第一篇：高二數(shù)學選修1-2推理與證明測試題及答案

推理與證明

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿分150分.測試時間120分鐘.一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內所有直線；已知直線b??平面?，直

?線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結論顯然是錯誤的，這是因為（）

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤

2.下面使用類比推理，得到正確結論的是（）

A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

a?bab??（c≠0）” ccc

nn（ab）?anbn” 類推出“（a?b）?an?bn” D.“C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“

3.在十進制中2004?4?10?0?10?0?10?2?10，那么在5進制中數(shù)碼2004折合成十進制為

()

A.29B.254C.602D.2004 012

3???4.設f0(x)?sinx，f1(x)?f0(x)，f2(x)?f1(x)，?，fn?1(x)?fn(x)，n?N，則f2010(x)＝（）

A.cosxB．－cosxC．sinxD－sinx

5.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)”結論顯然是錯誤的，是因為（）

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤

6.下面幾種推理是類比推理的是（）

A.兩條直線平行，同旁內角互補，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內角，則∠A+∠B=1800B.由平面三角形的性質，推測空間四邊形的性質

C.某校高二級有20個班，1班有51位團員，2班有53位團員，3班有52位團員，由此可以推測各班都超過50位團員.D.一切偶數(shù)都能被2整除，2100是偶數(shù)，所以2100能被2整除.7.黑白兩種顏色的正六形地面磚塊按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第五個圖案中有白色地面磚（）塊.A.21B.22C.20D.23

8.用反證法證明命題“若整系數(shù)一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有有理根，那么a,b,c中至少有一個是偶數(shù)”時，下列假設中正確的是（）

（A）假設a,b,c不都是偶數(shù)（B）假設a,b,c都不是偶數(shù)（C）假設a,b,c至多有一個是偶數(shù)（D）假設a,b,c至多有兩個是偶數(shù)

9．如果f(a?b)?f(a)f(b)且f(1)?2,則

A．

2f(2)f(4)f(6)

???()． f(1)f(3)f(5)

B．

5C．6 D．8

?x(x?y)3110、定義運算:x?y??例如3?4?4,則(?)?(cos2??sin??)的最大值為()

24?y(x?y),A.4B.3C.2D.122

211.下面的四個不等式：①a?b?c?ab?bc?ca；②a?1?a??

1ab

；③??2 ；④4ba

?a

?b2?c2?d2??ac?bd?.其中不成立的有

???

A.1個B.2個C.3個D.4個 12.已知f(x?1)?

2f(x)

（x?N*）,f(1)?1，猜想f(x）的表達式為()

f(x)?2

A.f(x)?

4212

f(x)?f(x)?f(x)?B.C.D.2x?2x?1x?12x?1

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

13.已知一列數(shù)1，－5，9，－13，17，??，根據(jù)其規(guī)律，下一個數(shù)應為． 14.下列表述正確的是

①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理。

15.在數(shù)列?an?中，a1?1,an?1?

2an

n?N*?,猜想這個數(shù)列的通項公式是． ?an?

216.平面內2條相交直線最多有1個交點；3條相交直線最多有3個交點；試猜想：n條相交直線最多把

有____________個交點

2?3?4?3，3+4+5+6+7=5中，可得到一般規(guī)律為(用數(shù)學表達式17.從1?1，表示)。

222

18．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：23 456 78910 ． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的規(guī)律，第n 行（n?3）從左向右的第3個數(shù)為．

三、解答題（本大題共3小題，共60分．解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程）19．（1）求證：當a、b、c為正數(shù)時，(a?b?c)（11

1??)?9.abc

（2）已知n?0,試用分析法證明n?2?n?1?n?1?n

（3）已知x?R，a?x?1，b?2x?2。求證a,b中至少有一個不少于0。

20．在?ABC中，三個內角A、B、C對應的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證：?ABC為等邊三角形。

21．已知：0?b?a?e,其中e是自然對數(shù)的底數(shù)。（1）試猜想a與b的大小關系；（2）證明你的結論

b

a

推理與證明測試題參考答案

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

二、填空題13.－2114)①③⑤15)

2n(n?1)16)n?1

2n2?n?6

17.n?(n?1)?(n?2)?......?(3n?2)?(2n?1)18.三、解答題（本大題共3小題，共60分）19（本大題30分）（1）證明：左邊=3??

?ab??cb??ac?

??????????…………5分 ?ba??bc??ca?

因為：a、b、c為正數(shù) 所以：左邊?3?

2abcbac??2??2? babcca

?3?2?2?2?9…………8分

?111?

…………10分 ??a?b?c??????9

?abc?

（2）證明：要證上式成立，需證n?2?n?2n?1…………2分需證(n?2?n)2?(2n?1)2需證n?1?

n2?2n…………6分

需證(n?1)?n?2n需證n?2n?1?n?2n，只需證1>0…………8分

因為1>0顯然成立，所以原命題成立…………10分（3）證明：假設a,b中沒有一個不少于0，即a?0，b?0則：a?b?0…………3分

又a?b?x2?1?2x?2?x2?2x?1?(x?1)2?0…………8分 這與假設所得結論矛盾，故假設不成立

所以a,b中至少有一個不少于0…………10分 20（15分）

證明：?A、B、C成等差數(shù)列

?A+C=2B

由A+B+C=1800得：B=600…………4分

2a2?c2?b2

1?即：

2ac2222

b?a?b?a c①…………8分

又? a、b、c成等比數(shù)列

?b2?ac②…………10分

由①②得：ac?a?b?ac

即：(a?c)?0?a?c

??ABC是等腰三角形………13分 又? B=600

??ABC是等邊三角形…………15分 ??COSB

21．（15分）

解：（1）取a?2,b?1可知：a?b，又當a?1,b?

b

b

a

1ba

時，a?b 2

a

由此猜測a?b對一切0?b?a?e成立????5分

（2）證明：

要證a?b對一切0?b?a?e成立

需證lna?lnb 需證blna?alnb

b

a

b

a

lnalnb

?????10分 ab

lnx

x?(0,e)設函數(shù)f(x)?x

1?lnx

f?(x)?，當x?(0,e)時，f?(x)?0恒成立 2

x

需證

?f(x)?

lnx

在(0,e)上單調遞增????13分 x

lnalnb

?f(a)?f(b)即?

ab

????15分

?ab?ba

第二篇：高二數(shù)學選修2-2《推理與證明測試題》

-202000

sin30?cos60?sin30cos60?

202000

sin20?cos50?sin20cos50?

3，sin15?cos45?sin15cos45?

17、（10分）已知正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，且公差d?0，求證：，不可能是等差數(shù)列。

abc18、（14分）已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1,(1)寫出a1, a2, a3,并推測an的表達式；(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結論。

15、猜想：sin2??cos2(??30?)?sin?cos(??30?)?證明：4

1?cos2?1?cos(600?2?)sin(300?2?)?sin300

sin??cos(??30)?sin?cos(??30)???

222

cos(600?2?)?cos2?11?2sin(300?2?)sin30011 00

?1??[sin(30?2?)?]?1??[sin(30?2?)?]

222222

3113 00

??sin(30?2?)?sin(30?2?)

?

第三篇：高二數(shù)學選修1-2《推理與證明測試題》（范文）

高二數(shù)學選修1-2《推理與證明測試題》

班級姓名學號得分

一、選擇題：

1、與函數(shù)y?x為相同函數(shù)的是（）A.y?x2B.y?x

2xC.y?elnxD.y?log2x22、下面使用類比推理正確的是（）.A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“a?b

c?a

c?b

c（c≠0）”

nnnnnnD.“（ab）?ab” 類推出“（a?b）?a?b”

3、有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內所有直線；已知直線 b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結論顯然是錯誤的，這是因為（）

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤

4、用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（）。

A.假設三內角都不大于60度；B.假設三內角都大于60度；

C.假設三內角至多有一個大于60度；D.假設三內角至多有兩個大于60度。

5、當n?1，2，3，4，5，6時，比較2n和n2的大小并猜想（）

A.n?1時，2n?n2B.n?3時，2n?n

2n2n2C.n?4時，2?nD.n?5時，2?n6、已知x,y?R,則“xy?1”是“x?y?1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7、在下列表格中,每格填上一個數(shù)字后,使每一行成等差數(shù)

列,每一列成等比數(shù)列,則a+b+c的值是()

A.1B.2C.3D.41 228、對“a,b,c是不全相等的正數(shù)”，給出兩個判斷：

①(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0；②a?b,b?c,c?a不能同時成立，下列說法正確的是（）

A．①對②錯 C．①對②對

B．①錯②對

D．①錯②錯

ax?cy

?（）

9、設a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列，而x,y分別為a,b和b,c的等差中項，則

A．1B．2C．3D．不確定

10、定義運算:x?y??

?x?y

(x?y)(x?y),的是（）例如3?4?4,則下列等式不能成立．．．．

A．x?y?y?xB．(x?y)?z?x?(y?z)

C．(x?y)2?x2?y2D．c?(x?y)?(c?x)?(c?y)（其中c?0）

二、填空題：

11、一同學在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個圈中的●的個數(shù)是。

12、類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關系：AB?AC

?BC。若三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩

兩互相垂直，則三棱錐的側面積與底面積之間滿足的關系為.13、從1?1，1?4??(1?2),1?4?9?1?2?3，1?4?9?16??(1?2?3?4)，?,推廣到第n個等式為_________________________.14、已知a1?3，an?1?

3anan?

3，試通過計算a2，a3，a4，a5的值，推測出an＝

三、解答題：

15、在△ABC中，證明：

16、設a,b,x,y?R，且a2?b2?1,x2?y2?1,試證：ax?by?1。

17、用反證法證明：如果x?

cos2Aa

?

cos2Bb

?

1a

?

1b。

2，那么x2?2x?1?0。

18、已知數(shù)列a1,a2,?,a30，其中a1,a2,?,a10是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；

（d?0）.a10,a11,?,a20是公差為d的等差數(shù)列；a20,a21,?,a30是公差為d的等差數(shù)列

（1）若a20?40，求d；

（2）試寫出a30關于d的關系式，并求a30的取值范圍；

（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得a30,a31,?,a40是公差為d3的等差數(shù)列，??，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列.提出同（2）類似的問題（（2）應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結論？

高二數(shù)學選修1-2《推理與證明測試題》答案提示

1——

10、DCABDBAABC11、____14__________

12、S?BCD

?S?ABC

?S?ACD

?S?ABD13、1?22?32?42???(?1)n?1?n2?(?1)n?1?(1?2?3?????n)

14、________

3n

______

cos2Bb15、證明：

cos2Aa

??

1?2sin

a

A

?

1?2sin

b

B

?

1a

?

1bB

?sin2Asin2B?

??2??a2?b2?

??

由正弦定理得：

cos2Aa

sina

2A

?

sinb

?

??

cos2Bb

?

1b

a16、證明: 1?(a2?b2)(x2?y2)?a2x2?a2y2?b2x2?b2y

2?a2x2?2aybx?b2y2?(ax?by)2故ax?by?

117、假設x?2x?1?0，則x??1?

2?

2容易看出?1?要證：?1?

2?2?3212

12，下面證明?1?。，只需證：2?只需證：2?

4，2?

上式顯然成立，故有?1?綜上，x??1?

2?

12。

。而這與已知條件x?相矛盾，因此假設不成立，也即原命題成立。

18、解：（1）a10?10.a20?10?10d?40,?d?3.（2）a30?a20?10d2?10?1?d?d2?(d?0)，a30

??1?3??10??d????，2?4?????

當d?(??,0)?(0,??)時，a30??7.5,??

?.（3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列?an?，其中a1,a2,?,a10是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，當n?1時，數(shù)列a10n,a10n?1,?,a10(n?1)是公差為dn的等差數(shù)列.研究的問題可以是：

試寫出a10(n?1)關于d的關系式，并求a10(n?1)的取值范圍.研究的結論可以是：由a40?a30?10d3?10?1?d?d2?d3?，依次類推可得

a10(n?1)?101?d???d

?

n

?

n?1

?1?d?10?,??1?d??10(n?1),d?1, d?1.當d?0時，a10(n?1)的取值范圍為(10,??)等.

第四篇：高二文科數(shù)學選修1-2《推理與證明》測試題

高二數(shù)學選修1-2《推理與證明》測試題

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的；請將答案直接填入下列表格內.）

1.如果數(shù)列?an?是等差數(shù)列，則A.a1?a8?a4?a5 B.a1?a8?a4?a5 C.a1?a8?a4?a5 D.a1a8?a4a

52.下面使用類比推理正確的是

A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

a?bab??（c≠0）” ccc

nn（ab）?anbn” 類推出“（a?b）?an?bn” D.“C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“

3.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)”結論顯然是錯誤的，是因為A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤

4.設f0(x)?sinx,f1(x)?f0(x)，f2(x)?f1'(x),?,fn?1(x)?fn'(x)，n∈N，則f2007(x)?

A.sinx B.－sinx

01'C.cosx 23D.－cosx 5.在十進制中2004?4?10?0?10?0?10?2?10，那么在5進制中數(shù)碼2004折合成十進制為

A.29B.254C.602D.200

41D.1

21ab222??2 ；④7.下面的四個不等式：①a?b?c?ab?bc?ca；②a?1?a??；③4ba6.函數(shù)y?ax2?1的圖像與直線y?x相切，則a=A.C.11 B.84

?a22?b2?c2?d2??ac?bd?.其中不成立的有A.1個B.2個C.3個D.4個 ???

8.拋物線x2?4y上一點A的縱坐標為4，則點A與拋物線焦點的距離為A.2B.3C.4D.5

9.設 f(x)?|x?1|?|x|, 則f[f()]?A.?

????1212B.0 C.1 2 D.110.已知向量a?(x?5,3), b?(2,x),且a?b, 則由x的值構成的集合是

A.{2,3}B.{-1, 6}C.{2}D.{6}

11.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內所有直線；已知直線b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結論顯然是錯誤的，這是因為

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤 ?

2f(x)（x?N*）,f(1)?1，猜想f(x）的表達式為f(x)?2

4212A.f(x)?xB.f(x)?C.f(x)?D.f(x)? 2?2x?1x?12x?112.已知f(x?1)?

二.解答題：本大題共5小題，每小題8分，共40分.13.證明：2，不能為同一等差數(shù)列的三項.14.在△ABC中，sinA?sinB?sinC，判斷△ABC的形狀.cosB?cosC

15.已知：空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，判斷直線EF與平面ABD的關系，并證明你的結論.1?x)?x，求f(x)的最大值.16.已知函數(shù)f(x)?ln（17.△ABC三邊長a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：角B?90.三．填空題.本大題共4小題，每空4分，共16分，把答案填在題中橫線上。

18.類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關系：

AB2?AC2?BC2。若三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側面積與底面積之

間滿足的關系為.2?3?4?3，3+4+5+6+7=5中，可得到一般規(guī)律為(用數(shù)學表達式表示)19.從1?1，20.函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關系是.21.設平面內有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這ｎ條直線交點的個數(shù)，則f(4)=；當ｎ＞４時，f(n)＝（用含n的數(shù)學表達式表示）

四.解答題.（每題13分，共26分.選答兩題，多選則去掉一個得分最低的題后計算總分）

21?1???22.在各項為正的數(shù)列?an?中，數(shù)列的前n項和Sn滿足Sn??an? 2?an??

（1）求a1,a2,a3；（2）由（1）猜想數(shù)列?an?的通項公式；（3）求Sn

23.自然狀態(tài)下魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響，用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n?N，且x1＞0.不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a,b,c.（Ⅰ）求xn?1與xn的關系式；（Ⅱ）猜測：當且僅當x1，a,b,c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）24.設函數(shù)f(x)?xsinx(x?R).（1）證明：f(x?2k?)?f(x)?2k?sinx,k?Z；

x0

（2）設x0為f(x)的一個極值點，證明[f(x0)]?.2

1?x0

?

五.解答題.（共8分.從下列題中選答1題，多選按所做的前1題記分）25.通過計算可得下列等式：

22?12?2?1?132?22?2?2?142?32?2?3?1┅┅(n?1)2?n2?2?n?

1將以上各式分別相加得：(n?1)?1?2?(1?2?3???n)?n即：1?2?3???n?類比上述求法：請你求出1?2?3???n的值.26.直角三角形的兩條直角邊的和為a，求斜邊的高的最大值 27.已知f(x)(x?R)恒不為0，對于任意x1,x2?R 等式f?x1??f?x2??2f?

n(n?1)

?x1?x2?

??

?2??x?x2?f?1?恒成立.求證：f(x)是偶函數(shù).?2?

a?bc

?

1?a?b1?c

28.已知ΔABC的三條邊分別為a，b，c求證：

高二數(shù)學選修1-2 推理與證明測試題答案

一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的；請將答案直接填入下列表格內.）

二.解答題：本大題共5小題，每小題8分，共40分.13.證明：假設

2、、為同一等差數(shù)列的三項，則存在整數(shù)m,n滿足

3=2+md①=2+nd②

①?n-②?m得：n-m=2(n-m)兩邊平方得： 3n+5m-2mn=2(n-m)

左邊為無理數(shù)，右邊為有理數(shù)，且有理數(shù)?無理數(shù) 所以，假設不正確。即

2、、不能為同一等差數(shù)列的三項 14.?ABC是直角三角形； 因為sinA=

sinB?sinC

cosB?cosC

據(jù)正、余弦定理得 ：（b+c）(a-b-c)=0； 又因為a,b,c為?ABC的三邊，所以 b+c?0

222

所以 a=b+c 即?ABC為直角三角形.15.平行；提示：連接BD，因為E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，EF∥BD.16.提示：用求導的方法可求得f(x)的最大值為0

a2?c2?b22ac?b2b2b2b

??1?17.證明：cosB?=1? ?1?

2ac2ac2acb(a?c)a?c?a,b,c為△ABC三邊，?a?c?b，?1?

b

?0?cosB?0 ?B?900.a?c

三．填空題.本大題共4小題，每空4分，共16分，把答案填在題中橫線上。

2222

18.S?BCD?S?ABC?S?ACD?S?ADB.19.n?(n?1)?(n?2)?......?(3n?2)?(2n?1)2

20.f(2.5)>f(1)>f(3.5)21.5； n+1）(n-2)．

四.解答題.（每題13分，共26分.選答兩題，多選則去掉一個得分最低的題后計算總分）22.（1）a1?1,a2?

（2）an?n?n?1；（3）Sn?n.2?1,a3?3?2；

23.解（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為

22cxn,因此xn?1?xn?axn?bxn?cxn,n?N*.(*)即xn?1?xn(a?b?1?cxn),n?N*.(**)

（II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1，n∈N*，從而由（*）式得xn(a?b?cxn)恒等于0,n?N*,所以a?b?cx1?0.即x1?且僅當a>b，且x1?

a?b

.因為x1>0，所以a>b.猜測：當c

a?b

時，每年年初魚群的總量保持不變.c

24.證明：1）f(x?2k?)?f(x)?（x?2k?）sin(x?2k?)-xsinx

（x?2k?）sinx-xsinx=2k?sinx=

2)f?(x)?sinx?xcosx

f?(x0)?sinx0?x0cosx0?0①又sin2x0?cos2x0?1②

x02x02x042222由①②知sinx0=所以[f(x0)]?x0sinx0?x0 ?222

1?x01?x01?x0

五.解答題.（共8分.從下列題中選答1題，多選按所做的前1題記分）25.[解] 2?1?3?1?3?1?13?2?3?2?3?2?1

43?33?3?32?3?3?1┅┅

(n?1)3?n3?3?n2?3?n?1

將以上各式分別相加得：(n?1)3?13?3?(12?22?32???n2)?3?(1?2?3??n)?n 所以： 1?2?3???n??

11?n

[(n?1)3?1?n?3n] 32

n(n?1)(2n?1)

26.a 4

27.簡證：令x1?x2，則有f?0??1，再令x1??x2?x即可 28.證明：設f(x)?

x,x?(0,??)1?x

設x1,x2是(0,??)上的任意兩個實數(shù)，且x2?x1?0，f(x1)?f(x2)?

x1xx1?x2

?2?

1?x11?x2(1?x1)(1?x2)

x

在(0,??)上是增函數(shù)。1?x

因為x2?x1?0，所以f(x1)?f(x2)。所以f(x)?由a?b?c?0知f(a?b)?f(c)即

a?bc

?.1?a?b1?c

第五篇：高二 數(shù)學 選修 推理與證明(文)（模版）

高中數(shù)學（文）推理與證明

知識要點：

1、合情推理

根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質，推出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理，叫做歸納推理（簡稱歸納）。歸納是從特殊到一般的過程，它屬于合情推理；

根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質的推理，叫做類比推理（簡稱類比）。

類比推理的一般步驟：

（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）；（3）一般地，事物之間的各個性質之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個事物在某些性質上相同或類似，那么它們在另一些性質上也可能相同或類似，類比的結論可能是真的；

（4）在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質與推測的性質之間越相關，那么類比得出的命題就越可靠。

2、演繹推理

分析上述推理過程，可以看出，推理的滅每一個步驟都是根據(jù)一般性命題（如“全等三角形”）推出特殊性命題的過程，這類根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導出特殊性命題為真的推理，叫做演繹推理。演繹推理的特征是：當前提為真時，結論必然為真。

3、證明方法

（1）反證法：要證明某一結論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯誤的，從而斷定A是正確的即反證法就是通過否定命題的結論而導出矛盾來達到肯定命題的結論，完成命題的論證的一種數(shù)學證明方法。

反證法的步驟：1)假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；2)從這個假設出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。

注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設矛盾；②與反設矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結論。

（2）分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。

分析法的思維特點是：執(zhí)果索因；

分析法的書寫格式： 要證明命題B為真，只需要證明命題為真，從而有??，這只需要證明命題為真，從而又有??

這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。

（3）綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法，綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學定理、性質和公式，推出結論的一種證明方法。

典例分析：

例1：例5．（1）觀察圓周上n個點之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，你由此可以歸納出什么規(guī)律？

（2）把下面在平面內成立的結論類比推廣到空間，并判斷類比的結論是否成立：

1）如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必于另一條相交。

2）如果兩條直線同時垂直與第三條直線，則這兩條直線平行。

例2：（06年天津）如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱

1EF//BC。?

2（1）證明FO//平面CDE；

（2）設BC?，證明EO?平

面CDF。

例3：（1）用反證法證明：如果a>b>0，那么

（2）用綜合法證明：如果a>b>0，那么

； ；

例4：用分析法證明：如果ΔABC的三條邊分別為a，b，c，那么：

a?bc? 1?a?b1?c

鞏固練習：

1.如果數(shù)列?an?是等差數(shù)列，則

A.a1?a8?a4?a5 B.a1?a8?a4?a5 C.a1?a8?a4?a5 D.a1a8?a4a

52.下面使用類比推理正確的是

A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

a?bab??（c≠0）” ccc

nn（ab）?anbn” 類推出“（a?b）?an?bn” D.“

3.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)”

結論顯然是錯誤的，是因為

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“

4.設f0(x)?sinx,f1(x)?f0(x)，f2(x)?f1'(x),?,fn?1(x)?fn'(x)，n∈N，則'

f2007(x)?

A.sinx B.－sinx C.cosx D.－cosx

5.在十進制中2004?4?100?0?101?0?102?2?103，那么在5進制中數(shù)碼200

4折合成十進制為

A.29B.254C.602D.2004

6.函數(shù)y?ax2?1的圖像與直線y?x相切，則a= A.18 B.1 4C.12D.11；③47.下面的四個不等式：①a2?b2?c2?ab?bc?ca；②a?1?a??

ab??2 ；④a2?b2?c2?d2??ac?bd?2.其中不成立的有ba

A.1個B.2個C.3個D.4個

2f(x)（x?N*）,f(1)?1 8.已知f(x?1)?，猜想f(x）的表達式為f(x)?2

4212A.f(x)?xB.f(x)?C.f(x)?D.f(x)? 2?2x?1x?12x?1

9.類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，????則三角形三邊長之間滿足關系：AB2?AC2?BC2。若三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側面積與底面積之間滿足的關系為.2?3?4?32，3+4+5+6+7=52中，可得到一般規(guī)律為10.從1?12，(用數(shù)學表達式表示)

11.函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關系是.12.設平面內有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這ｎ條直線交點的個數(shù)，則f(4)

當ｎ＞４時，f(n)＝（用含n的數(shù)學表達式表示）