第一篇：中考 數(shù)學(xué)證明題輔助線經(jīng)典做法訓(xùn)練

新智慧輔導(dǎo)中心吳老師：***

初中數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練題

補(bǔ)形法的應(yīng)用

班級(jí)________姓名__________分?jǐn)?shù)_______

一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時(shí)顯得十分繁難，若通過(guò)適當(dāng)?shù)摹把a(bǔ)形”來(lái)進(jìn)行，即添置適當(dāng)?shù)妮o助線，將原圖形填補(bǔ)成一個(gè)完整的、特殊的、簡(jiǎn)單的新圖形，則能使原問(wèn)題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過(guò)對(duì)新圖形的分析，使原問(wèn)題順利獲解。這種方法，我們稱之為補(bǔ)形法，它能培養(yǎng)思維能力和解題技巧。我們學(xué)過(guò)的三角形、特殊四邊形、圓等都可以作為“補(bǔ)形”的對(duì)象?，F(xiàn)就常見(jiàn)的添補(bǔ)的圖形舉例如下，以供參考。

一、補(bǔ)成三角形

1.補(bǔ)成三角形

例1.如圖1，已知E為梯形ABCD的腰CD的中點(diǎn)；

證明：△ABE的面積等于梯形ABCD面積的一半。

分析：過(guò)一頂點(diǎn)和一腰中點(diǎn)作直線，交底的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，構(gòu)造等面積的三角形。這也是梯形中常用的輔助線添法之一。

略證：

2.補(bǔ)成等腰三角形

例2 如圖2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求證：BD＝2CE

分析：因?yàn)榻鞘禽S對(duì)稱圖形，角平分線是對(duì)稱軸，故根據(jù)對(duì)稱性作出輔助

線，不難發(fā)現(xiàn)CF＝2CE，再證BD＝CF即可。

略證：

3.補(bǔ)成直角三角形

例3.如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F(xiàn)、G分別

是AD、BC的中點(diǎn)，若BC＝18，AD＝8，求FG的長(zhǎng)。

分析：從∠B、∠C互余，考慮將它們變?yōu)橹苯侨切蔚慕牵恃娱L(zhǎng)BA、CD，要求FG，需求PF、PG。

略解：

圖

34.補(bǔ)成等邊三角形

例4.圖4，△ABC是等邊三角形，延長(zhǎng)BC至D，延長(zhǎng)BA至E，使AE＝BD，連結(jié)CE、ED。證明：EC＝ED

分析：要證明EC＝ED，通常要證∠ECD＝∠EDC，但難以實(shí)現(xiàn)。這樣可采

用補(bǔ)形法即延長(zhǎng)BD到F，使BF＝BE，連結(jié)EF。

略證：

二、補(bǔ)成特殊的四邊形

1.補(bǔ)成平行四邊形

例5.如圖5，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，并且E、F、G、H不在同一條直線上，求證：EF和GH互相平分。

分析：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，故要證結(jié)論，需考慮四邊

形GEHF是平行四邊形。

略證：

2.補(bǔ)成矩形

例6.如圖6，四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的長(zhǎng)。

分析：矩形具有許多特殊的性質(zhì)，巧妙地構(gòu)造矩形，可使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角

形，于是一些四邊形中較難的計(jì)算題不難獲解。

略解：

圖6

3.補(bǔ)成菱形

例7.如圖7，凸五邊形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝

DE＝4，求其面積

分析：延長(zhǎng)EA、CB交于P，根據(jù)題意易證四邊形PCDE為菱形。

略解：

4.補(bǔ)成正方形

例8.如圖8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。

求△ABC的面積。

分析：本題要想從已知條件直接求出此三角形的面積確實(shí)有些困難，如果

從題設(shè)∠BAC＝45°，AD⊥BC出發(fā)，可以捕捉到利用軸對(duì)稱性質(zhì)構(gòu)造一個(gè)正方

形的信息，那么問(wèn)題立即可以獲解。

略解：

5.補(bǔ)成梯形

例9．如圖9，已知： G是△ABC中BC邊上的中線的中點(diǎn)，L是△ABC外的一條直線，自A、B、圖8

圖7

C、G向L作垂線，垂足分別為A1、B1、C1、G1。求證：GG1＝4(2AA1＋BB

1＋CC1)。

分析：本題從已知條件可知，中點(diǎn)多、垂線多特點(diǎn)，聯(lián)想到構(gòu)造直角梯形

來(lái)加以解決比較恰當(dāng)，故過(guò)D作DD1⊥L于D1，則DD1既是梯形BB1C1C的中

位線，又是梯形DD1A1A的一條底邊，因而，可想到運(yùn)用梯形中位線定理突破，使要證的結(jié)論明顯地顯示出來(lái)，從而使問(wèn)題快速獲證。

略證：

圖9

第二篇：中考數(shù)學(xué)2013年24題證明題及輔助線作法

2013年中考數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練題

一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時(shí)顯得十分繁難，若通過(guò)適當(dāng)?shù)摹把a(bǔ)形”來(lái)進(jìn)行，即添置適當(dāng)?shù)妮o助線，將原圖形填補(bǔ)成一個(gè)完整的、特殊的、簡(jiǎn)單的新圖形，則能使原問(wèn)題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過(guò)對(duì)新圖形的分析，使原問(wèn)題順利獲解。這種方法，我們稱之為補(bǔ)形法，它能培養(yǎng)思維能力和解題技巧。我們學(xué)過(guò)的三角形、特殊四邊形、圓等都可以作為“補(bǔ)形”的對(duì)象?，F(xiàn)就常見(jiàn)的添補(bǔ)的圖形舉例如下，以供參考。

一、補(bǔ)成三角形

1.補(bǔ)成三角形

例1.如圖1，已知E為梯形ABCD的腰CD的中點(diǎn)；

證明：△ABE的面積等于梯形ABCD面積的一半。

2.補(bǔ)成等腰三角形

例2 如圖2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求證：BD＝2CE

3.補(bǔ)成直角三角形

例3.如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F(xiàn)、G分別是AD、BC的中點(diǎn)，若BC＝18，AD＝8，求FG的長(zhǎng)。

4.補(bǔ)成等邊三角形

例4.圖4，△ABC是等邊三角形，延長(zhǎng)BC至D，延長(zhǎng)BA至E，使AE＝BD，連

結(jié)CE、ED。證明：EC=ED

二、補(bǔ)成特殊的四邊形

1.補(bǔ)成平行四邊形

例5.如圖5，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，并且E、F、G、H不在同一條直線上，求證：EF和GH互相平分。

圖

32.補(bǔ)成矩形

例6.如圖6，四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的長(zhǎng)。

3.補(bǔ)成菱形

例7.如圖7，凸五邊形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，求其面積

4.補(bǔ)成正方形

例8.如圖8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。

求△ABC的面積。

5.補(bǔ)成梯形

例9．如圖9，已知： G是△ABC中BC邊上的中線的中點(diǎn)，L是△ABC外的一條直線，自A、B、圖8

圖7

圖6

C、G向L作垂線，垂足分別為A1、B1、C1、G1。求證：GG1＝4(2AA1＋BB1＋CC1)。

圖9

第三篇：輔助線幾何證明題

輔助線的幾何證明題

三角形輔助線做法

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。

常見(jiàn)的輔助線做法

1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。

2、遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。

3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。

4、過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。

5、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。

6、特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答。

一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等

（一）例題講解

例

1、（“希望杯”試題）已知，如圖?ABC中，AB?5，AC?3，求中線AD的取值范圍。分析：本題的關(guān)鍵是如何把AB，AC，AD三條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形當(dāng)中。解:延長(zhǎng)AD到E，使DE?DA，連接BE

又∵BD?CD，?BDE??CDA

∴?BDE??CDA?SAS?，BE?AC?3

∵AB?BE?AE?AB?BE(三角形三邊關(guān)系定理)

即2?2AD?8

∴1?AD?4

經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：見(jiàn)中線，延長(zhǎng)加倍。

E B D C A

第四篇：中考數(shù)學(xué)證明題

中考數(shù)學(xué)證明題

O是已知線段AB上的一點(diǎn)，以O(shè)B為半徑的圓O交AB于點(diǎn)C，以線段AO為直徑的半圓圓o于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E

(1)說(shuō)明AE切圓o于點(diǎn)D

(2)當(dāng)點(diǎn)o位于線段AB何處時(shí)，△ODC恰好是等邊三角形〉?說(shuō)明理由

答案：一題：顯然三角形DOE是等邊三角形：

理由：

首先能確定O為圓心

然后在三角形OBD中：BO=OD，再因角B為60度，所以三角形OBD為等邊三角形;

同理證明三角形OCE為等邊三角形

從而得到：角BOD=角EOC=60度，推出角DOE=60度

再因?yàn)镺D=OE，三角形DOE為等腰三角形，結(jié)合上面角DOE=60度，得出結(jié)論：

三角形DOE為等邊三角形

第三題沒(méi)作思考，有事了，改天再解

二題：

要證明三角形ODE為等邊三角形，其實(shí)還是要證明角DOE=60度，因?yàn)槲覀冎廊切蜲DE是等腰三角形。

此時(shí)，不妨設(shè)角ABC=X度，角ACB=Y度，不難發(fā)現(xiàn)，X+Y=120度。

此時(shí)我們要明確三個(gè)等腰三角形：ODE;BOD;OCE

此時(shí)在我們?cè)谌切蜝OD中，由于角OBD=角ODB=X度

從而得出角BOD=180-2X

同理在三角形OCE中得出角EOC=180-2Y

則角BOD+角EOC=180-2X+180-2Y，整理得：360-2(X+Y)

把X+Y=120代入，得120度。

由于角EOC+角BOD=120度，所以角DOE就為60度。

外加三角形DOE本身為等腰三角形，所以三角形DOE為等邊三角形!

圖片發(fā)不上來(lái)，看參考資料里的1如圖，AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥AC于D，BC=DF。求證：AC=EF。

2已知AC平分角BAD，CE垂直AB于E，CF垂直AD于F，且BC=CD

(1)求證：△BCE全等△DCF

3.如圖所示，過(guò)三角形ABC的頂點(diǎn)A分別作兩底角角B和角C的平分線的垂線，AD垂直于BD于D，AE垂直于CE于E，求證：ED||BC.4.已知，如圖，pB、pC分別是△ABC的外角平分線，且相交于點(diǎn)p。

求證：點(diǎn)p在∠A的平分線上。

回答人的補(bǔ)充2010-07-1900:101.在三角形ABC中,角ABC為60度,AD、CE分別平分角BAC角ACB,試猜想,AC、AE、CD有怎么樣的數(shù)量關(guān)系

2.把等邊三角形每邊三等分,經(jīng)其向外長(zhǎng)出一個(gè)邊長(zhǎng)為原來(lái)三分之一的小等邊三角形,稱為一次生長(zhǎng),如生長(zhǎng)三次,得到的多邊形面積是原三角形面積的幾倍

求證：同一三角形的重心、垂心、三條邊的中垂線的交點(diǎn)三點(diǎn)共線。(這條線叫歐拉線)求證：同一三角形的三邊的中點(diǎn)、三垂線的垂足、各頂點(diǎn)到垂心的線段的中點(diǎn)這9點(diǎn)共圓。~~(這個(gè)圓叫九點(diǎn)圓)

3.證明：對(duì)于任意三角形，一定存在兩邊a、b，滿足a比b大于等于1，小于2分之根5加

14.已知△ABC的三條高交于垂心O，其中AB=a，AC=b,∠BAC=α。請(qǐng)用只含a、b、α三個(gè)字母的式子表示AO的長(zhǎng)(三個(gè)字母不一定全部用完，但一定不能用其它字母)。

5.設(shè)所求直線為y=kx+b(k,b為常數(shù).k不等于0).則其必過(guò)x-y+2=0與x+2y-1=0的交點(diǎn)(-1,1).所以b=k+1,即所求直線為y=kx+k+1(1)過(guò)直線x-y+2=0與Y軸的交點(diǎn)(0,2)且垂直于x-y+2=0的直線為y=-x+2(2).直線(2)與直線(1)的交點(diǎn)為A,直線(2)與直線x+2y-1=0的交點(diǎn)為B,則AB的中點(diǎn)為(0,2),由線段中點(diǎn)公式可求k.6.在三角形ABC中,角ABC=60,點(diǎn)p是三角ABC內(nèi)的一點(diǎn),使得角ApB=角BpC=角CpA,且pA=8pC=6則pB=2p是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，pA=3pB=4pC=5則pD=3三角形ABC是等腰直角三角形，角C=90O是三角形內(nèi)一點(diǎn)，O點(diǎn)到三角形各邊的距離都等于1，將三角形ABC饒點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度得三角形A1B1C1兩三角形的公共部分為多邊形KLMNpQ，1)證明：三角形AKL三角形BMN三角形CpQ都是等腰直角三角形2)求三角形ABC與三角形A1B1C1公共部分的面積。

已知三角形ABC,a,b,c分別為三邊.求證:三角形三邊的平方和大于等于16倍的根號(hào)3(即:a2+b2+c2大于等于16倍的根號(hào)3)

初一幾何單元練習(xí)題

一.選擇題

1.如果α和β是同旁內(nèi)角，且α=55°，則β等于()

(A)55°(B)125°(C)55°或125°(D)無(wú)法確定

2.如圖19-2-(2)

AB‖CD若∠2是∠1的2倍，則∠2等于()

(A)60°(B)90°(C)120°(D)150

3.如圖19-2-(3)

∠1+∠2=180°，∠3=110°，則∠4度數(shù)()

(A)等于∠1(B)110°

(C)70°(D)不能確定

4.如圖19-2-(3)

∠1+∠2=180°，∠3=110°，則∠1的度數(shù)是()

(A)70°(B)110°

(C)180°-∠2(D)以上都不對(duì)

5.如圖19-2(5)，已知∠1=∠2，若要使∠3=∠4，則需()

(A)∠1=∠2(B)∠2=∠

3(C)∠1=∠4(D)AB‖CD

6.如圖19-2-(6)，AB‖CD，∠1=∠B，∠2=∠D，則∠BED為()

(A)銳角(B)直角

(C)鈍角(D)無(wú)法確定

7.若兩個(gè)角的一邊在同一條直線上，另一邊相互平行，那么這兩個(gè)角的關(guān)系是()

(A)相等(B)互補(bǔ)(C)相等且互補(bǔ)(D)相等或互補(bǔ)

8.如圖19-2-(8)AB‖CD，∠α=()

(A)50°(B)80°(C)85°

答案：1.D2.C3.C4.C5.D6.B7.D8.B

初一幾何第二學(xué)期期末試題

1.兩個(gè)角的和與這兩角的差互補(bǔ)，則這兩個(gè)角()

A.一個(gè)是銳角，一個(gè)是鈍角B.都是鈍角

C.都是直角D.必有一個(gè)直角

2.如果∠1和∠2是鄰補(bǔ)角，且∠1>∠2，那么∠2的余角是()

3.下列說(shuō)法正確的是()

A.一條直線的垂線有且只有一條

B.過(guò)射線端點(diǎn)與射線垂直的直線只有一條

C.如果兩個(gè)角互為補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角一定是鄰補(bǔ)角

D.過(guò)直線外和直線上的兩個(gè)已知點(diǎn)，做已知直線的垂線

4.在同一平面內(nèi)，兩條不重合直線的位置關(guān)系可能有()

A.平行或相交B.垂直或平行

C.垂直或相交D.平行、垂直或相交

5.不相鄰的兩個(gè)直角，如果它們有一條公共邊，那么另一邊互相()

A.平行B.垂直

C.在同一條直線上D.或平行、或垂直、或在同一條直線上

答案：1.D2.C3.B4.A5.A回答人的補(bǔ)充2010-07-1900:211.如圖所示，一只老鼠沿著長(zhǎng)方形逃跑，一只花貓同時(shí)從A點(diǎn)朝另一個(gè)方向沿著長(zhǎng)方形去捕捉，結(jié)果在距B點(diǎn)30cm的C點(diǎn)處捉住了老鼠。已知老鼠與貓的速度之比為11：14，求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。設(shè)周長(zhǎng)為X.則A到B的距離為X/2;X/2-30:X/2+30=11:14X=500cm如圖，梯形ABCD中，AD平行BC，∠A=2∠C，AD=10cm，BC=25cm，求AB的長(zhǎng)解：過(guò)點(diǎn)A作AB‖DE。∵AB‖DE，AD‖BC∴四邊形ADEB是平信四邊形∴AB=DE，AD=BE∵∠DEB是三角形DEC的外角∴∠DEB=∠CDE+∠C∵四邊形ADEB是平信四邊形∴∠A=∠DEB又∵∠A=2∠C，∠DEB=∠CDE+∠C∴∠CDE+∠C∴DE=CE∵AD=10，BC=25，AD=BE∴CE=15=DE=AB如圖：等腰三角形ABCD中，AD平行BC，BD⊥DC，且∠1=∠2，梯形的周長(zhǎng)為30CM，求AB、BC的長(zhǎng)。因?yàn)榈妊菪蜛BCD，所以角ABC=角C，AB=CD，AD//BC所以角ADB=角2，又角1=角2，所以角1=角2=角ADB，而角ABC=角C=角1+角2且角2=角ADB所以角ADB+角C=90度，所以有角1+角2+角ADB=90度所以角2=30度因此BC=2CD=2AB所以周長(zhǎng)為5AB=30所以AB=6，BC=12回答人的補(bǔ)充2010-07-0311:25如圖：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，G、F分別在DC、CB邊上，DG=GC=2，CF=1.求證：∠1=∠2(要兩種解法提示一種思路：連接并延長(zhǎng)FG交AD的延長(zhǎng)線于K)

1.連接并延長(zhǎng)FG交AD的延長(zhǎng)線于K∠KGD=∠FGC∠GDK=∠GCFBG=CG△CGF≌△DGKGF=GKAB=4BF=3AF=5AB=4+1=5AB=AFAG=AG△AGF≌△AGK∠1=∠

22.延長(zhǎng)AC交BC延長(zhǎng)線與E∠ADG=∠ECG∠AGD=∠EGCDG=GC△ADG≌△EGF∠1=∠EAD=CEAF=5EF=1+4=5∠2=∠E所以∠1=∠2如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE平行DF，分別交AC于E、F連接ED、BF求證∠1=∠2

答案：證三角形BFE全等三角形DEF。因?yàn)镕E=EF，角BEF=90度=角DFE，DF=BE(全等三角形的對(duì)應(yīng)高相等)。所以三角形BFE全等三角形DEF。所以∠1等于∠2(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)

就給這么多吧~~N累~！回答人的補(bǔ)充2010-07-1900:341已知ΔABC，AD是BC邊上的中線。E在AB邊上，ED平分∠ADB。F在AC邊上，F(xiàn)D平分∠ADC。求證：BE+CF>EF。

2已知ΔABC，BD是AC邊上的高，CE是AB邊上的高。F在BD上，BF=AC。G在CE延長(zhǎng)線上，CG=AB。求證：AG=AF，AG⊥AF。

3已知ΔABC，AD是BC邊上的高，AD=BD，CE是AB邊上的高。AD交CE于H，連接BH。求證：BH=AC，BH⊥AC。

4已知ΔABC，AD是BC邊上的中線，AB=2，AC=4，求AD的取值范圍。

5已知ΔABC，AB>AC，AD是角平分線，p是AD上任意一點(diǎn)。求證：AB-AC>pB-pC。

6已知ΔABC，AB>AC，AE是外角平分線，p是AE上任意一點(diǎn)。求證：pB+pC>AB+AC。

7已知ΔABC，AB>AC，AD是角平分線。求證：BD>DC。

8已知ΔABD是直角三角形，AB=AD。ΔACE是直角三角形，AC=AE。連接CD，BE。求證：CD=BE，CD⊥BE。

9已知ΔABC，D是AB中點(diǎn)，E是AC中點(diǎn)，連接DE。求證：DE‖BC，2DE=BC。

10已知ΔABC是直角三角形，AB=AC。過(guò)A作直線AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E。求證：DE=BD-CE。

等形2

1已知四邊形ABCD，AB=BC，AB⊥BC，DC⊥BC。E在BC邊上，BE=CD。AE交BD于F。求證：AE⊥BD。

2已知ΔABC，AB>AC，BD是AC邊上的中線，CE⊥BD于E，AF⊥BD延長(zhǎng)線于F。求證：BE+BF=2BD。

3已知四邊形ABCD，AB‖CD，E在BC上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，若AB=2，CD=3，求AD。

4已知ΔABC是直角三角形，AC=BC，BE是角平分線，AF⊥BE延長(zhǎng)線于F。求證：BE=2AF。

5已知ΔABC，∠ACB=90°，AD是角平分線，CE是AB邊上的高，CE交AD于F，F(xiàn)G‖AB交BC于G。求證：CD=BG。

6已知ΔABC，∠ACB=90°，AD是角平分線，CE是AB邊上的高，CE交AD于F，F(xiàn)G‖BC交AB于G。求證：AC=AG。

7已知四邊形ABCD，AB‖CD，∠D=2∠B，若AD=m，DC=n，求AB。

8已知ΔABC，AC=BC，CD是角平分線，M為CD上一點(diǎn)，AM交BC于E，BM交AC于F。求證：ΔCME≌ΔCMF，AE=BF。

9已知ΔABC，AC=2AB，∠A=2∠C，求證：AB⊥BC。

10已知ΔABC，∠B=60°。AD，CE是角平分線，求證：AE+CD=AC

全等形4

1已知ΔABC是直角三角形，AB=AC，ΔADE是直角三角形，AD=AE，連接CD，BE，M是BE中點(diǎn)，求證：AM⊥CD。

2已知ΔABC，AD，BE是高，AD交BE于H，且BH=AC，求∠ABC。

3已知∠AOB，p為角平分線上一點(diǎn)，pC⊥OA于C，∠OAp+∠OBp=180°，求證：AO+BO=2CO。

4已知ΔABC是直角三角形，AB=AC，M是AC中點(diǎn)，AD⊥BM于D，延長(zhǎng)AD交BC于E，連接EM，求證：∠AMB=∠EMC。

5已知ΔABC，AD是角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：AD⊥EF。

6已知ΔABC，∠B=90°，AD是角平分線，DE⊥AC于E，F(xiàn)在AB上，BF=CE，求證：DF=DC。

7已知ΔABC，∠A與∠C的外角平分線交于p，連接pB，求證：pB平分∠B。

8已知ΔABC，到三邊AB，BC，CA的距離相等的點(diǎn)有幾個(gè)?

9已知四邊形ABCD，AD‖BC，AD⊥DC，E為CD中點(diǎn)，連接AE，AE平分∠BAD，求證：AD+BC=AB。

10已知ΔABC，AD是角平分線，BE⊥AD于E，過(guò)E作AC的平行線，交AB于F，求證：∠FBE=∠FEB。

第五篇：數(shù)學(xué)常見(jiàn)輔助線做法與小結(jié)

幾何最難的地方就是輔助線的添加了，但是對(duì)于添加輔助線，還是有規(guī)律可循的，下面可小編給大家整理了一些常見(jiàn)的添加輔助線的方法，掌握了對(duì)你一定有幫助！

三角形中常見(jiàn)輔助線的添加

1.與角平分線有關(guān)的（1）可向兩邊作垂線。

（2）可作平行線，構(gòu)造等腰三角形

（3）在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形

2.與線段長(zhǎng)度相關(guān)的（1）截長(zhǎng)：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時(shí)，經(jīng)常在較長(zhǎng)的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可

（2）補(bǔ)短：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時(shí)，也可以在較短的線段上延長(zhǎng)一段，使得延長(zhǎng)的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長(zhǎng)后的線段等于那一條長(zhǎng)線段即可

（3）倍長(zhǎng)中線：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，方法是將中線延長(zhǎng)一倍，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。

（4）遇到中點(diǎn)，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。3.與等腰等邊三角形相關(guān)的（1）考慮三線合一

（2）旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，構(gòu)造全都三角形，等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù)，等邊旋轉(zhuǎn)60 °

四邊形中常見(jiàn)輔助線的添加

特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)往往需 要添加輔助線。下面介紹一些輔助線的添加方法。1.和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法

平行四邊形是最常見(jiàn)的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形。（1）利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形

（2）利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形（3）利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形

2.與矩形有輔助線作法

（1）計(jì)算型題，一般通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問(wèn)題（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問(wèn)題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.3.和菱形有關(guān)的輔助線的作法

和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對(duì)角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問(wèn)題.（1）作菱形的高

（2）連結(jié)菱形的對(duì)角線

4.與正方形有關(guān)輔助線的作法

正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正 方形的問(wèn)題有時(shí)需要作輔助線，作正方形對(duì)角線是解決正方形問(wèn)題的常用輔助線

圓中常見(jiàn)輔助線的添加

1.遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑。

作用： ①

利用垂徑定理

②

利用圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系

③

利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量 2.遇到有直徑時(shí)，常常添加（畫）直徑所對(duì)的圓周角

作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形

3.遇到90度的圓周角時(shí)，常常連結(jié)兩條弦沒(méi)有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn) 作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑

4.遇到弦時(shí)，常常連結(jié)圓心和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)

作用： ①可得等腰三角形

②據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角

5.遇到有切線時(shí)，常常添加過(guò)切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）

作用：利用切線的性質(zhì)定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形

常常添加連結(jié)圓上一點(diǎn)和切點(diǎn)

作用：可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。

6.遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)

（1）若直線和圓的公共點(diǎn)還未確定，則常過(guò)圓心作直線的垂線段。

作用：若OA=r，則l為切線

（2）若直線過(guò)圓上的某一點(diǎn)，則連結(jié)這點(diǎn)和圓心（即作半徑）作用：只需證OA⊥l，則l為切線

（3）有遇到圓上或圓外一點(diǎn)作圓的切線 7.遇到兩相交切線時(shí)（切線長(zhǎng)）

常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)

作用：據(jù)切線長(zhǎng)及其它性質(zhì)，可得到

①

角、線段的等量關(guān)系

②

垂直關(guān)系

③

全等、相似三角形

8.遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)

連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過(guò)內(nèi)心作三角形各邊的垂線段

作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得

① 內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線 ② 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等

9.遇到三角形的外接圓時(shí)，連結(jié)外心和各頂點(diǎn)

作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等

10.遇到兩圓外離時(shí)（解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問(wèn)題）

常常作出過(guò)切點(diǎn)的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線

作用： ①利用切線的性質(zhì)；

②利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)

11.遇到兩圓相交時(shí)

常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點(diǎn)和圓心等

作用： ①

利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識(shí)

②

利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

③

利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)

④ 垂徑定理

12．遇到兩圓相切時(shí) 常常作連心線、公切線

作用： ①

利用連心線性質(zhì)

②

切線性質(zhì)等

13.遇到三個(gè)圓兩兩外切時(shí)

常常作每?jī)蓚€(gè)圓的連心線

作用：可利用連心線性質(zhì)

14.遇到四邊形對(duì)角互補(bǔ)或兩個(gè)三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時(shí)

常常添加輔助圓

作用：以便利用圓的性質(zhì)