第一篇：一個(gè)重要_數(shù)列的極限存在問題_的證明總結(jié)完成

一個(gè)重要數(shù)列的極限存在問題的證明總結(jié)

摘要：用兩種方法對(duì)一個(gè)重要的數(shù)列的極限存在問題的證明總結(jié)，這個(gè)重要的數(shù)列是{yn=(1+1n)} n

關(guān)鍵詞：數(shù)列，極限，存在問題

在《數(shù)學(xué)通報(bào)》，2006.6一期中，有一篇《一個(gè)重要的極限的證 明》。對(duì)數(shù)列{yn=(1+)n}的極限的存在問題給出了一種新的簡明證 法。下面，我對(duì)這個(gè)極限的存在問題的證法進(jìn)行總結(jié)。

n

1n*(n?1)1n*(n?1)(n?2)?3*2*11yn=1+n*+*2+?+ nn2!n!nn

11112112=1+1+(1-)+(1-)(1-)+?+（1-）（1-）?2!nnnn!nn3!n?1（1-）n1n證法一：對(duì){yn=(1+)n}應(yīng)用二項(xiàng)式展開，可得：

yn-1=1+1+

1-1111211(1-)+(1-)(1-)+?+(1-)(2!n?13!n?1n?1n?1(n?1)!2n)?(1-)n?1n?1

11但，(1-)﹤(1-)nn?1

22(1-)﹤(1-)nn?1? ??

n?1n?1（1-）﹤（1-）nn?1

所以,yn中的每一項(xiàng)都小于yn+1中的相應(yīng)項(xiàng),而yn+1中還多出最后一項(xiàng).且,這項(xiàng)顯然大于零,因此,yn﹤yn+1故{yn}是單調(diào)

增加數(shù)列.現(xiàn)在來證明{yn}的有界性,因 yn的展開式的每一項(xiàng)括號(hào)內(nèi)的因子都是小于1的,所以有, 0﹤yn﹤1+1+

111111++?+﹤1+1+ ++?+2!3!n!1*22*3(n?1)*n

=1+1+（1-）+（-）+?+（=1+1+1-

1n

12112311-）n?1n

?)n?e 存在。即,{yn}為有界數(shù)列,根據(jù)夾值定理, lim(1n??

證法二:預(yù)備知識(shí)：基本不等式——a1*a2*?an?（n

1n

?a)(ai?0)

ii?1

n

n

令xn=(1+)n則由基本不等式——a1*a2*?an?（nn111nnn11

（n+1+*n）]n+1 ?[n?1n1n+1

=(1+)

n?1

?a)

ii?1

n

n

得，xn=1*（1+）（1+）?（1+）

=xn+1

于是，數(shù)列{xn}單調(diào)不減

令zn=（1+）n+1則再由上面的不等式有：（n1n*(n?1)n+2）n+1?[(1+)] n?1n?1n?2

n?2n+2 =()n?1

1n

又由于冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算法則——“底數(shù)顛倒，指數(shù)反號(hào)，其值不變”，有，yn =（1+）n+1 >=（nn?2n+2)n?1

= yn+1

于是，對(duì)任意給定的 n 屬于N,均有yn?4，又由于

xn=(1+

1n1)?（1+）n+1= yn+1 nn

故數(shù)列{xn}單調(diào)不減且有上界（上界為4）根據(jù)數(shù)列極限的 存在準(zhǔn)則，數(shù)列{xn=(1+

1n)}極限存在 n

由于這個(gè)極限首先被瑞士科學(xué)家歐拉（L.Euler

?)n?e 1707-1783）記為e,因此有：lim(1n??

1n

參考文獻(xiàn)：陳傳璋等編，《數(shù)學(xué)分析》（第二版）上冊(cè)，高等教育出版

社，1983年7月 《數(shù)學(xué)通報(bào)》 2006年6月

第二篇：數(shù)列極限的證明

例1 設(shè)數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn?n?1,2,??。（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；

n??

?xn?1?xn（Ⅱ）計(jì)算lim??。n??

?xn?

解（Ⅰ）用歸納法證明?xn?單調(diào)下降且有下界，由0?x1??，得

0?x2?sinx1?x1??，設(shè)0?xn??，則

0?xn?1?sinxn?xn??，所以?xn?單調(diào)下降且有下界，故limxn存在。

n??

記a?limxn，由xn?1?sinxn得

x??

a?sina，所以a?0，即limxn?0。

n??

（Ⅱ）解法1 因?yàn)?/p>

?sinx?lim??x?0

?x?

1x?lime

x?0

1sinxlnx2x

?lime

x?0

1?cosx1?

???

2x?sinxx?

?xsinx6x2

xcosx?sinx

?lime

x?0

2x3

?lime

x?0

?e

?

又由（Ⅰ）limxn?0，所以

n??

1xn

?xn?1??sinxn?xn2

lim???lim??n??n??xx?n??n?

?sinx?

?lim??x?0x??

解法2 因?yàn)?/p>

1xx?e

?

sinx?x

?sinx????x?

?

?sinx?x????1????x??

xsinx?x

????

x3，又因?yàn)?/p>

limsinx?x1?sinx?x???,lim?1??x?0x36x?0?x?

xnxsinx?x?e，??sinx?6所以lim?，?e?x?0?x?1

故

11?x?lim?n?1?n???xn?xn?sinxn??lim??n??x?n?

?sinx??lim??x?0?x?xn1x ?e?1

6.

第三篇：數(shù)列極限的證明

例1 設(shè)數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn?n?1,2,??。（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；

n??1?xn?1?xn2（Ⅱ）計(jì)算lim??。n???xn?解（Ⅰ）用歸納法證明?xn?單調(diào)下降且有下界，由0?x1??，得

0?x2?sinx1?x1??，設(shè)0?xn??，則

0?xn?1?sinxn?xn??，所以?xn?單調(diào)下降且有下界，故limxn存在。

n??記a?limxn，由xn?1?sinxn得

x??a?sina，所以a?0，即limxn?0。

n??（Ⅱ）解法1 因?yàn)?/p>

?sinx?lim??x?0?x?1x2?limex?01sinxlnx2x?limex?01?cosx1????2x?sinxx?

?xsinx6x2xcosx?sinx?limex?02x3?limex?0?e?16又由（Ⅰ）limxn?0，所以

n??12xn1?xn?1??sinxn?xn2lim???lim??n??n??xx?n??n?1

?sinx??lim??x?0x??解法2 因?yàn)?/p>

1x2x2?e?16sinx?x?sinx????x???sinx?x????1????x??xsinx?x????x3，又因?yàn)?/p>

limsinx?x1?sinx?x???,lim?1??x?0x36x?0?x?12xnxsinx?x?e，??sinx?6所以 lim?，?e?x?0?x?1故

11?x?lim?n?1?n???xn?2xn?sinxn??lim??n??x?n??sinx??lim??x?0?x?2xn1x2

?e?16.

第四篇：數(shù)列極限的證明

數(shù)列極限的證明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限 求極限我會(huì)

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A 以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得 |Xn-A|<|Xn-1-A|/A;|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;……

|X2-A|<|X1-A|/A;向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)2 只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。用數(shù)學(xué)歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。②證明{x(n)}有上界。x(1)=1<4，設(shè)x(k)<4，則

x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。3 當(dāng)0 當(dāng)0 構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，則：t>

1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分別求導(dǎo))=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0 所以，對(duì)于數(shù)列n*a^n，其極限為0 4 用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：(1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞

(3)lim[根號(hào)(n+1)-根號(hào)(n)]=0 n→∞

(4)lim0.999…9=1 n→∞ n個(gè)9 5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個(gè)忙。。Lim就省略不打了。。

第五篇：數(shù)列極限的證明

數(shù)列極限的證明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,證明Xn的極限存在，并求該極限

求極限我會(huì)

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

以此類推，改變數(shù)列下標(biāo)可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;

|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

……

|X2-A|<|X1-A|/A;

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

2只要證明{x(n)}單調(diào)增加有上界就可以了。

用數(shù)學(xué)歸納法：

①證明{x(n)}單調(diào)增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設(shè)x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，設(shè)x(k)<4，則

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3當(dāng)0

當(dāng)0

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導(dǎo))

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對(duì)于數(shù)列n*a^n，其極限為0

用數(shù)列極限的定義證明

3.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個(gè)9

5幾道數(shù)列極限的證明題，幫個(gè)忙。。Lim就省略不打了。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實(shí)質(zhì)就是計(jì)算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等于無窮帶進(jìn)去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數(shù)列極限變成函數(shù)極限，用羅比達(dá)法則(不知樓主學(xué)了沒，沒學(xué)的話以后會(huì)學(xué)的)

第三題，n趨于無窮時(shí)1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對(duì)不對(duì)呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0