第一篇：極限存在準(zhǔn)則,兩個重要極限

西南石油大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》專升本講義

極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限

【教學(xué)目的】

1、了解函數(shù)和數(shù)列的極限存在準(zhǔn)則；

2、掌握兩個常用的不等式；

3、會用兩個重要極限求極限。

【教學(xué)內(nèi)容】

1、夾逼準(zhǔn)則；

2、單調(diào)有界準(zhǔn)則；

3、兩個重要極限。

【重點難點】

重點是應(yīng)用兩個重要極限求極限。

難點是應(yīng)用函數(shù)和數(shù)列的極限存在準(zhǔn)則證明極限存在，并求極限。

【教學(xué)設(shè)計】從有限到無窮，從已知到未知，引入新知識（5分鐘）。首先給出極限存在準(zhǔn)則（20分鐘），并舉例說明如何應(yīng)用準(zhǔn)則求極限（20分鐘）；然后重點講解兩個重要的極限類型，并要求學(xué)生能利用這兩個重要極限求極限（40分鐘）；課堂練習(xí)（15分鐘）。

【授課內(nèi)容】

引入：考慮下面幾個數(shù)列的極限

10001、limn???i?

1n1n?i1

n?i221000個0相加，極限等于0。

2、limn???i?1無窮多個“0”相加，極限不能確定。

3、lim

xn，其中xn=n??

x1=

對于2、3就需要用新知識來解決，下面我們來介紹極限存在的兩個準(zhǔn)則：

一、極限存在準(zhǔn)則

1.夾逼準(zhǔn)則

準(zhǔn)則Ⅰ如果數(shù)列xn,yn及zn滿足下列條件:

(1)yn?xn?zn

n??(n?1,2,3?)n??(2)limyn?a,limzn?a,n?? 那么數(shù)列xn的極限存在, 且limxn?a.證：?yn?a,zn?a,???0,?N1?0,N2?0,使得

當(dāng)n?N1時恒有yn?a??, 當(dāng)n?N2時恒有zn?a??,取N=max{N1,N2},上兩式同時成立,即a???yn?a??, a???zn?a??, 當(dāng)n>N時，恒有 a???yn?xn?zn?a??,即xn?a??成立, ?limxn?a.n??

上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限 準(zhǔn)則Ⅰ′ 如果當(dāng)x?U(x0,?)(或x?M)時,有

o

(1)g(x)?f(x)?h(x),(2)limg(x)?A,limh(x)?A,x?x0(x??)

x?x0(x??)

那么limf(x)存在, 且等于A.x?x0(x??)

準(zhǔn)則 ?和準(zhǔn)則 ?'稱為夾逼準(zhǔn)則。

【注意】利用夾逼準(zhǔn)則求極限的關(guān)鍵是構(gòu)造出yn與zn，并且yn與zn的極限是容易求的。

例

1求n

+

+?+

解：

n??

1?1n

+?+

n

?lin??

?1,又lim

n??

nn?n

?lim ?1,lin??

n?1

?

1n

2由夾逼定理得：lim（n??

1n?1

?

1n?2

???

1n?n)?1.【說明】夾逼準(zhǔn)則應(yīng)恰當(dāng)結(jié)合“放縮法”使用

2.單調(diào)有界準(zhǔn)則

準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限.加的；如果數(shù)列?xn?滿足條件x1?x2?x3???xn?xn?1??，就稱數(shù)列?xn?是單調(diào)減少的。單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。

幾何解釋:

如果數(shù)列?xn?滿足條件x1?x2?x3???xn?xn?1??，就稱數(shù)列?xn?是單調(diào)增

例2

證明數(shù)列xn=【分析】已知xn?1?

23nn?1

A

n重根式）的極限存在2?xn，x1?2，求limxn。首先證明是有界的，然后證明是

n??

單調(diào)的，從而得出結(jié)論

證：

1、證明極限存在 a)證明有上界

x1??2，設(shè)xn??xn?1?2，則xn?1?2?xn??2?

2所以對任意的n，有xn?2 b)證明單調(diào)上升

xn?1?xn?2?xn?xn?xn?xn?xn?2xn?xn?xn?xn?xn?0

所以limxn存在n??

2、求極限

設(shè)limxn?l，則l?

n??

2?l，解得l?2（l??1舍去）

所以limxn=

2n??

二、兩個重要極限

1.lim

sinx

?

1x?0x

如右圖所示，設(shè)單位圓O,圓心角?AOB?x,(0?x?

?)，作單位圓的切線，得?ACO.扇形OAB的圓心角為x,?OAB的高為BD,于是有sinx?BD,x?弧AB,tanx?AC,sinx?

?1,上式對于??x?0也成立.?sinx?x?tanx, 即cosx?x2xx2x

2當(dāng)0?x?時,0?cosx??1?cosx ?2sin,?2()?

2222

?

sinxx2

?1.?lim?0, ?lim(1?cosx)?0,?limcosx?1, 又?lim1?1, ?lim

x?0x?0x?0x?0x?02x

例3求下列極限（1）lim

1-cosx

.x?0x2

2sin2

解：原極限=lim

x?0

xxx

sin2sin

?1lim()2 ?1?12 ?1.?1lim

222x?0(x)22x?0xx2

（2）limxsin

x??

x

解：原極限=lim

1siny

=1（令y=）

y?0xy

（3）lim

x??

sinx x??

解：原極限=lim

sin?(x??)?????1； x??x??

1x1n?

2.lim(1?)?e，lim(1?x)x?e，lim(1?)?e；“1”型

x??n???x?0xn

【說明】

（1）上述三種形式也可統(tǒng)一為模型lim?1???x??

?(x)?0?

?(x)

?e

（2）第二個重要極限解決的對象是1型未定式。例如，lim?2?x?

x??1

2x?1

??

?lim??1??x?1??x?1??e2 x??1??

例4求下列極限（1）lim(1-x

1x).x

x

解：原極限=lim[(1+

1-x-1

] ?lim

x??-x

?.?xe(1?)

?x

?x?2?

（2）lim??

x??x?3??

5??解：原極限=lim?1??x??x?3??

?

x

?

x?3?5x

?5x?

3=e

?5xx??x?3lim

=e

?

5【補充】“1”型計算公式：lim?1?f(x)?

x?x0

g(x)

?e

x?x0

limg(x)f(x)

其中x?x0時，f(x)?0,g(x)??。

證明：lim?1?f(x)?

x?x0

g(x)

?limeg(x)In?1?f(x)??ex?x0

x?x0

limg(x)In?1?f(x)?

?e

x?x0

limg(x)f(x)

例5求下列極限

（1）lim(1?tanx?sinx)

x?0

x

【分析】是冪指數(shù)函數(shù)，“1”型，考慮用“1”型計算公式

x

??

解：lim(1?tanx?sinx)=e

x?0

1x

tanx?sinxx?0xlim

=e

sinx(1?cosx)

x?0xcosxlim

=e

x3

x?02xlim

=1

（2）lim(cosx?sinx)

x?0

【分析】是冪指函數(shù)，“1”型，考慮用“1”型計算公式。

2?1

2x

12x

sin2xx?02xlim

??

解：原極限?lim(cosx?sinx)

x?0

?lim(1?sin2x)

x?0

?e?e。

（3）lim（x??

x?2x)x?3

?

?

【分析】是冪指數(shù)函數(shù)，“1”型，考慮用“1”型計算公式，但它不是標(biāo)準(zhǔn)型，通過“加1減1”變成標(biāo)準(zhǔn)型。

?5xxlim

lim(1?)=e??x?3?e?5 解：原極限=x??x?3

【思考題1】設(shè)有k個正數(shù)a1，a2，?，ak，令a=max{a1，a2，?，an}，求

nn

（“大數(shù)優(yōu)先”準(zhǔn)則）。lima1n?a2???ak

nn

an?a1n?a2???ak?an?an???an?kan?ka

?5x

n??

解：a?

nnn

而limka?a，所以由夾逼準(zhǔn)則：limna1?a2???ak?a n??

n??

【思考題2】設(shè)x0?0，xn?1?

(xn?)，求limxn

n??2xn

212

?2，所以數(shù)列{xn}有下界。(xn?)?xn?xn2xn

解：顯然 xn?0。因為xn?1?

121xn2?xn

又因為xn?1?xn?(xn?)?xn????0，所以數(shù)列{xn}單調(diào)下降，即

2xnxn22xn

n??

limxn存在。設(shè)limxn=l，則l?

n??

(l?)，解得l?2，所以limxn=2

n??2l

【思考題3】求limcos

n??

xxx

cos2?cosn； 222

解：原極限=lim

n??

sinx2nsin

x

2n

?lim

sinx

?1(x?0)

n??x

【思考題4】求極限lim3?9

x???

?

x

1xx

解：lim3?9

x???

?

x

1xx

?lim9

x???

?1xx

??1??1?

?x?1? ?9?lim??1?x?

x???3??3????

x

3x

????

13?x

?9?e?9

n

【課堂練習(xí)】求 lim

i

n??

?2

in

?n?i。

?1

解：

n(n?1)212n

n2?n?n?n2?n?n?n2?n?n???n2

?n?n

?

12n2+n+1n2+n+2+?+n

n2+n+n

?

12nn(n+n2+n+1

n2+n+1+?+n2+n+1=1)2

n2

+n+1

而n(n?1)21n(nlim??n2?n?n?2，limn?1)2n??n2?n?1?12

所以 原極限?1

【內(nèi)容小結(jié)】 o1、夾逼準(zhǔn)則

當(dāng)

x?U(x0,?)時，有

f(x)?g(x)?h(x)xlim?xf(x)?A=limh(x)，則lim0

x?x0

x?xg(x)?A。

2、單調(diào)有界準(zhǔn)則

（1）單調(diào)上升有上界的數(shù)列，極限一定存在；（2）單調(diào)下降有下界的數(shù)列，極限一定存在。

3、兩個重要極限（1）lim

sinx

x?0x

?1

(x為弧度）；

（2）lim??(1?11

x)x

?e，limx?0(1?x)xx?e

且，

第二篇：兩個重要的極限（推薦）

《數(shù)學(xué)分析》教案

§４ 兩個重要的極限

教學(xué)目的：掌握兩個重要極限，并能熟練應(yīng)用。

教學(xué)要求：掌握兩個重要極限，牢記結(jié)論；掌握證明的基本思路和方法，并能靈活運用。教學(xué)重點：兩個重要極限的證明及運用。

教學(xué)難點：兩個重要極限的證明及運用。

教學(xué)方法：講授定理的證明，舉例說明應(yīng)用，練習(xí)。

教學(xué)程序：

一關(guān)于函數(shù)極限的性質(zhì)

１）性質(zhì)１－性質(zhì)４常用于說明函數(shù)極限的一些性質(zhì)。

例１． 設(shè)f(x)?0，limf(x)?

A，證明：limx?x0x?x0?例２． 設(shè)limf(x)?A，limg(x)?B.（1）若在某U0(x0)內(nèi)有f(x)?g(x)，問是否有A?B？x?x0x?x0

為什么？（2）證明：若A?B，則在某U0(x0)內(nèi)有f(x)?g(x).２）性質(zhì)５－性質(zhì)６（迫斂性、四則運算）常用于計算。

x2?1x2?12?1?Ｐ51： １:（１）lim2(sinx?cosx?x)?2?；（２）lim2；（３）lim2；

?x?0x?122x?x?12x?x?13x?22?

2(3x?6)70(8x?5)20370?8204（６）（８）lim.??；9090x???x?(5x?1)53２: limxsinx?0.x???x2?

4sinx?1.例 limx?0x

二、關(guān)于歸結(jié)原則(Heine定理)

１． 定理的內(nèi)容:

２． 定理的意義:

３． 定理的用途:

１）說明極限不存在，如limsinx?01的極限不存在； x

２）利用數(shù)列極限的性質(zhì)證明函數(shù)極限的性質(zhì)。

例１． 證明函數(shù)極限的唯一性。

例２． 證明函數(shù)極限四則運算。

例３． 證明單調(diào)有界定理。

３）利用函數(shù)極限求數(shù)列極限。

例４．

例５． limnsinn??1.nlim(1?n??11?2).nn

４． 歸結(jié)原則有不同的敘述（在不同的極限形式下），要注意靈活應(yīng)用。

三、關(guān)于單調(diào)有界定理

１． 內(nèi)容。

２． 意義。

四、關(guān)于Cauchy準(zhǔn)則

１． 內(nèi)容

２． 意義

３． 用途：

１）證明limf(x)存在； x??

２）證明limf(x)不存在。如limsinx???x???1。x

證明中用到歸結(jié)原則，數(shù)列極限的Cauchy準(zhǔn)則。

§４ 兩個重要的極限

sinx?1的證明 x?0x

sinx?1的應(yīng)用 二 limx?0x

sinx例１． 求lim.x????x

1?cosx例２． 求lim.x?0x2一 lim

?limnsin1，直接利用limsinx?1是不嚴格的；注：利用歸結(jié)原則，可求數(shù)列極限。如求limx?0n??n??1xn

n

sinx??，1故取xn?,(n?1,?2,，)但已知li則xn?0(n??)，從而由歸結(jié)原則x?0xn

1sin?0.limf(xn)?limn??n??n

tgx例３． 求lim.x?0xsin

1?1?三 證明lim?1???e或lim?1?????e.??0x???x?x

四 應(yīng)用

例１． 求lim?1?2x?x?0

x1x.例２． 求lim?1?x?.x?0

例３． 求lim(1?n??11n?2).nn

練習(xí)：Ｐ３９ ４ ?(1??

?1n?)?為遞增數(shù)列。n?1?

n??Ｐ３９ ９ ?(1?)n?1?為為遞減數(shù)列。

Ｐ５５ ２ 設(shè)f為定義在[a,??)上的增（減）函數(shù)，證明：limf(x)存在?f在[a,??)上x?????

有上（下）界。

第三篇：08 第八節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限

第八節(jié) 極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限

分布圖示

★ 夾逼準(zhǔn)則

★ 例1 ★ 例4 ★ 例7 ★ 例10 ★ 例12 ★ 例15 ★ 例18 ?1?★ lim?1???e

x???n?x★ 單調(diào)有界準(zhǔn)則

sinx★ lim?1

x?0x

★ 例2 ★ 例5 ★ 例8 ★ 例11 ★ 例13 ★ 例16

★ 例3 ★ 例6 ★ 例9 ★ 例14 ★ 例17

★ 例19 ★ 例20

★ 例21 ★ 例24

★ 例22 ★ 例23 ★ 例25 ★ 柯西極限存在準(zhǔn)則 ★ 連續(xù)復(fù)利（例26）★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)★習(xí)題 1-8

內(nèi)容要點

一、準(zhǔn)則I（夾逼準(zhǔn)則）：如果數(shù)列xn,yn及zn滿足下列條件:（1）yn?xn?zn(n?1,2,3,?);

（2）limyn?a,limzn?a，n??n??那末數(shù)列xn的極限存在, 且limxn?a.n??注：利用夾逼準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵是構(gòu)造出yn與zn, 并且yn與zn的極限相同且容易求.二、準(zhǔn)則II（單調(diào)有界準(zhǔn)則）：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.三、兩個重要極限：

sinx?1?1.lim?1；

2．lim?1???e.x???x?0xx?

四、連續(xù)復(fù)利

設(shè)初始本金為p(元), 年利率為r, 按復(fù)利付息, 若一年分m次付息, 則第n年末的本利和為

r??sn?p?1???m?mnx

如果利息按連續(xù)復(fù)利計算, 即計算復(fù)利的次數(shù)m趨于無窮大時, t年末的本利和可按如下公式計算

r??s?plim?1??m???m?mt?pert 若要t年末的本利和為s, 則初始本金p?se?rt.例題選講

夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用

?111??.例1(E01)求 lim??????222n???n?2n?n??n?1解

?nn?n2?1n?12???1n?n2?nn?12

又limn??nn?n2?limn??111?n?1,limn??nn?12?limn??111?2n?1，由夾逼定理得

?1?11??1.lim??????2n???n2?2n2?n??n?1

nn1/n例2 求 lim(1?2?3).n??解 1nnn由(1?2?3)??2??1??3?1???????,易見對任意自然數(shù)n,有 ???3??3????2??1?1?1???????3，?3??3?nnn1n?n1故3?1n1??2??1??3?1????????3?3n.???3??3???n1n?n1而lim3?1nn???3,1lim3?3nn???3,所以

1nnn2?3)n??lim(1???2??1??lim3?1????????3.n?????3??3???n1n?n

例3 求 lim??解

設(shè)xn??111??.????22?n??n2(n?1)(n?n)??111????.顯然，n2(n?1)2(n?n)2n?1111111n?1??????x??????2 n22222224n(2n)(2n)(2n)nnnn又limn?1n?1?0,lim?0,由夾逼準(zhǔn)則知limxn?0，n??4n2n??n2n???111???0.即lim?????22?n???n2(n?1)(n?n)??

an(a?0).例4 求 limn??n!a?a?a?aana?a?a?ac?a?c??解 ?，([a]?2)([a]?3)?nn!1?2?3?([a]?1)([a]?2)?nna?a?aanc?aanc?a,因此0??,而lim?0.其中c??0,所以limn??n!n??n1?2?3?([a]?1)n!n

n!.n??nnn!1?2?3?n1?2?n?n?nn!222解 由n???2,易見0?n?2.又lim2?0.n??nn?n?n?nn?n?n?nnnnnn!所以 lim2?0.n??n 例5(E02)求 lim例6(E03)求極限limcosx.x?0xx2?x??2????解 因為0?1?cosx?2sin,故由準(zhǔn)則I?,得 22?2?22lim(1?cosx)?0, 即 limcosx?1

x?0x?0

例7 求 limnn.n??解

令nn?1?rn(rn?0),則

n?(1?rn)n?1?nrn?2n(n?1)2n(n?1)2.rn???rnn?rn(n?1),因此 , 0?rn?n?12!2!由于limn??2?0,所以limrn?0.故limnn?lim(1?rn)?1?limrn?1.n??n??n??n??n?1

例8 求證limna?1(a?0).解

(1)n??當(dāng)a?1時, n1?1,故limna?lim1?1.n??n??(2)

當(dāng)a?1時,設(shè)xn?na,顯然xn?1.當(dāng)n?a時,xn?na?nn.由例3知limnn?1,所以

n??n??limna?1(a?1).(3)

當(dāng)0?a?1時，總存在一個正數(shù)b(b?1),使得a?1/b,由(2)知limnb?1,所以

n??n??limna?limnn??111???1, blimnb1n??綜合上述證明可知

limna?1(a?0).n??

例9 求極限 limx??.x?0?x?1?1?1?1?解

當(dāng)x?0時, ?1????，因此，當(dāng)x?0時, 1?x?x???1

x?x?x?x??1??1?x?0x?1,1?x?x由夾逼定理可得lim當(dāng)時，有???x??1 x?0??x????1??1?x?1,limx由夾逼定理可得lim從而????1.x?0?x?0??x??x?

例10(E04)設(shè)有數(shù)列x1?1??3,x2?3?x1,?,xn?3?xn?1,?,求

limx.n??n證

顯然xn?1?xn,?{xn}是單調(diào)遞增的.下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明{xn}有界.因為x1?3?3,假定xk?3,則xk?1?3?xk?3?3?3.所以{xn}是有界的.從而limxn?A存在.n??222由遞推關(guān)系xn?1?3?xn,得xn?1?3?xn,故limxn?1?lim(3?xn),即A?3?A，n??n??解得A?1?131?131?13,A?.(舍去).所以limxn?n??222

例11 設(shè) a?0為常數(shù), 數(shù)列xn由下列定義:

xn?1?a???x?(n?1,2,??)n?1??2?xn?1?其中x0為大于零的常數(shù), 求limxn.n??解

先證明數(shù)列xn的極限的存在性.1?a?2222??2xnxn?1?xn由xn??即x?(x?x)?x?ax?a.?a,?n?1nn?1nn?1?2?xn?1??由a?0,x0?0,知xn?0,因此xn?a,即xn有下界.又xn?11?a???1?1a?1,故數(shù)列xn單調(diào)遞減，由極限存在準(zhǔn)則知limxn存在.??1?2?2n??xn2??xn?22xn

1?a?1?a??A?A?不妨設(shè)limxn?A,對式子xn??兩邊取極限得:x???.n?1?n??2A2?x??n?1??解之得A?a,即limxn?a.n??

tanx.x?0xtanxsinx1sinx1?1.解 lim?lim??lim?limx?0xx?0xx?0x?0cosxxcosx 例12(E05)求 lim例13 求 limtan3x.x?0sin5xsin3x31tan3xsin3x1133解 lim?lim3x??lim????1?.5x5co3x?0sin5xx?0sinsx155xco3sxx?0sin55x

例14(E06)求 lim1?cosx.2x?0x2xx?x?sin?2sinsin2?2??1?12?1.2?1lim2?1lim?解

原式?limx?02x?0?x?2x?0?x?222x2?????2??2?2

例15

下列運算過程是否正確：

limtanxtanxxtanxx?lim.?limlim?1.x?xsinxx?xxsinxx?xxx?xsinxtanxx?1,?1,本題x??,所以不能應(yīng)用上述xsinx解

這種運算是錯誤的.當(dāng)x?0時,方法進行計算.正確的作法如下：

令x???t,則x???t;當(dāng)x??時, t?0,于是

tanxtan(??t)tanttanttlim?lim?lim?lim???1.x??sinxt?0sin(??t)t?0?sintt?0t?sint

例16

計算 lim解 lim cosx?cos3x.2x?0xcosx?cos3x2sin2xsinx4sin2xsinx?4.?lim??lim22x?0x?0x?02xxxxx2例17 計算 lim.x?01?xsinx?cosxx2(1?xsinx?cosx)1?xsinx?cosx)?lim解 lim ?limx?0x?01?xsin1?cosxxsinxx?01?xsinx?cosxx?cosx?2xx2x2?1?14?.1?132

x?sin2x.x?0x?sin2xsin2xsin2x1?1?2x?sin2xx?lim2x?1?2??1.解 lim?limx?0x?sin2xx?0sin2xx?0sin2x1?231?1?2x2x 例18(E07)計算 lim?1?例19(E08)

求 lim?1??n???n?n?3.1?????1?n??n?1?解 lim?1??n???n?n?3???lim??1?n?????1??n?3??1??1???lim?1????1???e?1?e.n???n??n???n3

1/x例20(E09)

求 lim(1?2x).x?0解 1lim(1?2x)xx?01????lim?(1?2x)2x?x?0?????2?e?2.?k?例21(E10)求lim?1??.x???x?xx????kkkk?k?????k解 lim?1???lim??1?????lim?1????e.x??x????x???x???x??x??????xkkx?1?特別地，當(dāng)k??1時，有l(wèi)im?1???e?1.x???x?

?3?x?例22(E11)求 lim??.x???2?x??3?x?解 lim??x???2?x?2xxx?2?2?????1??1??lim??1?? ???lim??1??x????x??x?2x?2??????????x?2?4??1???1?2?lim??1????1???e.x????x?2??x?2????222x2x ?x2??.例23 求 lim?x???x2?1???xx???x2?11??????lim解 lim??1?2??lim??1?2x???x2?1?x????x???x?1x?1?????xxx2?1?x?12????e0?1.x1/x例24 計算 lim(e?x).x?01(ex?解 limx?01x)x?1?lim(ex)x?1?x?0?e?x?xx???elim1???x?x?0?ex???e??1?xx?ex?2??e?e?e.??

tan2x.例25 求極限 lim(tanx)x??/4解

令t?tanx?1,則tanx?t?1,當(dāng)x??4時,t?0,又

tan2x?2(t?1)2tanx12(t?1)? ???22tt?21?tanx1?(t?1)12(t?1)??lim(1?t)tt?2t?01?2(t?1)lim[(1?t)t]t?2t?0故lim(tanx)tan2x?x???1?[lim(1?t)t]t?0limt?0?2(t?1)t?2?e?1.連續(xù)復(fù)利

例26(E12)

小孩出生之后，父母拿出P元作為初始投資，希望到孩子20歲生日時增長到100000元，如果投資按8%連續(xù)復(fù)利，計算初始投資應(yīng)該是多少？

解 利用公式S?Pe，求P.現(xiàn)有方程

rt100000?Pe0.08?20

由此得到

e

P?100000?1.6?20189.65

于是，父母現(xiàn)在必須存儲20189.65元，到孩子20歲生日時才能增長到100000元.計算現(xiàn)值可以理解成從未來值返回到現(xiàn)值的指數(shù)衰退.一般地，t年后金額S的現(xiàn)值P, 可以通過解下列關(guān)于P的方程得到

S?Pekt，P?

P?kt?Pe.ekt課堂練習(xí)

1.求極限 limtanx?sinx.x?0x2sinx2.求極限lim

x???1(3x?9x)x.

第四篇：兩個重要極限的證明

兩個重要的極限

1．證明：lim

sinxx

x?0

?1

證明：如圖（a）作單位圓。當(dāng)0

12x?

?2

時，顯然有ΔOAD面積<扇形OAD面積<ΔOAB面積。

xsinx

?

1cosx

tgx，sinx

?2

或1?

sinxx

?cosx

?2

?x?0

時也成立。

圖（a）

故（1）式對一切滿足不等式0?|x|?的x都成立。

sinxx

?1。

由limcosx=1及函數(shù)極限的迫斂性定理立刻可得lim

x?0

x?0

函數(shù)f(x)=

sinxx的圖象如圖（b）所示。

2．證明：lim(1?)n存在。

n??

n

證明：先建立一個不等式，設(shè)b>a>0，于是對任一自然數(shù)n有

b

n?1

圖（b）

n?1

?a

n?1

b?a

?(n?1)b或b

n

n?1

?a

n?1

?(n?1)b(b?a)，整理后得不等式a

n（1）?b[(n?1)a?nb]。

n

令a=1+故有(1?

1n?1)

n?1，b=1+

1n)

1n

n，將它們代入（1）。由于(n?1)a?nb?(n?1)(1?

1n?1)?n(1?

1n)?1，n?1

?(1?

12n，這就是說{(1?)n}為遞增數(shù)列。

n

12n)?

再令a=1，b=1+代入（1）。由于(n?1)a?nb?(n?1)?n(1?

12n)

2n，故有1?(1?

12n)

n

12，2?(1?

12n1n)

n。

不等式兩端平方后有4?(1?，它對一切自然數(shù)n成立。聯(lián)系數(shù)列的單調(diào)性，由此又推得數(shù)列{(1?)n}

是有界的。于是由單調(diào)有界定理知道極限lim(1?)n是存在的。

n??

n

3．證明：lim(1?)x?e。

x??

x

證明：所求證的極限等價于同時成立下述兩個極限：

x???

lim(1?

1x)?e

x

（1）

x???

lim(1?

1x)?e

x

（2）

現(xiàn)在先應(yīng)用2中數(shù)列極限lim(1?)n?e，證明（1）式成立。

n??

n

設(shè)n≤x

1n?1

?1?

1x

?1?

1n

及(1?

1n?1)

n

1n?1)?(1?

n

1x)?(1?

x

1n)

n?1，（3）

作定義在[1，+?)上的階梯函數(shù)。f(x)?(1?，n≤x

n

由（3）有f(x)<(1?)x?g(x)，x∈[1，??)。由于limf(x)?lim(1?

x

x???

n??

11n?1

(1?)?lim

n

n??

n?1

11?

n?)

n?1

?e

x???limg(x)?lim(1?n??1n)n?1?lim(1?n??1n)(1?n1

n)?e，根據(jù)迫斂性定理便得（1）式。

y)?y現(xiàn)在證明（2）式。為此作代換x=-y，則(1?)x?(1?x?(1?1

y?1)?(1?y1

y?1)y?1(1?1

y?1)

因為當(dāng)x→-∞時，有y-1→+∞，故上式右端以e為極限，這就證得lim(1?)x?e。

x???1x

以后還常常用到e的另一種極限形式lim(1?a)a?e a?0

1x（4）1

a?0因為，令a?1x，則x→∞和a→0是等價的，所以，lim(1?)?lim(1?a)a。x??x

第五篇：關(guān)于兩個重要極限的認識

關(guān)于兩個重要極限的認識

陳乙德

（河南大學(xué) 計算機與信息工程學(xué)院，開封 475001）

摘要：本文重點討論了微積分中的兩個重要極限，一是它在概念引出中的重要作用，二是兩個重要極限的一般形式和應(yīng)用 關(guān)鍵詞：兩個重要極限；一般形式；應(yīng)用

中途分類號：O172文獻標(biāo)志碼：A

1x在微積分的眾多常用極限中之所以要把limsinxxx→x0=1, lim 1+x =e這兩個極限稱為重要極限是因為在x→∞

由導(dǎo)數(shù)概念到建立初等函數(shù)求導(dǎo)公式這一過程以及求函數(shù)極限中，這兩個重要極限起了必不可少的紐帶作用。

1．兩個重要極限在微分學(xué)中的重要性

微分學(xué)的基礎(chǔ)概念——導(dǎo)數(shù)是建立在極限概念基礎(chǔ)上的。即求一個函數(shù)f(x)在點x的導(dǎo)數(shù)f′（x），就是計算極限limf x+△x —f（x）

△xx→x01），如果求函數(shù)導(dǎo)數(shù)都計算極限（1）的話，顯然是非常繁瑣的，勢必限

制導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用，事實上，在求函數(shù)導(dǎo)數(shù)時，只需根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則就可以很方便地求得任何一個初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。下面來看看正弦函數(shù)sinx的求導(dǎo)公式，(sinx)′=limf x+△x —f（x）

△x

2cos?(x+)sin

△x

△xsin△x2x→x0=lim△x2x→x0=limcos(x+2)△x→0△x

2=cosx·

1=cosx

其中應(yīng)用第一個重要極限limsinxxx→x0=1，即：limsin△x→0△x2sinuu→0u2,△x→0時，u→0)。求得(sinx)′△x=cosx后，其余的三角函數(shù)和反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式就可利用多個求導(dǎo)法則得到了。其次，對數(shù)函數(shù)logax的求導(dǎo)公式。由導(dǎo)數(shù)定義，（logax）′=limloga（x+△x）—logax

△x

△xx1△x→0=limloga（1+△x→0）

1xx=limloga（1+△x→0

1△xx△xx））x

△x=xlimloga（1+△x→0

=xlogae

作者簡介：陳乙德（1991-），男，河南信陽人，在校本科生。E-mail:282143947@qq.com 1

=1

xlna

1x其中應(yīng)用了第二重要極限lim 1+x=e，即 x→∞

△x→0limloga（1+△xx）=limloga（1+）logae（u=△x→0u

xlnax1ux△x，△x→0時，u→∞）求得了（logax）′=

可見，兩個重要極限在導(dǎo)出基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式過程中，特別是涉及三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)中起到了關(guān)鍵性作用，沒有這兩個重要極限，兩類函數(shù)的求導(dǎo)公式就不可能得出。

2.兩個重要極限的一般形式

2.1關(guān)于極限lim

在limsinxxsinxxx→x0=1 x→x0中，x只是一個符號，并沒有具體意義。

sinf（x）

f（x）故將其變形為lim

lim

limsinf（x）x→x0，該式成立的條件是：當(dāng)x→x0時，f（x）→0。將其推廣后便有=1?limf（x）x→x0g（x）x→x0g（x）x→x0g（x）f（x）=limsinf（x）f（x）x→x0?f（x）g（x）=limf（x），該式成立的條件是當(dāng)x→x0時，f（x)→0且

x→x0g（x）可求。

sinxx需要注意的是：應(yīng)用limx→x0模型解題時符號x必須統(tǒng)一，包括系數(shù)、正負符號等。

00解題方法：湊出以下三點，①的未定式。②分母為關(guān)于x的冪指數(shù)。③sin函數(shù)內(nèi)的式子要與分母的式子一致。

2.2關(guān)于極限lim 1+x=e x→∞1x

同樣在lim 1+=e中，x也只是一個符號，沒有具體意義。令y=x→∞時，y→0，那么xxx→∞

y→01x1lim 1+y =e。

故將其變形為lim 1+g（x）x→x01g（x）1=e，該式成立的條件是：x→x0時，g（x）→0。將其推廣后便有

g（x）

x→x0lim 1+g（x）

g（x）

x→x0f（x）1f（x）=lim 1+g（x）x→x0g（x）1g（x）f（x）=limex→x0f（x）=ex→x0f（x）limg（x），該式成立的條件是當(dāng)x→x0時，g（x）→0且lim可求。

需要注意的是：g（x）形式上一定要統(tǒng)一，括號內(nèi)必須是“+”號，如果是“?”號，需要變形后放到分母上去。

一般解題方法：湊出以下三點，①注意x的趨向，始終保證極限式的形式。②構(gòu)造“1+” ③括號內(nèi)除去“1+”之外部分與指數(shù)上的式子要一致，互為倒數(shù)。

特殊解題方法：如果lim f（x）=0, lim g（x）=∞,且lim f（x）g（x）=A；則 x→x0x→x0x→x0

lim1+f（x）x→x0g（x）=eA

g（x）證明：令lim1+f（x）x→x0=B.利用初等函數(shù)的連續(xù)性及對數(shù)性質(zhì)有：

f（x）g（x）B=lim1+f（x）x→x0g（x）

=lim1+f（x）x→x01f（x）

兩邊取對數(shù)有，lnB=lim f（x）g（x）ln 1+f（x）x→x01f（x）

=Alne

=A

所以B=eA

即lim1+f（x）x→x0g（x）=eA

特例見例5

3.兩個重要極限在計算極限中的應(yīng)用

經(jīng)分析可得，limx→0sinxx=1為（0limx→∞ 1+x =e為（1∞）型未定式。在解題過程中也01x

可以用羅比達法則或等價無窮小求解。這里我們主要介紹如何在求解極限中應(yīng)用這兩個重要極限。例1：求limxsinx x→+∞

2x2解：令t=，可知t→0，limxsinx=limx→+∞2sinx2xx→+∞

sintt?2 =limt→0?2

=2

例2：求limx→0sinsinsinxx

解：設(shè)sinsinx=a，sinx=b，知a→0，b→0

limx→0sinsinsinxxlim（x→0sinsinsinxsinsinx?

?sinsinxsinxsinxx?sinxx）=lim（x→0sinaa?sinbb）

=1?1?1

=1

例3：求lim（1?x）x→∞

x2?x解：設(shè)-2=t，知t→∞，lim（1?）=lim1?xxx→∞x→∞2?x2?22

=lim1+tt→∞21t

=e2

例4：求lim3x?1x→+∞3x+22x?1

解：令3x?13=t，知t→+∞，3x+22x?1lim3x?1x→+∞=lim 1+ 3x?1x→+∞

lim3（2x?1）x→+∞3x?133x?13 2x?1= e

2?x=e2 例5：求lim 1?xx→∞

解：法一［普通法］

原式=lim1?x =lim1?x =e2 2x→∞?02?x22?x2

法二［特殊法］

因為lim（?x）（-x）=2，所以lim 1?xx→∞x→∞22?x=e2

參考文獻彭英.淺談兩個重要極限的應(yīng)用[J].山西科技，20082 郎宏志.對兩個重要極限的討論[J].中國科技信息，20063 呂楠.關(guān)于兩個重要極限的理解[J].科教文匯，20074 王達開.兩個重要極限應(yīng)用探討[J].遼寧教育行政學(xué)院學(xué)報，2004