第一篇：2011-2012下 概率統(tǒng)計B

武漢大學2011--2012第二學期概率統(tǒng)計B試題

（54學時A）

學院____________________專業(yè)______________學號____________姓名________________

一、（10分）若事件B和A獨立，而且P(A)?0.5,P(B)?0.6

求 ⑴P(A?B)；⑵P((A?B)?A)。

二、（10分）口袋里有4只紅球，6只黑球，不放回摸球二次，一次一只，如果第二次摸到黑球，求第一次摸到黑球的概率。

三、（10分）隨機變量X 服從二項分布B(5,0.5)；

⑴求 關于y的方程y2?2Xy?1?0有實根的概率；

⑵對X進行2次獨立觀測，以Y表示上方程有實根的的次數(shù)，寫出Y的分布函數(shù)。

四、（12分）若隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

?6x0?x?1,x?y?1 ； f(x,y)??其他0?

⑴求隨機變量X和Y的邊緣概率密度fx(x);fy(y)；

⑵X和Y是否獨立 ？（3）求Z?X?Y的概率密度。

W?X?Y,Z?X?Y。

五、（12分）隨機變量X,Y 獨立而且服從相同的正態(tài)分布N(0,1)；

（1）求Cov(W,Z),說明W,Z是否獨立。

1(W2?Z2)服從?2分布。并計算E(?),D(?)k

六、（10分）若一批元件優(yōu)等品率為0.8，取此元件10000個，試分別用切比雪夫不等式和(2)選取適當?shù)膮?shù)k，使??中心極限定理估計優(yōu)等品數(shù)介于7800和8200之間的概率。

七、（12分）若隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，X1,X2KXn是其樣本，X?1(X1?X2?...?Xn)，Yi?Xi?X,i?1,2...n n

求（1）Yi?Xi?X,i?1,2...n的方差D(Yi)。（2）Cov(Y1,Y2)。

八、（12分）若隨機變量X 服從區(qū)間(?,1)的均勻分布，X1,X2KXn是其樣本，求

?1；?2；并判別他們的無偏性。（1）參數(shù)?的矩估計?（2）參數(shù)?的極大似然估計?

九、（12分）某班64位同學，概率論測驗的平均分數(shù)為86.2，標準差4.8，若認為他們成績服從正態(tài)分布，平均成績是否顯著大于85？（??0.0）

（t0.05(63)?z0.05?1.65,t0.025(63)?z0.025?1.96）

第二篇：概率統(tǒng)計復習資料

廣東海洋大學寸金學院 2012—2013 學年第 二 學期

概率統(tǒng)計復習資料：

第一章：事件的關系與運算，概率的性質，古典概型，條件概率的概念與性質，乘法公式，事件的獨立性。

例題：1.1、1.3、1.4；習題一：4、6、13、23、30、33等。

第二章：離散型隨機變量的分布律，兩點分布，二項分布，泊松分布，分布函數(shù)的定義與性質，密度函數(shù)，均勻分布，指數(shù)分布，正態(tài)分布。

例題：2.10、2.13；習題二：4、15、21、22等。

第三章：離散型隨機變量的聯(lián)合分布律、邊緣分布律、條件分布與獨立性，連續(xù)

型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)。

例題：3.1、3.6、3.9；習題三：13等。

第四章：期望、方差的性質與計算，協(xié)方差與相關系數(shù)的性質。

例題：4.12、2.13；習題四：1、5、7等。

相互獨立的隨機變量X與Y具有的性質，例如：D?X?Y??D?X??D?Y?

E?X?Y??E?X??E?Y?，E?XY??E?X?E?Y?

第五章：切比雪夫不等式。

設隨機變量X的均值EX??、方差DX??2，由切比雪夫不等式知P(X???3?)?

第六章：總體、樣本、簡單隨機抽樣的概念，常用的統(tǒng)計量，單正態(tài)總體的抽樣分布。

第七章：矩估計、極大使然估計的計算，無偏性、區(qū)間估計的定義。例題：7.1、7.2；習題七：

2、3等。

第八章：單正態(tài)總體期望的假設檢驗

例題：8.2、8.3；習題八：2等。

試題類型：

一、單項選擇題： 每小題2分，共20分；

二、填空題：每小題3分，共15分；

三、計算題：5個小題，共57分 ；

四、證明題共8分。

第三篇：統(tǒng)計與概率總結

“統(tǒng)計與概率”課題實施總結

一年多來，我校課題組全體成員解放思想，勇于創(chuàng)新，以推進素質教育為出發(fā)點，認真學習相關理論，圍繞《統(tǒng)計與概率》課堂教學改革和課題的實驗工作，認真分析課堂案例，調(diào)查研究，收集材料，努力探究《統(tǒng)計與概率》課堂教學的有效模式，對照課題實驗方案，順利地完成了各項教育教學任務和課題研究的階段工作。下面就這近一年來的課題研究工作總結如下。

一、做好課題研究的準備工作。

1、在課題實施之前，我們積極主動的收集和學習相關知識和理論，我們深入課堂，了解、分析我?！督y(tǒng)計與概率的教學現(xiàn)狀，找出教學中存在的各種問題，確定本課題的研究內(nèi)容。

（1）關于小學數(shù)學統(tǒng)計與概率部分教學現(xiàn)狀、存在問題的調(diào)查研究；

（2）對于人教版小學數(shù)學教材關于統(tǒng)計與概率部分內(nèi)容的分布、與原有教材對比變化、教學難點及其編寫特點的分析研究；

（3）在統(tǒng)計知識教學中，強化學生數(shù)據(jù)的收集、記錄和整理能力的培養(yǎng)，促進學生關于數(shù)據(jù)的分析、處理并由此作出解釋、推斷與決策的能力，對數(shù)據(jù)和統(tǒng)計信息有良好的判斷能力的教學策略改進，加強目標設定與目標達成的實驗研究；

（4）培養(yǎng)小學生用數(shù)據(jù)表示可能性的大小并對事件作出合理推斷和預測的能力的教法研究；（5）在統(tǒng)計和概率部分教學中，創(chuàng)設教學情境，促進教學有效性的研究；

（6）進行統(tǒng)計與概率部分的課堂教學有效模式的研究。

2、落實好課題組人員，成員如下：

組 長：陳 麗

副 組 長：陳萬江 吳學峰

核 心 成 員：馬玉鳳 王立波 李天鳳 陳維 李玉靜 孫曉慧 薛麗華

二、加強對課題組的管理，進一步發(fā)揮課題的作用。

1、嚴格按計劃實施研究，積極開展課題研究活動。

課題立項之后，我們集中大家認真學習了《統(tǒng)計與概率》課題研究方案，制定了課題的研究計劃，對組內(nèi)教師合理分工，在管理上做到定計劃、定時間、定地點、定內(nèi)容，讓實驗老師們深刻理解了《人教版小學數(shù)學教材“統(tǒng)計與概率”課堂教學有效性研究》課題中研究項目的主要內(nèi)容和意義，進一步增強科研能力，樹立科研信心每次的校本教研既有骨干教師的教學論壇，也有年青教師的課堂展示，有理論學習，也有實際的課堂點評。

2、優(yōu)化聽課制度，促進課題實驗

學校教導處規(guī)定，每周的周三各備課組進行集體備課，下一周的周一課題組成員走進課堂聽課，一方面是為課題組成員搭建相互交流的平臺，另一方面也是驗證前一周集體備課設計方案的可行性，這樣有利于及時、靈活地掌握課題實施情況和課堂教學情況，有效地促進教師上課改課、上優(yōu)質課，從而真正地把課題理念落實到每一節(jié)課堂教學之中；同時，課題組還要求聽課者帶著一定的目的從多個角度進行聽課，并對收集到的事實材料進行多角度詮釋、解讀和分析，有針對性地提出討論的問題和改進的建議。聽課制度的優(yōu)化，有效地避免形式主義的聽課、評課活動，對促進課題研究和實驗起到了很大的作用。

三、課題研究的實施過程

課題申報后，課題組成員就著手調(diào)查我校《統(tǒng)計與概率》的教學現(xiàn)狀以及存在的問題。

1、人教版小學數(shù)學各冊教材使用中，關于統(tǒng)計與可能性部分教學問題及其改進策略的調(diào)查研究。

教學現(xiàn)狀：課堂教學多數(shù)“照本宣科”，教學目標定位不準，教師和學生都不很重視這一領域的教和學。原因有如下幾點：一是教師專業(yè)知識不能適應新課程的教學需要；二是《統(tǒng)計與概率》這一領域里的可學習和參考的案例較少，教師看得不多，所以課堂改革的水平提高不快；三是在小學階段，關于《統(tǒng)計與概率》的考試內(nèi)容相對較少，且難度不大，所以教師和學生重視不夠。

存在問題：統(tǒng)計教學中，教師只按教材幫助學生收集、整理數(shù)據(jù)，而忽視了對數(shù)據(jù)的分析和運用；概率教學中比較突出的問題是重結果、輕過程，沒有把學生隨機意識的培養(yǎng)放在重要的位置。比如，有一個老師在執(zhí)教二年級《可能性》一課時，沒有充分地讓學生感受確定現(xiàn)象和不確定現(xiàn)象，而是把訓練的重點放在讓學生用“一定”“可能”和“不可能”的說話訓練上，把數(shù)學課當作了語文課來上。再如，有一個老師在執(zhí)教《用分數(shù)表示可能性的大小》時，始終把重點放在學生的計算訓練上，而忽視了學生對事件發(fā)生的可能性從感性描述到定量刻畫的過程訓練上。

改進策略：（1）加強教師的專業(yè)知識的學習和培訓。要求課題組的成員認真學習新課標并深刻領會其主要精神，同時督促教師學習《統(tǒng)計與概率》的相關理論，聘請教學骨干做專題講座，提高教師的理論素養(yǎng)；（2）定期召開研討會，選擇有典型的課例進行會課或教學比賽，有的是采取同課異構的形式進行多層次的研究；（3）圍繞某一難點進行針對性討論，反復研究，取得了較為顯著的成效。如，在教學《等可能性》時，多數(shù)教師都遇到了一個較為棘手的問題：當袋子里放有相同數(shù)量的黃球和白球，啟發(fā)學生猜想：從中任意摸40次，摸到黃球和白球的可能性怎樣？學生很容易猜想并認可結果：摸到黃球和白球的可能性相等?？墒?，學生實驗后，立刻質疑并迅速推翻自己的猜想。此時教師無所適從，只好自圓其說：同學們，當實驗的次數(shù)越多，摸到黃球的次數(shù)和摸到白球的次數(shù)就越接近。針對上述存在的問題，我們開展了一次又一次的研究，最終按照“現(xiàn)實情境—猜想—實驗—驗證猜想—分析原因”的步驟，緊緊抓住“任意”關鍵詞，培養(yǎng)學生的隨機意識，讓學生真切地感到：袋子里放有相同數(shù)量的黃球和白球，任意去摸若干次，摸到黃球的可能性和白球的可能性相等，但結果是隨機的，即摸到黃球的次數(shù)和白球的次數(shù)不一定相等。

2、創(chuàng)設教學情境對于小學統(tǒng)計與概率教學效果的作用與影響的研究。

良好的教學情境，能使學生積極主動地、充滿自信的參與到學習之中，使學生的認知活動與情感活動有機地結合，從而促進學生非智力因素的發(fā)展和健康人格的形成。比如我們在研究一年級下冊第98頁的《統(tǒng)計》這一內(nèi)容時，就歷經(jīng)了“沒有教學情境—一創(chuàng)設有教學情境——創(chuàng)設有效的教學情境”的過程，研究中我們發(fā)現(xiàn)教學效果差異較大。

??反復的實踐和研究使我們深深地體會到：教學情境對教學效果的影響較大。只有創(chuàng)設有效的教學情境，創(chuàng)設貼近學生生活實際的教學情境，才能把學生真正地帶入到具體的情境中去，使學生對數(shù)學產(chǎn)生一種親近感，使學生感到數(shù)學是活生生的，感受到數(shù)學源于生活，生活中處處有數(shù)學。

3、“統(tǒng)計與概率”有效教學模式研究

課題研究之前，多數(shù)教師反映《統(tǒng)計與概率》的教學有著一定的困難，教學時也只是“照本宣科”，根本談不上有效和優(yōu)化。為此，我們通過典型引路，反復研究，不斷實踐，在數(shù)次的實踐中摸索了“統(tǒng)計與概率”的教學模式：創(chuàng)設情境――猜想探究――驗證概括――實踐運用。

“創(chuàng)設情境”旨在把學生帶入到具體的生活情境中，一方面是為了幫助學生借助已有的生活經(jīng)驗自主探究新知，另一方面也可以讓學生初步感悟統(tǒng)計與概率在生活中的作用，從而調(diào)動學生學習數(shù)學的興趣；“猜想探究” 就是先鼓勵學生大膽猜想結果，然后引領學生探究新知，這樣可以充分發(fā)揮學生的主體作用，把學習的主動權交個學生，讓學生真正成為學習的主人，在具體的學習過程中鍛煉學生的學習能力，同時也能讓學生體驗自主探究新知的快樂；“驗證概括”就是運用多種手段幫助學生驗證自己的猜想，從而使學生獲得成就感，增強學生學習的自信心，同時把剛剛獲得的新知高度、凝練地概括出一般的規(guī)律，培養(yǎng)學生分析問題的能力和嚴謹?shù)乃季S品質“實踐運用”就是將所學的知識運用于實際，體現(xiàn)了數(shù)學源于生活、服務生活的思想。

通過改革實驗，我們高興地發(fā)現(xiàn)課堂成效發(fā)生了較為顯著的變化。課堂的教學結構完整了，教學板塊清晰了教學目標定位準確而又全面，教師經(jīng)過了迷茫無奈－有條有理－精心設計教學環(huán)節(jié)的過程。學生從被動學習－主動探究，學習方式的轉變，使課堂氣氛活躍了許多，也大大提高了課堂教學效率。

四、課題研究的成效

1、對課題研究的意義的理解和認識。

21世紀的數(shù)學課程改革，把《統(tǒng)計與概率》作為一個單獨的領域，進入小學數(shù)學課程，這是一個重大的舉措具有里程碑的意義。因為在信息社會，收集、整理、描述、展示和解釋數(shù)據(jù)，根據(jù)情報作出決定和預測，已成為公民日益重要的技能。加強《統(tǒng)計與概率》課題的研究，可以強化學生數(shù)據(jù)的收集、記錄和整理能力的培養(yǎng)，提高學生分析、處理數(shù)據(jù)并由此作出解釋、推斷與決策的能力。

2、重視學生學習過程的研究，把學習的主動權還給了學生

新課標明確指出：學生是數(shù)學學習的主人，教師是數(shù)學學習的組織者、引導者與合作者。所以我們在數(shù)學課題的研究中，非常關注學生學習過程的研究，注重在具體的情境中對隨機現(xiàn)象的體驗，而不是單純地只獲取結論結合學生生活的實際，精心創(chuàng)設教學情境，使學生主動地投入到學習的狀態(tài)，提出關鍵的問題；搜集、整理數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)，作出推測，并用一種別人信服的方式交流信息。不僅讓學生親身經(jīng)歷統(tǒng)計與實驗的過程，而且還讓學生在實踐中自我感悟信息的價值。根據(jù)獲取的信息作出合理的推斷，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。

3、營造教研氛圍，提高研究實效

我們以課題研究為契機，開展形式多樣的教研活動，旨在增強教師的教科研意識，營造良好的教研氛圍，豐富教師的科研素養(yǎng)，提高課堂教學效率。一年來，我們召開了《統(tǒng)計與概率》的專題研討會，舉行了課題研討會課比賽，開展了教師百花獎比賽、課堂教學擂臺賽等全校性教學教研活動，收到了較好的效果，得到了老師們的認可，兄弟學校的積極參與，社會的肯定。每次活動，我們堅持“實踐、思考、再實踐、再思考”的基本方法，確立一個研究主題，本著“學有所獲，研有所果”的原則，發(fā)動每個教師全程參與，45周歲以下的教師必須參與課堂展示或設計，年老的教師參與課堂點評，實實在在的教研活動，不僅調(diào)動了校內(nèi)教師的教研熱情，也吸引了區(qū)內(nèi)兄弟學校老師的加盟，他們積極參與了我們的課題研究。

五、今后的思考

雖然在課題的前期研究過程中，我們?nèi)〉昧顺醪降某尚?，但我們深知我們的課題研究工作還有許多不盡如人意的地方。為了進一步做好下一階段課題的研究工作，我們想從以下幾個方面力求突破：

1、細化分工，明確職責。根據(jù)課題的研究內(nèi)容和前期的研究進展，我們決定對后期的研究工作作一些適當?shù)恼{(diào)整，更加細化分工，各負其責，確保課題的研究工作順利進行。通過課堂教學研究，提高學生收集、整理數(shù)據(jù)的能力，重點培養(yǎng)學生推斷與決策的能力，體會數(shù)學的價值。以課堂教學為主陣地，重點研究概率教學，培養(yǎng)學生的隨機意識，提高學生分析問題和預測未來的能力。

2、加強理論學習，提高研究水平。前期的研究工作我們主要把精力放在課堂教學研究上，了解《統(tǒng)計與概率》的教學現(xiàn)狀、教學困惑，尋找課堂教學的有效模式，應該說在實際層面探討的比較多。接下來的課題研究工作我們 將在關注課堂教學的同時，重視理論學習，把目光聚焦在理論層面的研究上，遵循理論結合實際的原則，用理論豐富研究成果。

3、全面總結經(jīng)驗，推廣研究成果。2010年下半年我們打算召開一次“課題經(jīng)驗總結暨成果展示會”，旨在進一步加強和深入課題的研究工作，提升我們課題的研究水平，同時通過總結、展示，來推廣我們的研究成果，改進和優(yōu)化今后的課堂教學。

第四篇：概率統(tǒng)計教學評估匯報

凝聚實干，齊創(chuàng)輝煌

——2008-2009學概率統(tǒng)計教學評估匯報材料

這一年，是奮斗的一年，也是收獲頗豐的一年。因為我們始終相信：付出與收獲是成正比的。在莊老師的悉心指導下，我們耕耘了，所以我們收獲了。靜下心，細梳理。我們本學期的概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程確實收獲頗豐。

一、課程注重理論學習，灌輸概率思維。

觀念是行動的指南。老師講課思路清晰，引領到位，不流于形式，注重實效。深入了解學生思想，與學生們一同交流、研討，了解學生需要，教學工作目標明確，針對性強，效果好。特別是突出“實”、“新”、“活”的特點。“實”是說講課實實在在，不走過場；“新”是說努力為學生們提供先進的課程信息，引領教學；“活”是說不拘泥形式，學生們?nèi)笔裁矗P心什么，講什么。老師授課無論從內(nèi)容的選擇上，還是方法的運用上，都具體實用。

二、學習注重過程，講求實效。

教學，主要是過程性管理。任何一次講課，都要考慮它的實效性，對不同層次的學生采取不同的授課方式及要求。不管是哪種類型的學生，老師都能堅持聽完學生想法，接納改進意見和建議，給學生自行改正的時間，隨后再次上課時重點檢查、指導。這樣的教學方式特別有利于學生成長。莊老師上完課后，都會進行課程延伸和答疑。答疑問題包括針對學生作業(yè)暴露出的問題，以及學生自己的想法見解。這種集講課、互動、答疑為一體的講課方式，使得概率課程的學習不是浮于表面，而是深度的教學研究。因此，特別有利于學生的專業(yè)發(fā)展，也特別有利于學生個人成長。

課程進度，從章節(jié)難點要點的確定，到具體問題解決，一步一個腳印，踏踏實實；時間分配恰到好處，讓學生即積極學習知識，又不至于壓力力過大，在輕松和快樂中學習知識。課程順利完結，而且獲得的評價也特別高。因此，我們是在過程中耕耘，在過程中問鼎收獲。

三、老師搭建平臺，盡展學生風采。

可以說，每個人都具有強烈的自我發(fā)展與提高的欲望和自我超越的能力。每一位學生都希望自己在學習過程中成為一個優(yōu)秀者、成功者。莊老師緊緊抓住這一心理，為滿足學生自我超越的需要，為他們展示才華搭建平臺，爭取給每一個學生展示的機會。從課堂到課外，從講課到作業(yè)，莊老師都很認真的對待同學們的成果，鼓勵大家各抒己見，一旦有好的想法構思，都會予以鼓勵、正確引導，所以課堂氣氛很是活躍。

總之，在教學活動中，莊老師抓住教學本質，突出一個“研”字；抓住計劃措施落實，突出一個“實”字；抓培養(yǎng)全班同學，不落一個，突出一個“優(yōu)”字，在三“字”上下功夫，實現(xiàn)了我班概率統(tǒng)計課程教學的成功。

在概率統(tǒng)計課程的學習過程中我們也有深刻的認識?！叭巳藢W有價值的數(shù)學，人人都能獲得必要的數(shù)學，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”，這是新世紀數(shù)學課程的基本理念。貫徹課改的新理念，結合莊老師帶來的學習實踐,我深深感到：善于培養(yǎng)大家的內(nèi)在動機，使學生喜愛學習，師生互動，才是教學成功的法寶。尤其是概率統(tǒng)計的學習，學生對跟教學相關的生活實例表現(xiàn)出濃厚的興趣，真正體驗到了學習數(shù)學的樂趣和價值。概率統(tǒng)計教學中，應著重注意以下三點：

一、教師應通過日常生活中的大量實例，使學生更好地理解隨機事件發(fā)生的不確定性及頻率的相對穩(wěn)定性，幫助學生澄清在日常生活中對身邊所發(fā)生的一些問題存在的錯誤認識。比如我們經(jīng)常會遇到以下問題：

天氣預報這樣表達：“明日有雨的概率為60％”，這個60％意味什么？應鼓勵學生發(fā)表自己的看法。對這句話有很多錯誤的理解，比如“明天有 的時間下雨”“明天有 的地區(qū)下雨”等等。最后教師歸納概括：考察歷史上的天氣記錄，如果和明天在氣壓、云層、溫度等天氣條件方面大致相同的天數(shù)是100天，其中有60天降雨了；不能從概率的統(tǒng)計定義解釋即用頻率近似作為概率，因這一事件不能進行大量重復實驗。

如何理解“雖然預報今天濟南的降水概率是70％，北京的降水概率是90％，但是濟南今天降雨了，北京沒降雨”這一現(xiàn)象？從概率的角度解釋，“今天降雨”是一個隨機事件，今天濟南的降水概率是70％，北京的降水概率是90％，只是說明今天北京降雨的可能性比濟南大，并不表示今天北京一定下雨。如果濟南今天降雨了而北京沒降雨，即可能性較小的事件發(fā)生了而可能性較大的事件卻沒有發(fā)生，正是隨機事件發(fā)生的不確定性的體現(xiàn)。

二、教師應讓學生通過實例理解古典概型的特征：每一個實驗結果出現(xiàn)的等可能性，讓學生初步學會把一些實際問題轉化古典概型，從而通過正確合理的推斷來認識日常生活中遇到的事情。譬如抽簽的公平性問題。

人們常用抽簽的方法決定一件事情，先抽還是后抽（后抽人不知道先抽人抽出的結果），對各人來說是公平的嗎？例如在10張彩票中，有2張獎票，先有甲后有乙各抽一張，看誰能中獎。教師事先準備好口袋和球，讓學生分組進行摸球來模擬試驗，匯總全班的數(shù)據(jù)后，得出直觀上的認識。

三、教師在統(tǒng)計教學中應通過對一些典型案例的處理，使學生經(jīng)歷較系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程，在此過程中學習一些數(shù)據(jù)處理的方法幷運用所學知識和方法去解決實際問題。本章中有幾處學生感到疑惑的地方，可通過鼓勵學生查閱相關內(nèi)容的現(xiàn)實例子，課上交流討論，寓解疑于趣味之中。

在學習概率統(tǒng)計課程中，莊老師是這樣教我們的，我們確實從中受益匪淺。在感激莊老師的精心教導之余更愿意更多的人找到學習概率統(tǒng)計的方法，并享受到其中的樂趣。所以謹以此文獻給我們敬愛的莊老師，及襄院的廣大師生。

第五篇：概率統(tǒng)計教案2

第三章 多維隨機變量及其分布

一、教材說明

本章內(nèi)容包括：多維隨機變量的聯(lián)合分布和邊際分布、多維隨機變量函數(shù)的分布、多維隨機變量的特征數(shù)，隨機變量的獨立性概念，條件分布與條件期望。本章仿照一維隨機變量的研究思路和方法。

1、教學目的與教學要求 本章的教學目的是：

（1）使學生掌握多維隨機變量的概念及其聯(lián)合分布，理解并掌握邊際分布和隨機變量 的獨立性概念；

（2）使學生掌握多維隨機變量函數(shù)的分布，理解并掌握多維隨機變量的特征數(shù)；（3）使學生理解和掌握條件分布與條件期望。本章的教學要求是：（1）深刻理解多維隨機變量及其聯(lián)合分布的概念，會熟練地求多維離散隨機變量的聯(lián)合分布列和多維連續(xù)隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)，并熟練掌握幾種常見的多維分布；

（2）深刻理解并掌握邊際分布的概念，能熟練求解邊際分布列和邊際密度函數(shù)；理解隨機變量的獨立性定義，掌握隨機變量的獨立性的判定方法；（3）熟練掌握多維隨機變量的幾種函數(shù)的分布的求法，會用變量變換法求解、證明題目；（4）理解并掌握多維隨機變量的數(shù)學期望和方差的概念及性質，掌握隨機變量不相關與獨立性的關系；（5）深刻理解條件分布與條件期望，能熟練求解條件分布與條件期望并會用條件分布與條件期望的性質求解、證明題目。

2、本章的重點與難點

本章的重點是多維隨機變量的聯(lián)合分布和邊際分布、多維隨機變量函數(shù)的分布及條件分布、多維隨機變量的特征數(shù)，難點是多維隨機變量函數(shù)的分布及條件分布的求法。

二、教學內(nèi)容

本章共分多維隨機變量及其聯(lián)合分布、邊際分布與隨機變量的獨立性、多維隨機變量函數(shù)的分布、多維隨機變量的特征數(shù)、條件分布與條件期望等5節(jié)來講述本章的基本內(nèi)容。

3.1 多維隨機變量及其聯(lián)合分布

一、多維隨機變量

定義3.1.1 如果X1(?),X2(?),???,Xn(?)是定義在同一個樣本空間??{?}上的n個隨機變量，則稱X(?)?(X1(?),...,Xn(?))為n維隨機變量或隨機向量。

二、聯(lián)合分布函數(shù)

1、定義3.1.2 對任意n個實數(shù)x1,x2,???,xn，則n個事件{X1?x1},{X2?x2},???,{Xn?xn}同時發(fā)生的概率 F(x1,x2,???,xn)?P{X1?x1,X2?x2,???,Xn?xn}

稱為n維隨機變量(X1,X2,???,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)。

n!n2p1n1p2???prnr，n1!n2!???nr!這個聯(lián)合分布列稱為r項分布，又稱為多項分布，記為M(n,p1,p2,???,pr).例3.1.4 一批產(chǎn)品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件。從這批產(chǎn)品中有放回地任取3件，以X和Y分別表示取出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品的件數(shù)，求二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布列。

分析 略。

解 略。

2、多維超幾何分布

多維超幾何分布的描述：袋中有N只球，其中有Ni只i號球，i?1,2,???,r。記N?N1?N2?????Nr，從中任意取出n只，若記Xi為取出的n只球中i號球的個數(shù)，i?1,2,???,r，則

?N1??N2??Nr??????????nnnP(X1?n1,X2?n2,???Xr?nr)??1??2??r?.?N????n?其中n1?n2?????nr?n。

例3.1.5 將例3.1.4改成不放回抽樣，即從這批產(chǎn)品中不放回地任取3件，以X和Y分別表示取出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品的件數(shù)，求二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布列。

解

略。

3、多維均勻分布

設D為R中的一個有界區(qū)域，其度量為SD，如果多維隨機變量(X1,X2,???,Xn)的聯(lián)合密度函數(shù)為 n?1?,(x1,x2,???,xn)?D, p(x1,x2,???,xn)??SD?0,其他?則稱(X1,X2,???,Xn)服從D上的多維均勻分布，記為(X1,X2,???,Xn)~U（D).例3.1.6 設D為平面上以原點為圓心以r為半徑的圓，(X,Y)服從D上的二維均勻分布，其密度函數(shù)為

?1222?2,x?y?r, p(x,y)???r222??0,x?y?r.試求概率P(X?).解 略。

4、二元正態(tài)分布

如果二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

12??1?2(x??1)2(x??1)(y??2)(y??2)21exp{?[?2??]},???x,y???22(1??2)?12?1?2?21??2r2p(x,y)?2則稱(X,Y)服從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?).其中五個參數(shù)的取值范圍分別是：????1,?2???;?1,?2?0;?1???1.以后將指出：?1,?2分別是X與Y的均值，?12,?22分別是X與Y的方差，?是X與Y的相關系數(shù)。

2例3.1.7 設二維隨機變量(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?).求(X,Y)落在區(qū)域D?{(x,y):(x??1)2?21?2?(x??1)(y??2)?1?2?(y??2)2?22??2}內(nèi)的概率。

解 略。

注 凡是與正態(tài)分布有關的計算一般需要作變換簡化計算。

3.2 邊際分布與隨機變量的獨立性

一、邊際分布函數(shù)

1、二維隨機變量(X,Y)中

X的邊際分布

FX(x)?P(X?x)?P(X?Y的邊際分布

FY(y)?F(??,y)x,Y???)?limF(x,y?)y???F(x,? ?

2、在三維隨機變量(X,Y,Z)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y,z)中，用類似的方法可得到更多的邊際分布函數(shù)。

例3.2.1設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

?1?e?x?e?y?e?x?y??xy,x?0,y?0, F(x,y)??0,其他?這個分布被稱為二維指數(shù)分布，求其邊際分布。

解 略。

注 X與Y的邊際分布都是一維指數(shù)分布，且與參數(shù)??0無關。不同的??0對應不

p(x1,x2,???,xn)??pi(xi)

i?1n則稱X1,X2,???,Xn相互獨立。

例3.2.7設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

?8xy,0?x?y?1, p(x,y)??0,其他.?問X與Y是否相互獨立？

分析 為判斷X與Y是否相互獨立，只需看邊際密度函數(shù)之積是否等于聯(lián)合密度函數(shù)。解 略。

3.3 多維隨機變量函數(shù)的分布

一、多維離散隨機變量函數(shù)的分布

以二維為例討論，設二維隨機變量(X,Y)的取值為(xi,yj),Z?f(X,Y), 隨機變量

Z的取值為zk.令Ck?{(xi,yj):f(xi,yj)?zk}，則

P(Z?zk)?P(f(xi,yj)?zk)?P((xi,yj)?Ck)?(xi,yj)?Ck?pij.例3.3.2（泊松分布的可加性）設X~P(?1),Y~P(?2), 且X與Y相互獨立。證明

Z?X?Y~P(?1??2).證明：略。

注 證明過程用到離散場合下的卷積公式，這里卷積指“尋求兩個獨立隨機變量和的分布運算”，對有限個獨立泊松變量有

P(?1)?P(?2)?????P(?n)?P(?1??2??????n).例3.3.3（二項分布的可加性）設X~b(n,p),Y~b(m,p),且X與Y相互獨立。證明Z?X?Y~b(m?n,p).證明 略。

注（1）該性質可以推廣到有限個場合

b(n1,p)?b(n2,p)?????b(nk,p)?b(n1?n2?????nk,p)

（2）特別當n1?n2?????nk?1時，b(1,p)?b(1,p)?????b(1,p)?b(n,p)這表明，服從二項分布b(n,p)的隨機變量可以分解成n個相互獨立的0-1分布的隨機

變量之和。

二、最大值與最小值的分布

例3.3.4（最大值分布）設X1,X2,???,Xn是相互獨立的n個隨機變量，若

Y?max(X1,X2,???Xn).設在以下情況下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i?1,2,???,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i?1,2,???,n;

（3）Xi為連續(xù)隨機變量，且Xi同分布，即Xi的密度函數(shù)為p(x),i?1,2,???,n;

（4）Xi~Exp(?),i?1,2,???,n.解 略。

注 這道題的解法體現(xiàn)了求最大值分布的一般思路。

例3.3.5（最小值分布）設X1,X2,???,Xn是相互獨立的n個隨機變量；若Y?min(X1,X2,???Xn)，試在以下情況下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i?1,2,???,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i?1,2,???,n;

（3）Xi為連續(xù)隨機變量，且Xi同分布，即Xi的密度函數(shù)為p(x),i?1,2,???,n;

（4）Xi~Exp(?),i?1,2,???,n.解 略。

注 這道例題的解法體現(xiàn)了求最小值分布的一般思路。

三、連續(xù)場合的卷積公式

定理3.3.1設X與Y是兩個相互獨立的連續(xù)隨機變量，其密度函數(shù)分別為pX(x)、pY(y)，則其和Z?X?Y的密度函數(shù)為

pZ(z)??????pX(z?y)pY(y)dy.證明 略。

本定理的結果就是連續(xù)場合下的卷積公式。

例3.3.6（正態(tài)分布的可加性）設X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2),且X與Y相互獨立。證明Z?X?Y~N(?1??2,?1??2).證明 略

2222

注 任意n個相互獨立的正態(tài)變量的非零線性組合仍是正態(tài)變量。

四、變量變換法

1、變量變換法

設(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)，函數(shù)??u?g1(x,y),有連續(xù)偏導數(shù)，且存在唯一

v?g(x,y).?2?x?x(u,v),的反函數(shù)?，其變換的雅可比行列式

y?y(u,v)??x?(x,y)?uJ???(u,v)?x?v若??y?u?y?v??1???(u,v)?????????(x,y)????u?x?v?x?u?y?v?y????0.????1?U?g1(X,Y)則(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)為

?V?g2(X,Y),p(u,v)?p(x(u,v),y(u,v))J.這個方法實際上就是二重積分的變量變換法，其證明可參閱數(shù)學分析教科書。例3.3.9設X與Y獨立同分布，都服從正態(tài)分布N(?,?2)，記?試求(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)。U與V是否相互獨立？

解 略。

2、增補變量法

增補變量法實質上是變換法的一種應用：為了求出二維連續(xù)隨機變量(X,Y)的函數(shù)

?U?X?Y，?V?X?Y.U?g(X,Y)的密度函數(shù)，增補一個新的隨機變量V?h(X,Y)，一般令V?X或V?Y。先用變換法求出(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)p(u,v)，再對p(u,v)關于v積分，從而得出關于U的邊際密度函數(shù)。

例3.3.10（積的公式）設X與Y相互獨立，其密度函數(shù)分別為 pX(x)和pY(y).則U?XY的密度函數(shù)為pU(u)??證 略。

????pX(uv)pY(v)1dv.v例3.3.11（商的公式）設X與Y相互獨立，其密度函數(shù)分別為pX(x)和pY(y)，則U?XY的密度函數(shù)為pU(u)??

????pX(uv)pY(v)vdv.10111213

例3.5.5設(X,Y)服從G?{(x,y):x2?y2?1}上的均勻分布，試求給定Y?y條件下X的條件密度函數(shù)p(x|y)。

解 略。

3、連續(xù)場合的全概率公式和貝葉斯公式 全概率公式的密度函數(shù)形式

pY(y)??????pX(x)p(y|x)dx,pX(x)??????pY(y)p(x|y)dy.pY(y)p(x|y)貝葉斯公式的密度函數(shù)形式

p(x|y)?pX(x)p(y|x)?????pX(x)p(y|x)dx,p(y|x)??????pY(y)p(x|y)dy.注 由邊際分布和條件分布就可以得到聯(lián)合分布。

二、條件數(shù)學期望

1、定義3.5.4 條件分布的數(shù)學期望（若存在）稱為條件數(shù)學期望，其定義如下：

??xiP(X?xi|Y?y),(X,Y)為二維離散隨機變量；?E(X|Y?y)??i??

?(X,Y)為二維連續(xù)隨機變量。???xp(x|y)dx，???yjP(Y?yj|X?x),(X,Y)為二維離散隨機變量；?jE(Y|X?x)??

???(X,Y)為二維連續(xù)隨機變量。???yp(y|x)dy，?注(1)條件數(shù)學期望具有數(shù)學期望的一切性質。

(2)條件數(shù)學期望E(X|Y)可以看成是隨機變量Y的函數(shù)，其本身也是一個隨機變量。

2、定理3.5.1（重期望公式）設(X,Y)是二維隨機變量，且E(X)存在，則

E(X)?E(E(X|Y))。

證明 略。

注 重期望公式的具體使用如下

（1）如果Y是一個離散隨機變量，E(X)?（2）如果Y是一個連續(xù)隨機變量，E(X)??E(X|y?y)P(Y?y);

jjj?????E(X|Y?y)pY(y)dy.例3.5.10（隨機個隨機變量和的數(shù)學期望）設X1,X2,???,Xn是一列獨立同分布的隨機變量，隨機變量N只取正整數(shù)值，且與{Xn}獨立。證明

E(?Xi)?E(X1)E(N).i?1N

第四章 大數(shù)定律與中心極限定理

一、教材說明

本章內(nèi)容包括特征函數(shù)及其性質，常用的幾個大數(shù)定律，隨機變量序列的兩種收斂性的定義及其有關性質，中心極限定理。大數(shù)定律涉及的是一種依概率收斂，中心極限定理涉及按分布收斂。這些極限定理不僅是概率論研究的中心議題，而且在數(shù)理統(tǒng)計中有廣泛的應用。

1、教學目的與教學要求 本章的教學目的是：

（1）使學生掌握特征函數(shù)的定義和常用分布的特征函數(shù)；

（2）使學生深刻理解和掌握大數(shù)定律及與之相關的兩種收斂性概念，會熟練運用幾個大數(shù)定律證明題目；

（3）使學生理解并熟練掌握獨立同分布下的中心極限定理。本章的教學要求是：

（1）理解并會求常用分布的特征函數(shù)；

（2）深刻理解并掌握大數(shù)定律，能熟練應用大數(shù)定律證明題目；

（3）理解并掌握依概率收斂和按分布收斂的定義，并會用其性質證明相應的題目；（4）深刻理解與掌握中心極限定理，并要對之熟練應用。

2、重點與難點

本章的重點是大數(shù)定律與中心極限定理，難點是用特征函數(shù)的性質證明題目，大數(shù)定律和中心極限定理的應用。

二、教學內(nèi)容

本章共分特征函數(shù)、大數(shù)定律、隨機變量序列的兩種收斂性，中心極限定理等4節(jié)來講述本章的基本內(nèi)容。

4.1特征函數(shù)

一、特征函數(shù)的定義

1.定義4.1.1 設X是一個隨機變量，稱?(t)=E(e)，-∞ < t < + ∞，為X的特征函數(shù)。

itXitX注 因為e?1，所以E(e)總是存在的，即任一隨機變量的特征函數(shù)總是存在的。

itX

2.特征函數(shù)的求法

（1）當離散隨機變量X的分布列為Pk= P（X= xk)，k = 1，2，…，則X的特征函數(shù)為

φ(t)=?ek?1??itxkPk，-∞ < t < + ∞。

（2）當連續(xù)隨機變量X的密度函數(shù)為p(x)，則X的特征函數(shù)為

φ(t)=?????eitxP(x)dx，-∞ < t < + ∞。

例4.1.1 常用分布的特征函數(shù)

(1)單點分布：P(X= a)= 1，其特征函數(shù)為φ(t)= eita。(2)0 –1分布：P(X= x)=px(1

證明 略。

定理4.1.1（一致連續(xù)性）隨機變量X的特征函數(shù)φ(t)在(-∞，+ ∞)上一致連續(xù)。定理4.1.2（非負定性）隨機變量X的特征函數(shù)φ(t)是非負定的。定理4.1.4（唯一性定理）隨機變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一決定。例4.1.3 試利用特征函數(shù)的方法求伽瑪分布Ga(α，λ)的數(shù)學期望和方差。解 因為Ga(α，λ)的特征函數(shù)φ(t)= φ(t)= ‘

‘?i?i?i(1?)???1；φ(0)= ???(1?it??)?，?’‘’1)i2it；φ(t)= ?(??(1?)???2；φ(0)= 2?(??1)?2??，所以由性質4.1.5得

E(X)??'(0)i???;Var(X)???''(0)?(?'(0))2?2.??4.2大數(shù)定律

一、何謂大數(shù)定律（大數(shù)定律的一般提法）

定義4.2.1設{Xn}為隨機變量序列，若對任意的??0,有

?1n?1nlimP??Xi??E(Xi)????1.(4.2.5)n???ni?1?ni?1?則稱{Xn}服從大數(shù)定律。

二、切比雪夫大數(shù)定律

定理4.2.2（切比雪夫大數(shù)定律）設{Xn}為一列兩兩不相關的隨機變量序列，若每個Xi的方差存在，且有共同的上界，即Var(Xi)?c,i?1,2,???,則{Xn}服從大數(shù)定律，即對任意的??0，式(4.2.5)成立。

利用切比雪夫不等式就可證明。此處略。

推論（定理4.2.1：伯努利大數(shù)定律）設?n為n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，P為每次試驗中A出現(xiàn)的概率，則對任意的??0，有

???limP?n?p????1.n????n?分析 ?n服從二項分布，因此可以把?n表示成n個相互獨立同分布、都服從0–1分布的隨機變量的和。

三、馬爾可夫大數(shù)定律

定理4.2.3（馬爾可夫大數(shù)定律）對隨機變量序列{Xn}，若馬爾可夫條件n1Var(?Xi)?0成立，則{Xn}服從大數(shù)定律，即對任意的??0，式(4.2.5)成立。n2i?1證明 利用切比雪夫不等式就可證得。

例4.2.3 設{Xn}為一同分布、方差存在的隨機變量序列，且Xn僅與Xn?1和Xn?1相關，而與其他的Xi不相關，試問該隨機變量序列{Xn}是否服從大數(shù)定律？

解 可證對{Xn}，馬爾可夫條件成立，故由馬爾可夫大數(shù)定律可得{Xn}服從大數(shù)定律。

四、辛欽大數(shù)定律

定理4.2.4（辛欽大數(shù)定律）設{Xn}為一獨立同分布的隨機變量序列，若Xn的數(shù)學期望存在，則{Xn}服從大數(shù)定律，即對任意的??0，式(4.2.5)成立。

4.3隨機變量序列的兩種收斂性

一、依概率收斂

1.定義4.3.1（依概率收斂）設{Xn}為一隨機變量序列，Y為一隨機變量。如果對于任意的??0，有

n???limP?Yn?Y????1.P則稱{Xn}依概率收斂于Y，記做Yn???Y。

1n1nP注 隨機變量序列{Xn}服從大數(shù)定律??Xi??E(Xi)???0。

ni?1ni?12.依概率收斂的四則運算

定理4.3.1 設{Xn}，{Yn}是兩個隨機變量序列，a，b是兩個常數(shù)。如果

PP{Xn}???a，{Yn}???b，則有(1)Xn?Yn???a?b;(3)Xn?Yn???a?b(b?0).?a?b;(2)Xn?Yn??

二、按分布收斂、弱收斂 PPP

1.定義4.3.2 設{Fn(x)}是隨機變量序列{Xn}的分布函數(shù)列，F(xiàn)(x)為X的分布函數(shù)。若對F(x)的任一連續(xù)點x，都有l(wèi)imFn(X)=F(x)，則稱{Fn(x)}弱收斂于F(x)，記做

n????Fn(X)???F(x)。也稱{Xn}按分布收斂于X，記做Xn???lX。

2.依概率收斂與按分布收斂間的關系

P(1)定理4.3.2 Xn???X?Xn?l??X。

P(2)定理4.3.3 若c為常數(shù)，則Xn???c?Xn?l??c

兩個定理的證明均略。

三、判斷弱收斂的方法

定理4.3.4 分布函數(shù)序列{Fn(x)}弱收斂于分布函數(shù)F(X)的充要條件是{Fn(x)}的特征函數(shù)序列{φn(t)}收斂于F(x)的特征函數(shù)φ(t)。

這個定理的證明只涉及數(shù)學分析的一些結果，參閱教材后文獻[1]。例4.3.3 若X?~P(?)，證明

1?X???limP???x??????2????解 用定理4.3.4。此處略。

?x??edt.?t224.4中心極限定理

一、中心極限定理概述

研究獨立隨機變量和的極限分布為正態(tài)分布的命題。

二、獨立同分布下的中心極限定理

定理4.4.1（林德貝格-勒維中心極限定理）設{Xn}是獨立同分布的隨機變量序列，且E(Xi)??,Var(Xi)???0.記

2Yn*?則對任意實數(shù)y，有

X1?X2?????Xn?n??n.1*? limP?Y?y??(y)??n?n???2?

?y??edt.?t22-2021-