第一篇:關(guān)于數(shù)列極限的兩個(gè)定義
關(guān)于數(shù)列極限的兩個(gè)定義
定義1.設(shè)有數(shù)列?an?,a 是有限常數(shù)。若對(duì)任意??0N,對(duì)任意正整
數(shù)n?N,有 an?a??,則稱(chēng)數(shù)列?an?的極限是 a。
定義2.設(shè)有數(shù)列?an?,a 是有限常數(shù)。若對(duì)任意??0,對(duì)任意正整數(shù)
n?N,有 an?a??,則稱(chēng)數(shù)列?an?的極限是 a
定義1 是課本第46面的原文,定義2 是我講課時(shí)用的。這兩個(gè)定義的區(qū)別只在對(duì)N的要求:定義1 要求N是正整數(shù),而定義2只要求N是實(shí)數(shù),這是很低的要求,故定義2比定義1較便于應(yīng)用。
由于兩個(gè)定義對(duì)N的要求不同,易使人誤認(rèn)為兩個(gè)定義界定的對(duì)象不一樣,即:兩個(gè)定義不等價(jià)。實(shí)際上,這兩個(gè)定義完全是等價(jià)的!為說(shuō)明這兩個(gè)定義的等價(jià)性,我們需要兩個(gè)顯然的命題:
命題1.對(duì)于任意實(shí)數(shù)r均存在正整數(shù)n,使得n?r。
命題2.對(duì)于任意實(shí)數(shù)r,若正整數(shù)n,成立n?r,則對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)m均有n?m?r。要證明定義1與定義2等價(jià),我們只需證明這兩個(gè)定義界定的極限一樣即可。證明:設(shè)有數(shù)列?an?。
(1)若有限常數(shù)a是定義1 界定的極限,由于正整數(shù)N是實(shí)數(shù),因此,常數(shù)a也
是定義2 界定的極限。
(2)若有限常數(shù)a是定義2 界定的極限,由定義2,對(duì)任意??0,存在實(shí)數(shù)N,對(duì)任意正整數(shù)n?N,有 an?a??;對(duì)于實(shí)數(shù)N,必有正整數(shù)M使得M?N(命題1);當(dāng)n?M時(shí),必有n?N;故對(duì)于正整數(shù)M,當(dāng)n?M時(shí)必有an?a??。因此,常數(shù)a也是定義1 界定的極限。
說(shuō)明:(2)中的正整數(shù)M即是定義1 中的N。極限證明中關(guān)鍵是由 n?N 保證
an?a??,而不是N是否是正整數(shù)。
另,請(qǐng)大家注意課本p.55 的第1題,這個(gè)題對(duì)于幫助大家深入理解數(shù)列極限定義是有很大作用的。
第二篇:數(shù)列極限的定義
第十六教時(shí)
教材:數(shù)列極限的定義
目的:要求學(xué)生首先從實(shí)例(感性)去認(rèn)識(shí)數(shù)列極限的含義,體驗(yàn)什么叫無(wú)限地“趨
近”,然后初步學(xué)會(huì)用??N語(yǔ)言來(lái)說(shuō)明數(shù)列的極限,從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的“有限”到“無(wú)限”來(lái)一個(gè)飛躍。過(guò)程:
一、實(shí)例:1?當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),圓的內(nèi)接正n邊形周長(zhǎng)無(wú)限趨近于圓周長(zhǎng)
2?在雙曲線(xiàn)xy?1中,當(dāng)x???時(shí)曲線(xiàn)與x軸的距離無(wú)限趨近于0
二、提出課題:數(shù)列的極限考察下面的極限
1? 數(shù)列1:
110,111
102,103,?,10
n,?①“項(xiàng)”隨n的增大而減少②但都大于0
③當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),相應(yīng)的項(xiàng)1
n可以“無(wú)限趨近于”常數(shù)0
2? 數(shù)列2:123n
2,3,4,?,n?1,?
①“項(xiàng)”隨n的增大而增大②但都小于1
③當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),相應(yīng)的項(xiàng)n
n?1可以“無(wú)限趨近于”常數(shù)1
3? 數(shù)列3:?1,11(?1)n
2,?3,?,n,?①“項(xiàng)”的正負(fù)交錯(cuò)地排列,并且隨n的增大其絕對(duì)值減小
②當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),相應(yīng)的項(xiàng)(?1)n
n
可以“無(wú)限趨近于”常數(shù)
引導(dǎo)觀(guān)察并小結(jié),最后抽象出定義:
一般地,當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí),無(wú)窮數(shù)列?an?的項(xiàng)an無(wú)限地趨近于某
個(gè)數(shù)a(即an?a無(wú)限地接近于0),那么就說(shuō)數(shù)列?an?以a為極限,或者說(shuō)a是數(shù)列?an?的極限。(由于要“無(wú)限趨近于”,所以只有無(wú)窮數(shù)列才有極限)
數(shù)列1的極限為0,數(shù)列2的極限為1,數(shù)列3的極限為0
三、例一(課本上例一)略
注意:首先考察數(shù)列是遞增、遞減還是擺動(dòng)數(shù)列;再看這個(gè)數(shù)列當(dāng)n無(wú)限
增大時(shí)是否可以“無(wú)限趨近于”某一個(gè)數(shù)。
練習(xí):(共四個(gè)小題,見(jiàn)課本)
四、有些數(shù)列為必存在極限,例如:an?(?1)n?
或an?n都沒(méi)有極限。例二下列數(shù)列中哪些有極限?哪些沒(méi)有?如果有,極限是幾?
1.a(chǎn)1?(?1)n1?(?1)n
n?22.a(chǎn)n?2
3.a(chǎn)n?an(a?R)
n
4.a(chǎn)1)n?1?3?5?
n?(?n5.a(chǎn)n?5????? ?3??
解:1.?an?:0,1,0,1,0,1,??不存在極限
2.?a2,0,22
n?:3,0,5,0,??極限為0
3.?an?:a,a2,a3,??不存在極限
4.?a,?33
n?:32,14,??極限為0
5.?a????n
?5525n?:先考察???????,?,?? 無(wú)限趨近于0 ???3???:??
392781∴ 數(shù)列?an?的極限為5
五、關(guān)于“極限”的感性認(rèn)識(shí),只有無(wú)窮數(shù)列才有極限
六、作業(yè):習(xí)題1
補(bǔ)充:寫(xiě)出下列數(shù)列的極限:1? 0.9,0.99,0.999,??2? a1
n?
2n
3? ?
??
(?1)n?1?1?3456111n??4? 2,3,4,5,??5? an?1?2?4???2n
第三篇:數(shù)列極限的定義
Xupeisen110高中數(shù)學(xué)
教材:數(shù)列極限的定義(??N)
目的:要求學(xué)生掌握數(shù)列極限的??N定義,并能用它來(lái)說(shuō)明(證明)數(shù)列的極限。過(guò)程:
一、復(fù)習(xí):數(shù)列極限的感性概念
二、數(shù)列極限的??N定義
?
1n
3.小結(jié):對(duì)于預(yù)先給定的任意小正數(shù)?,都存在一個(gè)正整數(shù)N,使得只要n?N 就
有an?0
4.抽象出定義:設(shè)?an?是一個(gè)無(wú)窮數(shù)列,a是一個(gè)常數(shù),如果對(duì)于預(yù)先給定的任
意小的正數(shù)?,總存在正整數(shù)N,使得只要正整數(shù)n?N,就有an?a,那么就說(shuō)數(shù)列?an?以a為極限(或a是數(shù)列?an?的極限)
Xupeisen110高中數(shù)學(xué)
記為:liman?a 讀法:“?”趨向于“n??” n無(wú)限增大時(shí)
n??
注意:①關(guān)于?:?不是常量,是任意給定的小正數(shù)
②由于?的任意性,才體現(xiàn)了極限的本質(zhì)
③關(guān)于N:N是相對(duì)的,是相對(duì)于?確定的,我們只要證明其存在④an?a:形象地說(shuō)是“距離”,an可以比a大趨近于a,也可以比a小趨近于
例四1.lim
n??
證明
證明2:設(shè)?是任意給定的小正數(shù)
要使3n?1?3?? 只要
2n?1
12n?1
?
?
n?
54?
?
取N??5?1?當(dāng)n?N時(shí),3n?1?3??恒成立
?4?2?2n?12??
第四篇:數(shù)列極限的定義教案
第十七教時(shí)
教材:數(shù)列極限的定義(??N)
目的:要求學(xué)生掌握數(shù)列極限的??N定義,并能用它來(lái)說(shuō)明(證明)數(shù)列的極限。過(guò)程:
一、復(fù)習(xí):數(shù)列極限的感性概念
二、數(shù)列極限的??N定義
n
1.以數(shù)列??(?1)?n??為例
a111n:?1,?,???234 0 觀(guān)察:隨?n的增大,點(diǎn)越來(lái)越接近
2只要n充分大,表示點(diǎn)a(?1)n即:n與原點(diǎn)的距離an?0?n?0?1n可以充分小 進(jìn)而:就是可以小于預(yù)先給定的任意小的正數(shù) n
2.具體分析:(1)如果預(yù)先給定的正數(shù)是
1(?1)10,要使an?0?n?0?1n<110 只要n?10即可 即:數(shù)列??(?1)n??n??的第10項(xiàng)之后的所有項(xiàng)都滿(mǎn)足
(2)同理:如果預(yù)先給定的正數(shù)是1103,同理可得只要n?103即可(3)如果預(yù)先給定的正數(shù)是
110k(k?N*),同理可得:只要n?10k即可
3.小結(jié):對(duì)于預(yù)先給定的任意小正數(shù)?,都存在一個(gè)正整數(shù)N,使得只要n?N
就有an?0
4.抽象出定義:設(shè)?an?是一個(gè)無(wú)窮數(shù)列,a是一個(gè)常數(shù),如果對(duì)于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)?,總存在正整數(shù)N,使得只要正整數(shù)n?N,就有an?a,那么就說(shuō)數(shù)列?an?以a為極限(或a是數(shù)列?an?的極限)
記為:limn??an?a 讀法:“?”趨向于
“n??” n無(wú)限增大時(shí)
注意:①關(guān)于?:?不是常量,是任意給定的小正數(shù)
②由于?的任意性,才體現(xiàn)了極限的本質(zhì)
③關(guān)于N:N是相對(duì)的,是相對(duì)于?確定的,我們只要證明其存在
④an?a:形象地說(shuō)是“距離”,an可以比a大趨近于a,也可以比a小趨近于
a,也可以擺動(dòng)趨近于a
三、處理課本 例
二、例
三、例四
例三:結(jié)論:常數(shù)數(shù)列的極限是這個(gè)常數(shù)本身
例四 這是一個(gè)很重要的結(jié)論
四、用定義證明下列數(shù)列的極限:
1.lim2n?1n??2
2.lim3n?1n?1
n??2n?1?32 證明1:設(shè)?是任意給定的小正數(shù)
2n?12n?1?11n12n要使2n?? 即:2??
兩邊取對(duì)數(shù) n?log1?
取 N???1?2?log2???
????介紹取整函數(shù) 2n?12n當(dāng)n?N時(shí),2n?1??恒成立
∴l(xiāng)im?1n??2n?1
證明2:設(shè)?是任意給定的小正數(shù)
要使
3n?11?512n?1?32?? 只要
2n?1?5
n?4??2 取N???51?3n?13?4??2??
當(dāng)n?N時(shí),2n?1?2??恒成立
∴l(xiāng)im3n?1n??2n?1?32
第五篇:函數(shù)與數(shù)列極限的定義區(qū)別
導(dǎo)讀:極限是研究函數(shù)最基本的方法,它描述的是當(dāng)自變量變化時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì).要由數(shù)列極限的定義自然地過(guò)渡到函數(shù)極限的定義,關(guān)鍵在于搞清楚 數(shù)列也是函數(shù)這一點(diǎn).數(shù)列可看作一個(gè)定義域?yàn)樽匀粩?shù)集的函數(shù),其解析表達(dá)式為an=f(n).關(guān)鍵詞:極限,數(shù)列,函數(shù) 極限概念是數(shù)學(xué)分析中
最重要的概念,如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等都要用極限來(lái)定義,而且由極限出發(fā)產(chǎn)生的極限方法,是數(shù)學(xué)分析的最基本的方法.更好的理解極限思想,掌握極限理論,應(yīng)用極限方法是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵.本文將主要闡述極限的概念、性質(zhì)、方法等問(wèn)題.數(shù)列極限的ε-N定義是極限理論的重點(diǎn)與核心.數(shù)列極限1.定義
設(shè)有數(shù)列{an}與常數(shù)A,如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論它有多么?。偞嬖谡麛?shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),不等式|an-A|<ε 都成立,那么就稱(chēng)常數(shù)A是數(shù)列{ an }的極限,或者稱(chēng)數(shù)列{an}收斂于A(yíng),記作
讀作“當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí),an的極限等于A(yíng)或an趨于A(yíng)”。數(shù)列極限存在,稱(chēng)數(shù)列{an}為收斂數(shù)列,否則稱(chēng)為發(fā)散數(shù)列.上述定義的幾何意義是:對(duì)于任何一個(gè)以A為中心,ε為半徑的開(kāi)區(qū)間(A-ε,A+ε),總可以在數(shù)列{an}中找到某一項(xiàng)aN,使得其后的所有項(xiàng)都位于這個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi),而在該區(qū)間之外,最多只有{an}的有限項(xiàng)(N項(xiàng)).對(duì)于正整數(shù)N 應(yīng)該注意兩點(diǎn):其一,N是隨著ε而存在的,一般來(lái)講,N隨著ε的減小而增大,但N不是唯一存在的;其二,定義中只強(qiáng)調(diào)了正整數(shù)N的存在性,而并非找到最小的N,我們只關(guān)注第N項(xiàng)以后的各項(xiàng)均能保持與常數(shù)a的距離小于給定的任意小正數(shù)ε即可.2.性質(zhì) 收斂數(shù)列有如下性質(zhì):(1)極限唯一性;(2)若數(shù)列{an}收斂,則{an}為有界數(shù)列;
(3)若數(shù)列{an}有極限A,則其任一子列{ank}也有極限A;
(4)保號(hào)性,即若極限A>0,則存在正整數(shù)N1,n>N1時(shí)an>0;
(5)保序性,即若,且AN1時(shí)an (1)自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限:- [論文網(wǎng) ]函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(無(wú)論它多么?。偞嬖谡龜?shù)δ,使得對(duì)于滿(mǎn)足不等式的一切x,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿(mǎn)足不等式,則常數(shù)A為函數(shù)f(x)在x→x0時(shí)的極限,記作 上述定義的幾何意義是:將極限定義中的四段話(huà)用幾何語(yǔ)言表述為 1對(duì):任意以?xún)芍本€(xiàn)為邊界的帶形區(qū)域; 2總:總存在(以點(diǎn)x0位中心的)半徑; 3當(dāng)時(shí):當(dāng)點(diǎn)x位于以點(diǎn)x0位中心的δ空心鄰域內(nèi)時(shí); 4有:相應(yīng)的函數(shù)f(x)的圖像位于這個(gè)帶形區(qū)域之內(nèi).(2)自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限:設(shè)函數(shù)f(x)在|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義,如果任給ε>0,總存在著正數(shù)Χ,使得對(duì)于適合不等式|x|>Χ的一切x,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿(mǎn)足不等式|f(x)-A|<ε,則稱(chēng)常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限,記作 并稱(chēng)y=A為函數(shù)y=f(x)的圖形的水平漸近線(xiàn).2.性質(zhì)(1)極限唯一性;(2)局部有界性 若存在,則存在δ1>0,使得f(x)在去心鄰域內(nèi)是有界的,當(dāng)x趨于無(wú)窮大時(shí),亦成立; (3)局部保號(hào)性 若,則存在δ1>0,使得時(shí),f(x)>0,當(dāng)x趨于無(wú)窮大時(shí),亦成立; (4)局部保序性 若,且A0,使得時(shí)f(x) 利用定義證明極限下面介紹用“ε-δ(或N)”證明極限的一般步驟.1.極限值為有限的情形: (1)給定任意小正數(shù)ε; (2)解不等式或,找δ或N; (3)取定δ或N; (4)令或,由或成立,推出或.2.極限值為無(wú)窮大的情形(僅以極限為+∞與自變量為例): (1)給定任意大正數(shù)G;(2)解不等式;(3)取定;(4)令,由成立,推出.利用極限的定義證明問(wèn)題關(guān)鍵是步驟(2),應(yīng)該非常清楚從哪一種形式的不等式推起,最后得到一個(gè)什么形式的式子,由此即可找到所需要的(或N).極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則(1)數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則 如果數(shù)列{an},{bn}及{cn}滿(mǎn)足下列條件: 1存在N,n>N時(shí),bn≤an≤cn; 則數(shù)列{an}的極限存在,且.(2)函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則 (以x→x0和x→∞為例)如果 1(或|x|>M)時(shí),有 2(或),則(或) (3)一個(gè)重要不等式 時(shí),2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限 3.柯西(Cauchy)極限存在準(zhǔn)則 數(shù)列{an}收斂的充分必要條件是:對(duì)于任意給定的正數(shù)ε,存在著這樣的正整數(shù)N,使得當(dāng)m,n>N時(shí),有|xn-xm|<ε.數(shù)列極限與函數(shù)極限的聯(lián)系數(shù)列可看作一個(gè)定義域?yàn)樽匀粩?shù)集的函數(shù),當(dāng)自變量從小到大依次取自然數(shù)時(shí),便得到相應(yīng)的一系列函數(shù)值, 其解析表達(dá)式為an=f(n);函數(shù)是連續(xù)的,數(shù)列相當(dāng)于一個(gè)函數(shù)中的一些獨(dú)立的點(diǎn),表現(xiàn)在圖形上數(shù)列是無(wú)數(shù)的點(diǎn),而函數(shù)是一段曲線(xiàn);把數(shù)列中的n用x來(lái)替換后如果函數(shù)f(x)存在極限則數(shù)列也必定有極限,但是反之不成立。 數(shù)列{an}的極限一般都是指n的變化使得極限值的產(chǎn)生,而n是一個(gè)正整數(shù),函數(shù)的極限中自變量x可以趨向任何值,由此可知函數(shù)的極限更廣泛。 計(jì)算極限的常用方法1.利用洛必達(dá)法則 三這是最常用的方法,主要針對(duì)未定型極限: 注意與其他工具(無(wú)窮小代換、變量代換、不定式因子的分離、各種恒等變形、泰勒公式等)相結(jié)合.2.利用已知極限 ?? 3.利用泰勒公式 4.利用迫斂性 5.利用定積分求和式極限 6.利用數(shù)列的遞推關(guān)系計(jì)算極限 7.利用級(jí)數(shù)的收斂性計(jì)算極限 8.利用積分中值定理計(jì)算極限 計(jì)算數(shù)列和函數(shù)極限的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用各種計(jì)算極限的方法,并不斷總結(jié),才能較好地掌握計(jì)算極限的方法.極限概念是數(shù)學(xué)分析中最重要的概念,如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等都要用極限來(lái)定義,而且由極限出- [論文網(wǎng) ]發(fā)產(chǎn)生的極限方法,是數(shù)學(xué)分析的最基本的方法.更好的理解極限思想,掌握極限理論,應(yīng)用極限方法是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵.本文將主要闡述極限的概念、性質(zhì)、方法等問(wèn)題.數(shù)列極限的ε-N定義是極限理論的重點(diǎn)與核心.數(shù)列極限1.定義 設(shè)有數(shù)列{an}與常數(shù)A,如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論它有多么小),總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),不等式|an-A|<ε 都成立,那么就稱(chēng)常數(shù)A是數(shù)列{ an }的極限,或者稱(chēng)數(shù)列{an}收斂于A(yíng),記作 讀作“當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí),an的極限等于A(yíng)或an趨于A(yíng)”。大全,函數(shù)。大全,函數(shù)。數(shù)列極限存在,稱(chēng)數(shù)列{an}為收斂數(shù)列,否則稱(chēng)為發(fā)散數(shù)列.上述定義的幾何意義是:對(duì)于任何一個(gè)以A為中心,ε為半徑的開(kāi)區(qū)間(A-ε,A+ε),總可以在數(shù)列{an}中找到某一項(xiàng)aN,使得其后的所有項(xiàng)都位于這個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi),而在該區(qū)間之外,最多只有{an}的有限項(xiàng)(N項(xiàng)).對(duì)于正整數(shù)N 應(yīng)該注意兩點(diǎn):其一,N是隨著ε而存在的,一般來(lái)講,N隨著ε的減小而增大,但N不是唯一存在的;其二,定義中只強(qiáng)調(diào)了正整數(shù)N的存在性,而并非找到最小的N,我們只關(guān)注第N項(xiàng)以后的各項(xiàng)均能保持與常數(shù)a的距離小于給定的任意小正數(shù)ε即可.2.性質(zhì) 收斂數(shù)列有如下性質(zhì): (1)極限唯一性; (2)若數(shù)列{an}收斂,則{an}為有界數(shù)列; (3)若數(shù)列{an}有極限A,則其任一子列{ank}也有極限A; (4)保號(hào)性,即若極限A>0,則存在正整數(shù)N1,n>N1時(shí)an>0; (5)保序性,即若,且AN1時(shí)an (1)自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限:函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定,如果對(duì)于任意給定的正數(shù)(無(wú)論它多么?。偞嬖谡龜?shù),使得對(duì)于滿(mǎn)足不等式的一切x,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿(mǎn)足不等式,則常數(shù)A為函數(shù)f(x)在xx0時(shí)的極限,記作 上述定義的幾何意義是:將極限定義中的四段話(huà)用幾何語(yǔ)言表述為 1對(duì):任意以?xún)芍本€(xiàn)為邊界的帶形區(qū)域; 2總: 總存在(以點(diǎn)x0位中心的)半徑; 3當(dāng)時(shí):當(dāng)點(diǎn)x位于以點(diǎn)x0位中心的δ空心鄰域內(nèi)時(shí); 4有:相應(yīng)的函數(shù)f(x)的圖像位于這個(gè)帶形區(qū)域之內(nèi).(2)自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限:設(shè)函數(shù)f(x)在|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義,如果任給ε>0,總存在著正數(shù)Χ,使得對(duì)于適合不等式|x|>Χ的一切x,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿(mǎn)足不等式|f(x)-A|<ε,則稱(chēng)常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限,記作 并稱(chēng)y=A為函數(shù)y=f(x)的圖形的水平漸近線(xiàn).2.性質(zhì) (1)極限唯一性; (2)局部有界性 若存在,則存在δ1>0,使得f(x)在去心鄰域內(nèi)是有界的,當(dāng)x趨于無(wú)窮大時(shí),亦成立; (3)局部保號(hào)性 若,則存在δ1>0,使得時(shí),f(x)>0,當(dāng)x趨于無(wú)窮大時(shí),亦成立; (4)局部保序性 若,且A0,使得時(shí)f(x) 利用定義證明極限下面介紹用“ε-δ(或N)”證明極限的一般步驟.1.極限值為有限的情形: (1)給定任意小正數(shù)ε; (2)解不等式或,找δ或N; (3)取定δ或N; (4)令或,由或成立,推出或.2.極限值為無(wú)窮大的情形(僅以極限為+∞與自變量為例): (1)給定任意大正數(shù)G; (2)解不等式; (3)取定δ; (4)令,由成立,推出.利用極限的定義證明問(wèn)題關(guān)鍵是步驟(2),應(yīng)該非常清楚從哪一種形式的不等式推起,最后得到一個(gè)什么形式的式子,由此即可找到所需要的δ(或N).極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則 (1)- [論文網(wǎng) ]數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則 如果數(shù)列{an},{bn}及{cn}滿(mǎn)足下列條件: 1存在N,n>N時(shí),bn≤an≤cn; 2 則數(shù)列{an}的極限存在,且.(2)函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則 (以x→x0和x→∞為例)如果 1(或|x|>M)時(shí),有 2(或),則(或) (3)一個(gè)重要不等式 時(shí),2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限 3.柯西(Cauchy)極限存在準(zhǔn)則 數(shù)列{an}收斂的充分必要條件是:對(duì)于任意給定的正數(shù)ε,存在著這樣的正整數(shù)N,使得當(dāng)m,n>N時(shí),有|xn-xm|<ε.數(shù)列極限與函數(shù)極限的聯(lián)系數(shù)列可看作一個(gè)定義域?yàn)樽匀粩?shù)集的函數(shù),當(dāng)自變量從小到大依次取自然數(shù)時(shí),便得到相應(yīng)的一系列函數(shù)值, 其解析表達(dá)式為an=f(n);函數(shù)是連續(xù)的,數(shù)列相當(dāng)于一個(gè)函數(shù)中的一些獨(dú)立的點(diǎn),表現(xiàn)在圖形上數(shù)列是無(wú)數(shù)的點(diǎn),而函數(shù)是一段曲線(xiàn);把數(shù)列中的n用x來(lái)替換后如果函數(shù)f(x)存在極限則數(shù)列也必定有極限,但是反之不成立。大全,函數(shù)。 數(shù)列{an}的極限一般都是指n的變化使得極限值的產(chǎn)生,而n是一個(gè)正整數(shù),函數(shù)的極限中自變量x可以趨向任何值,由此可知函數(shù)的極限更廣泛。 計(jì)算極限的常用方法1.利用洛必達(dá)法則 三這是最常用的方法,主要針對(duì)未定型極限: 注意與其他工具(無(wú)窮小代換、變量代換、不定式因子的分離、各種恒等變形、泰勒公式等)相結(jié)合.2.利用已知極限 ?? 3.利用泰勒公式 4.利用迫斂性 5.利用定積分求和式極限 6.利用數(shù)列的遞推關(guān)系計(jì)算極限 7.利用級(jí)數(shù)的收斂性計(jì)算極限 8.利用積分中值定理計(jì)算極限 計(jì)算數(shù)列和函數(shù)極限的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用各種計(jì)算極限的方法,并不斷總結(jié),才能較好地掌握計(jì)算極限的方法.