第一篇：高中數(shù)學(xué)53不等式的證明531比較法知識(shí)導(dǎo)航學(xué)案蘇教版4-5!

5.3.1 比較法

自主整理

1.比較法一般分為兩種:________________和________________.2.作差比較法

(1)作差比較法的證明依據(jù):________________________________.(2)基本步驟:①作差;②合并化簡(jiǎn);③分解因式(或配方);④與0比較大小.3.作商比較法

(1)作商比較法的證明依據(jù):________________________________.(2)基本步驟:①______________;②______________;③______________;④______________.高手筆記

1.比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用,在其一般步驟中,變形是證明過(guò)程中的關(guān)鍵,變形常用的方法有配方法和分解因式法,其目的是要判斷差的正負(fù)號(hào)或商的分子、分母的大小關(guān)系,從而進(jìn)一步作出比較.2.一般地,論證多項(xiàng)式結(jié)論的不等式常用作差比較法,而有關(guān)冪、指數(shù)的不等式常用作商比較法,證明對(duì)數(shù)不等式常用作差比較法,這與它們的運(yùn)算性質(zhì)有關(guān).若“差”或“商”中含有參數(shù)時(shí),可對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)討論,注意分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn),做到“不重不漏”.名師解惑

如何正確使用作商法?

剖析:在作商比較兩個(gè)數(shù)的大小時(shí),不要盲目地下結(jié)論,如的變形實(shí)質(zhì)上是在不等式

b＜1?a＞b是錯(cuò)誤的,因?yàn)檫@里ab＜1兩邊同乘a所得,但不等式的性質(zhì)中同乘一個(gè)正數(shù)和同乘一a個(gè)負(fù)數(shù)是不同的,當(dāng)a＞0時(shí),得b＜a,但當(dāng)a＜0時(shí),得b＞a,所以應(yīng)該看分母的符號(hào)是否確定,如果不確定要對(duì)其正、負(fù)進(jìn)行分類(lèi)討論,即不等式的證明要以不等式的性質(zhì)為依據(jù).使用兩個(gè)實(shí)數(shù)具有的性質(zhì)進(jìn)行比較.講練互動(dòng)

22【例1】求證:a+b＞2(a-b-2).分析:此不等式的兩邊為多項(xiàng)式結(jié)構(gòu),通常用作差比較法進(jìn)行證明.22證明:∵a+b-2(a-b-2)22=a+b-2a+2b+4 22=(a-1)+(b+1)+2＞0, 22∴a+b＞2(a-b-2).綠色通道

不等號(hào)兩邊為多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)的不等式,通常用作差比較法證明,通過(guò)配方或分解因式變形,判斷符號(hào).變式訓(xùn)練

5532231.已知a、b都是正數(shù),且a≠b,求證:a+b＞ab+ab.證***322332222明:a+b-(ab+ab)=(a-ab)+b-ab=a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a-b)=(a-b)(a+b)(a+a2b+b)，22∵a、b都是正數(shù),∴a+b＞0,a+ab+b＞0.2∵a≠b,∴(a-b)＞0.∴(a-b)(a+b)(a+ab+b)＞0,即a+b＞ab+ab成立.2a2b2cb+cc+aa+b【例2】已知a＞b＞c＞0,求證:a·b·c＞a·b·c.分析:不等式的兩邊都是指數(shù)冪的乘積,根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則,可用作商比較法.222553223a2a?b2b?c2c2a-(b+c)2b-(a+c)2c-(a+b)證明:b?c=a·b·c, a?ca?ba?b?c∵a＞b＞c＞0, ∴2a-b-c＞0,2c-a-b＜0.2a-b-c2a-b-c2c-a-b2c-a-b∴a＞b,c＞b.2a-b-c2b-a-c2c-a-b2a-b-c2b-a-c2c-a-b0∴a·b·c＞b·b·b=b=1.a2a?b2b?c2c∴b?c＞1.a?ca?ba?b?c∴a·b·c＞a·b·c.綠色通道

指數(shù)冪結(jié)構(gòu)的不等式一般用作商比較法證明,并運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤趴s,與1比較大小.變式訓(xùn)練

abba2.已知a＞b＞0,求證:ab＞ab.2a2b2cb+ca+c

a+baabba-bb-aaa-b證明:ba=a·b=()，bab∵a＞b＞0,∴∴(a＞1,a-b＞0.baa-b)＞1.baabbabba∴ba＞1.∴ab＞ab成立.ab【例3】已知a≥1,求證:a?1?a?a?a?1.分析:因不等式兩邊進(jìn)行分子有理化相減后,可判斷差的符號(hào),故可用作差法進(jìn)行證明.又∵a≥1,∴不等式兩邊都大于0,故還可以用作商法進(jìn)行證明.證法一:∵(a?1?a)-(a?a?1)=1a?1?a?1a?a?1

=a?1?a?1(a?1?a)(a?a?1)＜0, ∴a?1?a＜a?a?1.2

1證法二:∵a?1?a?1?aa?a?1?a1

a?a?1=a?a?1a?1?a＜1, 又∵a?a?1＞0, ∴a?1?a＜a?a?1成立.綠色通道

對(duì)于兩根式相加或相減,常用平方差公式進(jìn)行分子或分母有理化變形.變式訓(xùn)練

3.若a＞0,b＞0,求證:ab+

ba≥a?b.證明:∵a＞0,b＞0, ∴ab?ba-(a+b)=

a?bb?b?aa

=(a-b)(1b-1a)=(a?b)(a?b)ab

=(a?b)(a?b)2ab.∵a＞0,b＞0,∴a?b＞0,ab＞0,(a?b)

2≥0.∴ab?ba-(a?b)≥0，即a?bba≥a?b.【例4】已知a、b是兩正實(shí)數(shù),試比較an

+bn

與an-

1b+abn-1

(n∈N*,n＞1)的大小.解:an+bn-(an-1b+abn-1)=an+bn-an-1b-abn-1=an-1(a-b)-bn-1(a-b)=(a-b)(an-1-bn-1).①當(dāng)a＞b＞0時(shí),有a-b＞0,an-1-bn-1＞0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0,即an+bn＞an-1b+abn-1

.②當(dāng)b＞a＞0時(shí),有a-b＜0,an-1-bn-1＜0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0,即an+bn＞an-1b+abn-1

.③當(dāng)b=a＞0時(shí),(a-b)(an-1-bn-1)=0.∴當(dāng)a=b時(shí),an+bn=an-1b+abn-1

.綜上,當(dāng)a≠b時(shí),an+bn＞an-1b+abn-1

;當(dāng)a=b時(shí),an+bn=an-1b+abn-1

.綠色通道

若各因子的符號(hào)不確定時(shí),可根據(jù)情況進(jìn)行分類(lèi)討論,分類(lèi)時(shí)做到“不重不漏”.變式訓(xùn)練

4.已知a、b∈R+,n∈N*,求證:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+

1).證明:∵(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+ban+bn+1-2an+1-2bn+1

=a(bn-an)+b(an-bn)=(an-bn)(b-a),(1)當(dāng)b＞a＞0時(shí),bn>an,b-a＞0.∴an-bn<0.∴(an-bn)(b-a)＜0.(2)當(dāng)a＞b＞0時(shí),an-bn＞0,b-a＜0, ∴(an-bn)(b-a)＜0.(3)若a=b＞0時(shí),(an-bn)(b-a)=0.綜上(1)(2)(3),可知對(duì)于a、b∈R+,n∈N*,都有(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).4

第二篇：比較法證明不等式 高中數(shù)學(xué)選修2-3

1.1&1.2比較法證明不等式

陳嬌

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)與技能

掌握兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小與它們的差值的等價(jià)關(guān)系以及理解并掌握比較法的一般步驟。

2.過(guò)程與方法

掌握運(yùn)用比較法證明一些簡(jiǎn)單的不等式的方法；理解、掌握不等式基本性質(zhì)的導(dǎo)出過(guò)程，并能運(yùn)用性質(zhì)證明一些簡(jiǎn)單的不等式。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)數(shù)軸比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；掌握數(shù)學(xué)研究的基本方法。

【教材分析】

教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握作差比較法證明不等式；

教學(xué)難點(diǎn)：求差后對(duì)“差式”進(jìn)行適當(dāng)變形，并判斷其符號(hào)。

【教學(xué)過(guò)程】

第三篇：高中數(shù)學(xué)53不等式的證明533反證法知識(shí)導(dǎo)航學(xué)案蘇教版4-5.（寫(xiě)寫(xiě)幫推薦）

5.3.3 反證法

自主整理

運(yùn)用反證法證明不等式的主要步驟: 第一步:作出與所證不等式______________的假設(shè);第二步:從____________出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法,推出____________結(jié)論,_____________假設(shè),從而證明原不等式成立.高手筆記

用反證法證明不等式應(yīng)把握以下幾點(diǎn):(1)必須否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面,當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí),必須羅列出所有情況,做到完全否定,不能遺漏.(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推理,否則,僅否定結(jié)論,不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理,就不是反證法.(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知條件矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實(shí),已知數(shù)學(xué)公理、定理矛盾,或自相矛盾,推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.(4)在使用反證法時(shí),“否定的結(jié)論”在推理論證中往往作為已知條件使用.名師解惑

反證法的理論依據(jù)是什么?

剖析:我們知道,互為逆否命題的兩個(gè)命題,其真假性是一致的,即原命題p?q為真命題,則?q??p也必為真命題.這是因?yàn)槿绻娣衩}?q??p為假的話,則?q?p是真的.于是有?q?p?q,即?q?q,這顯然是錯(cuò)誤的.所以我們可利用互為逆否命題的兩個(gè)命題的等價(jià)性,證明其逆否命題成立來(lái)說(shuō)明原命題成立.反證法適用于正面不太容易證,而反面易證的情況,“至多”“至少”“存在性”“唯一性”問(wèn)題常用反證法.講練互動(dòng)

【例1】設(shè)a、b、c∈R,a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求證:a>0,b>0,c>0.分析:本題的條件比較復(fù)雜,所要證明的結(jié)論比較簡(jiǎn)單,即證“a、b、c都為正數(shù)”,可用反證法.證明:假設(shè)a、b、c不全大于0,不妨設(shè)a≤0.當(dāng)a=0時(shí),abc=0與abc>0矛盾.當(dāng)a<0時(shí),∵abc>0,∴bc<0.∵a+b+c>0,∴b+c>-a>0.∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,與ab+bc+ca>0矛盾.∴假設(shè)不成立.∴a>0,b>0,c>0成立.綠色通道

“都”的反面是“不都”或“不全”,即“至少有一個(gè)”,情況較多.本題中a、b、c同等地位,可不妨設(shè)a≤0,要全部否定,注意有“=”.變式訓(xùn)練

1.若x>0,y>0,且x+y>2,求證:

1?y1?x、中至少有一個(gè)小于2.xy 1 證明:假設(shè)1?y1?xx、y都大于等于2, 即1?y1x≥2,?xy≥2.∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y.∴2+(x+y)≥2(x+y).∴x+y≤2,與x+y>2矛盾.∴假設(shè)不成立.∴1?yx、1?xy中至少有一個(gè)小于2成立.【例2】設(shè)a、b、c∈(0,1),求證:(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于14.分析:本題結(jié)論情況較復(fù)雜,正面不易證出,可用反證法.證法一:假設(shè)(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14, 即(1-a)b>14,(1-b)c>114,(1-c)a>4.∵00.∵b>0,∴(1-a)b≤(1?a?b2)

2.∴1?a?b2≥(1?a)b>12.∴1-a+b>1.∴b>a.同理可得c>b,a>c.∴a+b+c>a+b+c,即0>0,矛盾.∴假設(shè)不成立.∴(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于

14.證法二:假設(shè)(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于14, 即有b-ab>1114,c-bc>4,a-ac>4.三式相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>164.∵00.∴0<(1-a)a≤［(1?a)?a2］2=14.同理0<(1-b)b≤14,0<(1-c)c≤14.1, 641與(1-a)a(1-b)b(1-c)c>矛盾.64∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤∴假設(shè)不成立,原結(jié)論成立.綠色通道

本題為否定性命題,用反證法證明并結(jié)合基本不等式完成推理.變式訓(xùn)練

2.設(shè)01,(2-b)a>1,(2-c)b>1.∵00.∴1<(2?a)c≤(2?a)?c.2∴2<2-a+c.∴a

21.2分析:本題是判斷函數(shù)值的大小,但結(jié)論包括多種不同的情況,“至少”問(wèn)題可用反證法.證法一:假設(shè)｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于

1, 21, 21｜f(2)｜=｜4+2p+q｜<, 21｜f(3)｜=｜9+3p+q｜<.2則｜f(1)｜=｜1+p+q｜<∴｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜<2.而｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜≥｜f(1)+f(3)-2f(2)｜=｜(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)｜=2,矛盾.∴假設(shè)不成立.∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一個(gè)不小于證法二:假設(shè)｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于即｜f(1)｜<

21.21, 2111,｜f(2)｜<,｜f(3)｜<.222111,｜4+2p+q｜<,｜9+3p+q｜<, 222∵f(x)=x+px+q, ∴｜1+p+q｜< 3 111111<1+p+q<,-<4+2p+q<,-<9+3p+q<.2222223∴-

得

1272172<-(p+q)<, 92192<2p+q<-，<3p+q<-.1232.②④,得-4

得

72<-(2p+q)<

92.⑥ 由③⑥,⑦

由⑤⑦,得矛盾.∴假設(shè)不成立.∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一個(gè)不小于

得-6

1.2綠色通道

本題利用函數(shù)研究函數(shù)值,證法一中構(gòu)造了絕對(duì)值不等式,較為簡(jiǎn)練,但不易想出;證法二中方法比較自然,去掉絕對(duì)值號(hào),根據(jù)不等式的性質(zhì)消元得出前后結(jié)論矛盾.變式訓(xùn)練

3.已知a、b、c均為實(shí)數(shù),a=x-2y+

2???2

2,b=y-2z+,c=z-2x+,求證:a、b、c中至少有一236個(gè)大于0.證明:假設(shè)a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0, 則a+b+c≤0.又∵a+b+c =(x-2y+22???22)+(y-2z+)+(z-2x+)2362=x-2x+y-2y+z-2z+π 222=(x-1)+(y-1)+(z-1)+π-3 ≥π-3>0.∴矛盾.∴假設(shè)不成立.∴a、b、c中至少有一個(gè)大于0.2 4

第四篇：高中數(shù)學(xué)選修4-5：42數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)案

4.2數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式?1?x??1?nx?x??1,x?0,n?N??，了解當(dāng)n n

為實(shí)數(shù)時(shí)貝努利不等式也成立

2.培養(yǎng)使用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本技能

【自主學(xué)習(xí)】

1.使用數(shù)學(xué)歸納法獨(dú)立完成貝努利不等式?1?x??1?nx?x??1,x?0,n?N??的證n

明

2.自我感悟什么樣的不等式易于用數(shù)學(xué)歸納法證明？

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)要使用歸納假設(shè)進(jìn)行放縮，如何放縮才能奏效，要積累經(jīng)驗(yàn)，特別是出現(xiàn)二次式時(shí)要注意留心總結(jié).4．對(duì)于兩個(gè)數(shù)的大小的探究要提高警惕，一般探究要比較的豐富，才利于做出正確的猜測(cè).【自主檢測(cè)】

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1???

1213?1*?nn?N,n?1?時(shí)，由n=k（k>1）時(shí)不等?2n?1

式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是（）

A.2k?1B.2k?1C.2kD.2k?1

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明11??n?1n?2?111??n?N*?時(shí)，由n=k到n=k+1時(shí)，不n?n2

4等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是＿＿＿＿

3.當(dāng)n=1，2，3，4，5，6

時(shí)，比較2n與n2后，你提出的猜想是＿＿＿＿

【典型例題】

1??1??1?例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：?n?N?,n?1? ?1???1???1???352n?1??????

例2.設(shè)數(shù)列?an?滿足an?1?an2?nan?1?n?N*?

?1?.a1?2時(shí)，求a2,a3,a4并由此猜想?an?的一個(gè)通項(xiàng)公式

?2?a1?3時(shí)，證明對(duì)所有n?1有1an?n?2

2例3.已知函數(shù)g?x??x2?2x?x?1?,f?x???a?b??ax?bx，其中a、b?R,a?1,b?1,a?b,ab?4對(duì)于任意的正整數(shù)n，指出f?n?與g?2n?的大小關(guān)系，并證明之

x11 +?1?a11?a2?11? 1?an

2【課堂檢測(cè)】

1.設(shè)n為正整數(shù)，f?n??1?????n?N??，計(jì)算知11231n

357f?2??,f?4??2,f?8??,f?16??3,f?32??，據(jù)此可以猜測(cè)得出一般性結(jié)論為()222

2n?1n?2n?2 A.f?2n??B.f?n2??C.f?2n??D.以上都不對(duì) 222

n0為驗(yàn)證的第一個(gè)值，2.欲用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于足夠大的正整數(shù)n，總有2n?n3，則()A.n0?1B.n0為大于1小于10的某個(gè)整數(shù)C.n0?10D.n0?2

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1????11241127，n的起始值至少應(yīng)取為?n?126

44.等比數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的正整數(shù)n，點(diǎn)?n,Sn?均在函數(shù)

y?bx?r(b?0,b?1，b、r均為常數(shù)）的圖像上.(1)求r的值

(2)當(dāng)b=2時(shí)，記bn?2?log2an?1

??n?N*?，證明對(duì)所有正整數(shù)n，不等式 b1?1b2?1??b1b2bn?1? bn

【總結(jié)提升】

1.數(shù)學(xué)歸納法依然是證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式行之有效的方法.但在證明遞推的依據(jù)是成立的時(shí)候常常需要放縮，故千萬(wàn)要注意不等式的基本性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性的作用.2.數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)有時(shí)不能直接進(jìn)行，常需加強(qiáng)命題，為此難度就比較大，且加強(qiáng)又不易完成.如證明1?

為1?11??2232?11?2?223?15??n?N*,n?1?，就可以加強(qiáng)2n3152??n?N*,n?1?再用數(shù)學(xué)歸納法.?2n32n?1

3.不過(guò)關(guān)于n的不等式的證明不一定要用數(shù)學(xué)歸納法，有時(shí)使用函數(shù)的單調(diào)性就可以；放縮也是不可忽視的方法.

第五篇：高中數(shù)學(xué)5.6數(shù)學(xué)歸納法與知識(shí)導(dǎo)航學(xué)案蘇教版選修

5.6 數(shù)學(xué)歸納法與不等式

自主整理

數(shù)學(xué)歸納法證明命題P(n)的兩個(gè)步驟: 第一步:證明命題_____________成立,即證命題當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1,2等)時(shí)成立.* 第二步:假設(shè)命題P(k)(k∈N,且k≥n0)成立,證明_____________成立,根據(jù)以上兩步得*到當(dāng)n≥n0且n∈N時(shí)命題P(n)成立.高手筆記

1.數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題的一種方法.2.數(shù)學(xué)歸納法證明命題的原理: 第一步證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立,即P(n0)成立.由P(n0)成立與第二步可得P(n0+1)成立;由P(n0+1)成立及第二步,可得P(n0+2)成立……依次類(lèi)推,可得對(duì)于任意的自然數(shù)n(n≥n0),命題P(n)都成立.3.數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可,最后要總結(jié)所要證的結(jié)論.4.數(shù)學(xué)歸納法中所取的第一個(gè)值n,不一定是1,有可能是0,2,3等值,要審清題意.名師解惑

數(shù)學(xué)歸納法及其證明思路是什么? 剖析:歸納法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般結(jié)論的推理方法,它包括不完全歸納法和完全歸納法.不完全歸納法是根據(jù)事物的部分(而不是全部)特殊事例得出的一般結(jié)論的推理方法.我們知道僅根據(jù)一系列有限的特殊事例所得出的一般結(jié)論有時(shí)是不正確的,其正確性可用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明.數(shù)學(xué)歸納法一般用來(lái)證明涉及與正整數(shù)n有關(guān)的命題,但不能說(shuō)證明所有的與正整數(shù)n有關(guān)的命題都可用數(shù)學(xué)歸納法.用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),兩步缺一不可.第一步是基礎(chǔ);第二步反映了無(wú)限遞推關(guān)系,即命題的正確性具有傳遞性,若只有第一步而沒(méi)有第二步,只有證明了命題在特殊情況下的正確性是不完全歸納法.若只有第二步?jīng)]有第一步,那么假設(shè)n=k成立,即P(k)成立就沒(méi)有根據(jù),缺少遞推的基礎(chǔ),也無(wú)法進(jìn)行遞推,有了步驟一和步驟二使傳遞成為可能,由一、二步得出命題成立.證明時(shí)歸納假設(shè)的利用是數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵,即第二步必須用上假設(shè)n=k成立推證出n=k+1成立,在證明過(guò)程中,需根據(jù)命題的變化、特點(diǎn),利用拼湊或放縮,得出結(jié)論.講練互動(dòng)

【例1】用數(shù)學(xué)歸納法證明

111111?????????.1?23?4(2n?1)?2nn?1n?2n?n分析:用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,關(guān)鍵是第二步,要注意當(dāng)n=k+1時(shí),等式兩邊的式子與n=k時(shí)等式兩邊的式子的聯(lián)系,增加了哪些項(xiàng),減少了哪些項(xiàng),隨n怎樣變化.證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=

111=,右邊=,等式成立.1?222(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立, 即111???? 1?23?4(2k?1)?2k=111????, k?1k?22k

則當(dāng)n=k+1時(shí), 左邊=1111 ?????1?23?4(2k?1)?2k(2k?1)(2k?2)=1111 ?????k?1k?22k(2k?1)(2k?2)111111?????(?)? k?2k?32k2k?12k?2k?111111??????= k?2k?32k2k?12k?2==1111?????

(k?1)?1(k?1)?2(k?1)?k(k?1)?(k?1)=右邊.∴當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立.由(1)(2)可知等式恒成立.綠色通道

用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí),一定注意等式兩邊的式子隨n怎樣變化,需要增加哪些項(xiàng),且當(dāng)n=k+1時(shí),代入假設(shè)后要進(jìn)行觀察,進(jìn)行適當(dāng)變換完成.變式訓(xùn)練

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明 2222221-2+3-4+…+(2n-1)-(2n)=-(1+2+3+…+2n).22證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1-2=-3,右邊=-(1+2×1)=-3, ∴左邊=右邊,等式成立.222222(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即1-2+3-4+…+(2k-1)-(2k)=-(1+2+…+2k)，22222222則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1-2+3-4+…+(2k-1)-(2k)+(2k+1)-［2(k+1)］=-(1+2+…22+2k)+(2k+1)-［2(k+1)］

=-(1+2+3+…+2k)+［(2k+1)+2(k+1)］［(2k+1)-2(k+1)］ =-(1+2+3+…+2k)-(2k+1)-2(k+1)=-［1+2+3+…+(2k+1)+2(k+1)］=右邊.∴當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立.由(1)(2),可知等式恒成立.【例2】設(shè)an=1?2?2?3+…+n(n?1)(n∈N).證明112n(n+1)

2n(n+1)=1,(n+1)=2.22112

k(k+1)

則當(dāng)n=k+1時(shí),112k(k+1)+(k?1)(k?2)

在所證明的不等式與自然數(shù)n有關(guān),而不易合并的情況下,可用數(shù)學(xué)歸納法證明.變式訓(xùn)練

111n?.++…+n232?121證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=,∴不等式成立.2111k(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,即1+++…+k>.232?12111111?k?k??+k?1則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+++…+k>

232?122?12?12.已知n∈N,用數(shù)學(xué)歸納法證明1+k111k?k?k??+k?1>+222?12?12∴當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立.由(1)(2),可知不等式恒成立.【例3】（2006高考江西卷,22）已知數(shù)列{an}滿足:a1=

=

k1k?1+=.2223nan?13*,且an=(n≥2,n∈N).22an?1?n?1(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求證:對(duì)一切正整數(shù)n,不等式a1·a2·…·an<2·n!恒成立.分析:由題設(shè)條件知,可用構(gòu)造新數(shù)列的方法求得an;第(2)問(wèn)的證明,可以等價(jià)變形,視為證明新的不等式.解:(1)將條件變?yōu)?-n1n?1=(1-), an3an?1因此,數(shù)列{1-

1n11n1}為一個(gè)等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1-=,公比為,從而1-?n，3ana13an3

據(jù)此得an=

n?3n3n?

1(n≥1).①

(2)證明:據(jù)①,得 a1·a2·…·an=

n!.111(1?)(1?2)?(1?n)3331313213n12為證a1·a2·…·an<2·n!, 只②

顯然,左端每個(gè)因式皆為正數(shù),先證明,對(duì)每個(gè)n∈N,(1-(1-*要證n∈N*時(shí)有(1-)(1-)…(1-)>.13n)≥1-（13+

132+…

11)(1-2)…331+).n3③

用數(shù)學(xué)歸納法證明③式:(Ⅰ)n=1時(shí),顯然③式成立,(Ⅱ)假設(shè)n=k時(shí),③式成立, 即(1-111111)(1-2)…(1-k)≥1-(+2+…+k), 333333則當(dāng)n=k+1時(shí), 1111)(1-2)…(1-k)(1-k?1)33331111≥［1-(+2+…+k)］(1-k?1)333311111111=1-(+2+…+k)-k?1+k?1(+2+…+k)333333331111≥1-(+2+…+k+k?1), 3333(1-即當(dāng)n=k+1時(shí)，③式也成立.*故對(duì)一切n∈N,③式都成立.11[1?()n]1111113 利用③,得(1-)(1-2)…(1-n)≥1-(+2+…+n)=1-313333331?311n111n1=1-［1-()］=+()>.232232綠色通道

本題提供了用數(shù)學(xué)歸納法證明相關(guān)問(wèn)題的一種證明思路,即要證明的不等式不一定非要用數(shù)學(xué)歸納法去直接證明,我們通過(guò)分析法、綜合法等方法的分析,可以找到一些證明的關(guān)鍵,“要證明……”,“只需證明……”,轉(zhuǎn)化為證明其他某一個(gè)條件,進(jìn)而說(shuō)明要證明的不

等式是成立的.變式訓(xùn)練

3.已知數(shù)列{an}是正數(shù)組成的等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,并且a3=5,a4S2=28.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求證:不等式(1+

112311*)(1+2)…(1+)·≥對(duì)一切n∈N均成立.a3a1an2n?112n?1顯得“多余”,所以分析:第(2)問(wèn)中的不等式左側(cè),每個(gè)括號(hào)的規(guī)律是一致的,因此可嘗試變形,即把不等式兩邊同乘2n?1,然后再證明.?a1?2d?5,(1)解:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由已知,得?

(2a?d)(a?3d)?28.1?1∴(10-3d)(5+d)=28.∴3d+5d-22=0.解之,得d=2或d=?∵數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正, ∴d=2.∴a1=1.∴an=2n-1.*(2)證明:∵n∈N, ∴只需證明(1+

211.3111)(1+2)…(1+n)aaa1≥232n?1成立.3①當(dāng)n=1時(shí),左邊=2,右邊=2, ∴不等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,即(1+12311)(1+2)…(1+)≥2k?1.a3a1ak1111)(1+2)…(1+)(1+)aa1akak?1那么當(dāng)n=k+1時(shí),(1+≥2332k?1(1+1ak?1)=

232k?2, ?32k?1以下只需證明232k?223≥2k?3，332k?1

即只需證明2k+2≥2k?1?2k?3.∵(2k+2)-(2k?1?2k?3)=1>0, ∴(1+2

2111)(1+2)…(1+)aa1ak?1≥23232k?3?2(k?1)?1.33*綜上①②,知不等式對(duì)于n∈N都成立.【例4】設(shè)Pn=(1+x),Qn=1+nx+n

n(n?1)2x,n∈N*,x∈(-1,+∞),試比較Pn與Qn的大小,并加2以證明.分析:這類(lèi)問(wèn)題,一般都是將Pn、Qn退至具體的Pn、Qn開(kāi)始觀察,以尋求規(guī)律,作出猜想,再證明猜想的正確性.2P1=1+x=Q1,P2=1+2x+x=Q2, 232P3=1+3x+3x+x,Q3=1+3x+3x, 3P3-Q3=x, 由此推測(cè),Pn與Qn的大小要由x的符號(hào)來(lái)決定.解:(1)當(dāng)n=1,2時(shí),Pn=Qn.(2)當(dāng)n≥3時(shí),(以下再對(duì)x進(jìn)行分類(lèi))①若x∈(0,+∞),顯然有Pn>Qn;②若x=0,則Pn=Qn;③若x∈(-1,0), 3則P3-Q3=x<0,所以P3

3k(k?1)x22k(k?1)x=1+kx++x+kx+

22k(k?1)2k(k?1)3x+x 22k(k?1)3x

本題除對(duì)n的不同取值會(huì)有Pn與Qn之間的大小變化,變量x也影響Pn與Qn的大小關(guān)系,這就要求我們?cè)谔剿鞔笮￡P(guān)系時(shí),不能只顧“n”,而忽視其他變量(參數(shù))的作用.變式訓(xùn)練

xn?x?nn2?1*4.已知f(x)=n,對(duì)n∈N,試比較f(2)與2的大小,并說(shuō)明理由.n?1x?x?n

分析:利用分析法探求需要推理證明的關(guān)系,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.n2?1n2?1?22??1?解:設(shè)F(n)=2, n?1n2?1n2?1f(2)=1-2, n2?1n2因而只需比較2與n的大小.1222324252n2n=1時(shí),2>1;n=2時(shí),2=2;n=3時(shí),2<3;n=4時(shí),2=4,n=5時(shí),2>5,猜想n≥5時(shí),2>n,即k22>k(k≥5),則當(dāng)n=k+1時(shí), k+1k22=2×2>2×k 22=k+k+2k+1-2k-1 22=(k+1)+(k-1)-2 2>(k+1).n2?1綜上所述,n=1或n≥5時(shí),f(2)>2.n?1