第一篇：證明不等式的基本方法—比較法

§4.2.1證明不等式的基本方法—比較法

【學習目標】

能熟練運用比較法來證明不等式。

【新知探究】

1．比較法證明不等式的一般步驟：作差（商）—變形—判斷—結論.2．作差法：a－b＞0?a＞b，a－b＜0?a＜b.作差法證明不等式是不等式證明的最基本的方法.作差后需要判斷差的符號，作差變形的方向常常是因式分解（分式通分、無理式有理化等）后，把差寫成積的形式或配成完全平方式.3．作商法：a＞0，b＞0，a＞1?a＞b.b

a＞1不能推出a＞b.這里要注意a、b兩數(shù)的符號.b比商法要注意使用條件，若

【自我檢測】

1中最大的一個是 1?x

A.aB.bC.cD.不能確定

2．已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，則M與N的大小關系是

A.M≥NB.M≤NC.M=ND.不能確定 1．設0＜x＜1，則a=2x，b=1+x，c=

3．若11＜＜0，則下列結論不正確的是 ．．．ab

B.ab＜b2 A.a2＜b

2C.ba+＞2D.|a|+|b|＞|a+b| ab

4．已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），給出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的是____________.（把成立的不等式的序號都填上）

5．若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+1≥2.其中一定成立的是__________.（把成立的不等式的序號都填上）a

【典型例題】

3322例

1、已知a,b都是正數(shù)，并且a?b，求證：a?b?ab?ab.-1 –“學海無涯苦作舟，書山有路勤為徑”

變式訓練：當m＞n時，求證：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3．

例

2、已知a,b都是正數(shù)，求證：aabb?abba, 當且僅當a?b時，等號成立。

例

3、b克糖水中有a克糖(b?a?0)，若再添上m克糖，則糖水就變甜了，試根據(jù)這個 事實提煉一個不等式：；并且加以證明。

變式訓練：5.船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的平均速度v1和在靜水中的速度v2的大小關系為____________.并且加以證明。

【典型例題】課后練習課本P23習題2.11，2，3，4

–“天下事，必作于細”

第二篇：2.1證明不等式的基本方法：比較法

2．1證明不等式的基本方法：比較法

（一）教學目標

1．知識與技能: 掌握比較法證明不等式的方法。

2.過程與方法: 通過糖水（鹽水）不等式引入比較法；通過對比較法的兩種形式，加深對比較法的理解。

3．情態(tài)與價值：體會數(shù)學在日常生活中無所不在，培養(yǎng)數(shù)學興趣。

（二）教學重、難點

重點：掌握比較法證明不等式的方法。難點：比較法證明不等式的方法中的變形。

（三）教學設想 [創(chuàng)設問題情境]

一、作差比較法

3322例1 已知a,b都是實數(shù),且a?b,求證a?b?ab?ab

a例2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液,則其濃度為, b 若在上述溶液中再添mkg加白糖,此時溶液的濃度 a?m增加到,將這個事實抽象為數(shù)問學題,并給出證明.b?m

解:可以把上述事實抽象如成下不等式問題:

a?ma,并a?b且,則? 已知a,b,m都是正數(shù)b?mb

二、作商比較法

abba例3 已知a,b是正數(shù),求證ab?ab，當且僅當a?b時,等號成立.a?b?c 變式引申:求證:若a,b,c?R?,則aabbcc?(abc)

3補充例題:已知a?2,求證:loga(a?1)?log(a?1)a 補充練習:若a,b,m,n都是正實數(shù),且m?n?1，試證明ma?nb?ma?nb

三、小結：兩種方法的步驟。

四、作業(yè)

第三篇：晉級課 證明不等式的基本方法—比較法

證明不等式的基本方法—比較法

高二數(shù)學組 李彩妨

【學習目標】

1、理解并掌握證明不等式的基本方法---比較法;

2、熟悉并掌握比較法證明不等式的基本步驟：作差（商）---變形---判斷---結論.【重、難點】

重點：求差比較法證明不等式。難點：求差、商后，如何對“差式”“商式”進行適當變形，并判斷符號。

【教學過程】 【復習導入】

初中時候，我們學習了比較兩實數(shù)大小的方法，其主要依據(jù)是實數(shù)運算的符號法則，首先，我們作一簡要的復習.a?b?a?b?0，a?b?a?b?0，a?b?a?b?0

利用上述等價形式，也可證明不等式.如果用akg白糖制出bkg糖溶液，則其濃度為a/b.若在上述溶液中再添加mkg白糖，此時溶液的濃度增加到（a+m）/(b+m),比較a/b 與（a+m）/(b+m)的大小。

【新知探究】

1． 比較法證明不等式的一般步驟：作差（商）—變形—判斷—結論

2． 作差法：a－b＞0?a＞b，a－b＜0?a＜b.作差法證明不等式是不等式證明的最基本的方法.作差后需要判斷差的符號，作差變形的方向常常是因式分解（分式通分、無理式有理化等）后，把差寫成積的形式或配成完全平方式.3．作商法：a＞0，b＞0，a＞1?a＞b.ba＞1不能推出a＞b.這里要注意a、b兩數(shù)的符號.b比商法要注意使用條件，若【典型例題】

3322例

1、已知a,b都是正數(shù)，并且a?b，求證：a?b?ab?ab.練習：

設x?R，求證：（1）x?x?1?

–

“學海無涯苦作舟，書山有路勤為徑” 23

52（2）1?x?x? 44例

2、已知a,b都是正數(shù)，求證：aabb?abba, 當且僅當a?b時，等號成立。

變式訓練：已知a>b>0,求證：(ab)a?b?a2bb2a

【小結評價】

1、作差（商）法的一般步驟

2、作差法和作商法的區(qū)別

【自我檢測】

1．設0＜x＜1，則a=2x，b=1+x，c=A.a B.b

1中最大的一個是 1?x C.c

D.不能確定

2．已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，則M與N的大小關系是

A.M≥N

B.M≤N

C.M=N

D.不能確定 3．若11＜＜0，則下列結論不正確的是 ．．．ab

B.ab＜b2 D.|a|+|b|＞|a+b| A.a2＜b2 baC.+＞2 ab4．已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），給出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的是____________.（把成立的不等式的序號都填上）

5．若a、b∈R，有下列不等式：①a+3＞2a；②a+b≥2（a－b－1）；③a+b＞ab+ab；④1a+≥2.其中一定成立的是__________.（把成立的不等式的序號都填上）a-2 –

“天下事，必作于細”

第四篇：比較法證明不等式

比較法證明不等式

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數(shù)大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。

(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體;②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段;③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數(shù)式時一般使用差值比較法。

(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商;②變形：化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關系，就是判定商大于1或小于1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時，一般使用商值比較法。

2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質和有關定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因導果”，從“已知”看“需知”，逐步推出“結論”。其邏輯關系為：AB1B2B3…BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。

a>b>0,求證：a^ab^b>(ab)^a+b/

2因a^a*b^b=(ab)^ab,又ab>a+b/2

故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

已知:a,b,c屬于(-2,2).求證：ab+bc+ca>-4.用極限法取2或-2，結果大于等于-4，因屬于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，結果就只能大于-

4下面這個方法算不算“比較法”啊?

作差M=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4

構造函數(shù)M=f(c)=(a+b)c+ab+4

這是關于c的一次函數(shù)(或常函數(shù))，在cOM坐標系內，其圖象是直線，而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)>0(因為a<2,b<2)

f(2)=2(a+b)+ab+4=(a+2)(b+2)>0(因為a>-2,b>-2)

所以函數(shù)f(c)在c∈(-2,2)上總有f(c)>0

即M>0

即ab+bc+ca+4>0

所以ab+bc+ca>-4

設x,y∈R,求證x^2+4y^2+2≥2x+4y

(x-1)2≥0

(2y-1)2≥0

x2-2x+1≥0

4y2-4x+1≥0

x2-2x+1+4y2-4x+1≥0

x2+4y2+2≥2x+4x

除了比較法還有：

求出中間函數(shù)的值域：

y=(x^2-1)/(x^2+1)

=1-2/(x^2+1)

x為R，y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，沒有最大值，趨于無窮校

所以有：

-1<=y=1-2/(x^2+1)<

1原題得到證明

比較法：

①作差比較，要點是：作差——變形——判斷。

這種比較法是普遍適用的，是無條件的。

根據(jù)a-b>0a>b，欲證a>b只需證a-b>0;

②作商比較，要點是：作商——變形——判斷。

這種比較法是有條件的，這個條件就是“除式”的符號一定。

當b>0時，a>b>1。

比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有時根據(jù)題設可轉化為等價問題的比較(如冪、方根等)

綜合法是從已知數(shù)量與已知數(shù)量的關系入手，逐步分析已知數(shù)量與未知數(shù)量的關系，一直到求出未知數(shù)量的解題方法。

第五篇：4.1 比較法證明不等式

§4 不等式的證明

4．1 比較法證明不等式

1．設t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則下列t與s的大小關系中正確的是()

A．t>sB．t≥s

C．t

2解析：選D.∵s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.12．已知P＝Q＝a2－a＋1，那么P、Q的大小關系是()a＋a＋

1A．P>QB．P

C．P≥QD．P≤Q

Q解析：選D.＝(a2－a＋1)·(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.P

13a－?2>0，又∵Q＝a2－a＋1＝??2?

411P＝>0，a＋a＋123?a＋1?＋4

∴P≤Q.113．已知a>b>－1，則()a＋1b＋1

1111A.B.

1111C.D.≤a＋1b＋1a＋1b＋1

b－a11解析：選B.∵a>b>－1，∴a＋1>0，b＋1>0，a－b>0，則＝<0，a＋1b＋1?a＋1??b＋1?

11∴a＋1b＋1

an4．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝，其中a，b均為正數(shù)，那么an與an＋1的大小關系是bn＋1

()

A．an>an＋1B．an

C．an＝an＋1D．與n的取值有關

a?n＋1?an解析：選B.an＋1－an＝－ b?n＋1?＋1bn＋1

a＝，?bn＋b＋1??bn＋1?

∵a>0，b>0，n>0，n∈N＋，∴an＋1－an>0，an＋1>an.5．設x2，y73，z＝6－2，則x，y，z的大小關系是()

A．x>y>zB．z>x>y

C．y>z>xD．x>z>y

44解析：選D.y73，z6－2＝，7＋36

2∵7＋3>6＋2>0，∴z>y.3＋2－43－24又x－z＝2－>0，6＋6＋262

∴x>z，∴x>z>y.6．在等比數(shù)列{an}和等差數(shù)列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，則a5與b5的大小關系是()

A．a5b

5C．a5＝b5D．不確定

解析：選B.∵{an}為等比數(shù)列設公比為q，∴a3＝a1q2，又∵a1≠a3，∴q2≠1.{bn}為等差數(shù)列，設公差為d，∴b3＝b1＋2d.又∵a1＝b1>0且a3＝b3，∴b3＝a1＋2d，∴2d＝a1q2－a1，∴a5＝a1q4；b5＝a1＋4d＝2a1q2－a1，∴a5－b5＝a1(q4－2q2＋1)＝a1(q2－1)2>0.故a5>b5.bb＋m7．設a，b，m均為正數(shù)，且，則a與b的大小關系是________． aa＋m

b＋mbm?a－b?解析：>0，a＋maa?a＋m?

又a，b，m為正數(shù)．

∴a(a＋m)>0，m>0，因此a－b>0，a>b.答案：a>b

3A8．若f(x)A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]2，若a>1，則________1.Bx?x－3?

3x>3，又a>1，所以A>0，B>0.x?x－3?

又因為B－A＝[loga(x－1)－2]2≥0，A所以B≥A≤1.B

答案：≤

9．設n∈N，n>1，則logn(n＋1)與logn＋1(n＋2)的大小關系是________．

logn＋1?n＋2?解析：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n logn?n＋1?

logn＋1?n＋2?＋logn＋1n?2≤?2??

logn＋1?n2＋2n?2?＝2?

logn＋1?n＋1?22?<2?＝1.答案：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)

10．已知a、b都是正數(shù)，x、y∈R，且a＋b＝1.求證：ax2＋by2≥(ax＋by)2.證明：ax2＋by2－(ax＋by)2

＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2

＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy

＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy

＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.∵a>0，b>0，x，y∈R，∴ab>0，(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立．

a＋b＋c11．若a，b，c∈(0，＋∞)，證明：aabbcc≥(abc.3解析：因為f(x)＝

證明：＋＋＝?abc?3aabbcc2a－b－c32b－c－a2c－a－bb3c3

aa－bbb－caa－c＝()3()3(3bcc

由于a，b，c在題中的地位相當(全對稱性)，a－ba不妨設a≥b≥c>0，∴1，0，b3

aa－baa－cbb－c從而()31，同理3≥1，(3≥1.bcc

相乘即可得證．

aa－bbb－caa－c∴()3()3(31，bcc

abca＋b＋cabcabc即1，∴abc≥(abc)3.?abc?3

12．已知a>0，b>0，m>0，n>0，求證：amn＋bmn>ambn＋anbm.＋＋證明：amn＋bmn－(ambn＋anbm)

＋＋＝(amn－ambn)－(anbm－bmn)

＝am(an－bn)－bm(an－bn)

＝(am－bm)(an－bn)．

當a>b時，am>bm，an>bn，∴(am－bm)(an－bn)>0；

當a0；

當a＝b時，am＝bm，an＝bn，∴(am－bm)(an－bn)＝0.綜上，(am－bm)(an－bn)≥0，＋＋即amn＋bmn≥ambn＋anbm.＋＋