第一篇：推理和證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性

推理與證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性

山東淄博第十五中學(xué)數(shù)學(xué)組李剛

《推理與證明》這一章，在我國高中教材中還是首次出現(xiàn)，主要通過實(shí)例引起學(xué)生對(duì)“推理”的興趣，并引導(dǎo)學(xué)生理解各種推理的作用。能夠運(yùn)用推理去探索、猜測(cè)和歸納出一些數(shù)學(xué)結(jié)論，并能證明結(jié)論的正確性。重點(diǎn)是通過分析一些定理的證明過程，總結(jié)并讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)證明的一些基本方法。推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測(cè)某些結(jié)果的推理過程，歸納、類比是合情推理常用的思維方法。在解決問題的過程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程，培養(yǎng)和提高學(xué)生的演繹推理或邏輯證明的能力是高中數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密、相輔相成。證明通常包括邏輯證明和實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎(chǔ)上，通過正確使用推理規(guī)則得出結(jié)論。在本模塊中，學(xué)生將通過對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，進(jìn)一步體會(huì)合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法,包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。本章的知識(shí)構(gòu)圖如下：

知識(shí)結(jié)構(gòu)

推

理

與 證

明

在人們的工作和生活中，總是要依靠大腦的思維，對(duì)自己的言行作出選擇，對(duì)他人的言行作出判斷； 按照新課標(biāo)要求，為高中階段的學(xué)生開設(shè)了“推理與證明”的課程，是為了

提高未來公民的素質(zhì)，使人們養(yǎng)成言之有理，論證有據(jù)的習(xí)慣。盡管學(xué)生在學(xué)習(xí)推理時(shí)，會(huì)將推理分類為合情推理和演繹推理，又會(huì)將合情推理分類為歸納推理和類比推理，在學(xué)習(xí)證明時(shí)，會(huì)將證明分類為分析法、綜合法和反證法等方法，但是人們?cè)谔幚韺?shí)際問題的思維過程中，各種推理類型和證明方法是很難區(qū)分，它們互為補(bǔ)充，相互作用，共同推動(dòng)著人們思維的發(fā)展和幫助人們解決實(shí)際問題，并且有時(shí)候我們得到的結(jié)論具有多樣性和不可靠性。例1：德國地質(zhì)學(xué)家魏格納經(jīng)過長期觀察，發(fā)現(xiàn)南美洲的東海岸和非洲的西海岸非常相似，兩者是否存在某種聯(lián)系呢？他不斷收集更多的信息，并加以思索，他提出猜想，認(rèn)為兩塊陸地原來就是拼合在一起的，只是后來才像水中斷裂的兩塊木版一樣，斷裂并漂移開來，這樣兩海岸相似的現(xiàn)象，就能得到合理解釋。于是，魏格納提出了大陸構(gòu)造的板塊漂移學(xué)說。

分析：魏格納通過長期觀察、不斷收集信息和深入思索，得出兩海岸相似的結(jié)論，并提出猜想的過程，正是他運(yùn)用合情推理中歸納推理的過程；魏格納由漂在水中的斷裂開來的兩塊木板，聯(lián)想到在海洋中，斷裂并漂移開來的兩塊陸地的過程，正是他運(yùn)用合情推理中類比推理的過程。開普勒說：“我珍視類比勝過任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密”。合情推理具有的積極意義，能夠幫助人們提出新的想法，提高人們的創(chuàng)造能力和創(chuàng)新精神。例2：“鄰人疑斧 ”在中國是一個(gè)幾乎家喻戶曉的成語故事。話說有人丟了一把斧子，懷疑鄰居偷了，于是越看越象。直到斧子在柴房被找到后，再看鄰居，才怎么看鄰居也不象偷斧之人了。如果說故事中的主角只是單純的個(gè)人狹隘心理，那末產(chǎn)生這種心理的原因又是什么呢？可能正是“推理與證明”！

丟斧之初，丟斧之人曾聯(lián)想到與鄰居一次偶遇的情景，當(dāng)時(shí)鄰居看到他攜帶著新買的斧頭，帶著極為羨慕的眼光，夸贊道：“你的斧頭一定很鋒利、很好用”，當(dāng)時(shí)，丟斧之人還驕傲地回答道：“那是自然，新斧頭嘛！”；這正是丟斧之人，懷疑鄰居偷了他的斧頭，且越看越象的原因。在這段時(shí)間內(nèi)，丟斧之人在他的大腦思維過程中，進(jìn)行了一次合情推理和證明。

分析：當(dāng)斧子在柴房被找到后，丟斧的人才忽然想起，許久以前的一天，自己在柴房里干活，干到實(shí)在困乏的時(shí)候，就順手將斧頭丟在了柴房里不起眼的角落，離開柴房休息去了；這正是丟斧頭的人，再看鄰居，怎么看鄰居也不象偷斧之人了的原因了。在這段時(shí)間內(nèi)，丟斧之人在他的大腦思維過程中，進(jìn)行了一次演繹推理和證明。合情推理的消極意義是，具有不可靠性，容易使證明成為偽證明。

例3：找規(guī)律，請(qǐng)?jiān)冢ǎ﹥?nèi)填數(shù)：1，2，4，7，（）。

下面是幾個(gè)小學(xué)生，用合情推理給出的猜測(cè)性答案。

甲：∵1+2+4=7，∴2+4+7=（），即（）=1

3乙：∵1+2+1=4，2+4+1=7，∴4+7+1=（），即（）=1

2丙：∵2-1=1，4-2=2，7-4=3，∴（）-7=4，即（）=1

1下面是幾個(gè)初中學(xué)生（參加過競(jìng)賽輔導(dǎo)），用合情推理給出的猜測(cè)性答案。原問題可以轉(zhuǎn)化為：若設(shè)a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，則a5=（）

甲：∵a1+a2+a3=a4=7，∴a2+a3+a4=a5=13，乙：∵a1+a2+1=a3=4，a2+a3+1=a4=7，∴a3+a4+1=a5=12

丙：∵a2-a1=1，a3-a2=2，a4-a3=3，∴a5-a4=4，a5=11

分析：從以上我們獲知，合情推理的結(jié)果具有多樣性。

我們學(xué)習(xí)“推理與證明”的課程，就是希望學(xué)生能站在思維的高度，掌握“推理與證明”的積極因素和方法，形成可靠的、科學(xué)的證明，避免證明中的不可靠

性。推理與證明在人們的認(rèn)識(shí)過程中和數(shù)學(xué)研究中乃至數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著巨大的作用，它可以使我們獲得新的知識(shí)，也可以幫助我們論證或反駁某個(gè)論題，法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)說過：“即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比”?？梢娡评砼c證明在數(shù)學(xué)思維中具有重要的意義。

參考文獻(xiàn)：《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教師讀本》，葉堯城主編，華中師范大學(xué)出版社出版。

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山東淄博第十五中學(xué)數(shù)學(xué)組李剛 255120 郵箱：zlgb532@sohu.com郵編：

第二篇：我在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的新發(fā)現(xiàn)

我在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的新發(fā)現(xiàn)

我在日常生活中我們可以看到許多由不同形狀的地板拼成的地板,這些形狀各異、拼湊得嚴(yán)絲合縫的圖形中還牽扯到許多數(shù)學(xué)問題。

前幾天, 我外婆家裝修房子,我爸爸帶我玩,我看到工人師傅正在鋪地板, 唉, 工人師傅的本領(lǐng)真高呀,相鄰的地板之間平整地貼合在一起，整個(gè)地面或墻面沒有一點(diǎn)空隙。這些長方形的地板為什么能鋪滿地面而不留一點(diǎn)空隙呢？換一些其他的形狀行不行？為了解決這些問題，我仔細(xì)地探究了其中的道理，研究一下四邊形的有關(guān)概念，性質(zhì)。

三角形。它的內(nèi)角和是180度，外角和是360度。四邊形，它可以分成2個(gè)三角形，內(nèi)角和是360度，一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是90度，外角和是360度。五邊形，它可以分成3個(gè)三角形，內(nèi)角和是540度，一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是108度，外角和是360度。六邊形、七邊形……

由此，可以看出n邊形，可以分成（n-2）個(gè)三角形，內(nèi)角和為（n-2）*180度，一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是（n-2）*180÷2度，外角和是360度。若（n-2）*180÷2能整除360，那么就能用它來鋪滿地面，若不能，則不能用其鋪滿地面。

不論用幾種多邊形,只要在同一個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角之和為360度,就可以確保拼出的地板之間平整而無空隙了。在實(shí)際生活中還有許多圖案往往是由不規(guī)則的基本圖形拼成的,乍一看上去這些不規(guī)則的圖案令人眼花繚亂,其實(shí)都是由正規(guī)圖形通過移補(bǔ)組合成的。例如,拼圖就是用一塊塊不規(guī)則的圖形拼湊成的,還有許多圖案也是如此。

通過對(duì)鋪地板的觀察,我既掌握了關(guān)于多邊形的數(shù)學(xué)公式,又明白了地板鋪地的數(shù)學(xué)原理,使我對(duì)數(shù)學(xué)的思維和概念在實(shí)際生活中的活學(xué)活用有了近一步的理解,開闊了我的思維。

周武察哈爾路小學(xué)六（1）班 周武***

第三篇：推理與證明

第3講 推理與證明

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理

2．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。3．類比推理的一般步驟：

①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）【典型例題】

1、（2011?江西）觀察下列各式：7=49，7=343，7=2401，?，則7

34201

1的末兩位數(shù)字為（）

A、01 B、43 C、07 D、49

2、（2011?江西）觀察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，?，則5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

3、（2010?臨潁縣）平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線平行，由此類比思維，我們可以得到（）A、空間中平行于同一平面的兩個(gè)平面平行 B、空間中平行于同一條直線的兩條直線平行 C、空間中平行于同一條平面的兩條直線平行 D、空間中平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行

4、（2007?廣東）設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合，在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”（即對(duì)任意的a，b∈S，對(duì)于有序元素對(duì)（a，b），在S中有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)）有a*（b*a）=b，則對(duì)任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）

A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b

5、（2007?廣東）如圖是某汽車維修公司的維修點(diǎn)環(huán)形分布圖．公司在年初分配給A，B，C，D四個(gè)維修點(diǎn)某種配件各50件．在使用前發(fā)現(xiàn)需將A，B，C，D四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整為40，45，54，61件，但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行，那么要完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動(dòng)件次（n件配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為n）為（）

A、15 B、16 C、17 D、18

6、（2006?陜西）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對(duì)應(yīng)密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4對(duì)應(yīng)密文5，7，18，16．當(dāng)接收方收到密文14，9，23，28時(shí)，則解密得到的明文為（）A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7

7、（2006?山東）定義集合運(yùn)算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，設(shè)集合A={0，1}，B={2，3}，則集合A⊙B的所有元素之和為（）

A、0 B、6 C、12 D、18

7201

1的末四位數(shù)字為（）

8、（2006?遼寧）設(shè)⊕是R上的一個(gè)運(yùn)算，A是V的非空子集，若對(duì)任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對(duì)運(yùn)算⊕封閉．下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運(yùn)算都封閉的是（）A、自然數(shù)集 B、整數(shù)集 C、有理數(shù)集 D、無理數(shù)集

9、（2006?廣東）對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）和（c，d），規(guī)定：（a，b）=（c，d），當(dāng)且僅當(dāng)a=c，b=d；運(yùn)算“?”為：（a，b）?（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；運(yùn)算“⊕”為：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），設(shè)p，q∈R，若（1，2）?（p，q）=（5，0），則（1，2）⊕（p，q）=（）A、（4，0）B、（2，0）C、（0，2）D、（0，-4）

10、（2005?湖南）設(shè)f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），?，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，則f2005（x）=（）

A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx

11、（2004?安徽）已知數(shù)列{an}滿足a0=1，an=a0+a1+?+an-1，n≥

1、，則當(dāng)n≥1時(shí)，an=（）A、2 B、n

C、2 D、2-

1n-1n

12、若數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），則a17=（）

A、1 B、2 C、D、2-987

13、如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，有，則運(yùn)用歸納推理得到第11 行第2個(gè)數(shù)（從左往右數(shù)）為（）A、B、C、D、14、根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)1 234 567×9+8=（）

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111．

A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113

15、將n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成右表，根據(jù)規(guī)律，從2008到2010，箭頭方向依次是（）

A、B、C、D、16、下列推理過程利用的推理方法分別是（）（1）通過大量試驗(yàn)得出拋硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5；（2）函數(shù)f（x）=x2-|x|為偶函數(shù)；

（3）科學(xué)家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼． A、演繹推理，歸納推理，類比推理 B、類比推理，演繹推理，類比推理 C、歸納推理，合情推理，類比推理 D、歸納推理，演繹推理，類比推理

17、下列表述正確的是（）①歸納推理是由部分到整體的推理； ②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理； ④類比推理是由特殊到一般的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理． A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤

18、在古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，?這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形，則第n個(gè)三角形數(shù)為（）A、n B、1、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

2、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?

照此規(guī)律，第n個(gè)等式為 n+（n+1）+（n+2）+?+（3n-2）=（2n-1）2 ．

C、n-1 D、2

第四篇：推理與證明

推理與證明

學(xué)生推理與證明的建立，是一個(gè)漫長的過程，這個(gè)過程的開始可以追溯到小孩牙牙學(xué)語時(shí)候起，小孩在爸爸媽媽跟前不停的問為什么，可以看做推理的雛形。接著到幼兒園、小學(xué)，教材里也有簡(jiǎn)單的說理，小學(xué)教材里有簡(jiǎn)單地說理題，意在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。

初中新教材對(duì)推理與證明的滲透，也是從說理開始的，但內(nèi)容比較少，也就是教材中的直觀幾何內(nèi)容。很快便轉(zhuǎn)向推理，也就是證明。剛開始推理的步驟，是簡(jiǎn)單的兩三步，接著到四五步，后面還一定要求學(xué)生寫清楚為什么。在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容的時(shí)候，好多學(xué)生在后面的括號(hào)里不寫為什么，我便給他們舉例小孩子學(xué)走路的過程，一個(gè)小孩剛開始學(xué)走路的時(shí)候，需要大人或其他可依附的東西，漸漸地，她會(huì)脫離工具自己走。學(xué)習(xí)證明的過程亦如此，起先在括號(hào)里寫清為什么，并且只是簡(jiǎn)單的幾步，然后證明比較難一點(diǎn)的，步驟比較多的。

隨著社會(huì)的進(jìn)步，中學(xué)教材加強(qiáng)了解析幾何、向量幾何，傳統(tǒng)的歐式幾何受到?jīng)_擊，并且教材對(duì)這一部分的編排分散在初中各個(gè)年級(jí)，直觀幾何分量多了還加入了變換如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對(duì)稱變換，投影等內(nèi)容。老師們對(duì)內(nèi)容的編排不太理解，看了專家的講座，漸漸明白了：這樣編排不是降低了推理能力，而是加強(qiáng)了推理能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了逐步發(fā)展的過程，把變換放到中學(xué)，加強(qiáng)了中學(xué)和大學(xué)教材的統(tǒng)一，但一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)是，對(duì)演繹推理確實(shí)弱了。

關(guān)于開展課題學(xué)習(xí)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)

新課程教材編排了課題學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，對(duì)授課的老師，還是學(xué)生的學(xué)習(xí)都是一個(gè)全新的內(nèi)容，怎樣上好這部分內(nèi)容，對(duì)老師、對(duì)學(xué)生而言，都是一個(gè)創(chuàng)新的機(jī)會(huì)。至于課題學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)方式，到現(xiàn)在為止，大多數(shù)省份還是一個(gè)空白，考不考?怎樣考?學(xué)習(xí)它吧，學(xué)習(xí)的東西不能在試卷上體現(xiàn)出來，于是，好多老師對(duì)這部分采取漠視的處理方法;不學(xué)習(xí)吧，課本上安排了這部分內(nèi)容。還有一部分老師覺得，課題學(xué)習(xí)是對(duì)某一個(gè)問題專門研究，很深!老師不知講到什么程度才合理，學(xué)生不知掌握到什么程度。

經(jīng)過幾年的實(shí)踐與這次培訓(xùn)的認(rèn)識(shí)，我覺得課題學(xué)習(xí)是“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”在新課課程中的主要呈現(xiàn)形式，是一種區(qū)別于傳統(tǒng)的、全新的，具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)，課本的編寫者安排的主要目的是：

1.希望為學(xué)生提供更多的實(shí)踐與探索的機(jī)會(huì)。

2.讓學(xué)生通過對(duì)有挑戰(zhàn)性和綜合性問題的解決，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。

3.讓學(xué)生獲得研究問題地方法和經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生的思維能力、自主探索與合作交流的意識(shí)和能力得到發(fā)展。

4.讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，以及解決問題的成功喜悅，增進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

5.使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)成為生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程。

課題學(xué)習(xí)首先提出一個(gè)主問題(問題是一個(gè)載體)，然后給出資料，利用資料挖掘知識(shí)。在這個(gè)過程中，多關(guān)注知識(shí)的價(jià)值，淡化數(shù)學(xué)術(shù)語，讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，激發(fā)學(xué)生參與的熱情，使其體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，始終以學(xué)生為主體，明白課題學(xué)習(xí)是為學(xué)習(xí)服務(wù)的。

第五篇：推理與證明

推理與證明

1． 蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)

圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)

表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=___37

__;f(n)=_3n2?3n?

1__________.2．下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖：

設(shè)第n個(gè)圖有an個(gè)樹枝，則an?1與an(n≥2)之間的關(guān)系是．

答案：an?1?2an?

2若平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,且任何三條不共點(diǎn)(即不相交于一點(diǎn)),則這n條直線將平面分成了幾部分。

3．類比平面向量基本定理:“如果e1,e2是平面?內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)?1,?2，使得a??1e1??2e2”，寫出空間向量基本定理是．

如果e1,e2,e3是空間三個(gè)不共面的向量，那么對(duì)于空間內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

????????

?1,?2,?3，使得a??1e1??2e2??3e

34．寫出用三段論證明f(x)?x3?sinx(x?R)為奇函數(shù)的步驟是： 大前提． 小前提結(jié)論

滿足f(?x)??f(x)的函數(shù)是奇函數(shù)，大前提

f(?x)?(?x)?sin(?x)??x?sinx??(x?sinx)??f(x)，小前提

所以f(x)?x3?sinx是奇函數(shù)．結(jié)論5． 已知f(n)?1? 答案：

12?

1k

?

???

1n

(n?N)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2)?

?

n

n2

時(shí)，f(2k?1)?f(2k)

等于．

?

12?2

k

???

k?1

6lg1

.5?3a?

b?clg12?1?a?2b

7．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?

+n2=

n

?

n2，則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加

上.(k+1)+(k+2)+(k+3)+?+(k+1)

8?

?m，n成立的條件不

等式．

當(dāng)m?n?20

9．在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1?

答案：an?10．

26n?

5an3an?1

(n?N)，可以猜測(cè)數(shù)列通項(xiàng)an的表達(dá)式為?

．

若三角形內(nèi)切圓的半徑為r，三邊長為a，b，c，則三角形的面積等于S?

r(a?b?c)，根據(jù)類比推理的方法，若一個(gè)四面體的內(nèi)切球的半徑為R，四個(gè)面的面積分別是

V?． S1，S2，S，S，則四面體的體積3

4答案：R(S1?S2?S3?S4)

11．已知f(x)?ax?

x?2x?1

(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負(fù)數(shù)根.假設(shè)x0是f(x)?0的負(fù)數(shù)根，則x0?0且x0??1且ax??

?0?a

x0

x0?2x0?1，?1?0??

x0?2x0?1

解得?1，12

這與x0?0矛盾，故方程f(x)?0?x0?2，沒有負(fù)數(shù)根.12．已知命題：“若數(shù)列?an?是等比數(shù)列，且an?

0，則數(shù)列bn?

n?N)

?

也是等

比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．

解：類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是：若數(shù)列?an?是等差數(shù)列，則數(shù)列bn?

a1?a2???an

n

也是等差數(shù)列．

n(n?1)d

2n

?a1?

d2(n?1)

證明如下：

設(shè)等差數(shù)列?an?的公差為d，則bn?所以數(shù)列?bn?是以a1為首項(xiàng)，13．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1(n2?12)?2(n2?22)???n(n2?n2)?都成立．

（1）當(dāng)n?1時(shí)，由以上可知等式成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n?k時(shí)，等式成立，即1(k2?12)?2(k2?22)???k(k2?k2)?則當(dāng)n?k?1時(shí)，1[(k?1)?1]?2[(k?1)?2]???k[(k?1)?k]?(k?1)[(k?1)?(k?1)] ?1(k?1)?2(k?2)???k(k?k)?(2k?1)?2(2k?1)???k(2k?1)?14k?

a1?a2???an

n

na1??，d2

為公差的等差數(shù)列．

n?

n

對(duì)一切正整數(shù)n

k?

k，22222222

222222

k?(2k?1)·

k(k?1)

?

(k?1)?

(k?1)

．

由（1）（2）知，等式結(jié)一切正整數(shù) 都成立．

14．用數(shù)學(xué)歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.2×1+11+2

(1)當(dāng)n=1時(shí)，4+3=91能被13整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2).∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除, ∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由（1）（2）知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整除.15．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式（1+

2n?12

13）（1+）?（1+

112n?1）＞

均成立.43

（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+=；右邊=

.∵左邊＞右邊，∴不等式成立.（2）假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N*)時(shí)不等式成立，即（1+）（1+）?（1+

12k?1）＞

2k?12

12k?1

.12(k?1)?1

]

則當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+）（1+）?（1+＞

2k?12）＞[1?

4k

2k?1

·

2k?22k?1

=

2k?222k?1

=

4k

?8k?4

＞

?8k?3

=

2k?3

=

2(k?1)?1

.22k?122k?122k?1

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由（1）（2）知，對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.16。試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相

等時(shí)，均有：an+cn＞2bn.設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=∴a+c=

n

n

bq,c=bq(q＞0且q≠1),bq

nn

+bnqn=bn（1q

n

+qn)＞2bn.a

n

(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=2時(shí)，由2(a+c)＞(a+c)，∴②設(shè)n=k時(shí)成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，＞

?c

2n

＞（a?c2)n(n≥2且n∈N*)

a

?c2

?（a?c2)

a

k

?c2

k?

1k

?(?1

4a?c2),k

a

k?1

?c2

(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)

a?c2

(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=

(ak+ck)(a+c)＞()k·（a?c2)=（a?c2)k+1

17．平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓把平面分成n?n?2個(gè)部分。

證明：（1）當(dāng)n?1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩個(gè)區(qū)域，而12?1?2?2，命題成立．

（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成k?k?2個(gè)區(qū)域．

當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)圓與原有的k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)把第k+1個(gè)圓分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的區(qū)域分成了兩部分，因此增加了2k個(gè)區(qū)域，共有k2?k?2?2k?(k?1)2?(k?1)?2個(gè)區(qū)域． ∴n=k+1時(shí)，命題也成立．

由（1）、（2）知，對(duì)任意的n∈N*，命題都成立．

18．如圖（1），在三角形ABC中，AB?AC，若AD?BC，則AB2?BD·BC；若類比該命題，如圖（2），三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題．

解：命題是：三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影

為M，則有S△?S△BCM·S△BCD是一個(gè)真命題． ABC證明如下：

在圖（2）中，連結(jié)DM，并延長交BC于E，連結(jié)AE，則有DE?BC． 因?yàn)锳D?面ABC，所以AD?AE． 又AM?DE，所以AE2?EM·ED． 于是S

△ABC

?1??1??1???BC·AE???BC·EM?·?BC·ED??S△BCM·S△BCD． ?2??2??2?

19． 已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，?），a1=1.（1）設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,?)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)cn=

an2

n

(n=1,2,?),求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.（1）∵ Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2.兩式相減，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,?), 即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an).∵ bn=an+1-2an(n=1,2,?), ∴ bn+1=2bn.由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.（2）由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n-1.∵ cn=

an2

n

(n=1,2,?),∴ cn+1-cn=

an?12

n?1

an2

n

=

an?1?2an

n?1

=

bn2

n?1

.34

將bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,?),由此可知，數(shù)列{cn}是公差為的等差數(shù)列，它的首項(xiàng)c1=

a12

=，故cn=n-(n=1,2,?).131