?c=a?c+b?c．

二、空間向量的直角坐標運算：

1、空間直角坐標系：

若一個基底的三個基向量是互相垂直的單位向量，叫單位正交基底，用{i，jk}表示；在空間

選定一點O和一個單位正交基底{i，jk}，可建立一個空間直角坐標系O?xyz，作空間直角 坐標系O?xyz時，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°；在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，稱這個坐標系

（1）定義：給定空間直角坐標系O－xyz和向量a，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組使a=a1i+a2j+a3k，則(a1，a2，a3)叫作向量a在空間的坐標，記作a=(a1，a2，a對空間任一點A，存在惟一的???3)。

OA?

?xi+yj+zk，點Ａ的坐標，記作A(x，y，z)，x，y，z 分別叫Ａ的橫坐標、縱坐標、豎坐標。

（2）若A(x????

1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB?(x2?x1，y2?y1，z2?z1)；

（3）空間兩點的距離公式：

d???????

???

3、空間向量的直角坐標運算律：已知a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則：a+b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)，a?b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)；

?a?(?a1，?a2，?a3)，a?b=(a1b1，a2b?

2，?a3b3)；

a∥b?a1??b1，a

2??bcos???a?b

ab2，a3a?,b???b3|a|?|b|?1?212a2b2?a3b3222?0；

空間兩個向量的夾角公式：

a1?a2?a3?b12?b2?b

3。

4、直線的方向向量與向量方程：

（1）位置向量：已知向量a，在空間固定一個基點O，作向量???OA?

?a，則點A在空間的位置被a

所

惟一確定，a稱為位置向量。

（2）方向向量與向量方程：給定一個定點???Ａ和一個向量a，再任給一個實數(shù)t，以A為起點作向量

AP?

?ta，則此方程為直線l上點P對應(yīng)的向量方程，向量a稱為直線l的方向向量。

5、平面的法向量：

（1）如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面?，則稱這個向量垂直于平面?

（記作a⊥?），向量a叫做平面?的法向量。法向量有兩個相反的方向。

三、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：

1、空間向量在位置關(guān)系證明中的具體應(yīng)用：

1）空間的線線、線面、面面垂直關(guān)系，都可以轉(zhuǎn)化為空間兩個向量的垂直問題來解決：①設(shè)a、b分別為直線a，b的一個方向向量，那么a⊥b?a⊥b?a?b=0；②設(shè)a、b分別為平面?，?的一個法向量，那么?⊥??a⊥b?a?b=0；③設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為b，那么l⊥??a∥b。

2）空間直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行，都可以用向量方法來研究：①設(shè)a、b是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為a、b，那么a∥b?a∥b；②直線與平面平行可轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量垂直，也可用共面向量定理來

證明線面平行問題；

③平面與平面平行可轉(zhuǎn)化為兩個平面的法向量平行。

2、空間向量在立體幾何的計算問題中的應(yīng)用：

1）空間角的計算：

①線線角：異面直線所成角轉(zhuǎn)化為兩條直線所在向量的夾角；

②線面角：直線AB與平面?所成角為，其中n是平面?的法向量；

③面面角：二面角的大小為，其中m，n是兩個半平面的法向量。2）距離的計算：

①點面距：設(shè)n是平面?的法向量，A??，則B到?的距離為；

②線線距：設(shè)n是兩條異面直線l1，l2的公垂線的向量，若A，B分別是在l1，l2上的任意一點，則l1，l2的距離為；

③線面距、面面距，與前面求法相同。

四、例題分析：

例

1、如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD

為正方形，PD=DC，E、F分別是AB，PB的中點.（1）求證：EF⊥CD；（2）在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.（3）求DB與平面DEF所成角的大小。

例

2、如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中

AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1，（1）求BF的長；（2）求點C到平面AEC1F的距離。

例

3、已知四棱錐P?ABCD的底面為直角梯形，AB//DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA?AD?D

1，AB?1，M是PB的中點。

（1）證明：面PAD?面PCD；（2）求AC與PB所成的角；

（3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

例

4、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD?底面ABCD，E是AB上

一點，PF?EC.已知PD?

2,CD?2,AE?

2, 求（Ⅰ）異面直線PD與EC的距離；（Ⅱ）二面角E?PC?D的大小。

例

2、如圖4，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，點E在棱AB上移動，問AE等于何值時，二面角D1?EC?D的大小為

π

4．19．（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 為正方形，PD=DC，E、F分別 是AB，PB的中點.（1）求證：EF⊥CD；

（2）在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.（3）求DB與平面DEF所成角的大小.19．以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)AD=a，則

D(0?,?0?,?0)?,?A(a?,?0?,?0)，B(a?,a?,?0)?,C?

(0?,?a?,?0)?,E?

(a?,a

?,?0)?,F?(a2

2?,a2?,a2)?,P?(0?,?0?,a)

（1）??????a

a?2?,?0?,2??

?,?(0?,?a?,?0)?0?,?

∴EF

?DC?.（2）設(shè)G(x?,?0?,?z)，則G∈平面PAD.FG??

?aaa??

x?2?,??2?,?z?2??，????a?x?2,???a2?,?z?a?2???(a?,?0?,?0)?a??a?a?

x?2???0，則x?2； ???

?a?

x?2?,??a2?,?z?a?2???(0?,??a?,?a)?a2a2?a(z?2)?0，則z=0.∴G是坐標為（a，0，0），即G為AD的中點.（3）（只理科做）設(shè)平面DEF的法向量為n?(x?,y?,z)?.??由??n??0?,?(x,?y,?z)???a,?a?,a?

??0?,?得??DE?0???222??n.???(x?,y,?z)?(a,?a,??0)?0?.?a

(x?y?z)?即??0?,?2取x=1，則y=-2，z=1, ???ax?a2

y?0?.∴ n=(1，-2，1).cos〈BD?,?n〉a3

?

2a?6

?

?, ∴DB與平面DEF所成角大小為

?2?arccos3

（即arcsin3

6）.19．如圖4，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，點E在棱AB上移動，問AE等于何值時，二面角D1?EC?D的大小為

π4

． 解：設(shè)AE?x，以D為原點，直線DA，DC，DD1所在直線

分別為

x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A1(1，01)，D1(0，01)，E(1，x，0)A(1，0，0)C(0，2，0)． ∴???CE??(1，x?2，0)????D?1)，????DD?1C?(0，2，?1?(0，0，1)．

設(shè)平面D1EC的法向量為n?(a，b，c)，??????·D1C?0，?2b?c?0，?n

??由???? ?

a?b(x?2)?0，·CE?0???n

?????

又CC1?(0，0，3)，設(shè)CC1與n1的夾角為?，?????

CC1·n則cos??． 1?

CC1n

令b?1，∴c?2，a?2?x．

∴n?(2?x，1，2)．

?????n·DD1π依題意cos?．

??

4nDD1．

∴

x?2x?2∴AE?2．

????? ∴C到平面AEC1F的距離d?CC1cos??

20．如圖5所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB?4，BC?2，CC1?3，BE?1．

????

（1）求BF；

（2）求點C到平面AEC1F的距離．

解：（1）以D為原點，DAF，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D?xyz，D(0，0，0)B(2，4，0)A(2，0，0)C(0，4，0)E(2，41)，C1(0，4，3)，設(shè)F(0，0，z)． ?????????

由AF?EC1，得(?2，0，z)?(?2，0，2)，∴z?2．

????∴F(0，0，2)BF?(?2，?4，2)．

????

∴BF?

?????·AE?0，?n1

（2）設(shè)n1為平面AEC1F的法向量，n1?(x，y，1)，由?????

·AF?0，??n1，?x?1

?4y?1?0，?得?∴?1

?2x?2?0．y??．???4

第五篇：向量空間總結(jié)

向量空間總結(jié)

一、知識結(jié)構(gòu)圖

二、結(jié)構(gòu)說明

⑴本章主要包括向量代數(shù)和空間解析幾何的基本內(nèi)容.向量代數(shù)是研究空間解析幾何的基礎(chǔ)，解析幾何中，直線、平面方程的建立都是由向量的共線或垂直關(guān)系得到的.⑵理解和靈活運用向量的各種運算，是學好本章的基礎(chǔ).⑶空間直角坐標系的引入是聯(lián)系本章兩部分的紐帶，有了坐標系，向量的表示和運算均化為向量坐標之間的代數(shù)運算，使向量的運算廣泛應(yīng)用于解決幾何問題.⑷直線和平面方程是本章的重點.三、知識拓展

向量代數(shù)在初等幾何中的應(yīng)用

研究幾何的代數(shù)方法除了常用的坐標方法外還有向量方法，有些幾何概念用向量表示比較簡單，下面舉例說明向量方法在解決初等幾何問題中的應(yīng)用.1、三線共點問題

例1 證明三角形三條高線交于一點 證明：設(shè)的兩條高線，交于M點，連AM.則有由于因為

所以有所以有

即

即

所以有即

即

從而三角形ABC的三條高線交于一點M.所以

2、垂直關(guān)系的證明

例2 空間四邊形ABCD的對角線互相垂直的充分必要條件是對邊的平方和相等.證：在空間四邊形ABCD中設(shè)則有a+b+c+d=0.必要性：設(shè)則

即，則，即有

兩式相加得所以

充分性：設(shè)

由于所以

所以

用向量的方法還可以證明許多幾何定理，例如：三角形的余弦定理；平行四邊形成為菱形的充分必要條件是對角線互相垂直；三角形的三條角平分線交于一點等等.三點共線問題也可用向量方法來研究.四、綜合測試

1、填空題：

⑴設(shè)向量角為

時，m=________.當時，m=______，當時，m=______.當a與b夾

⑵設(shè)⑶點⑷與向量⑸過點

且與關(guān)于，則

______.面的對稱點坐標為________；關(guān)于z軸對稱點的坐標為_______.同時垂直的向量是_________.垂直的直線方程是_____________.⑹過一點

___________.且與直線

和直線都平行的平面方程為

⑺直線與平面的交點為__________,夾角為________.⑻曲線在平面上的投影方程為_____________.2、求通過直線且與

平行的平面方程.3、判斷兩直線與

和的位置關(guān)系？

是否可確定一個平面，若能，求出平面方程.4、設(shè)平面

與L垂直的直線方程.，直線試求在平面內(nèi)過L和的交點且

5、直線間的最短距離..求與，與之

五、綜合測試答案

1、⑴ ⑵4.⑶ ⑷

；；

.；；

.⑸ ⑹

⑺；夾角

⑻2、3、、5、