第一篇：廣州中考數(shù)學(xué)：哪些情況需要添加輔助線Word 文檔

廣州中考數(shù)學(xué)：哪些情況需要添加輔助線

在廣州中考數(shù)學(xué)考試中，平面幾何是期中的重要考察部分。考生在解答平面幾何題是不可避免會遇上一些有一定難度的試題。在解答一些幾何試題事，可以適當?shù)奶砑虞o助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，從而理清解題的思路，最終使難題迎刃而解。在添加輔助線時一般有兩種情況：

情況一：按定義添輔助線

如證明二直線垂直可延長使它們,相交后證交角為90°;證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點或半線段加倍;證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。

情況二：按基本圖形添輔助線

每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補圖”!這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：

(1)平行線是個基本圖形：

當幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線

(2)等腰三角形是個簡單的基本圖形：

當幾何問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。

(3)等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：

出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線;出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

(4)直角三角形斜邊上中線基本圖形

出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。

第二篇：中考輔助線的添加

一、專題精講

和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法

平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.1．利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形

例1 如圖1，已知點O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，四邊形OCDE是平行四邊形.求證:OE與AD互相平分.2．利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形

例2 如圖2，在△ABC中，E、F為AB上兩點，AE=BF，ED//AC，F(xiàn)G//AC交BC分別為D，G.求證:ED+FG=AC.分析:要證明ED+FG=AC,因為DE//AC,可以經(jīng)過點E作EH//CD交AC于H得平行四邊形,得ED=HC,然后根據(jù)三角形全等,證明FG=AH.3．利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形

例3 如圖3，已知AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證BF=AC.圖3

例

4、如下圖1，在平行四邊形ABCD中，點E,F在對角線AC上，且AE?CF,請你以F為一個端點，和圖中已標明字母的某一點連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）

二、專題過關(guān)：

1．（2015?張掖校級模擬）已知：如圖四邊形ABCD是平行四邊形，P、Q是直線AC上的點，且AP=CQ．

求證：四邊形PBQD是平行四邊形．

2．（2015?海淀區(qū)一模）閱讀下面材料： 小明遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，DE∥BC分別交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．

小明發(fā)現(xiàn)，過點E作EF∥DC，交BC延長線于點F，構(gòu)造△BEF，經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．

請回答：BC+DE的值為

． 參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，已知?ABCD和矩形ABEF，AC與DF交于點G，AC=BF=DF，求∠AGF的度數(shù)．

3．（2015?香坊區(qū)二模）已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，E在CB的延長線上，且BE=2BD，連接AE，F(xiàn)是AC的中點，G是AE的中點，連接BG、BF．（1）如圖1，求證：四邊形AGBF是平行四邊形．

（2）如圖2，連接GF、DF，GF與AB相交于點H，若GF=AB，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中所有的等邊三角形．

一、專題精講

和中位線有關(guān)輔助線的作法

三角形的中位線平行等于底邊的一半

例

1、如圖11，在四邊形ABCD中，AC于BD交于點0，AC=BD，E、F分別是AB、CD中點，EF分別交AC、BD于點H、G.求證：OG=OH.例

2、如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H是四邊形各邊的中點，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。

例

3、（2014?鞍山一模）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N，則∠BME=∠CNE，求證：AB=CD．（提示取BD的中點H，連接FH，HE作輔助線）

（2）如圖2，在△ABC中，且O是BC邊的中點，D是AC邊上一點，E是AD的中點，直線OE交BA的延長線于點G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的長度．

例

4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且AC=BD，E、F分別是AB、CD的中點，EF分別交BD、AC于點G、H．求證：OG=OH．

二、專題過關(guān)：

1．（2015?巴東縣模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點．（1）求證：四邊形EGFH是菱形；

（2）若AB=，則當∠ABC+∠DCB=90°時，求四邊形EGFH的面積．

2．（2014?萬州區(qū)校級模擬）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB中點，連接CD．點E為邊AC上一點，過點E作EF∥AB，交CD于點F，連接EB，取EB的中點G，連接DG、FG．（1）求證：EF=CF；（2）求證：FG⊥DG．

3．（2014春?河?xùn)|區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD中，對角線相交于點O，E、F、G、H分別是AB，BD，BC，AC的中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

4．（2011秋?平頂山期末）如圖四邊形ABCD，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

一、專題精講

和菱形有關(guān)的輔助線的作法 和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.例4 如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，E是AB上一點，且AE=AC，EF//BC交AD于點F，求證：四邊形CDEF是菱形.例5 如圖6，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點，求證EF+BF的最小值等于DE長.三、與矩形有輔助線作法

例6 如圖7，已知矩形ABCD內(nèi)一點，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的長.分析：要利用已知條件，因為矩形ABCD，可過P分別作兩組對邊的平行線，構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題.圖7

四、與正方形有關(guān)輔助線的作法

正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線.1例

7、如圖8，過正方形ABCD的頂點B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求證：∠BCF=2∠AEB.專題過關(guān)

1．（2015春?巴南區(qū)校級期末）如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點G．（1）猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）若AB=3，AD=4，求線段GC的長．

2．（2013?張家界）如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．（1）求證：OE=OF；

（2）若CE=12，CF=5，求OC的長；

（3）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

3．（2015春?泰興市期末）如圖，菱形ABCD中，E、F分別是邊AD，CD上的兩個動點（不與菱形的頂點重合），且滿足CF=DE，∠A=60°．（1）寫出圖中一對全等三角形：

；（2）求證：△BEF是等邊三角形；（3）若菱形ABCD的邊長為2，設(shè)△DEF的周長為m，則m的取值范圍為

（直接寫出答案）；

222（4）連接AC分別與邊BE、BF交于點M、N，且∠CBF=15°，試說明：MN+CN=AM．

4．（2015?無錫校級三模）如圖，正方形AEFG的頂點E、G在正方形ABCD的邊AB、AD上，連接BF、DF．（1）求證：BF=DF；（2）連接CF，請直接寫出的值為

（不必寫出計算過程）．

課后作業(yè)

1．（2015春?山西校級期末）已知：如圖，?ABCD中，O是CD的中點，連接AO并延長，交BC的延長線于點E．

（1）求證：△AOD≌△EOC；（2）連接AC，DE，當AE與CD滿足什么關(guān)系時，四邊形ACED是正方形？請說明理由．

2．（2015春?澧縣期末）如圖，△ABC為等邊三角形，D、F分別為BC、AB上的點，且CD=BF，以AD為邊作 等邊△ADE．

（1）求證：△ACD≌△CBF；

（2）點D在線段BC上何處時，四邊形CDEF是平行四邊形且∠DEF=30°．

3．（2015春?宜春期末）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，求EF的長．

4．（2015春?龍口市期末）如圖，AD是△ABC的中線，點E是AD的中點，點F是BE延長線與AC的交點，求的值．

第三篇：初中數(shù)學(xué)輔助線添加口訣

數(shù)學(xué)輔助線

人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓 如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。幾何證題難不難，關(guān)鍵常在輔助線； 知中點、作中線，中線處長加倍看；底角倍半角分線，有時也作處長線； 線段和差及倍分，延長截取證全等；公共角、公共邊，隱含條件須挖掘； 全等圖形多變換，旋轉(zhuǎn)平移加折疊；中位線、常相連，出現(xiàn)平行就好辦； 四邊形、對角線，比例相似平行線；梯形問題好解決，平移腰、作高線； 兩腰處長義一點，亦可平移對角線；正余弦、正余切，有了直角就方便； 特殊角、特殊邊，作出垂線就解決；實際問題莫要慌，數(shù)學(xué)建模幫你忙； 圓中問題也不難，下面我們慢慢談；弦心距、要垂弦，遇到直徑周角連； 切點圓心緊相連，切線常把半徑添；兩圓相切公共線，兩圓相交公共弦； 切割線，連結(jié)弦，兩圓三圓連心線；基本圖形要熟練，復(fù)雜圖形多分解；

以上規(guī)律屬一般，靈活應(yīng)用才方便。

第四篇：添加輔助線解特殊四邊形題

添加輔助線解特殊四邊形題

特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形．在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時往往需要添加輔助線．下面介紹一些輔助線的添加方法．

一、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形．

1．利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形

例1 如圖1，已知點O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，四邊形OCDE是平行四邊形．

求證:OE與AD互相平分．

分析:因為四邊形OCDE是平行四邊形,所以O(shè)C//ED,OC=DE,又由O是AC的中點,得出AO//ED,AO=ED,則四邊形AODE是平行四邊形,問題得證． 證明:連結(jié)AE、OD，因為是四邊形OCDE是平行四邊形，所以O(shè)C//DE，OC=DE，因為0是AC的中點，所以A0//ED，AO=ED，所以四邊形AODE是平行四邊形，所以AD與OE互相平分．

圖1 說明：當已知條件中涉及到平行，且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可試通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形．

2．利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形

例2 如圖2，在△ABC中，E、F為AB上兩點，AE=BF，ED//AC，F(xiàn)G//AC交BC分別為D，G．求證:ED+FG=AC．

分析:要證明ED+FG=AC,因為DE//AC,可以經(jīng)過點E作EH//CD交AC于H得平行四邊形,得ED=HC,然后根據(jù)三角形全等,證明FG=AH．

證明:過點E作EH//BC,交AC于H, 因為ED//AC,所以四邊形CDEH是平行四邊形, 所以ED=HC, 又FG//AC,EH//BC, 所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG, 又AE=BF, 所以△AEH≌△FBG, 所以AH=FG，圖2 所以FG+DE=AH+HC=AC．

說明：當圖形中涉及到一組對邊平行時，可通過作平行線構(gòu)造另一組對邊平行，得到平行四邊形解決問題．

3．利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形 例3 如圖3，已知AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求證BF=AC． 分析：要證明BF=AC，一種方法是將BF和AC變換到同一個三角形中，利用等邊對等角；另一種方法是通過等量代換，尋找和BF、AC相等的相段代換．尋找相等的線段的方法一般是構(gòu)造平行四邊形．

證明：延長AD到G，使DG=AD，連結(jié)BG，CG，因為BD=CD，所以四邊形ABGC是平行四邊形，所以AC=BG，AC//BG，所以∠1=∠4，因為AE=EF，所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，所以BF=BG=AC．

圖3

圖4 說明：本題通過利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，實際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊形．當已知中點或中線應(yīng)思考這種方法．

二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法

和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題．

例4 如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，E是AB上一點，且AE=AC，EF//BC交AD于點F，求證：四邊形CDEF是菱形． 分析：要證明四邊形CDEF是菱形，根據(jù)已知條件，本題有量種判定方法，一是證明四邊相等的四邊形是菱形，二是證明對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．根據(jù)AD是∠BAC的平分線，AE=AC，可通過連接CE，構(gòu)造等腰三角形，借助三線合一證明AD垂直CE． 求AD平分CE．

證明：連結(jié)CE交AD于點O，由AC=AE，得△ACE是等腰三角形，因為AO平分∠CAE，所以AO⊥CE，且OC=OE，因為EF//CD，所以∠1=∠2，圖5 又因為∠EOF=∠COD，所以△DOC可以看成由△FOE繞點O旋轉(zhuǎn)而成，所以O(shè)F=OD，所以CE、DF互相垂直平分．所以 四邊形CDEF是菱形．

例5 如圖6，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點，求證EF+BF的最小值等于DE長．

分析：要證明EF+BF的最小值是DE的長，可以通過連結(jié)菱形的對角線BD，借助菱形的對角線互相垂直平分得到DF=BF，然后結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊解決問題． 證明：連結(jié)BD、DF．

因為AC、BD是菱形的對角線，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DF≥DE，當且僅當F運動到DE與AC的交點G處時，上式等號成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的長．

圖6 說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計算題作輔助線的不是很多，常見的幾種輔助線的方法有：（1）作菱形的高；（2）連結(jié)菱形的對角線．

三、與矩形有輔助線作法

和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：（1）計算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；（2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題．和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少．

例6 如圖7，已知矩形ABCD內(nèi)一點，PA=3，PB=4，PC=5．求 PD的長．

分析：要利用已知條件，因為矩形ABCD，可過P分別作兩組對邊的平行線，構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題．

解：過點P分別作兩組對邊的平行線EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于點H，交AD于G．

因為四邊形ABCD是矩形，所以PF2=CH2=PC2-PH2，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2，所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以PD=32 ．

圖7 說明：本題主要是借助矩形的四個角都是直角，通過作平行線構(gòu)造四個小矩形，然后根據(jù)對角線得到直角三角形，利用勾股定理找到PD與PA、PB、PC之間的關(guān)系，進而求到PD的長．

四、與正方形有關(guān)輔助線的作法

正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多．解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線．

例7如圖8，過正方形ABCD的頂點B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE．求證：∠BCF= 1∠AEB． 2分析：由BE//AC，CF//AE，AE=AC，可知四邊形AEFC是菱形，作AH⊥BE于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知四邊形AHBO是正方形，從AH=OB=∠BCF=15°．

證明：連接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H．

1AC，可算出∠E=∠ACF=30°，2在正方形ABCD中，AC⊥BD，AO=BO，又BE//AC，AH⊥BE，所以BO⊥AC，所以四邊形AOBH為正方形，所以AH=AO=

1AC，2因為AE=AC，所以∠AEH=30°，因為BE//AC，AE//CF，所以ACFE是菱形，所以∠AEF=∠ACF=30°，因為AC是正方形的對角線，所以∠ACB=45°，所以∠BCF=15°，所以∠BCF=

圖8 說明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì)．通過連接正方形的對角線構(gòu)造正方形AHBO，進一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決問題．

五、與梯形有關(guān)的輔助線的作法

和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的．主要涉及以下幾種類型：（1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；（3）作一對角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；（4）延長兩腰構(gòu)成三角形；（5）作兩腰的平行線等． 例8 已知，如圖9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于點0．求證：CO=CD．

分析：要證明CO=CD，可證明∠COD=∠CDO，由于已知∠BAC=90°，所以可通過作梯形高構(gòu)造矩形，借助直角三角形的性質(zhì)解決問題．

證明：過點A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別是E、F，則四邊形AEFD為矩形，因為AE=DF，AB=AC，AE⊥BC，∠BAC=90°，所以AE=BE=CE=所以AE=DF=

1∠AEB．

21BC，∠ACB=45°，21，2180???DBC?75?，2又DF⊥BC，所以在Rt△DFB中，∠DBC=30°，又BD=BC，所以∠BDC=∠BCD=所以∠DOC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°． 所以∠BDC=∠DOC，所以C0=CD．

圖9 說明：在證明線段相等時，一般利用等角對等邊來證明，本題作梯形的高將梯形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形，進而根據(jù)直角三角形知識解決．

例9 如圖10，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E．求DE的長． 分析：根據(jù)本題的已知條件，可通過平移一條對角線，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和直角三角形，借助勾股定理解決．

解：過點D作DF//AC，交BC的延長線于F，則四邊形ACFD為平行四邊形，所以AC=DF，AD=CF，因為四邊形ABCD為等腰梯形，所以AC=DB，BD=FD，因為DE⊥BC，所以BE=EF==

111BF=(BC+CF)=(BC+AD)2221×10=5． 2因為AC//DF,BD⊥AC,所以BD⊥DF, 因為BE=FE,所以DE=BE=EF=5, 即DE的長為5．

圖10 說明:當有對角線或垂直成梯形時,常作梯形對角線的平行線,構(gòu)造平行四邊形,等腰三角形或直角三角形來解決．

六、和中位線有關(guān)輔助線的作法

例10 如圖11，在四邊形ABCD中，AC于BD交于點0，AC=BD，E、F分別是AB、CD中點，EF分別交AC、BD于點H、G．求證：OG=OH．

分析：欲證0G=OH，而OG、OH為同一個三角形的兩邊，又E、F分別是AB、CD中點，所以可試想作輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題． 證明：取AD中點P，連結(jié)PE，PF． 因為E是AB的中點，F(xiàn)是CD的中點，所以PE//BD，且PE=11BD，PF//AC，且PF=AC，22所以∠PEF=∠PFE，又∠PEF=∠OGH，∠PFE=∠OHG，所以∠OGH=∠OHG，所以O(shè)G=OH．

說明：遇中點，常作中位線，借助中位線的性質(zhì)解題．

圖11

第五篇：幾何中添加輔助線的一般原則

添線原則：

一把分散的幾何元素轉(zhuǎn)化為相對集中的幾何元素（如把分散的元素集中在一個三角形或兩個全等的三角形中，以使定理能夠針對應(yīng)用）二把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡單的基本圖形。常見方法：

1.遇到等腰三角形時，添底邊中線，或已知底邊中線添兩腰，應(yīng)用等腰三角形三線合一性質(zhì)；

2.遇到直角三角形時，添斜邊中線，應(yīng)用直角三角形性質(zhì)解題；

3.遇到三角形中線時，將中線延長一倍；

4.遇到兩條線段的和等于第三條線段，可在長的線段上截取，也可延長短的線段； 5.遇到證明圓中的弧、弦、圓心角、弦心距之間的關(guān)系時，常添半徑或弦心距； 6.遇到一些常見的幾何基本圖形殘缺不全時，利用添線補全基本圖形。

例題：如圖，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上的一點，且BE=AC，延長BE交AC于點F。求證：AF=EF（4）本階段涉及的證明類型及方法：

①證明兩線段相等方法 1.利用全等三角形性質(zhì)證明； 2.利用等腰三角形性質(zhì)及判定證明； 3.利用直角三角形性質(zhì)及度量關(guān)系證明； 4.利用平行四邊形性質(zhì)證明；

5.利用線段的中垂線、角平分線性質(zhì)證明； 6.利用圖形翻折證明； 7.通過計算線段證明； 8.利用第三線段過渡證明。

例1：如圖，已知RT△ABC中，∠C=90°，M是AB的中點，AM=AN, MN∥AC.求證：MN=AC ②證明兩角相等方法1.利用全等三角形性質(zhì)證明； 2.利用平行四邊形性質(zhì)證明； 3.利用等腰三角形性質(zhì)證明； 4.利用平行線性質(zhì)證明；

5.利用計算角度證明；

6.利用常用定理證明（如對頂角相等、同角或等角的余角或補角相等、圓的性質(zhì)等）

例2：如圖：已知在△ABC中，AB=AC, E是AB的中點，以點E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于D, 連結(jié)ED并延長ED到點F, 使DF=DE，連FC.求證：

③證明兩直線平行方法 1.利用平行線的判定證明； 2.利用平行四邊形性質(zhì)證明； 例3：如圖：已知∠

1與∠

23.利用平行線的傳遞性證明；

互補，∠A=∠D

求證：AB∥CD ④證明兩直線垂直方法 1.利用垂直定義證明；

2.利用鄰補角的兩角的平分線互相垂直證明；

3.利用三角形內(nèi)角和證明； 4.利用等腰三角形性質(zhì)證明； 5.利用垂徑定理證明；

例4：如圖：已知在△ABC中，AD⊥BC,M為BC的中點，且∠BAD=∠DAM=∠MAC 求證：∠BAC=90°

⑤證明線段的和差倍分方法 1.通過代數(shù)方法證明；

2.利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明；

3.利用在直角三角形中，如果有一個

銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半證明； 4.利用截長補短法證明； 5.利用延短等長法證明；

例5：如圖：已知在△ABC中，AD是BC上的高，∠B=2∠C, 求證：AB+BD=DC

⑥證明角的和差倍分方法

1.利用三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和證明；

2.利用平行線性質(zhì)證明；

3.通過代數(shù)方法證明；

4.通過題中的平行線、垂線中隱含的角與角間的聯(lián)系證明。

例6：如圖：已知MN∥PQ, AC⊥PQ, BD和AC交于點E，且 DE=2AB.求證：∠ABC=3∠DBC