第一篇：推理與證明教材分析

《第三章 推理與證明》教材分析與教學建議

高2012級高二數(shù)學文科備課組

“推理與證明”是新課標新增內(nèi)容(選修1-2第二章，選修2-2第二章)，主要包括合情推理與演繹推理、直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法三個部分（其中數(shù)學歸納法文科數(shù)學不作要求）．“推理與證明”是數(shù)學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式．本章內(nèi)容是各知識模塊中常用推理方法和論證方法的總結(jié)，推理方法與證明方法是從思維活動中抽象出來的，是由數(shù)學思維過程凝縮而成的，是高中數(shù)學的重要基礎(chǔ)，在高中數(shù)學中占有極其重要的地位和作用．

一、課標要求

1．合情推理與演繹推理

（1）結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用．

（2）結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理．

（3）通過具體實例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．

2．直接證明與間接證明

（1）結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點．

（2）結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點．

3．數(shù)學歸納法（文科不做要求）

了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題．

二、課時安排

1．本章理科教學時間約需8課時，具體分配如下：

合情推理與演繹推理約2課時

直接證明與間接證明約2課時

數(shù)學歸納法約2課時

小結(jié)與復習約2課時

2．本章文科教學時間約需10課時，具體分配如下：

合情推理與演繹推理約4課時（+2）

直接證明與間接證明約4課時（+4）

小結(jié)與復習、測試約4課時（+2）

三、教材分析與教學建議

本章結(jié)合生活實例和學生已學過的數(shù)學實例，介紹兩種基本的推理--合情推理與演繹推理、兩類基本的證明--直接證明與間接證明、一種特殊的方法--數(shù)學歸納法．本章的內(nèi)容屬于數(shù)學思維方法的范疇，把過去滲透在具體數(shù)學內(nèi)容中的思維方法，以集中的、顯性的形式呈現(xiàn)出來，使學生更加明確這些方法，并能有意識地使用它們，以培養(yǎng)言之有理、論證有據(jù)

1的習慣．

（一）合情推理與演繹推理

1．教學重點與難點

教學重點：了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理；了解演繹推理的含義，能利用“三段論”進行一些簡單推理．

教學難點：用歸納和類比進行推理，做出猜想；用“三段論”證明問題．

2．教材分析

合情推理和演繹推理是數(shù)學推理的兩種基本推理形式．

（1）“合情推理”是高中數(shù)學課程標準的亮點之一．從解放后首次制定（1952年）中小學數(shù)學教學大綱開始，關(guān)于數(shù)學能力主要以三大能力為具體內(nèi)容；1978年增加了“培養(yǎng)學生分析問題與解決問題的能力”，而對核心邏輯思維能力中推理的理解，僅局限在演繹和歸納兩個方面，并且不論是教材的呈現(xiàn)方式，還是教師的教學、考試都是以演繹推理和嚴格的證明為主，歸納推理沒有引起足夠的重視，類比推理更難尋其蹤影．2001年7月《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準》（實驗稿）中，提出讓“學生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點”．合情推理首次進入國家綱領(lǐng)性文件，這標志著我國數(shù)學教育觀念的一次轉(zhuǎn)變，標志著合情推理得到了應有的重視．2003年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準》（實驗稿）中，強調(diào)在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論的作用，而且在教材中專門設(shè)置了合情推理的內(nèi)容．

（2）歸納推理和類比推理是合情推理的兩種常用的思維方法．

歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理．由于歸納推理是由部分到整體、由個別到一般，所以結(jié)論不一定可靠，只能算是一種猜想．

類比推理是由兩類對象具有某些類似特性和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理．其思維過程是從特殊到特殊，類比的基礎(chǔ)是事物之間的相似性或某種特殊性．由于類比推理是由特殊到特殊的推理，因此結(jié)論不一定可靠，只能算是一種猜想．

合情推理具有兩大功能：一是探索一般結(jié)論，二是發(fā)現(xiàn)解題思路．

（3）演繹推理是由一般到特殊的推理，“三段論”是演繹推理的一般模式．三段論由三部分構(gòu)成：（兩個前提，一個結(jié)論）M是P，大前提----已知的一般原理； S是M 小前提----所研究的特殊情況； ∴S是P 結(jié)論----根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．

三段論可用右邊的格式來表示．用集合觀點就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，則S中所有元素都具有性質(zhì)P．

演繹推理只要前提正確，推理的形式正確，那么推理所得結(jié)論就一定是正確的．但錯誤的前提會導致錯誤的結(jié)論．

（4）合情推理與演繹推理的聯(lián)系與差異：

①從推理形式和推理所得結(jié)論的正確性上講，二者有差異．合情推理是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，是由部分到整體、由個別到一般、由特殊到特殊的推理，合情推理作出的結(jié)論未必可靠，有待于進一步證明或否定．演繹推理是由一般到特殊的推理，只要前提正確，推理的形式正確，那么推理所得結(jié)論就一定是正確的．正如波利亞所說：“論證推理（即演繹推理）是可靠的、無可置疑的和終決的．合情推理是冒險的、有爭議的和暫時的．”

②從二者在認識事物的過程中所發(fā)揮的作用的角度上講，它們又是緊密聯(lián)系，相輔相成的．合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲得的．演繹推理回答如何證明定理或命題的問題，是“論證”的手段，而合情推理回答如何發(fā)現(xiàn)定理或命題的問題，是發(fā)現(xiàn)的工具．合情推理可以為演繹推理提供方向和思路，演繹推理可以驗證合情推理的結(jié)論的正確性．

合情推理和演繹推理是數(shù)學推理的兩種基本推理形式．許多重要的科學結(jié)論（包括數(shù)學的定理、法則、公式等）的發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對事物的觀察、比較、歸納、類比等，即通過合情推理提出猜想，然后再通過演繹推理證明猜想正確或錯誤．對于數(shù)學學習來說，既要學會證明，也要學會猜想．

3．教學建議

（1）要注意結(jié)合實際例子，使學生了解合情推理的含義；

（2）要通過學生學過的簡單的數(shù)學例子，讓學生掌握歸納推理和類比推理的基本方法；

（3）要通過數(shù)學史事，使學生認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用；

（4）要通過學生學過的簡單的數(shù)學例子，讓學生掌握演繹推理的基本模式----“三段論”推理模式；

（5）要通過反例，讓學生理解演繹推理的前提與結(jié)論之間的蘊涵關(guān)系；

（6）要通過具體實例，幫助學生了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差異，讓學生既學會猜想，又學會證明．

（二）直接證明與間接證明

1．教學重點與難點

教學重點：結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解分析法、綜合法和反證法的思考過程、特點．

教學難點：根據(jù)問題的特點,結(jié)合分析法、綜合法和反證法的思考過程、特點,選擇適當?shù)淖C明方法或使用不同的證明方法解決同一問題.2．教材分析

數(shù)學結(jié)論的正確性必須通過邏輯推理的方式加以證明才能得到確認，這是數(shù)學區(qū)別于其他學科的顯著特點.直接證明與間接證明是兩類基本的數(shù)學證明方法．

（1）綜合法的思維特征是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法．

（2）分析法的思維特征是：執(zhí)果索因．即從結(jié)論入手進行反推，看看需要知道什么，最后推出一個已證的命題（定義、公理、定理、公式等）或已知條件，從而得到證明．很多演繹推理的證明題都是采用這種方法進行思考的，有時也將綜合法和分析法結(jié)合起來使用．

（3）反證法是間接證明的一種基本方法，任何一個問題都有正反兩面，當直接證明有困難時，便可以考慮使用反證法．反證法證題的步驟可歸結(jié)為：反設(shè)—歸謬—結(jié)論．

3．教學建議

（1）先講綜合法，后講分析法．綜合法和分析法，是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學問題時常用的思維方式．綜合法是學生使用較多、較為熟悉的一種方法．分析法雖然在過去也經(jīng)常使用，但學生在理解上顯然不如綜合法那樣容易．

（2）要突破分析法這一教學難點．分析法的主要困難有兩點：一是學生對這種證明方法的思考過程不理解；二是學生對這種證明方法的表達方式不習慣．突破難點的方法有兩點：一是結(jié)合具體的數(shù)學實例，讓學生感受分析法證明的可靠性，以及“要證??只需證??”這種表達的必要性；二是將分析法與綜合法對比著進行講解］幫助學生加深對分析法思考過

程及特點的理解．

（3）通過具體的數(shù)學實例，幫助學生形成既分析又綜合的思維方式，學會將分析法與綜合法結(jié)合起來運用．結(jié)合方式有兩種：一是先用分析法探尋證題思路，再用綜合法有條理地表述證明過程；二是將分析法與綜合法結(jié)合起來，證明某些較復雜的數(shù)學問題．

（4）結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，幫助學生了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程、特點．在必修課的教學中，學生已經(jīng)使用反證法證明了一些較簡單的數(shù)學命題，對于反證法學生并不是完全陌生的．本次教學應盡量利用學生已有的經(jīng)驗，進一步加深對反證法的思考過程、特點的了解．

一是要提煉用反證法證題的基本模式．反證法證題的步驟可歸結(jié)為：反設(shè)—歸謬—結(jié)論．其中，正確反設(shè)是用好反證法的前提，推出矛盾（歸謬）是用好反證法的關(guān)鍵．反設(shè)是否正確，與邏輯知識密切相關(guān)，因此，在反證法教學前，宜先復習常用邏輯用語中的相關(guān)知識．

二是總結(jié)反證法的適用范圍．反證法主要適用于以下兩種情形：

①要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰；

②如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形．

（三）數(shù)學歸納法

1．教學重點與難點

教學重點：借助具體實例了解數(shù)學歸納法的基本思想，掌握數(shù)學歸納法的基本步驟，運用數(shù)學歸納法證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學命題．

教學難點：（1）對數(shù)學歸納法基本原理的理解；（2）在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系．

2．教材分析

本節(jié)分為兩部分：第一部分主要內(nèi)容是借助具體實例歸納出數(shù)學歸納法的基本原理、步驟；第二部分的重點是用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題，教科書安排了兩個例題，通過證明數(shù)學命題鞏固對數(shù)學歸納法的認識．

數(shù)學歸納法是一種特殊的直接證明的方法．在證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學命題時，數(shù)學歸納法往往是非常有用的研究工具，它通過有限個步驟的推理，證明n取無限多個正整數(shù)的情形．

用數(shù)學歸納法證題分為兩大步驟：

第一步（歸納奠基）：證明當n?n0時命題成立，其中n0是命題成立的初始值，不一定

是自然數(shù)1．這一步是論證的基本保證，是遞推的基礎(chǔ)，必須保證其真實性．

?第二步（歸納遞推）：假設(shè)n?k(k?n0,k?N)時命題成立，證明n?k?1時命題也

成立．這一步是命題具有后續(xù)傳遞性的保證，是遞推的依據(jù)．由k?k?1時必須使用歸納假設(shè)，否則不算數(shù)學歸納法．

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．

數(shù)學歸納法雖然僅限于與正整數(shù)有關(guān)的命題，但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的命題都能使用數(shù)學歸納法．

3．教學建議

（1）通過遞推數(shù)列求通項問題，引發(fā)學習數(shù)學歸納法的欲望，說明探索新的證明方法的必要性．

（2）分析“多米諾骨牌”全部倒下的原理—遞推思想．

（3）給出數(shù)學歸納法的基本原理．

（4）結(jié)合例題，講解數(shù)學歸納法的證題步驟與要求，幫助學生理解數(shù)學歸納法證題中的“歸納奠基”和“歸納遞推”兩個步驟缺一不可．

（5）向?qū)W生指明數(shù)學歸納法的適用范圍．教學時要使學生明確，數(shù)學歸納法一般被用于證明某些與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學命題．一般說，從n?k時的情形過渡到n?k?1時的情形，如果問題中存在可利用的遞推關(guān)系，則數(shù)學歸納法有用武之地，否則使用數(shù)學歸納法就有困難．

（6）讓學生經(jīng)歷數(shù)學研究與發(fā)現(xiàn)的完整過程，并進一步熟悉數(shù)學歸納法．在教科書例2的教學中，應引導學生關(guān)注兩個問題：一是歸納猜想；二是歸納遞推，要注意從n?k時的情形到n?k?1時的情形是怎樣過渡的．

（7）通過變式訓練，讓學生形成運用數(shù)學歸納法解題的經(jīng)驗．

整理：王全峰

2011年3月20日星期天

第二篇：推理與證明

第3講 推理與證明

【知識要點】

1.歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結(jié)論的推理

2．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。3．類比推理的一般步驟：

①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）【典型例題】

1、（2011?江西）觀察下列各式：7=49，7=343，7=2401，?，則7

34201

1的末兩位數(shù)字為（）

A、01 B、43 C、07 D、49

2、（2011?江西）觀察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，?，則5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

3、（2010?臨潁縣）平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線平行，由此類比思維，我們可以得到（）A、空間中平行于同一平面的兩個平面平行 B、空間中平行于同一條直線的兩條直線平行 C、空間中平行于同一條平面的兩條直線平行 D、空間中平行于同一條直線的兩個平面平行

4、（2007?廣東）設(shè)S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a，b∈S，對于有序元素對（a，b），在S中有唯一確定的元素與之對應）有a*（b*a）=b，則對任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）

A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b

5、（2007?廣東）如圖是某汽車維修公司的維修點環(huán)形分布圖．公司在年初分配給A，B，C，D四個維修點某種配件各50件．在使用前發(fā)現(xiàn)需將A，B，C，D四個維修點的這批配件分別調(diào)整為40，45，54，61件，但調(diào)整只能在相鄰維修點之間進行，那么要完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動件次（n件配件從一個維修點調(diào)整到相鄰維修點的調(diào)動件次為n）為（）

A、15 B、16 C、17 D、18

6、（2006?陜西）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對應密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4對應密文5，7，18，16．當接收方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的明文為（）A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7

7、（2006?山東）定義集合運算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，設(shè)集合A={0，1}，B={2，3}，則集合A⊙B的所有元素之和為（）

A、0 B、6 C、12 D、18

7201

1的末四位數(shù)字為（）

8、（2006?遼寧）設(shè)⊕是R上的一個運算，A是V的非空子集，若對任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對運算⊕封閉．下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運算都封閉的是（）A、自然數(shù)集 B、整數(shù)集 C、有理數(shù)集 D、無理數(shù)集

9、（2006?廣東）對于任意的兩個實數(shù)對（a，b）和（c，d），規(guī)定：（a，b）=（c，d），當且僅當a=c，b=d；運算“?”為：（a，b）?（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；運算“⊕”為：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），設(shè)p，q∈R，若（1，2）?（p，q）=（5，0），則（1，2）⊕（p，q）=（）A、（4，0）B、（2，0）C、（0，2）D、（0，-4）

10、（2005?湖南）設(shè)f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），?，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，則f2005（x）=（）

A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx

11、（2004?安徽）已知數(shù)列{an}滿足a0=1，an=a0+a1+?+an-1，n≥

1、，則當n≥1時，an=（）A、2 B、n

C、2 D、2-

1n-1n

12、若數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），則a17=（）

A、1 B、2 C、D、2-987

13、如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，有，則運用歸納推理得到第11 行第2個數(shù)（從左往右數(shù)）為（）A、B、C、D、14、根據(jù)給出的數(shù)塔猜測1 234 567×9+8=（）

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111．

A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113

15、將n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成右表，根據(jù)規(guī)律，從2008到2010，箭頭方向依次是（）

A、B、C、D、16、下列推理過程利用的推理方法分別是（）（1）通過大量試驗得出拋硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5；（2）函數(shù)f（x）=x2-|x|為偶函數(shù)；

（3）科學家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼． A、演繹推理，歸納推理，類比推理 B、類比推理，演繹推理，類比推理 C、歸納推理，合情推理，類比推理 D、歸納推理，演繹推理，類比推理

17、下列表述正確的是（）①歸納推理是由部分到整體的推理； ②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理； ④類比推理是由特殊到一般的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理． A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤

18、在古希臘，畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，?這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因為這些數(shù)對應的點可以排成一個正三角形，則第n個三角形數(shù)為（）A、n B、1、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律，第五個等式應為 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

2、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?

照此規(guī)律，第n個等式為 n+（n+1）+（n+2）+?+（3n-2）=（2n-1）2 ．

C、n-1 D、2

第三篇：推理與證明

推理與證明

學生推理與證明的建立，是一個漫長的過程，這個過程的開始可以追溯到小孩牙牙學語時候起，小孩在爸爸媽媽跟前不停的問為什么，可以看做推理的雛形。接著到幼兒園、小學，教材里也有簡單的說理，小學教材里有簡單地說理題，意在培養(yǎng)學生的邏輯思維。

初中新教材對推理與證明的滲透，也是從說理開始的，但內(nèi)容比較少，也就是教材中的直觀幾何內(nèi)容。很快便轉(zhuǎn)向推理，也就是證明。剛開始推理的步驟，是簡單的兩三步，接著到四五步，后面還一定要求學生寫清楚為什么。在學習這一部分內(nèi)容的時候，好多學生在后面的括號里不寫為什么，我便給他們舉例小孩子學走路的過程，一個小孩剛開始學走路的時候，需要大人或其他可依附的東西，漸漸地，她會脫離工具自己走。學習證明的過程亦如此，起先在括號里寫清為什么，并且只是簡單的幾步，然后證明比較難一點的，步驟比較多的。

隨著社會的進步，中學教材加強了解析幾何、向量幾何，傳統(tǒng)的歐式幾何受到?jīng)_擊，并且教材對這一部分的編排分散在初中各個年級，直觀幾何分量多了還加入了變換如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換，投影等內(nèi)容。老師們對內(nèi)容的編排不太理解，看了專家的講座，漸漸明白了：這樣編排不是降低了推理能力，而是加強了推理能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了逐步發(fā)展的過程，把變換放到中學，加強了中學和大學教材的統(tǒng)一，但一個不爭的事實是，對演繹推理確實弱了。

關(guān)于開展課題學習的實踐與認識

新課程教材編排了課題學習這部分內(nèi)容，對授課的老師，還是學生的學習都是一個全新的內(nèi)容，怎樣上好這部分內(nèi)容，對老師、對學生而言，都是一個創(chuàng)新的機會。至于課題學習的評價方式，到現(xiàn)在為止，大多數(shù)省份還是一個空白，考不考?怎樣考?學習它吧，學習的東西不能在試卷上體現(xiàn)出來，于是，好多老師對這部分采取漠視的處理方法;不學習吧，課本上安排了這部分內(nèi)容。還有一部分老師覺得，課題學習是對某一個問題專門研究，很深!老師不知講到什么程度才合理，學生不知掌握到什么程度。

經(jīng)過幾年的實踐與這次培訓的認識，我覺得課題學習是“實踐與綜合應用”在新課課程中的主要呈現(xiàn)形式，是一種區(qū)別于傳統(tǒng)的、全新的，具有挑戰(zhàn)性的學習，課本的編寫者安排的主要目的是：

1.希望為學生提供更多的實踐與探索的機會。

2.讓學生通過對有挑戰(zhàn)性和綜合性問題的解決，經(jīng)歷數(shù)學化的過程。

3.讓學生獲得研究問題地方法和經(jīng)驗，使學生的思維能力、自主探索與合作交流的意識和能力得到發(fā)展。

4.讓學生體驗數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，以及解決問題的成功喜悅，增進學生學習數(shù)學的信心。

5.使數(shù)學學習活動成為生動活潑的、主動的和富有個性的過程。

課題學習首先提出一個主問題(問題是一個載體)，然后給出資料，利用資料挖掘知識。在這個過程中，多關(guān)注知識的價值，淡化數(shù)學術(shù)語，讓學生充分經(jīng)歷數(shù)學化的過程，激發(fā)學生參與的熱情，使其體會到學習數(shù)學的樂趣，始終以學生為主體，明白課題學習是為學習服務(wù)的。

第四篇：推理與證明

推理與證明

1． 蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個

圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)

表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=___37

__;f(n)=_3n2?3n?

1__________.2．下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖：

設(shè)第n個圖有an個樹枝，則an?1與an(n≥2)之間的關(guān)系是．

答案：an?1?2an?

2若平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,且任何三條不共點(即不相交于一點),則這n條直線將平面分成了幾部分。

3．類比平面向量基本定理:“如果e1,e2是平面?內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)?1,?2，使得a??1e1??2e2”，寫出空間向量基本定理是．

如果e1,e2,e3是空間三個不共面的向量，那么對于空間內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)

????????

?1,?2,?3，使得a??1e1??2e2??3e

34．寫出用三段論證明f(x)?x3?sinx(x?R)為奇函數(shù)的步驟是： 大前提． 小前提結(jié)論

滿足f(?x)??f(x)的函數(shù)是奇函數(shù)，大前提

f(?x)?(?x)?sin(?x)??x?sinx??(x?sinx)??f(x)，小前提

所以f(x)?x3?sinx是奇函數(shù)．結(jié)論5． 已知f(n)?1? 答案：

12?

1k

?

???

1n

(n?N)，用數(shù)學歸納法證明f(2)?

?

n

n2

時，f(2k?1)?f(2k)

等于．

?

12?2

k

???

k?1

6lg1

.5?3a?

b?clg12?1?a?2b

7．用數(shù)學歸納法證明1+2+3+?

+n2=

n

?

n2，則當n=k+1時左端應在n=k的基礎(chǔ)上加

上.(k+1)+(k+2)+(k+3)+?+(k+1)

8?

?m，n成立的條件不

等式．

當m?n?20

9．在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1?

答案：an?10．

26n?

5an3an?1

(n?N)，可以猜測數(shù)列通項an的表達式為?

．

若三角形內(nèi)切圓的半徑為r，三邊長為a，b，c，則三角形的面積等于S?

r(a?b?c)，根據(jù)類比推理的方法，若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為R，四個面的面積分別是

V?． S1，S2，S，S，則四面體的體積3

4答案：R(S1?S2?S3?S4)

11．已知f(x)?ax?

x?2x?1

(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負數(shù)根.假設(shè)x0是f(x)?0的負數(shù)根，則x0?0且x0??1且ax??

?0?a

x0

x0?2x0?1，?1?0??

x0?2x0?1

解得?1，12

這與x0?0矛盾，故方程f(x)?0?x0?2，沒有負數(shù)根.12．已知命題：“若數(shù)列?an?是等比數(shù)列，且an?

0，則數(shù)列bn?

n?N)

?

也是等

比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．

解：類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：若數(shù)列?an?是等差數(shù)列，則數(shù)列bn?

a1?a2???an

n

也是等差數(shù)列．

n(n?1)d

2n

?a1?

d2(n?1)

證明如下：

設(shè)等差數(shù)列?an?的公差為d，則bn?所以數(shù)列?bn?是以a1為首項，13．用數(shù)學歸納法證明等式1(n2?12)?2(n2?22)???n(n2?n2)?都成立．

（1）當n?1時，由以上可知等式成立；

（2）假設(shè)當n?k時，等式成立，即1(k2?12)?2(k2?22)???k(k2?k2)?則當n?k?1時，1[(k?1)?1]?2[(k?1)?2]???k[(k?1)?k]?(k?1)[(k?1)?(k?1)] ?1(k?1)?2(k?2)???k(k?k)?(2k?1)?2(2k?1)???k(2k?1)?14k?

a1?a2???an

n

na1??，d2

為公差的等差數(shù)列．

n?

n

對一切正整數(shù)n

k?

k，22222222

222222

k?(2k?1)·

k(k?1)

?

(k?1)?

(k?1)

．

由（1）（2）知，等式結(jié)一切正整數(shù) 都成立．

14．用數(shù)學歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.2×1+11+2

(1)當n=1時，4+3=91能被13整除.(2)假設(shè)當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2).∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除, ∴當n=k+1時也成立.由（1）（2）知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.15．用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式（1+

2n?12

13）（1+）?（1+

112n?1）＞

均成立.43

（1）當n=2時，左邊=1+=；右邊=

.∵左邊＞右邊，∴不等式成立.（2）假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N*)時不等式成立，即（1+）（1+）?（1+

12k?1）＞

2k?12

12k?1

.12(k?1)?1

]

則當n=k+1時，（1+）（1+）?（1+＞

2k?12）＞[1?

4k

2k?1

·

2k?22k?1

=

2k?222k?1

=

4k

?8k?4

＞

?8k?3

=

2k?3

=

2(k?1)?1

.22k?122k?122k?1

∴當n=k+1時，不等式也成立.由（1）（2）知，對于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.16。試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相

等時，均有：an+cn＞2bn.設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=∴a+c=

n

n

bq,c=bq(q＞0且q≠1),bq

nn

+bnqn=bn（1q

n

+qn)＞2bn.a

n

(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想下面用數(shù)學歸納法證明：

①當n=2時，由2(a+c)＞(a+c)，∴②設(shè)n=k時成立，即則當n=k+1時，＞

?c

2n

＞（a?c2)n(n≥2且n∈N*)

a

?c2

?（a?c2)

a

k

?c2

k?

1k

?(?1

4a?c2),k

a

k?1

?c2

(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)

a?c2

(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=

(ak+ck)(a+c)＞()k·（a?c2)=（a?c2)k+1

17．平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證這n個圓把平面分成n?n?2個部分。

證明：（1）當n?1時，一個圓把平面分成兩個區(qū)域，而12?1?2?2，命題成立．

（2）假設(shè)n=k（k≥1）時，命題成立，即k個圓把平面分成k?k?2個區(qū)域．

當n=k+1時，第k+1個圓與原有的k個圓有2k個交點，這些交點把第k+1個圓分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的區(qū)域分成了兩部分，因此增加了2k個區(qū)域，共有k2?k?2?2k?(k?1)2?(k?1)?2個區(qū)域． ∴n=k+1時，命題也成立．

由（1）、（2）知，對任意的n∈N*，命題都成立．

18．如圖（1），在三角形ABC中，AB?AC，若AD?BC，則AB2?BD·BC；若類比該命題，如圖（2），三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題．

解：命題是：三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影

為M，則有S△?S△BCM·S△BCD是一個真命題． ABC證明如下：

在圖（2）中，連結(jié)DM，并延長交BC于E，連結(jié)AE，則有DE?BC． 因為AD?面ABC，所以AD?AE． 又AM?DE，所以AE2?EM·ED． 于是S

△ABC

?1??1??1???BC·AE???BC·EM?·?BC·ED??S△BCM·S△BCD． ?2??2??2?

19． 已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，?），a1=1.（1）設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,?)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)cn=

an2

n

(n=1,2,?),求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.（1）∵ Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2.兩式相減，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,?), 即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an).∵ bn=an+1-2an(n=1,2,?), ∴ bn+1=2bn.由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.（2）由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n-1.∵ cn=

an2

n

(n=1,2,?),∴ cn+1-cn=

an?12

n?1

an2

n

=

an?1?2an

n?1

=

bn2

n?1

.34

將bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,?),由此可知，數(shù)列{cn}是公差為的等差數(shù)列，它的首項c1=

a12

=，故cn=n-(n=1,2,?).131

第五篇：推理與證明

“推理與證明”是數(shù)學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。“推理與證明”是數(shù)學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。推理與證明貫穿于數(shù)學的整個體系，它的學習是新課標教材的一個亮點，是對以前所學知識與方法的總結(jié)、歸納，并對后繼學習起到引領(lǐng)的作用。

學生將通過對已學知識的回顧，進一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會數(shù)學證明的特點，了解數(shù)學證明的基本方法，包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習慣。

《新標準》要求學生“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學猜想，并進一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例?！币簿褪且髮W生在獲得數(shù)學結(jié)論時要經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程。合情推理的實質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)---猜想---證明”，因而關(guān)注合情推理能力的培養(yǎng)實際上就是希望教師能夠重視數(shù)學知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，發(fā)展學生的探究和創(chuàng)新精神。