第一篇：關(guān)于數(shù)列極限的兩個定義

關(guān)于數(shù)列極限的兩個定義

定義1．設(shè)有數(shù)列?an?，a 是有限常數(shù)。若對任意??0N，對任意正整

數(shù)n?N，有 an?a??，則稱數(shù)列?an?的極限是 a。

定義2．設(shè)有數(shù)列?an?，a 是有限常數(shù)。若對任意??0，對任意正整數(shù)

n?N，有 an?a??，則稱數(shù)列?an?的極限是 a

定義1 是課本第46面的原文，定義2 是我講課時用的。這兩個定義的區(qū)別只在對N的要求：定義1 要求N是正整數(shù)，而定義2只要求N是實數(shù)，這是很低的要求，故定義2比定義1較便于應(yīng)用。

由于兩個定義對N的要求不同，易使人誤認(rèn)為兩個定義界定的對象不一樣，即：兩個定義不等價。實際上，這兩個定義完全是等價的！為說明這兩個定義的等價性，我們需要兩個顯然的命題：

命題1．對于任意實數(shù)r均存在正整數(shù)n，使得n?r。

命題2．對于任意實數(shù)r，若正整數(shù)n，成立n?r，則對于每一個正整數(shù)m均有n?m?r。要證明定義1與定義2等價，我們只需證明這兩個定義界定的極限一樣即可。證明：設(shè)有數(shù)列?an?。

（1）若有限常數(shù)a是定義1 界定的極限，由于正整數(shù)N是實數(shù)，因此，常數(shù)a也

是定義2 界定的極限。

（2）若有限常數(shù)a是定義2 界定的極限，由定義2，對任意??0，存在實數(shù)N，對任意正整數(shù)n?N，有 an?a??；對于實數(shù)N，必有正整數(shù)M使得M?N（命題1）；當(dāng)n?M時，必有n?N；故對于正整數(shù)M，當(dāng)n?M時必有an?a??。因此，常數(shù)a也是定義1 界定的極限。

說明：（2）中的正整數(shù)M即是定義1 中的N。極限證明中關(guān)鍵是由 n?N 保證

an?a??，而不是N是否是正整數(shù)。

另，請大家注意課本p.55 的第1題，這個題對于幫助大家深入理解數(shù)列極限定義是有很大作用的。

第二篇：數(shù)列極限的定義

第十六教時

教材：數(shù)列極限的定義

目的：要求學(xué)生首先從實例（感性）去認(rèn)識數(shù)列極限的含義，體驗什么叫無限地“趨

近”，然后初步學(xué)會用??N語言來說明數(shù)列的極限，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的“有限”到“無限”來一個飛躍。過程：

一、實例：1?當(dāng)n無限增大時，圓的內(nèi)接正n邊形周長無限趨近于圓周長

2?在雙曲線xy?1中，當(dāng)x???時曲線與x軸的距離無限趨近于0

二、提出課題：數(shù)列的極限考察下面的極限

1? 數(shù)列1：

110,111

102,103,?,10

n,?①“項”隨n的增大而減少②但都大于0

③當(dāng)n無限增大時，相應(yīng)的項1

n可以“無限趨近于”常數(shù)0

2? 數(shù)列2：123n

2,3,4,?,n?1,?

①“項”隨n的增大而增大②但都小于1

③當(dāng)n無限增大時，相應(yīng)的項n

n?1可以“無限趨近于”常數(shù)1

3? 數(shù)列3：?1,11(?1)n

2,?3,?,n,?①“項”的正負(fù)交錯地排列，并且隨n的增大其絕對值減小

②當(dāng)n無限增大時，相應(yīng)的項(?1)n

n

可以“無限趨近于”常數(shù)

引導(dǎo)觀察并小結(jié)，最后抽象出定義：

一般地，當(dāng)項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列?an?的項an無限地趨近于某

個數(shù)a（即an?a無限地接近于0），那么就說數(shù)列?an?以a為極限，或者說a是數(shù)列?an?的極限。（由于要“無限趨近于”，所以只有無窮數(shù)列才有極限）

數(shù)列1的極限為0，數(shù)列2的極限為1，數(shù)列3的極限為0

三、例一（課本上例一）略

注意：首先考察數(shù)列是遞增、遞減還是擺動數(shù)列；再看這個數(shù)列當(dāng)n無限

增大時是否可以“無限趨近于”某一個數(shù)。

練習(xí)：（共四個小題，見課本）

四、有些數(shù)列為必存在極限，例如：an?(?1)n?

或an?n都沒有極限。例二下列數(shù)列中哪些有極限？哪些沒有？如果有，極限是幾？

1．a(chǎn)1?(?1)n1?(?1)n

n?22．a(chǎn)n?2

3．a(chǎn)n?an(a?R)

n

4．a(chǎn)1)n?1?3?5?

n?(?n5．a(chǎn)n?5????? ?3??

解：1．?an?：0,1,0,1,0,1,??不存在極限

2．?a2,0,22

n?：3,0,5,0,??極限為0

3．?an?：a,a2,a3,??不存在極限

4．?a,?33

n?：32,14,??極限為0

5．?a????n

?5525n?：先考察???????，?，?? 無限趨近于0 ???3???：??

392781∴ 數(shù)列?an?的極限為5

五、關(guān)于“極限”的感性認(rèn)識，只有無窮數(shù)列才有極限

六、作業(yè)：習(xí)題1

補充：寫出下列數(shù)列的極限：1? 0.9,0.99,0.999,??2? a1

n?

2n

3? ?

??

(?1)n?1?1?3456111n??4? 2,3,4,5,??5? an?1?2?4???2n

第三篇：數(shù)列極限的定義

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

教材：數(shù)列極限的定義（??N）

目的：要求學(xué)生掌握數(shù)列極限的??N定義，并能用它來說明（證明）數(shù)列的極限。過程：

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的感性概念

二、數(shù)列極限的??N定義

?

1n

3．小結(jié)：對于預(yù)先給定的任意小正數(shù)?，都存在一個正整數(shù)N，使得只要n?N 就

有an?0

4．抽象出定義：設(shè)?an?是一個無窮數(shù)列，a是一個常數(shù)，如果對于預(yù)先給定的任

意小的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)n?N，就有an?a

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

記為：liman?a 讀法：“?”趨向于“n??” n無限增大時

n??

注意：①關(guān)于?：?不是常量，是任意給定的小正數(shù)

②由于?的任意性，才體現(xiàn)了極限的本質(zhì)

③關(guān)于N：N是相對的，是相對于?確定的，我們只要證明其存在④an?a：形象地說是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于

例四1．lim

n??

證明

證明2：設(shè)?是任意給定的小正數(shù)

要使3n?1?3?? 只要

2n?1

12n?1

?

?

n?

54?

?

取N??5?1?當(dāng)n?N時，3n?1?3??恒成立

?4?2?2n?12??

第四篇：數(shù)列極限的定義教案

第十七教時

教材：數(shù)列極限的定義（??N）

目的：要求學(xué)生掌握數(shù)列極限的??N定義，并能用它來說明（證明）數(shù)列的極限。過程：

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的感性概念

二、數(shù)列極限的??N定義

n

1．以數(shù)列??(?1)?n??為例

a111n:?1，?，???234 0 觀察：隨?n的增大，點越來越接近

2只要n充分大，表示點a(?1)n即：n與原點的距離an?0?n?0?1n可以充分小 進而：就是可以小于預(yù)先給定的任意小的正數(shù) n

2．具體分析：(1)如果預(yù)先給定的正數(shù)是

1(?1)10，要使an?0?n?0?1n<110 只要n?10即可 即：數(shù)列??(?1)n??n??的第10項之后的所有項都滿足

(2)同理：如果預(yù)先給定的正數(shù)是1103，同理可得只要n?103即可(3)如果預(yù)先給定的正數(shù)是

110k(k?N*)，同理可得：只要n?10k即可

3．小結(jié)：對于預(yù)先給定的任意小正數(shù)?，都存在一個正整數(shù)N，使得只要n?N

就有an?0

4．抽象出定義：設(shè)?an?是一個無窮數(shù)列，a是一個常數(shù)，如果對于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)n?N，就有an?a

記為：limn??an?a 讀法：“?”趨向于

“n??” n無限增大時

注意：①關(guān)于?：?不是常量，是任意給定的小正數(shù)

②由于?的任意性，才體現(xiàn)了極限的本質(zhì)

③關(guān)于N：N是相對的，是相對于?確定的，我們只要證明其存在

④an?a：形象地說是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于

a，也可以擺動趨近于a

三、處理課本 例

二、例

三、例四

例三：結(jié)論：常數(shù)數(shù)列的極限是這個常數(shù)本身

例四 這是一個很重要的結(jié)論

四、用定義證明下列數(shù)列的極限：

1．lim2n?1n??2

2．lim3n?1n?1

n??2n?1?32 證明1：設(shè)?是任意給定的小正數(shù)

2n?12n?1?11n12n要使2n?? 即：2??

兩邊取對數(shù) n?log1?

取 N???1?2?log2???

????介紹取整函數(shù) 2n?12n當(dāng)n?N時，2n?1??恒成立

∴l(xiāng)im?1n??2n?1

證明2：設(shè)?是任意給定的小正數(shù)

要使

3n?11?512n?1?32?? 只要

2n?1?5

n?4??2 取N???51?3n?13?4??2??

當(dāng)n?N時，2n?1?2??恒成立

∴l(xiāng)im3n?1n??2n?1?32

第五篇：函數(shù)與數(shù)列極限的定義區(qū)別

導(dǎo)讀：極限是研究函數(shù)最基本的方法，它描述的是當(dāng)自變量變化時函數(shù)的變化趨勢.要由數(shù)列極限的定義自然地過渡到函數(shù)極限的定義,關(guān)鍵在于搞清楚 數(shù)列也是函數(shù)這一點.數(shù)列可看作一個定義域為自然數(shù)集的函數(shù),其解析表達(dá)式為an=f(n).關(guān)鍵詞：極限，數(shù)列，函數(shù) 極限概念是數(shù)學(xué)分析中

最重要的概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等都要用極限來定義，而且由極限出發(fā)產(chǎn)生的極限方法，是數(shù)學(xué)分析的最基本的方法.更好的理解極限思想，掌握極限理論，應(yīng)用極限方法是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵.本文將主要闡述極限的概念、性質(zhì)、方法等問題.數(shù)列極限的ε-N定義是極限理論的重點與核心.數(shù)列極限1．定義

設(shè)有數(shù)列{an}與常數(shù)A，如果對于任意給定的正數(shù)ε（不論它有多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就稱常數(shù)A是數(shù)列{ an }的極限，或者稱數(shù)列{an}收斂于A，記作

讀作“當(dāng)n趨于無窮大時，an的極限等于A或an趨于A”。數(shù)列極限存在，稱數(shù)列{an}為收斂數(shù)列，否則稱為發(fā)散數(shù)列.上述定義的幾何意義是：對于任何一個以A為中心，ε為半徑的開區(qū)間（A-ε,A+ε），總可以在數(shù)列{an}中找到某一項aN，使得其后的所有項都位于這個開區(qū)間內(nèi)，而在該區(qū)間之外，最多只有{an}的有限項（N項）.對于正整數(shù)N 應(yīng)該注意兩點：其一，N是隨著ε而存在的，一般來講，N隨著ε的減小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定義中只強調(diào)了正整數(shù)N的存在性，而并非找到最小的N，我們只關(guān)注第N項以后的各項均能保持與常數(shù)a的距離小于給定的任意小正數(shù)ε即可.2．性質(zhì) 收斂數(shù)列有如下性質(zhì)：（1）極限唯一性；（2）若數(shù)列{an}收斂，則{an}為有界數(shù)列；

（3）若數(shù)列{an}有極限A，則其任一子列{ank}也有極限A；

（4）保號性，即若極限A>0，則存在正整數(shù)N1，n>N1時an>0；

（5）保序性，即若，且AN1時an

（1）自變量趨于有限值時函數(shù)的極限：-

[論文網(wǎng) ]函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。?，總存在正數(shù)δ，使得對于滿足不等式的一切x，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式，則常數(shù)A為函數(shù)f(x)在x→x0時的極限，記作

上述定義的幾何意義是：將極限定義中的四段話用幾何語言表述為

1對：任意以兩直線為邊界的帶形區(qū)域；

2總：總存在（以點x0位中心的）半徑；

3當(dāng)時：當(dāng)點x位于以點x0位中心的δ空心鄰域內(nèi)時；

4有：相應(yīng)的函數(shù)f(x)的圖像位于這個帶形區(qū)域之內(nèi).（2）自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限：設(shè)函數(shù)f(x)在|x|大于某一正數(shù)時有定義，如果任給ε>0，總存在著正數(shù)Χ，使得對于適合不等式|x|>Χ的一切x，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<ε，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時的極限，記作

并稱y=A為函數(shù)y=f(x)的圖形的水平漸近線.2．性質(zhì)（1）極限唯一性；（2）局部有界性

若存在，則存在δ1>0，使得f(x)在去心鄰域內(nèi)是有界的，當(dāng)x趨于無窮大時，亦成立；

（3）局部保號性

若，則存在δ1>0，使得時，f(x)>0，當(dāng)x趨于無窮大時，亦成立；

（4）局部保序性

若，且A0，使得時f(x)

利用定義證明極限下面介紹用“ε-δ（或N）”證明極限的一般步驟.1.極限值為有限的情形：

（1）給定任意小正數(shù)ε；

（2）解不等式或，找δ或N；

（3）取定δ或N；

（4）令或，由或成立，推出或.2.極限值為無窮大的情形（僅以極限為+∞與自變量為例）：

（1）給定任意大正數(shù)G；（2）解不等式；（3）取定；（4）令，由成立，推出.利用極限的定義證明問題關(guān)鍵是步驟（2），應(yīng)該非常清楚從哪一種形式的不等式推起，最后得到一個什么形式的式子，由此即可找到所需要的（或N）.極限存在準(zhǔn)則1．夾逼準(zhǔn)則（1）數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則

如果數(shù)列{an}，{bn}及{cn}滿足下列條件：

1存在N，n>N時，bn≤an≤cn；

則數(shù)列{an}的極限存在，且.（2）函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則

（以x→x0和x→∞為例）如果

1（或|x|>M）時，有

2（或），則（或）

（3）一個重要不等式

時，2．單調(diào)有界數(shù)列必有極限

3．柯西（Cauchy）極限存在準(zhǔn)則

數(shù)列{an}收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數(shù)ε，存在著這樣的正整數(shù)N，使得當(dāng)m，n>N時，有|xn-xm|<ε.數(shù)列極限與函數(shù)極限的聯(lián)系數(shù)列可看作一個定義域為自然數(shù)集的函數(shù),當(dāng)自變量從小到大依次取自然數(shù)時,便得到相應(yīng)的一系列函數(shù)值, 其解析表達(dá)式為an=f(n)；函數(shù)是連續(xù)的,數(shù)列相當(dāng)于一個函數(shù)中的一些獨立的點，表現(xiàn)在圖形上數(shù)列是無數(shù)的點，而函數(shù)是一段曲線；把數(shù)列中的n用x來替換后如果函數(shù)f(x)存在極限則數(shù)列也必定有極限，但是反之不成立。

數(shù)列{an}的極限一般都是指n的變化使得極限值的產(chǎn)生，而n是一個正整數(shù)，函數(shù)的極限中自變量x可以趨向任何值，由此可知函數(shù)的極限更廣泛。

計算極限的常用方法1.利用洛必達(dá)法則

三這是最常用的方法，主要針對未定型極限：

注意與其他工具（無窮小代換、變量代換、不定式因子的分離、各種恒等變形、泰勒公式等）相結(jié)合.2.利用已知極限

??

3.利用泰勒公式

4.利用迫斂性

5.利用定積分求和式極限

6.利用數(shù)列的遞推關(guān)系計算極限

7.利用級數(shù)的收斂性計算極限

8.利用積分中值定理計算極限

計算數(shù)列和函數(shù)極限的關(guān)鍵是綜合運用各種計算極限的方法，并不斷總結(jié)，才能較好地掌握計算極限的方法.極限概念是數(shù)學(xué)分析中最重要的概念，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等都要用極限來定義，而且由極限出-

[論文網(wǎng) ]發(fā)產(chǎn)生的極限方法，是數(shù)學(xué)分析的最基本的方法.更好的理解極限思想，掌握極限理論，應(yīng)用極限方法是繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的關(guān)鍵.本文將主要闡述極限的概念、性質(zhì)、方法等問題.數(shù)列極限的ε-N定義是極限理論的重點與核心.數(shù)列極限1．定義

設(shè)有數(shù)列{an}與常數(shù)A，如果對于任意給定的正數(shù)ε（不論它有多么小），總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就稱常數(shù)A是數(shù)列{ an }的極限，或者稱數(shù)列{an}收斂于A，記作

讀作“當(dāng)n趨于無窮大時，an的極限等于A或an趨于A”。大全，函數(shù)。大全，函數(shù)。數(shù)列極限存在，稱數(shù)列{an}為收斂數(shù)列，否則稱為發(fā)散數(shù)列.上述定義的幾何意義是：對于任何一個以A為中心，ε為半徑的開區(qū)間（A-ε,A+ε），總可以在數(shù)列{an}中找到某一項aN，使得其后的所有項都位于這個開區(qū)間內(nèi)，而在該區(qū)間之外，最多只有{an}的有限項（N項）.對于正整數(shù)N 應(yīng)該注意兩點：其一，N是隨著ε而存在的，一般來講，N隨著ε的減小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定義中只強調(diào)了正整數(shù)N的存在性，而并非找到最小的N，我們只關(guān)注第N項以后的各項均能保持與常數(shù)a的距離小于給定的任意小正數(shù)ε即可.2．性質(zhì)

收斂數(shù)列有如下性質(zhì)：

（1）極限唯一性；

（2）若數(shù)列{an}收斂，則{an}為有界數(shù)列；

（3）若數(shù)列{an}有極限A，則其任一子列{ank}也有極限A；

（4）保號性，即若極限A>0，則存在正整數(shù)N1，n>N1時an>0；

（5）保序性，即若，且AN1時an

（1）自變量趨于有限值時函數(shù)的極限：函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定，如果對于任意給定的正數(shù)（無論它多么?。偞嬖谡龜?shù)，使得對于滿足不等式的一切x，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式，則常數(shù)A為函數(shù)f(x)在xx0時的極限，記作 上述定義的幾何意義是：將極限定義中的四段話用幾何語言表述為 1對：任意以兩直線為邊界的帶形區(qū)域； 2總：

總存在（以點x0位中心的）半徑；

3當(dāng)時：當(dāng)點x位于以點x0位中心的δ空心鄰域內(nèi)時；

4有：相應(yīng)的函數(shù)f(x)的圖像位于這個帶形區(qū)域之內(nèi).（2）自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限：設(shè)函數(shù)f(x)在|x|大于某一正數(shù)時有定義，如果任給ε>0，總存在著正數(shù)Χ，使得對于適合不等式|x|>Χ的一切x，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<ε，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時的極限，記作

并稱y=A為函數(shù)y=f(x)的圖形的水平漸近線.2．性質(zhì)

（1）極限唯一性；

（2）局部有界性

若存在，則存在δ1>0，使得f(x)在去心鄰域內(nèi)是有界的，當(dāng)x趨于無窮大時，亦成立；

（3）局部保號性

若，則存在δ1>0，使得時，f(x)>0，當(dāng)x趨于無窮大時，亦成立；

（4）局部保序性

若，且A0，使得時f(x)

利用定義證明極限下面介紹用“ε-δ（或N）”證明極限的一般步驟.1.極限值為有限的情形：

（1）給定任意小正數(shù)ε；

（2）解不等式或，找δ或N；

（3）取定δ或N；

（4）令或，由或成立，推出或.2.極限值為無窮大的情形（僅以極限為+∞與自變量為例）：

（1）給定任意大正數(shù)G；

（2）解不等式；

（3）取定δ；

（4）令，由成立，推出.利用極限的定義證明問題關(guān)鍵是步驟（2），應(yīng)該非常清楚從哪一種形式的不等式推起，最后得到一個什么形式的式子，由此即可找到所需要的δ（或N）.極限存在準(zhǔn)則1．夾逼準(zhǔn)則

（1）-

[論文網(wǎng) ]數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則

如果數(shù)列{an}，{bn}及{cn}滿足下列條件： 1存在N，n>N時，bn≤an≤cn； 2 則數(shù)列{an}的極限存在，且.（2）函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則

（以x→x0和x→∞為例）如果

1（或|x|>M）時，有

2（或），則（或）

（3）一個重要不等式

時，2．單調(diào)有界數(shù)列必有極限

3．柯西（Cauchy）極限存在準(zhǔn)則

數(shù)列{an}收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數(shù)ε，存在著這樣的正整數(shù)N，使得當(dāng)m，n>N時，有|xn-xm|<ε.數(shù)列極限與函數(shù)極限的聯(lián)系數(shù)列可看作一個定義域為自然數(shù)集的函數(shù),當(dāng)自變量從小到大依次取自然數(shù)時,便得到相應(yīng)的一系列函數(shù)值, 其解析表達(dá)式為an=f(n)；函數(shù)是連續(xù)的,數(shù)列相當(dāng)于一個函數(shù)中的一些獨立的點，表現(xiàn)在圖形上數(shù)列是無數(shù)的點，而函數(shù)是一段曲線；把數(shù)列中的n用x來替換后如果函數(shù)f(x)存在極限則數(shù)列也必定有極限，但是反之不成立。大全，函數(shù)。

數(shù)列{an}的極限一般都是指n的變化使得極限值的產(chǎn)生，而n是一個正整數(shù)，函數(shù)的極限中自變量x可以趨向任何值，由此可知函數(shù)的極限更廣泛。

計算極限的常用方法1.利用洛必達(dá)法則

三這是最常用的方法，主要針對未定型極限：

注意與其他工具（無窮小代換、變量代換、不定式因子的分離、各種恒等變形、泰勒公式等）相結(jié)合.2.利用已知極限

??

3.利用泰勒公式

4.利用迫斂性

5.利用定積分求和式極限

6.利用數(shù)列的遞推關(guān)系計算極限

7.利用級數(shù)的收斂性計算極限

8.利用積分中值定理計算極限

計算數(shù)列和函數(shù)極限的關(guān)鍵是綜合運用各種計算極限的方法，并不斷總結(jié)，才能較好地掌握計算極限的方法.